专题10 分式的运算 复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10分式的运算复习讲义 1.掌握分式乘、除运算法则，理解分式乘除本质是约分；运算前优先因式分解，再约分，最后相乘，能规范完成分式乘除、乘方运算。 2.掌握分式的加减运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式先通分，转化为同分母分式再计算，会正确寻找最简公分母。 3.掌握分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面，运算结果必须化为最简分式或者整式。 4.会处理分子、分母是多项式的分式运算，熟练结合因式分解进行约分、通分，注意符号问题。 5.能利用分式运算化简求值，包括直接代入求值、整体代入求值，注意代入的数值要保证原分式有意义。 6.能够解决分式运算相关的判断正误、参数求解问题，熟悉常见易错点：通分时漏乘常数项、约分错误、运算顺序混乱、结果没有化成最简形式。 7.体会类比分数运算学习分式运算的类比思想，养成先分解、再约分、后计算的解题习惯。 题型 考察方向 难度 题型一 分式乘法 ★ 题型二 分式除法 ★ 题型三 分式乘除混合运算 ★★ 题型四 分式乘方 ★★ 题型五 含乘方的分式乘除混合运算 ★★ 题型六 同分母分式加减法 ★ 题型七 异分母分式加减法 ★★ 题型八 整式与分式相加减 ★★ 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 ★★★ 题型十 分式加减混合运算 ★★ 题型十一 分式加减的实际应用 ★★★ 题型十二 分式加减乘除混合运算 ★★★ 题型十三 分式化简求值 ★★★ 题型十四 分式最值 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 分式的乘除运算法则（基础运算） 1 分式乘法法则 文字叙述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 公式：：（b、d 均不为 0） 2 分式除法法则 文字叙述：两个分式相除，等于被除式乘以除式的倒数。 公式：​（b、c、d 均不为 0） 3 分式乘除通用解题步骤（必考规范步骤） （1）除法全部转化为乘法（颠倒除式分子分母）； （2）所有分子、分母因式分解（单项式提公因式，多项式用平方差、完全平方）； （3）交叉约分，约去分子分母全部公因式； （4）剩余整式分别相乘，结果化为最简分式 / 整式。 4 易错点 做除法时，只颠倒分子、不颠倒分母； 未因式分解直接相乘，最后不约分； 符号遗漏，负号只写一处。 知识点 02 分式的乘方运算法则 1 乘方法则 文字叙述：分式乘方，要把分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2 符号规律 指数n为偶数：结果为正； 指数n为奇数：符号与原式一致； 3 混合运算顺序：先乘方，再乘除 4 易错点 乘方只给分子乘、忽略分母乘方；负号不参与乘方运算。 知识点 03 分式的加减运算（分同分母、异分母两类） 1 同分母分式加减法法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 关键注意：分子是多项式时必须加括号 2 异分母分式加减法法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 公式：公式：（b、d 均不为 0） 3 异分母加减标准四步流程 （1）分解所有分母因式； （2）确定最简公分母； （3）通分，化为同分母分式； （4）分子去括号合并同类项，约分至最简。 4 整式与分式加减技巧 把整式看成分母为 1 的分式，再通分。 5 易错点 （1）异分母直接分子、分母分别加减； （2）分子相减时多项式忘记加括号，符号出错； （3）计算完分子不化简、不约分。 知识点 04 分式混合运算（考试解答题核心） 1 固定运算优先级（严格遵守） （1）有括号先算括号内（先小括号，再中括号）； （2）同级先算乘方； （3）再算乘除（从左到右）； （4）最后算加减； （5）全程每一步及时约分，最后结果必须是最简分式。 2 通用解题模板 （1）括号内：异分母先通分加减，合并分子； （2）除法统一转化为乘法； （3）全部因式分解，交叉约分； （4）整式相乘合并，检验能否继续约分。 3 高频扣分点 （1）运算顺序混乱，先加减后乘除； （2）括号前是减号，去括号不变号； （3）中途不约分，计算量变大易算错； （4）最终结果不化简。 知识点 05 分式化简求值（必考大题题型） 1 标准解题两步 第一步：先化简分式（混合运算，化成最简）； 第二步：代入合适数值计算。 2 取值硬性限制（阅卷重点扣分） 代入的未知数必须保证原式所有分母≠0、除式≠0。 例：化简后得x+1，但x不能取 1（原式分母为 0，无意义）。 3 常考两类题型 直接给数字代入； 整体代入（不给单独 x、y，给\(x+y\)、xy整体值） 4 易错点 不化简直接代入计算；取值时分母为 0，题目无意义。 知识点 6四则运算法则总汇总表 运算类别 运算公式 核心注意点 分式乘法 多项式先分解，提前约分 分式除法 == 除式颠倒，转化乘法 分式乘方 ()n= 分子分母同时乘方，区分奇偶次符号 同分母加减 ± 多项式分子整体加括号 异分母加减 ±= 先通分，再合并分子 题型一、分式乘法 1．计算：的值为______． 【答案】 【分析】先对分式做乘方，分子分母分别平方；再做分式乘法，分子乘分子、分母乘分母，约去公因式化简． 【详解】解：原式 ． 2．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．下列分式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘除法运算法则对每个选项逐个计算即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 4．计算：=（　　　） A．x B． C．y D． 【答案】A 【分析】根据分式乘法计算法则解答． 【详解】解：=x， 故选：A． 【点睛】此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键． 题型二、分式除法 5．化简的结果是______． 【答案】 【分析】将分式除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 6．化简：__________． 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对各多项式因式分解，约分后即可得到化简结果. 【详解】解： ． 7．下列化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行逐一化简，即可求解． 【详解】解：A.，结果不正确，故不符合题意； B.，结果不正确，故不符合题意； C.结果正确，故符合题意； D.已是最简分式，无法化简，结果不正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤是解题的关键． 题型三、分式乘除混合运算 8．计算的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分式乘除属于同级运算，按照从左到右的顺序计算，除法转化为乘以除数的倒数，再约分得到结果． 【详解】解： ． 9．计算：______． 【答案】/ 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 10．有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 题型四、分式乘方 11．计算： （1）______．            （2）_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果； （2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 故答案为：；． 12．如果，则的值等于____________； 【答案】22 【分析】利用完全平方公式求出，得出，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 13．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则解题． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，正确，故D符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型五、含乘方的分式乘除混合运算 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 15．当，时，____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 16．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 题型六、同分母分式加减法 17．计算的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【详解】解：． 18．化简 的结果是_______． 【答案】 【分析】先化成同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 19．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式加减法法则分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 题型七、异分母分式加减法 20．计算的结果是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先变形分母将原式化为同分母分式，再根据同分母分式加减法则计算化简，即可得到结果． 【详解】解：， 即计算结果为． 21．计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 22．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】变形转化为同分母的加法计算即可． 【详解】解：． 题型八、整式与分式相加减 23．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 24．计算的结果是___________． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 25．对于，，嘉嘉和淇淇给出如下结论： 嘉嘉：当时，． 淇淇：当时，．则下列说法正确的是（     ） A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都对 D．嘉嘉、淇淇都不对 【答案】B 【分析】采用作差法化简，再分别验证嘉嘉、淇淇的结论是否成立. 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，， ∴，当时取等号，故嘉嘉的结论错误； 当时，，， ∴，即，故淇淇的结论正确. 题型九、已知分式恒等式，确定分子或分母 26．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 27．某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫作“分离常数法”．将分式分离常数，则，那么________． 【答案】2 【分析】利用分式相等的性质，分母相同时分式相等则分子相等，展开等式后对比系数求解． 【详解】解：∵ 分母，两个分式相等，分子对应相等， ∴ ， 展开等式右边得， 消去两边的，得， 移项计算得． 28．若常数，满足，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】对等式右侧分式通分，对比分子一次项系数可直接求得的值． 【详解】解：， ∴ 对等式右侧通分，得， ∵ 等式两边分式分母相同且等式成立， ∴ 分子对应相等，即， 由多项式相等对应项系数相等，得． 题型十、分式加减混合运算 29．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 30．如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 31．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 题型十一、分式加减的实际应用 32．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 33．某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 【答案】 【分析】根据题意得到语音录入的速度，利用时间等于录入总量除以录入速度，分别求出两种录入方式的用时，计算时间差后化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，手动录入速度为字，语音转文字的录入速度为字． 手动录入字所用时间为． 语音录入字所用时间为． ． 故答案为：． 34．一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（　　）天完成 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可求甲的工作效率为天，乙的工作效率为天，从而可求两人合作完成工作的天数，即可求解． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 【点睛】本题考查了工程问题，分式运算，理解工作效率，列出分式是解题的关键． 题型十二、分式加减乘除混合运算 35．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照分式运算顺序，先计算括号内通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 36．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再代入的关系求值． 【详解】解： ，， ， 原式． 37．若计算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简括号内的部分，再逐个验证运算符号； 【详解】解：先化简括号内的部分：， A：，不符合题意； B： ，不符合题意； C： ，不符合题意； D： ，符合题意． 题型十三、分式化简求值 38．已知，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 39．已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】先对所求分式因式分解化简，再利用已知条件得到的值，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 40．已知、、是实数，且，，，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】对已知等式和待求式取倒数，转化为、、的和的关系求解． 【详解】解：对已知三个等式分别取倒数，得 ， ， ． 拆分分式，得 ， ， ． 将三式左右分别相加，得 ， ∴． ∴， ∴． 题型十四、分式最值 41．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 42．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 43．若是三个不为零的实数，且，则的最小值为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用已知条件替换，将所求式转化为关于的二次式，用配方法求最小值． 【详解】解：∵，且都不为0， ∴，即， 将代入，得， 设，且，则原式化为， 配方得， ∵， ∴， 当时等号成立，即最小值为． 解答题 44．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 45．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. （3）根据分式和整式的加减法法则计算，通分后相减即可． （4）根据分式的混合运算法则，先计算括号内的分式的减法，再颠倒除式的分子分母，除法化为乘法，约分后分子相乘分母相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 46．如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 【答案】(1)，是“兄弟分式”，信度值 (2) (3)或 【分析】根据题目中定义的“兄弟分式”和“信度值”列式进行求解， （1）计算，观察结果是否为整数即可判断，是否为“兄弟分式”，求解的值； （2）列式，即可解得； （3）列式或，分别解得与的关系式，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，是“兄弟分式”，信度值； （2）解：∵分式为分式的“信度值”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为， ∴，或， ∴由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有； 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有． 47．我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)2 (2)常数 (3)的值为：3或7或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或5或，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 与关于的“合值”为：2； 故答案为：2； （2），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， 所以能与分母进行约分，且约分后分子为， 若与约分，则，解得， 时，，符合题意； 若与约分，则，解得（舍去）； ； （3），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ， ， ， 分式的值为正整数，为整数， 是的整数倍， 取1或5或， 此时的值为：3或7或． 48．【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜．我们可以用分式的知识解释这一现象，设一杯糖水的总质量为克，其中糖的质量为克，则糖与糖水的质量之比为，若往杯里加糖克，此时糖水中糖的质量为克，糖水总质量为克，糖与糖水的质量之比为． 因为（其中）， 即，所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜． 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售． (1)小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元；小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元．小明与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释； (2)小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了元，若梨的实际单价是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付___________元（用的代数式表示）． 【答案】(1)小亮所买苹果的实际单价便宜；理由如下： 设箱重， 则小明买的苹果单价为：元/千克，小亮买的苹果单价为：元/千克， 比较：与的大小， ， ， 故比较与的大小， ， ， 故， ， 小亮所买苹果的实际单价便宜； (2) 【分析】（1）设箱重，则小明买的苹果单价为：元/千克，小亮买的苹果单价为：元/千克，根据题干提供的方法比较与的大小即可； （2）设箱重，则小李第一次买梨单价为：元/千克，小李第二次买梨单价为：元/千克，设梨单价为元/千克，根据梨的单价不变，得出，求出，再用梨的单价乘梨的质量求出小李再买连箱重7千克的梨一箱需付的钱数即可． 【详解】（1）略 （2）解：设箱重，则小李第一次买梨单价为：元/千克，小李第二次买梨单价为：元/千克， 设梨单价为元/千克， 所以， 故， ， 即， 则小李再买连箱重7千克的梨一箱需付： （元）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题10分式的运算复习讲义 ☆ 复习目标 1.掌握分式乘、除运算法则，理解分式乘除本质是约分：运算前优先因式分解，再 约分，最后相乘，能规范完成分式乘除、乘方运算。 2掌握分式的加减运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：异分母 分式先通分，转化为同分母分式再计算，会正确寻找最简公分母。 3掌握分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号里面， 运算结果必须化为最简分式或者整式。 4.会处理分子、分母是多项式的分式运算，熟练结合因式分解进行约分、通分，注 意符号问题。 5.能利用分式运算化简求值，包括直接代入求值、整体代入求值，注意代入的数值 要保证原分式有意义。 6.能够解决分式运算相关的判断正误、参数求解问题，熟悉常见易错点：通分时漏 乘常数项、约分错误、运算顺序混乱、结果没有化成最简形式。 7体会类比分数运算学习分式运算的类比思想，养成先分解、再约分、后计算的解 题习惯。 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 分式乘法 题型二 分式除法 ★★ 题型三 分式乘除混合运算 题型四 分式乘方 题型五 含乘方的分式乘除混合运算 题型六 同分母分式加减法 ★★ 题型七 异分母分式加减法 试卷第1页（共3页） ★★ 题型八 整式与分式相加减 ★★★ 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型十 ★★ 分式加减混合运算 ★★★ 题型十一 分式加减的实际应用 ★★★ 题型十二 分式加减乘除混合运算 ★★★ 题型十三 分式化简求值 ★★★女 题型十四 分式最值 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 乘法 同分母分式的&±b=a±b 法则 加减法法则。c 分式 的 bd a d a.d 除法 的 异分母分式的 dbcbc 法则 乘除 =ad±bc 分式的 加减法法则。 bd 运算 (侣广=（m为正整数) 乘方 应用科学记数法 分式 负整 法则 的 数指 1 a0= 乘方 数幂 （a*0,n为正整数) 分式的混合运算 应用 分式的化简求值 知识点01分式的乘除运算法测（基础运算） 1分式乘法法测 试卷第2页（共3页） 文字叙述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的 积作为积的分母。 公试：8器 (b、d均不为0) 2分式除法法测 文字叙述：两个分式相除，等于被除式乘以除式的倒数。 公试：号台号是是山.c1均不为0 3分式乘除通用解题步骤（必考规范步骤） (1)除法全部转化为乘法（颠倒除式分子分母）； (2)所有分子、分母因式分解（单项式提公因式，多项式用平方差、完 全平方)； (3)交叉约分，约去分子分母全部公因式： (4)剩余整式分别相乘，结果化为最简分式/整式。 4易错点 做除法时，只颠倒分子、不颠倒分母： 未因式分解直接相乘，最后不约分； 符号遗漏，负号只写一处。 知识点02分式的乘方运算法则测 1乘方法测 文字叙述：分式乘方，要把分子、分母分别乘方。 试卷第3页（共3页） 公试：（号m号(0,1为正整数） 2符号规律 指数n为偶数：结果为正； 指数n为奇数：符号与原式一致； 3混合运算顺序：先乘方，再乘除 2a a-1 例题 a-1 4a 4a2 解：原式 a-1 a (a-1)24a=a-1 4易错点 乘方只给分子乘、忽略分母乘方；负号不参与乘方运算。 知识点03分式的加减运算（分同分母、异分母两类） 1同分母分式加减法法测 文字：分母不变，分子相加减。 公试：光-” (C0) 关键注意：分子是多项式时必须加括号 例： x+1 2x-3_(x+1)-(2x-3) =-+4 x-2 x-2 x-2 x-2 2异分母分式加减法法则 试卷第4页（共3页） 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 公试：公试：8±号器货- bd (b、d均不为0) 3异分母加减标准四步流程 (1)分解所有分母因式： (2)确定最简公分母； (3)通分，化为同分母分式： (4)分子去括号合并同类项，约分至最简。 4整式与分式加减技巧 把整式看成分母为1的分式，再通分。 1 1x2-1 例：x一 x x 5易错点 (1)异分母直接分子、分母分别加减： (2)分子相减时多项式忘记加括号，符号出错： (3)计算完分子不化简、不约分。 知识点04分式混合运算（考试解答题核心） 1固定运算优先级（严格遵守） ()有括号先算括号内（先小括号，再中括号）； (2)同级先算乘方 (3)再算乘除（从左到右）： 试卷第5页（共3页） (④)最后算加减： (⑤)全程每一步及时约分，最后结果必须是最简分式。 2通用解题模板 ()括号内：异分母先通分加减，合并分子： (2)除法统一转化为乘法： (3)全部因式分解，交叉约分： (4④)整式相乘合并，检验能否继续约分。 3高频扣分点 ()运算顺序混乱，先加减后乘除： (2)括号前是减号，去括号不变号： (3)中途不约分，计算量变大易算错： (4)最终结果不化简。 知识点05分式化简求值（必考大题题型） 1标准解题两步 第一步：先化简分式（混合运算，化成最简）；第二步：代入合适数值 计算。 2取值硬性限制（阅卷重点扣分） 代入的未知数必须保证原式所有分母≠0、除式≠0。 例：化简后得x1,但x不能取1（原式分母为0，无意义）。 3常考两类题型 试卷第6页（共3页） 直接给数字代入： 整体代入（不给单独X、y,给（区+y)、y整体值） 4易错点 不化简直接代入计算；取值时分母为0，题目无意义。 知识点6四则运算法则总汇总表 运算类别 运算公式 核心注意点 分式乘法 a.c_ac b d bd 多项式先分解，提前约分 分式除法 a.c_a d_ad b'd b c bc 除式颠倒，转化乘法 分子分母同时乘方，区分奇偶次 (a)=a” 分式乘方 bb 符号 同分母加减 a+b-a±b CC c 多项式分子整体加括号 异分母加减 8号 先通分，再合并分子 ☆ 题型精析 题型一、分式乘法 26m n 1.计算： (3mn的值为 2a(x-y)3b3 2.计算： 9ba2(0y-x 试卷第7页（共3页） 3.下列分式运算中，正确的是() 1÷(x+y)=1 A.x+y B.224 xyyy xyy D.(2a2-2b)÷a+b=2a a a-b x2y x-y 4.计算：x-yy=() A.x C.y 题型二、分式除法 m-1.m-1 5.化简m2÷m的结果是 2x x2+x 6.化简：x2-1x2+2x+1 7.下列化简结果正确的是() A.(d-a6)+=% x-=x-y ab B.x-y -m2+2m-l=-m+1 a+m b C.m-1 D.b+m a 题型三、分式乘除混合运算 i1 y x 8.计算的结果是() 义 A.1 B.xy C. D.y 试卷第8页（共3页） 9.计算： 3 5 7 2n+1 10.有一组数据： =1x2x34=2x3x443x4x5,ann+1)+2.记 41= Sn=a+a2+a3+…+an ,则 201 203 199 203 A.182 B.180 C.198 D.184 题型四、分式乘方 11.计算： 12.如果x+元=3，则3x+1+子的值等于 x 13.下列分式运算，结果正确的是() ac ad A.b'dbc B 题型五、含乘方的分式乘除混合运算 3m 14.计算8mn 4n÷ -2 的结果是() 36 72 36 A- m'ns B.- m'ns C.m'n D.-36 m'ns 15当2,6时.j(8- 16.下列计算不正确的题是() 试卷第9页（共3页） y ÷y2+y=1 A.-2y+y*2-y产x-y (- x2+xx2-1 C.x2+2x+1x-1 =x(x+1) g 题型六、同分母分式加减法 17.计算x-2x-2的结果是（） A.1 B.1 c D. x+2 x-2 a2 b2 十 18.化简a-bb-a的结果是一. 19.下列运算中正确的是() A. -Q+c-_atc bb b x+y_x-Y=2 1 1 C.zz D.x-可+0-x司 题型七、异分母分式加减法 1 20.计算1-xx-1的结果是（) 2 A.0 B.2 C.x-1 D. 111 、1 21.计算：x+1x+2x+3x+4 2-m3 2.计算m-55-m的结果是（） m m A.m-5 B.5-m C.1 D.-1 题型八、整式与分式相加减 试卷第10页（共3页） d-1-2 23.化简a-1的结果为() a2-2a-3 A.a-3 B.a-1 C.a2-2a+1D.a-1 计拉云台果2 25.对于M=2x+3.N=12x 2， 2x+3,嘉嘉和淇淇给出如下结论： 嘉嘉：当x>0时，M-N>0. 3 淇淇：当x=2时，M=N· 则下列说法正确的是() A.嘉嘉对，淇淇错 B.嘉嘉错，淇淇对 C.嘉嘉、淇淇都对 D.嘉嘉、淇淇都不对 题型九、已知分式恒等式，确定分子或分母 3x-6m 26.若(x+2)(x-)x+2'x-1,则m+n的值是() A.3 B.2 C.-2 D.-3 27.某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的 结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形.例如： 2x+3_2x-0+5_20x-045=2+5 x-1x-1 x-1x-1 2+x一·这种变形方法叫作“分离常数法”.将分 3x-1 3x-1_3(x-0+m=3+m 式x-1分离常数，则x-1x-1 x-1,那么m= 3a-1.M+N 28.若常数M,N满足-1a-a+1,则M+N=（） A.-3 B.-2 C.2 D.3 题型十、分式加减混合运算 试卷第11页（共3页） a2 -a+1 29.计算a-1 的正确结果是() 2a-1 1 A. a-1 B.2a+1 a-1 C.a-1 D. a-1 3y+7 30.如果0-10y-2)y-y-2,那么A= 一’B= 31,对于正数·裁定M四=产，例如：M0)=3. M4-M0+-n[得M日-M0+M(p)-Mg)-M223)+M(e2到的值为( ) A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.-1.5 题型十一、分式加减的实际应用 32.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为(m>) 米的正方形去掉一个边长为1米 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m一)米的正方形， 两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位 面积产量相比() 蓄水 池 1米 m-1)米 m米 A.“丰收1号”高 B.“丰收2号”高 C.一样高 D.无法确定哪个高 33.某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为a字h ，那么他语音录入3000字比手动录入少用_h.(结果化成最简形式) 34.一项工程甲单独做a天完成，乙单独做b天完成，两人合作可比乙单独做提前 ()天完成 试卷第12页（共3页） ab a b2 a-b A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 题型十二、分式加减乘除混合运算 1m-1 m- 35.化简 m m 的结果是() m-1 m+1 A.m-1 B.1 +1 m+1 D. m-1 1x+-2w 36.若y=6,则x- x的值为 2-1） 2x+1 37.若计算( x+1 x2-1的结果为x-1,则O处的运算符号是() A.+ B.- C.× D.÷ 题型十三、分式化简求值 a 5 a-b 38.己知6=2，则b的值为()· 3 5 A. B.2 D. 2x+4y 39.已知x+2y-1=0,则代数式x+4y+4y的值为() A B.-2 C.4 D.2 ab I bc 1 ac 1 abc 40.已知ab、c是实数，且a+b3,b+c7,a+c12,则ab+bc+ac的值为 () 1 1 A.-1 B.3 C.1 D. 题型十四、分式最值 试卷第13页（共3页) 1 41.分式x?+2x+5的最大值是（) 1 1 A.5 B.6 C.4 D.-5 2a-2 42.若a为正整数，下列关于分式-1的值的结论正确的是() 2 A.有最大值是2 B.有最大值是 C.有最小值是1 D.有最小值，没有最大值 c2-a2 43.若a,b,c是三个不为零的实数，且a2=2bc,则b2的最小值为() B.1 C.0 D. 解答题 44.计算： aa, a2-4b2 ab (2)3ab2a-2b: 3a-3b.a2-b2 (4)10ab15a2b2 45.计算： 2x-3x-1 (1)x-2x-29 a b (2a-b"b-ai 试卷第14页（共3页） x2 -x-y (3)x-y 2-x- (4)八x+1x+1. 46.如果两个分式M和N满足M-N=k(k为整数)，则称M,N为“兄弟分式”，整 数k称M为N的“信度值”如分式M=2 x-1 ,N=_2 满足wW兴品2，则 2x 2 2x 2 称x一，x一为“兄弟分式”，整数2称x一为x一的“信度值”. (1)尼知分式M=3x+2 x+2 N=x-2 =x+2:判断MN是否为“兄弟分式”，若不是，说明理 由；若是，请求出M为N的“信度值”k. ②已知“见希分式”M。N,分式“=为分式N-二的“信度信”是-2，求P P (用含x的代数式表示)： 2x2 (3)已知x,y均为非零实数，分式x2-4y2,x+2y属于“兄弟分式”，且两个分式的 2x-y “信度值”为3，求分式x+2y的值。 47.我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C,且分式C的分子为常数，分母为关 于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”·例 如分式A={,B=2.A+B=1+2_3 x x, x+xx,则A与B是“合分式”，A与B关于C的 “合值”为3. 解决下列问题： ,B=,3 ①尼知分式A=5 =一x是“合分式”求A与B关于C的“合值”为一 ②尼知分式E=7“2x(英中a是带致，且a-2》,F= a x-2,E与F是“合分式”， 且E与F关于C的“合值”为1，求常数a的值： 试卷第15页（共3页） 2,N=2x 3)尼知分式M=P =2-x,M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值” 为1，若分式M的值为正整数，且x为整数，求满足条件的x的值. 48.【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜.我们可以用分式的 知识解释这一现象，设一杯糖水的总质量为a克，其中糖的质量为b克，则糖与糖水的质 之比为。a>b>0,若往杯里加糖m克（m>0,此时糖水中糖的质量为（b+m克，糖 b+m 水总质量为(a+m)克，糖与糖水的质量之比为a+m b+m b_ab+am-ab-bm_m(a-b)>O 因为a+maa(a+m) a(a+m)(其中a>b>0,m>0), b+m、b a+m>a,所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜. 即 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的 水果进行销售 (1)小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元：小亮买了连箱重10千克的苹果一箱， 付了100元.小明与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材 料阅读】的方法解释； (2)小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了P元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了9 元，若梨的实际单价是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付 _元 (用P9的代数式表示). 试卷第16页（共3页）