指数与指数幂的运算专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数与指数幂的运算专题训练 一、单选题 1．下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验，注意偶次方根的结果非负，即可对四个选项作出判断． 【解答】对于A，，当时，，选项A错误； 对于B，，不是，选项B错误； 对于C， ，选项C正确； 对于D，当时，无意义，选项D错误． 2．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 3．若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因有意义， 需使，解得. 4．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 5．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 6．已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】通过换元将指数方程转化为一元二次方程，利用完全平方公式的变形求解目标式的值. 【详解】由指数运算性质得，设，其中，则原方程可转化为 ， 即 ，由于，得， ， 因为 ， 所以. 7．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 8．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练t小时，得到的数据量个单位，其中N0为常数，则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为（    ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】A 【详解】设训练得到个单位的数据量的时间为， 训练得到个单位的数据量的时间为， ，， ，解得， 则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为1小时． 二、多选题 9．设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项用分数指数幂与根式的意义判断，注意时根式与指数幂可以互化. 【详解】A项，由分数指数幂的意义，（），正确； B项，，，两者相等，正确； C项，且时，正确； D项，，不等于，错误. 10．以下说法正确的有（　　） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用根式的性质即可判断；对于B，综合利用幂函数与指数函数的性质即可判断；对于C，利用完全平方公式即可判断；对于D，根据根式和分数指数幂的关系，根据同底数幂乘法运算法则计算可判断正误. 【详解】对于A，等式左边中蕴含即，而等式右边，等式左右不相等，故A错误； 对于B，，所以即，故B正确； 对于C，即，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据完全平方公式和立方差公式，结合的条件判断代数式符号后依次计算验证即可. 【详解】已知，， 对于A，对平方得，由于，故，故A正确； 对于B，对平方得，由于，故，即，因此，故B错误； 对于C，由完全平方公式得，故C正确； 对于D，由于且，所以， 由立方差公式得，故D错误. 三、填空题 12．求值：_____． 【答案】 【详解】原式． 13．若，则________　. 【答案】1 【分析】利用二次根式的非负性求解未知数，计算所求幂的值. 【详解】因为， 且， 所以且， 即，解得， . 14．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 四、解答题 15．求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 16．已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1) (2)①,②. 【分析】(1)利用根式与分数指数幂的关系，结合幂的运算法则计算即可； (2)①由两边同时除以即可求出的值；②将目标式取平方，求出结果，结合即可求得其值. 【详解】（1）因此： . （2）①已知，且，等式两边同时除以整理得； ②设，则 ， 因，则，故 . 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数与指数幂的运算专题训练 一、单选题 1．下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 3．若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 5．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 7．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练t小时，得到的数据量个单位，其中N0为常数，则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为（    ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 二、多选题 9．设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 10．以下说法正确的有（　　） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．求值：_____． 13．若，则________　. 14．已知，，则的值为______． 四、解答题 15．求值与化简． (1)； (2)． 16．已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $