湖南长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期月考（三）数学试题

高三数学三参考答案 一.二.选择题 题号 2 3 5 6 > 8 9 10 11 答案 C B A D B D AD BCD BCD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.24 13.-5 32π 14.3 四.解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)：等差数列an}中，a,=4,42+a=12 a1+2d=4 41=2 2a+8d=12 解得d-1 ∴.an=2+(n-1)×1=n+1 …(3分） :等比数列他.}中，么=9，公比9=3， .b2=b9=3b=9.∴.b=3 bn=3×3n-=3" (6分) (2)由(1)可知0，=n+1.bn=3” ∴.Cn=an×bn=(n+1)×3” 3,=2x3+3x32+4×3++(n+1)×3”,0 可得3S,=2×3+3×32++nx3+(n+1)×3 ,② 由0-②得2S,=2×3+32+3++3”-(n+1)×31 -3+30-3）-6a+×3 1-3 - ×3+ …（13分) 16.【解析】(1)在直三棱柱MBC-ABC中，四边形A4CC是边长为4的正方形，AB=3, BC=5 所以AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB, 又A4L平面ABC, 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， A B C B 则4(0,0,4)，B(0,30）,G(4,04).A0,0,0) 所以AC=(4,0,4),BA=(0,-3,4), 设直线4B与直线AC所成角为B, AC·BA 16 cos0= 2W2 AC BA 4V2×55 所以 2W2 即直线AB与直线AC所成角的余弦值为5 …（7分) (2)依题意BD=tBC,t∈[0，， 因为BC=(4,-3,4),AB=(0,3-4),AB=(0,3,0) 所以AD=AB+BD=AB+BC=(0,3,0)+i(4,-3,4)=(4,3-3,4) 因为4D14B,所以AD·4B=4×0+33-3）-4×41=0 9 t= 解得25， 9 所以t的值为25 。。。。。。。。。。。 (15分) 2 17.【解析】(1)若n=2, D= 3，则比赛为3局2胜制，每局比赛甲获胜的概率为3， 所以X=2,3, Px-2-6-8 P(X=3)=1-P(X=2)= 所 所以X的分布列为： X 2 3 5 4 P 9 9 E(0X)=2×3+3x4=22 所 99…（7分) (2)B=p+Cp(1-p)=p2+2p2(1-p)=3p2-2p° B=p2+Cp21-p）+Cp0-p2=p+3p0-p)+6p'0-p2=6p-15p'+10p.（41分) 因为月>B,所以6p3-15p+10p>3p2-2p. p72 即2p2-5p2+4p-1>0,即(p-(2p-)>0,解得 （15分) 卫=1 18.【解析】(1)因为准线方程为y=-1,所以 所以P=2,所以抛物线的方程为x=4y 。。。。。。。。。。。。 …(3分) (2)当m=1时，由题知，D(-2,),E(2,) =Ix y=Ix = 对于抛物线x2=4y,即4 2 所以，过抛物线上一点M的切线的斜率为2，即直线BC的斜率为2， 过D，E分别作抛物线的切线，马的斜率分别为=-1，飞，=1 所以直线BC的方程为： y=x- 2 4,4,2的方程分别为y=-x-1,y=x-1, y=x-6 24 联立y=-x-1,解得 七2 2 y=x 24 y=x-1,解得 +2 联立( 2 所8=v。-0-,Ad=k. 因为kk=-1,所以人，2互相垂直，即直线AB,AC互相垂直， 所 5lC-kaks 当且仅当=0时等号成立， 所以△ABC面积的最大值为1.… …(8分) (3)(i)联立直线l:y=m与抛物线r=4y,得x2=4m,解得x=士2Wm, 故D-2√m,m）.E(2m,m)】 1 y= y'=x 对抛物线 4求导得2 过点D的切发的斜李=一m,方程为：-m=(+2网），即y=m-m 过点E的切线的制奉=V历，方程为：y-m=m(-2网.即y=m-m 联立与可得交点A(0,-m）】 又点以，测6至 Xo 4,过M的切线3的斜率为2，方程为： y=x- 2 4 4 =-m ，解得 2 / 2 所以 同理，联立与，得2 c=+m ,解得 2 c=m +m -m m 代入2得 2 x0+√m,2 m -Xo 2 所以 …（13分) (ii)根据(i),设AF与BC交于点N,得 所以 时-经网a例-园网-年w-等 a时kc-a-j- 所以 所以，根据相交弦定理逆定理得A,B,F,C四点共圆 …(17分) 19.【解折】(1)(i)当a=1,b=0时，()=simx,定义域为R, f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x) 由偶函数的定义可得()是偶函数。 对天河了国到=sr+ms,月 f(在 0 2 g交 上单调递减，在 2」上单调递增， ππ 故f(x)在L22的极小值为f(0)=0 无极大值， (4分) (ii)证明：由(i)得/'()=sinx+cosx,令f'(x)=sinr+COS=0 对满足方程的x有cosx≠0，x=-tanx, 设是了'()=0的任意正实根，则=-ta, 作出y=x与y=-tanr的图象如图， y=-tan x ∈ +k元，元+kT 则存在一个非负整数k,使 02 ,即xo为第二或第四象限角， .f(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x) ∴.在第二或第四象限x变化时， ∫'（变化如下， X Xo (x,π+km) f'()(k为奇数) 0 f'(x)(k为偶数) 0 ÷清足了()=0的正根0都为函数（✉）的极值点， 由题可知4,2，，am,…为方程X=-tanx的全部正实根， 且满足4<0，<<a,<…(n=1,2,), .d-d=-(tand-tand)=-(1+tandtand,)tan (d-a)>0 +a-<a,<+a-1r受+版<a<+mn=l,2, 2 则2g ,3π 2,由tana,tana,>0,可得tan(a-a,)<0, T<an1-a,<元 故2 得证。… …（11分) (2)证明：根据题日：当Q=0,b=1时，直线P为曲线y=f(的“双重切线”， 记直线P巴的斜率所有可能的取值为k,飞，…，飞。， 若k>k>k(i=3,4,5,…,n) 当a=0,b=l时，f(x)=cosx 设对应的切点为6.cosr),(,cos1）.名< 5对应的切点为(G,0s),(5,cos),名<。 )=-sinx,.k-sinx =-sint,k=-sinx3 =-sinx, 由余弦函数的周期性，只要考虑 -π<为<x<-刀 2的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑+(=兀，五+为=3π情形， k=c0s￥-cosy=cos(π-）cos-2c0sy 则 x-x(π-x)-x 元-2x, k-cosr,-coscos(3)-cost2-2cos x2-x2 (3π-x2)-x2 -3元-2x2 3π -X2 k cos.2 -π<x2<x1<-月 k2.COSx2 其中 2,得到 2 k1= -2cosx2=-sinx2 又 -2cos4=-sixk=3元-2x π-2x 当r<、π 2时，sinx<0,cosx<0】 0 F()-sincoc .<0 sinx n2x 62 6, 5π .-π<x2<x<- 0<cosx<1 6,此时-l<cosx,<cosx<0,则cosx, 3π 3π -X2 k COS.2 15 一< k3cosx3 8 故 2- 2河 2-6 ,得证.…(17分) 高三数学三 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线：，：，若，则实数 A． B． C． D． 4．若数列的前四项为，，，，则此数列的通项公式不可能是 A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 6．已知，则 A． B． C． D． 7．已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．如图，焦点在轴上的椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．若随机变量，且，则 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C．经验回归方程为时，变量与变量成正相关 D．已知随机事件，，若，，则 10．设函数，则下列结论正确的是 A． B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．函数的单调递增区间为 D．若在区间上恰有个最值点和个零点，则 11．已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部“阶完美集”的个数，下列说法正确的是 A． B．将“阶完美集”中的元素全部加，得到的新集合是“阶完美集” C．若为“阶完美集”，且，满足条件的集合的个数为 D．满足递推关系 第Ⅱ卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．名同学排成一排照相，若甲、乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种． 13．已知，，若直线是曲线与曲线的公切线，则________． 14．在三棱锥中，，，，且，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在等差数列中，，．在等比数列中，，公比． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）若线段上存在一点，且，当时，求的值． 17．（本小题满分15分） 甲、乙两名选手进行的每一场体育竞技比赛，都采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜．已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为． （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）若采用局胜制比采用局胜制对甲更有利，即，求的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，已知抛物线的焦点为，其准线方程为，直线：与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，，交于点．过抛物线上一点（在下方）作切线，分别交，于点，． （1）求抛物线的方程； （2）当时，求面积的最大值； （3）（ⅰ）求点，的坐标（用，表示）； （ⅰⅰ）证明：，，，四点共圆． （注：以下方法可以证明四点共圆：对角互补，外角等于内对角，同弦所对圆周角相等，共斜边的直角三角形，到同一点距离相等，相交弦定理逆定理等） 19．（本小题满分17分） 定义：若函数的图象上恰好存在相异的两点，，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．已知函数． （1）当，时． （ⅰ）判断的奇偶性，并求在区间上的极值； （ⅰⅰ）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，，…，，…，求证：； （2）当，时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $