精品解析：广东惠州市第一中学2026-2027学年高三上学期10月期中考试数学试题

2027届高三十月期中考试 数学 试题 (满分 150 分，考试用时120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 3. “幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 点声源在空间中传播时，衰减量K与传播距离d(单位：米)的函数关系式为 (单位：dB)，取lg2≈0.30，则传播距离d从5米变化到40米时，衰减量K的增加值约为（ ） A. 12dB B. 16dB C. 18dB D. 24dB 5. 在中， 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，且， ， 则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如下图所示，已知两个图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数有最小值为1 B. 函数有最大值为1 C. 函数有最小值为1 D. 函数有最大值为1 8. 已知关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为2 C. 的最小值为8 D. 的最小值为8 10. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得是一个奇函数 B. 当时，点是曲线的对称中心 C. 当有且仅有一个零点时，的取值范围为 D. 当过点可作曲线的三条切线时，的取值范围为 11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数 是偶函数 C. 若 且则 的取值范围为 D. 若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数a满足命题“， 是假命题，写出a的一个可能取值是________________. 13. 在中，三个内角所对的边分别为， 若， ，则边长_________；的内切圆半径是______. 14. 已知函数(且)，若有两个不相等的极值点，则实数的取值范围是_________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 且， （1）求实数的值； （2）求函数的最大值，并写出此时自变量x取值的集合. 16. 函数． （1）讨论函数的单调性． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 17. 在中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 18. 若一个集合中存在三个元素，同时满足；；为偶数，则称集合有偶三角性质.已知集合.对于的非空子集，若在中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称是 的“和元子集”. （1）从集合中任取三个元素构成一个三元集合，试写出所有具有偶三角性质的三元集合，不用说明理由； （2）若集合具有偶三角性质，证明：是的“和元子集”； （3）对于 的非空子集，证明：具有偶三角性质的充要条件是为的“和元子集”. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线经过点， 证明: 当时， ; （2）记，不等式对恒成立. （i）求整数的最大值； （ii）证明: 对 ，且，有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三十月期中考试 数学 试题 (满分 150 分，考试用时120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则集合， 由，得，则集合， 所以. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】正切型函数最小正周期， 已知，所以函数的最小正周期. 3. “幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个命题成立时的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设命题：幂函数在单调递增，当为真命题时，， 命题：指数函数 在上单调递增，当为真命题时，， 判断充分性：若成立即，取，此时指数函数 在上单调递减， 即不成立，充分性不成立. 判断必要性：若成立即，则命题成立，必要性成立. 综上所述，是的必要不充分条件. 4. 点声源在空间中传播时，衰减量K与传播距离d(单位：米)的函数关系式为 (单位：dB)，取lg2≈0.30，则传播距离d从5米变化到40米时，衰减量K的增加值约为（ ） A. 12dB B. 16dB C. 18dB D. 24dB 【答案】C 【解析】 【详解】设传播距离为5米时衰减量为，即时，. 传播距离为40米时衰减量为， 即时，. 衰减量的增加值为： ， 根据对数运算性质（）， 所以，又， 根据对数幂的运算性质， 所以，代入，得. 故C符合题意. 5. 在中， 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知等式平方，结合同角三角函数平方关系求出的值，再计算，根据三角形内角的范围判断的符号后开方即可得解 【详解】由，， ，为的内角，，且，，， . 6. 已知函数的定义域为R，且， ， 则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值法求得，推导函数递推关系得到周期，利用周期计算. 【详解】首先令，代入给定函数方程得 ， 即，解得或， 若，令代入方程得，即， 与题干矛盾，故， 再令，代入方程得： ， 即递推关系对任意成立， 又， ， 因此，故是周期为6的周期函数， 计算得：，， 则. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如下图所示，已知两个图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数有最小值为1 B. 函数有最大值为1 C. 函数有最小值为1 D. 函数有最大值为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象分析实线、虚线对应的函数，并判断区间函数值的大小关系，再应用导数的运算对求导，进而确定它们的单调性和最值情况. 【详解】由图可知，实线函数单调递增且增长速度先变大后变小再变大，虚线为实线的变化率， 因此实线为，虚线为，二者公共点为，所以， 当时，，当时，， 对于，有恒成立， 所以在上单调递增， 当时，，当时，，没有最值； 对于，有， 因此时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以在处取得最大值，且， 故函数有最大值. 8. 已知关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】令由题知，故函数图象关于直线对称，进而根据对称性得. 【详解】令，， 因为， 所以函数图象关于直线对称， 因为关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 所以函数图象与直线的交点个数为奇数个， 所以根据对称性，必为方程的解，即， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为2 C. 的最小值为8 D. 的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式（均值不等式）及“1”的代换，分别求出各选项中表达式的最值，并验证等号成立的条件是否满足. 【详解】因为为正实数，且. 对于选项A：由基本不等式可得，即，解得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为 ，故A正确； 对于选项B：， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时（此时 ）取等号，所以的最小值为，故B错误； 对于选项C：由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：， 当且仅当，即时（此时）取等号，所以的最小值为，故D正确. 10. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得是一个奇函数 B. 当时，点是曲线的对称中心 C. 当有且仅有一个零点时，的取值范围为 D. 当过点可作曲线的三条切线时，的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义直接判断；对于B，求的值，即可判断B的真假；对于C，求导，求单调区间、极值，结合图象与轴只有一个交点求解；对于D，设切点，求出关于的切线方程，把代入切线方程，从而把问题转化为关于的方程有3个解求解； 【详解】对于A，因为的定义域为， 若为奇函数，则对恒成立， 即，不是常数. 故不可能存在常数使为奇函数，所以A不正确. 对于B，当时，， 因为， 所以的对称中心为，故B正确. 对于C，， 由或；由. 所以，时单调递增，时单调递减， 又当时，，当时，， 所以当有且仅有一个零点时，只需极大值或极小值，所以，故C正确. 对于D，设切点为，则切点坐标为，切点处的切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过，所以， 因为过可作的三条切线， 所以关于的方程有三个解，即有三个解， 故常函数与有三个交点， 又， 由或；由. 所以，时单调递增，时单调递减， 所以，又，，即，故D不正确. 11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数 是偶函数 C. 若 且则 的取值范围为 D. 若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式求出函数值后判断A，根据偶函数的定义判断B，设，结合指对数运算用表示后可求其取值范围，从而可判断C的正误，就不同的取值范围分类讨论后可求实数的取值范围，从而可判断D的正误. 【详解】由题意可得：， 当时，，所以，，， 在A选项中，，A正确， ，， ，A正确； 在B选项中，由可得： ，， 所以函数 是偶函数.B正确； 在C选项中，令， 当时，，单调递增，值域， 当时，，单调递增，值域， 故，令，则， 故，， 故，设，其中， 因为，故在上为增函数， 故， 当时，故的取值范围为， 当时，故的取值范围为， 故的取值范围为，故C错误. 在D选项中，令，则等价于， 当或时，由C的分析可得有且只有一个实数解， 故至多两个不同的实数解，不合题意； 当时，有两个不同的实数解且,, 故无解，有两个不同的解， 故此时共有个不同的解，不合题意； 当时，有两个不同的实数解且,, 故有两个不同解，有两个不同的解，且4个解相异， 故此时共有个不同的解，符合题意，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数a满足命题“， 是假命题，写出a的一个可能取值是________________. 【答案】 （答案不唯一，满足的任意实数均可，一个可能取值是2） 【解析】 【详解】若命题“”为假命题，则其否定“”为真命题. 利用二次函数恒成立条件：二次函数的二次项系数为，图象开口向上， 要使对任意实数，函数值恒大于0，需判别式， 即， 有，解得，所以a的一个可能取值为2. 13. 在中，三个内角所对的边分别为， 若， ，则边长_________；的内切圆半径是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用余弦定理构造关于边长的一元二次方程求解，再通过同角三角函数关系求，结合三角形面积的两种表达形式求解内切圆半径. 【详解】根据余弦定理，在中有，将，，代入得：  ， 整理得，解得或，由于边长为正，舍去，故， 因为，故，由同角三角函数基本关系：  ， 由三角形面积公式，代入得：  ， 设内切圆半径为，三角形半周长，由面积公式得： . 14. 已知函数(且)，若有两个不相等的极值点，则实数的取值范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得有两个不相等的实数根，进而构造函数，将问题转化为，再分与两种情况讨论求解即可. 【详解】函数定义域为， 因为有两个不相等的极值点， 所以，在上有两个不相等的变号零点，即 所以，两边同乘得，即有两个不相等的变号零点， 令，则，令得， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数有极小值，且 所以，等价于， 下面分与两种情况讨论求解： 当时，，若时，，方程显然不成立； 所以，必有，此时，故 两边取自然对数，分离参数得： 所以，原方程有两个不同实根，等价于直线与函数在上的图象有两个交点， 对求导得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当时，有极大值 因为，当时，，当时，， 所以，要使直线与函数在上的图象有两个交点，必须满足：，解得： 当时，此时，， 若，则，方程无解； 只需考虑 ，此时 , ， 方程等价于， 因为在单调递减，在单调递增， 对，包含两类解： 或者分居两侧且函数值相等，比较麻烦； 记，下面直接研究的零点性质： 所以， 令，则， 由，令，得， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，至多2个实根，即至多2个零点，最多划分为3个单调区间， 因为时，，，时， 所以，连续函数从出发，最终趋于，在至多3个单调区间下，变号零点只能是奇数个（1个或3个），不可能恰好2个， 故不满足题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 且， （1）求实数的值； （2）求函数的最大值，并写出此时自变量x取值的集合. 【答案】（1） （2）最大值为3，此时自变量的取值集合为 【解析】 【分析】（1）由图象平移得，结合且求参数值即可； （2）应用积化和差化简函数式，再由正弦型函数的性质求最大值，并确定对应自变量的集合. 【小问1详解】 由题设， 由，得，即， 所以，， 又，取，得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因此， 当时，取得最大值， 此时，则， 因此，此时自变量的取值集合为. 16. 函数． （1）讨论函数的单调性． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分和两种情况，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数有两个零点，结合函数的单调性得到关于的不等式，再求出的取值范围即可． 【详解】解：（1）的定义域是，， 当时，，在递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在递减，在，递增， 综上，时，在递增； 时，在递减，在，递增； （2）若函数有2个零点，结合（1）， 则， 当时，，当时，， 故函数的最小值小于零， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 在中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）在中，因为，所以， 所以， 故，即， 则，或， 又因为，所以， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角关系结合两角差正弦公式化简，最后应用角的范围即可证明； （2）利用正弦定理表示出，再利用两角和正弦公式结合余弦型三角函数的性质求范围即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，由正弦定理， 由（1）知， 所以，则， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 18. 若一个集合中存在三个元素，同时满足；；为偶数，则称集合有偶三角性质.已知集合.对于的非空子集，若在中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称是 的“和元子集”. （1）从集合中任取三个元素构成一个三元集合，试写出所有具有偶三角性质的三元集合，不用说明理由； （2）若集合具有偶三角性质，证明：是的“和元子集”； （3）对于 的非空子集，证明：具有偶三角性质的充要条件是为的“和元子集”. 【答案】（1）所有具有偶三角性质的三元集合为：，，. （2）由具有偶三角性质，分两种情况讨论. 若，则需，即，且为偶数，故为奇数，结合得. 若，则需，即 ，且为偶数，故为奇数，结合得. 当时，，在中取，三者互不相同，则，，，均属于，故是 的和元子集. 当时，，在中取，三者互不相同，则，，，均属于，故是的和元子集. 综上，是的和元子集. （3）充分性：设是的和元子集，则存在互不相同的，使. 不妨设，则，记，显然. 又，故，且为偶数，故具有偶三角性质. 必要性：设具有偶三角性质，则存在，满足且为偶数. 令. 由为偶数，知均为整数；由得，由得，由得，故均为正整数. 又，知.因，故，于是.同理可得，则，故. 由，，得，故互不相同，且，即均属于，故是的和元子集. 综上，具有偶三角性质的充要条件是为的和元子集. 【解析】 【分析】（1）按定义逐一枚举，注意，且三数之和须为偶数； （2）先由偶三角性质反解出或，再分别构造三个互不相同的数使其两两之和恰好等于中元素； （3）从和元子集出发，三组和的最小两数之和减最大数恰为，自然推出三角不等式，且三和之和为偶数；反过来，给定满足条件的 ，用同一公式反解出，利用与为偶数保证它们是正整数，再由大小关系证明互不相同，从而完成双向证明. 【小问1详解】 由题意，需从中选出三个数，同时满足且为偶数. 先按筛选： 若，则，而，仅当时可能成立，逐一检查得，和为 9，奇数，其余如等均不满足； 若，则，和为 13，奇数，，和为 16，偶数，，和为 17，奇数，，和为 18，偶数； 若，则，和为 17，奇数，，和为 18，偶数，，和为 19，奇数； 若，则，和为 21，奇数. 故所有具有偶三角性质的三元集合为：，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题的核心是三组数与三数之和的对偶关系：给定三个和，反解 的公式是等，这与已知三边长求三角形顶点坐标的思路一致.偶三角性质中的两个条件恰好对应反解结果为正整数的要求 ——为偶数保证分母 2 整除， 保证最短边为正,而“和元子集”定义中的互不相同，则由 自动保证.抓住这组对偶公式，双向证明便一气呵成. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线经过点， 证明: 当时， ; （2）记，不等式对恒成立. （i）求整数的最大值； （ii）证明: 对 ，且，有 【答案】（1）证明：因为，所以切点为， 又因为， 所以函数在点的切线斜率为， 又因为切线过点， 所以切线的斜率， 所以， 解得， 所以， 则， 令，， 则， 因为、在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，证毕. （2）（i）2； （ii）证明:令， 则 ， 又因为，， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 两式相加，得，证毕. 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义，求得，从而得，利用导数确定函数在上单调性，即可得证； （2）（i）由题意可得时，不等式仍成立，由此可得，然后再验证时，不等式仍成立，即可得答案; （ii）令，利用导数确定在上单调递减，从而可得，代入后两相加，即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由题意可得时，不等式仍成立， 即， 所以， 又因为为整数，所以， 当时，由（1）可知在上恒成立， 即在上恒成立， 所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 即当时，恒成立， 所以整数的最大值为； （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $