陕西省榆林市靖边中学2026-2027学年第一学期第一次月考试卷高二数学

2025级2026~2027学年度第一学期第一次月考试卷·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．AB 10．ABC 11．BCD 12． 13． 14． 15．解：（1）设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 2分 由，得， 4分 所以，即所求直线的方程为． 6分 （2）直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 9分 又，所以， 10分 由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为， 11分 所以，即． 13分 16．（1）解：以为一个基底，由题意知，，，， 3分 又， 4分 所以 ， 7分 所以． 8分 （2）证明：由（1）知， 在菱形中，， 10分 所以 ， 14分 所以，即． 15分 17．（1）证明：取的中点为，连接，． 因为，分别是，的中点，所以． 2分 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，． 4分 又平面，平面，所以平面． 7分 （2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为，，分别为，的中点， 所以，，，，， 9分 所以，，， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，，所以是平面的一个法向量， 11分 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 15分 18．解：（1）设， 因为边上的中线所在直线：经过点，所以， 1分 因为边上的高所在直线的方程为：，所以，即， 又，所以，即， 2分 由，得，所以点的坐标为． 4分 （2）设，因为边上的高所在直线：经过点， 所以， 5分 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上，即， 所以， 6分 由，得，所以点的坐标为． 8分 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 10分 （3）因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 11分 因为：过，两点，所以边所在直线的方程为． 12分 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即， 14分 所以或． 15分 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点，所以的角平分线所在直线的斜率，所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 17分 19．（1）证明：因为，为的中点，所以， 又，，，平面，所以平面， 2分 又平面，所以平面平面． 4分 （2）解：如图，在平面内，作，交于点，则，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，得，，，， 所以，，， 设是平面的法向量，则， 令，则，，所以是平面的一个法向量， 6分 设是平面的法向量，则， 令，则，，所以是平面的一个法向量， 8分 设平面与平面的夹角为， 则，， 即平面与平面夹角的正弦值为． 10分 （3）解：由（2），得，由，得，所以， 由，得，所以． ，， 设是平面的法向量，则， 令，则，， 所以是平面的一个法向量， 12分 由平面与交于点，设，则，， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以． 14分 由平面与交于点，设，则，， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以． 16分 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级2026～2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简： A． B． C． D． 2．点关于平面对称的点是 A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 4．已知点，，点满足，则点的坐标是 A． B． C． D． 5．过点且与直线平行的直线方程为 A． B． C． D． 6．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 A． B． C． D．或 7．已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，，则 A．是的必要不充分条件 B．若，，不共面，则，，也不共面 C．若，且，则 D．若，，则 10．已知为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于，两点，若的面积为，则直线在轴上的截距可以是 A． B． C． D． 11．如图，在正四棱锥中，，，空间两点，满足，，则 A．的最小值为 B．的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，则到平面的距离为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，且，则经过，的直线的一般方程为________． 13．直线一定经过点________． 14．设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，，． 求：（1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为的菱形，，为与的交点． （1）求的长； （2）证明：． 17．（本小题满分15分） 如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，为的中点，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，，平面与，分别交于点，，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $