精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试卷

青秀三中 2026~2027学年度秋季学期九年级数学期中模拟（一） （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为2，，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 4. 点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 9. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（ ） A. B. C. D. 11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 1 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次函数的图象开口向下，写出一个符合条件的a值，a的值可以是____． 14. 如图，在中，，点D在斜边上，如果绕点B顺时针旋转，旋转后与重合，那么旋转角等于____度． 15. 已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题： （1）画出与关于y轴对称的： （2）画出以为旋转中心，将顺时针旋转90°后的，并写出点坐标； （3）求出的面积． 19. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的32万人增加到2026年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）按照这个增长率，预计该市2027年参加健身运动的人数将达到多少人？ 20. 如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，求半径的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标． 22. 综合与实践 南宁地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在某次运行中，南宁地铁1号线列车于万象城站停车线196米处启动减速程序，减速一段时间后播放提示音“列车即将到达万象城站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 为解决这些问题，某学习小组通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系： 1．建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 …… （米） 196 144 100 64 36 16 4 …… ②为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． （2）观察这条曲线的形状，它可能是________的图象． A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 （3）利用（2）中的结论，求此函数解析式． 2．应用模型 请你应用模型解答两个问题． （4）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （5）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点． （1）如图1，当时： ①的度数是________； ②求证：点为的中点： 小明经过思考给出下面证明过程： 证明：如图，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ………………………… 请将小明的证明过程补充完整． （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，连接，请直接写出在旋转的过程中面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青秀三中 2026~2027学年度秋季学期九年级数学期中模拟（一） （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A、，未知数次数为1，不符合； B、，含两个未知数，不符合； C、，含分式，不是整式方程，不符合； D、，只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合； 故选：D． 3. 已知的半径为2，，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判定方法． 根据点与圆的位置关系判定规则，比较点到圆心的距离与圆半径的大小，从而确定点的位置． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 因为，即， 根据点与圆的位置关系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外， 所以点在圆外． 故选：C． 4. 点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标与纵坐标都互为相反数， 点关于原点对称点的坐标为， 故选：C． 5. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 6. 一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式方程为，顶点坐标是，对称轴是直线．根据抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴直线方程． 【详解】解：∵抛物线方程为 ， ∴对称轴为直线． 故选：A． 8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零，即可得到结论． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 9. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 则该桨轮船的轮子直径为 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 12. 如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先计算当x＝0时的函数值得到C（0，2），解方程﹣x2+x+2＝0得A（2，0），易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），利用三角形面积公式得到△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2）， 当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，则A（2，0）， 易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2， 作DE∥y轴交AC于E，如图， 设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2）， ∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t， ∴△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， 当t＝1时，△ACD面积有最大值为1． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次函数的图象开口向下，写出一个符合条件的a值，a的值可以是____． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的数均可） 【解析】 【分析】结合二次函数开口方向与二次项系数的关系确定a的取值范围，在范围内选取一个符合要求的数即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， ∴a可取， 所有满足的取值均符合题意． 14. 如图，在中，，点D在斜边上，如果绕点B顺时针旋转，旋转后与重合，那么旋转角等于____度． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由旋转的性质可知旋转角等于． 【详解】解：在中，，， ， 绕点顺时针旋转后与重合， 边的对应边为， 旋转角， 点在斜边上， ， ． 15. 已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为． 由题意得． ，； ，， ． ，， 根据勾股定理 同时，， 则点的坐标为，点的坐标为， 同理可得，， 如图，与关于原点对称， 则，接着，，，，，…， 观察可知，点到点为一个变换周期， 因为，余数为2，说明点的坐标与的坐标相同，即点的坐标为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题： （1）画出与关于y轴对称的： （2）画出以为旋转中心，将顺时针旋转90°后的，并写出点坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点三点关于y轴对称的点，再依次连接这三点即可； （2）画出绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可，从而也可写出点坐标； （3）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：作图略； ； 【小问3详解】 解：． 19. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的32万人增加到2026年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）按照这个增长率，预计该市2027年参加健身运动的人数将达到多少人？ 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）预计该市2027年参加健身运动的人数将达到人 【解析】 【分析】（1）设年均增长率为，根据2024年和2026年的人数列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解； （2）用2026年的人数乘以年均增长率)，换算单位后得到2027年的人数， 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 2024年人数为32万人，经过2年增长到2026年的50万人， ， ， ， 增长率为正数，负根不符合实际意义， ， ， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：2026年人数为50万人，年均增长率为， 2027年人数为（万人）， 万人人， 2027年参加健身运动的人数为625000人， 答：预计该市2027年参加健身运动的人数将达到625000人． 20. 如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，求半径的长． 【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用． （1）先证明，再证明，再结合线段的和差可得答案； （2）连接，设的半径是r，可得，证明，再结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（负值舍去）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出的值，然后把代入反比例函数表达式求出的值，最后把、的坐标代入求解即可； （2）根据函数图象直接求解即可； （3）利用对称性，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，根据待定系数法求出直线的表达式，然后令，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，关于x的不等式的解集或； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 则， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴. 22. 综合与实践 南宁地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在某次运行中，南宁地铁1号线列车于万象城站停车线196米处启动减速程序，减速一段时间后播放提示音“列车即将到达万象城站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 为解决这些问题，某学习小组通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系： 1．建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 …… （米） 196 144 100 64 36 16 4 …… ②为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． （2）观察这条曲线的形状，它可能是________的图象． A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 （3）利用（2）中的结论，求此函数解析式． 2．应用模型 请你应用模型解答两个问题． （4）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （5）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 【答案】（1）解：如图所示即为所求， （2）B （3） （4）秒； （5）米． 【解析】 【分析】（1）利用描点连线画出函数图象即可； （2）根据画出的函数图象即可得到结论； （3）利用待定系数法进行解答即可； （4）求出的自变量的值即可； （5）求出当时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察这条曲线的形状，它可能是二次函数的图象． 【小问3详解】 解：设，把代入得到 解得， ∴ 【小问4详解】 解：当时，，解得， 即列车从开始减速到完全停止，共需秒； 【小问5详解】 解：∵提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． ∴鸣笛在启动减速系统后的时间为， 当时，， 即列车开始播放提示音时，距离停车线米． 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点． （1）如图1，当时： ①的度数是________； ②求证：点为的中点： 小明经过思考给出下面证明过程： 证明：如图，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ………………………… 请将小明的证明过程补充完整． （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，连接，请直接写出在旋转的过程中面积的最大值． 【答案】（1）①； ②由旋转的性质可知， ， ∴， ∵， ∴ ∴ 即点为的中点； （2）成立，证明：如图，过点作交的延长线于点，则， 由旋转的性质可知， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即点为的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）①由旋转的性质结合等边对等角作答即可； ②由旋转的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于点，则，证明即可； （3）当时，最大，此时，三点共线，的面积最大，进一步解答即可 【小问1详解】 ①解：∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴当时，最大，此时，三点共线，的面积最大， ∵在中，，，， ∴ 由旋转可知，， ∴ ∴的面积最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $