期中测试卷2026-2027学年沪科版九年级数学上册

2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中测试卷 测试范围:第21章二次函数与反比例函数章解直角三角形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 2．如图，五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 3．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图是一架人字梯的侧面示意图，已知，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 6．如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．锐角中，若，则_________． 12．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于的方程的较大的根的取值范围是________． 13．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．若甲勘测员在处测得点位于北偏东45°，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，则点到的距离约为________m（参考数据：，，）． 14．如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，这三个点都在格点上（横、纵坐标都是整数），这样的三角形叫作格点三角形．在图中所在的网格区域内，在外部找出点D，使它和点A、B、C中的两点连线构成的格点三角形与相似．那么点D的坐标是____________． 15．如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 16．如图，，在反比例函数（）位于第二象限内的图象上，连接并延长交反比例函数另一支图象于一点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为，则______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 19．（8分）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 21．（10分）【项目主题】吕梁沙棘汁礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 吕梁沙棘是山西山地特色经济作物．某涉农企业为助力乡村振兴，生产了一款沙棘汁礼盒，每套礼盒的生产成本为30元．为实现日均利润最大化，企业开展了市场调研，收集了销售单价与日均销量的相关数据． 【信息收集】 礼盒的销售单价x（单位：元）与日均销量y（单位：盒）之间存在某种函数关系，调研数据如下表： 销售单价x/元 40 42 44 45 50 日均销量y/盒 200 180 160 150 100 【建立模型】 (1)根据表格数据填空：日均销量y是销售单价x的________函数（选填“一次”或“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)设该企业的日均销售利润为w（单位：元）． ①求w与x之间的函数关系式． ②若企业规定销售单价不得低于成本价，且不得超过50元，请问：当销售单价定为多少元时，日均销售利润最大？最大利润是多少？ 22．（10分）已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 23．（10分）在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． (1)若时，求“伴生二次函数”的解析式． (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生二次函数”的解析式． 24．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点和点，的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)当以P，C，E为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)设F为直线上一点，若，请直接写出点F的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中测试卷 测试范围:第21章二次函数与反比例函数章解直角三角形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【答案】C 【分析】抛物线平移时顶点同步平移，可通过对比平移前后的顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向左平移2个单位，再向上平移1个单位． 2．如图，五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的定义和相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，， 五边形五边形， ， ， ， ． 3．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 4．如图是一架人字梯的侧面示意图，已知，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件，可建立等价比例关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解： 选项A中，，两角分别相等；选项B中，三边成比例，均符合相似判定条件， 均可判定； 选项C中，且为成比例两边的夹角， 可判定. 选项D中，但不是成比例两边的夹角， 不能判定 6．如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形、正方形的性质可得，再根据勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ，四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 7．抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据当时，最大值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ， ， 结合图象可得， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， 当时，最大值， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确， 故正确的有3个. 8．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标，利用平行四边形性质和中点公式表示点坐标，结合反比例函数性质建立坐标之间的关系，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形，在轴上， ，， ， 是的中点，， ， ∵点在反比例函数图象上 ， ， ∵是中点 ， ∴，即， ∵， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 9．如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， 由题意得， ∴ ， ∴． ，， ． ∴， 又∵，， ，． ． ∴点的坐标为． ． 10．如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 先求出点A，B的坐标，连接并延长交于点D，过点B作轴，根据已知条件可得，所求长的最小值，即求的长最小，即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点B作轴， 根据题意，联立，得， 解得，， ∴，， ∴点O为中点， ∵Q是的中点， ∴，， ∴若长最小，则的长最小， 即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小， ∵，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 12．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于的方程的较大的根的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有： ， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即较大的根的取值范围是． 13．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．若甲勘测员在处测得点位于北偏东45°，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，则点到的距离约为________m（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，构造矩形，设， 根据矩形性质得，则，在中，根据得到，在中，根据锐角三角函数得到，利用线段和差关系列方程，求出点到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． ，，， ∴， 四边形为矩形， ，． 设，则，． 在中，， ， ． 在中，， ∴． ， ， 解得， 即点到的距离约为． 14．如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，这三个点都在格点上（横、纵坐标都是整数），这样的三角形叫作格点三角形．在图中所在的网格区域内，在外部找出点D，使它和点A、B、C中的两点连线构成的格点三角形与相似．那么点D的坐标是____________． 【答案】 或 或 【分析】首先根据勾股定理计算的三边长度，确定三边比例关系；然后分情况讨论，分别以为公共边，利用相似三角形的性质（对应边成比例）在网格中寻找满足条件的格点；最后验证点是否在网格区域内且在外部． 【详解】解： 由题意得， ，，， ∴的三边长分别为，且， 此时分三种情况讨论： ①当与相似，且为公共边时， 是的最短边， 在中应对应最长边（若对应最短边则全等，无满足条件的格点；若对应中边，边长非格点距离）， 相似比， 的另两边长应为和， ， 若且在格点上， 则可为或， 当时，，满足条件， 此时在外部； ②当与相似，且为公共边时， （i）若， 为最长边，对应， 需或； 当时，， 取，此时，满足条件， 此时在外部； （ii）若，且对应， 相似比， 的另两边长应为和， ， 取，则， 此时，满足条件， 此时在外部； ③当与相似，且为公共边时， 是中长边， 若全等，为，不在网格区域内， 若相似，计算可得其他边长非格点距离，无解， 综上所述，点的坐标为或或． 15．如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 【答案】 【分析】①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； ②根据矩形的性质和勾股定理求得，则，证明求得，，进而求得；过F作，分别交、于M、N， 设，证明求得，，利用勾股定理，结合列方程求得，进而求得，即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 过F作，分别交、于M、N， 则四边形是矩形， ∴，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， 在中，， 在中，， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∴． 16．如图，，在反比例函数（）位于第二象限内的图象上，连接并延长交反比例函数另一支图象于一点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为，则______． 【答案】 【分析】作轴于点，作轴于点，交轴于点，设，，则，，根据反比例函数的对称性得，则，，利用待定系数法求出直线和的解析式，进而得到，，推出，通过证明，得到，进而得到，再利用以及三角形的面积公式列出方程，即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，交轴于点， ∵，在反比例函数（）位于第二象限内的图象上， ∴设，， ∴，， ∵连接并延长交反比例函数另一支图象于一点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、关于原点对称的点、求一次函数的解析式、相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式，添加适当的辅助线相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ； (2) 【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立； （2）根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）根据位似的性质解题． 【详解】（1）略 （2）解：由位似的性质知，，相似比为， ∴周长比为． 19．（8分）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)9 (3)或 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）求出，的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方或与一次函数图象相交所对应的x的范围，直接得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ． （3）解：由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象下方或与一次函数图象相交， ∴不等式的解集是或． 21．（10分）【项目主题】吕梁沙棘汁礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 吕梁沙棘是山西山地特色经济作物．某涉农企业为助力乡村振兴，生产了一款沙棘汁礼盒，每套礼盒的生产成本为30元．为实现日均利润最大化，企业开展了市场调研，收集了销售单价与日均销量的相关数据． 【信息收集】 礼盒的销售单价x（单位：元）与日均销量y（单位：盒）之间存在某种函数关系，调研数据如下表： 销售单价x/元 40 42 44 45 50 日均销量y/盒 200 180 160 150 100 【建立模型】 (1)根据表格数据填空：日均销量y是销售单价x的________函数（选填“一次”或“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)设该企业的日均销售利润为w（单位：元）． ①求w与x之间的函数关系式． ②若企业规定销售单价不得低于成本价，且不得超过50元，请问：当销售单价定为多少元时，日均销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)一次，． (2)①；②当销售单价定为45元时，日均销售利润最大，最大利润是2250元． 【分析】（1）根据表格中x均匀增加时y均匀减少，判定为一次函数，代入两点求解析式即可； （2）①根据题意列出利润w的函数关系式；②配方求顶点，利用二次函数的性质得到最大利润与对应销售单价． 【详解】（1）解：观察表格，x每增加2，y减少20， ∴日均销量y是销售单价x的一次函数． 设，将、，代入， 得，解得， ∴，验证其余点均成立， 故y与x之间的函数关系式为； （2）解：①根据题意，得， 即； ②，顶点坐标为， ∵， ∴w关于x的二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵企业规定销售单价不得低于成本价，且不得超过50元， ∴， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为45元时，日均销售利润最大，最大利润是2250元． 22．（10分）已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)①；②最大值为 【分析】（1）根据抛物线的对称性来求解点的坐标． （2）①先求出直线和直线的方程，再求出点的坐标，最后根据两点间距离公式求出的长． ②先求出，再将进行转化，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设点的坐标为． 点在抛物线上，其对称轴为直线， ．解得． 点B的坐标为． （2）①抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，． ，． 抛物线经过点， ，．解得． 抛物线的解析式为． 点C的坐标为．有． ．可得，． 根据题意，．． ． ②如图，过点Q作轴，垂足为H，与相交于点N． ，， 直线的解析式为． 设点Q的坐标为，则点，点． ，． ， ． ，． ． ． 当时，取得最大值，最大值为． 23．（10分）在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． (1)若时，求“伴生二次函数”的解析式． (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生二次函数”的解析式． 【答案】(1)． (2) (3)①设，， 令，即， 由根与系数的关系知：，， 又由，即，知：，， ，，即，， “伴生二次函数”的解析式为， 变形得：， 该函数图象恒过定点， ，解得或， 此时或， ； 对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， 代入，得， 解得， “伴生二次函数”的解析式为； （2）解：设，， 令，整理得：， 由根与系数的关系得：，， 且，即， ，即， ，， ， ， 当时，；当时，， ； （3）解：①略 ②令，则， 解得或， ， ，， ， 当时，， 即，解得或， ， ， 综上，的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 24．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点和点，的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)当以P，C，E为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)设F为直线上一点，若，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点D作于点M，先求得点的坐标，再求出直线的解析式，可求得点的坐标，再分，两种情况，即可求解； （3）在y轴的正半轴上作，连接，可得，再分点F在点C的右边和点A的左边两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：如图①，过点D作于点M，则， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， 设， ∵， ∴， ，， ∴， 在中，， ∴． 解得，即， ∴， 设直线的函数表达式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵轴， ∴轴， ∴， 当以P，C，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： 如图②，当时，，则， ∴轴， ∴点P的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点P的纵坐标是， 令， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； 如图③，当时，，则， 过点C作x轴的垂线与过点P作y轴的垂线交于点N， ，， ， ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ，即， 设点P的坐标为， ∵点， ∴点， ，， ， 解得，（舍去），， 当时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，当以P，C，E为顶点的三角形与相似时， 点P的坐标为或． （3）解：点F的坐标为或． 如图④，在y轴的正半轴上作，连接， ，， ∴， ， 当，即时， 分两种情况：或， 过点B作于点G，过点作轴于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 设点的坐标是， ，， ， 在中，， ， 解得（舍去），， 当时，， ； 设点的坐标是， ∴，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴； 综上所述，当时，点F的坐标是或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $