精品解析：河南省湘豫名校联考2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

10月高一数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，. 2. 命题“，”的否定是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 根据全称量词命题的否定规则，其否定为存在量词命题， 即把量词“”改为“”，条件“”保持不变，并把结论“”改为“”， 所以该命题的否定是：“，”. 3. 已知为二次函数，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数为二次函数， 所以，解得. 将代入原函数得：. 该函数图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线. 所以函数的单调递增区间是. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得. 充分性：若成立，则，充分性成立； 必要性：若，代入原方程显然成立，必要性成立. 因此“”是“”的充要条件. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为4. 6. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，所以，， 又，， ， ， ， . 7. 已知集合，，且．命题；命题．若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 由，则或，所以或. 所以由命题为真命题，可得. 由， 所以命题为假命题，可得或. 所以为真命题，为假命题，则实数的取值范围为. 8. 设函数的定义域为R，的图象关于轴对称，的图象关于原点对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，且一个周期为4，从而可得答案. 【详解】因的图象关于轴对称，则是偶函数， 故，因此关于对称，则， 又因的图象关于原点对称，则是奇函数， 故，因此关于中心对称，则，， 由可得，即， 又由可得，即， 所以，故， 因此，则的一个周期为4， 因，则，即， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用不等式性质即可；对于B，D，举反例即可；对于C，利用作差法即可. 【详解】对于A，由，得，则. 又因为，，所以，故A正确； 对于B，取，，，，满足，， 则，即，故B错误； 对于C，由，得，则，即. ，则，所以，故C正确； 对于D，取，，则，但，即，故D错误. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 设，则“且”是“”的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若幂函数的图象经过点，则的图象关于轴对称 D. 若命题“”为假命题，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用不等式的性质判断充分性，举反例判断必要性； 对于B选项，分 和两种情况，当时 ，解绝对值不等式，然后根据集合只有一个整数解列出关于的不等式即可求解的范围； 对于C选项，先将点代入解析式，求解的值，再根据幂函数的奇偶性定义判断其图象是否关于轴对称； 对于D选项，因为存在性命题为假命题，所以其否定“’’为真命题，转化为求二次函数在区间上的最大值，令大于该最大值即可得到的范围 . 【详解】选项A：充分性：若且，两式相加得，充分性成立； 必要性：取，满足，但不满足，必要性不成立，故为充分不必要条件，A正确； 选项B：若，不等式无解，即，不符合题意； 当时，解不等式得，显然是不等式的一个整数解， 要想集合只有一个整数解，则是唯一的整数解， 此时应满足且，解得，结合可得. 综上所述：的取值范围是，B正确； 选项C ：幂函数过点，代入得，解得，即， 这是奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 选项D：原特称命题为假命题，则它的否定“”为真命题， 即对所有恒成立， 令， 在上的最大值为，因此，D正确. 11. 已知方程有两个不相等的实数根，，下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 若，，则 D. 若，，，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据韦达定理和判断AB选项；化简并结合基本不等式判断C；先利用基本不等式求的最小值，最后利用基本不等式即可判断D. 【详解】由题意得，，得或， 则，故A正确； 的取值范围为，故B正确； 因为，所以， 因为，，所以，， 则， 等号成立时，故C错误； 因为，，所以， 等号成立时， 故， 因为，所以 ，等号成立时， 综上，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出一个定义域为的幂函数，满足，且对任意，当时，，则__________． 【答案】 （答案不唯一，均可） 【解析】 【分析】结合幂函数的定义，根据函数为奇函数且在上单调递增的性质，选取指数为正奇数的幂函数即可. 【详解】幂函数的统一形式为（为常数），结合题干条件推导如下： 由可得，故是定义在上的奇函数； 对任意不相等的，，即自变量的差与函数值的差同号，故是上的严格增函数； 要求幂函数定义域为，且为奇函数、严格递增，只需取为正奇数即可，例如取，得，满足所有题干条件. 所以，（答案不唯一） 13. 已知命题，使得函数的图象与函数的图象有公共点，若为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题为假得它的否定为真，转化为两个函数对应方程无实根，分一次、二次方程讨论求解的取值范围. 【详解】因为为假命题，所以其否定，函数与的图象无公共点为真命题， 两函数图象无公共点等价于方程无实根，整理得无实根， 当时，方程为一元一次方程，解得，有实根，不符合题意，舍去； 当时，方程为一元二次方程，无实根的充要条件是判别式，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 14. 已知不等式对任意正实数，且恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把题中复杂的式子简单化，再利用基本不等式求出左侧最值，最后利用二次函数恒成立进行求解参数范围即可. 【详解】令，，则， 因为正实数，满足，所以，， 设， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立转化为， 解得，即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）代入求出，再按全集为实数集求补集与的交集． （2）根据给定条件，利用充分不必要的定义，结合集合的包含关系列式求出的范围． 【小问1详解】 当时，． 由，得． 所以． 【小问2详解】 由的定义知． “”是“”的充分不必要条件，等价于真包含于， 由、，得且． 解，得； 解，得或，因此， 而当时，， 所以实数的取值范围是． 16. 已知为幂函数． （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义列式求解即可； （2）可知函数为定义在上的奇函数，且为增函数，进而可得，分类讨论两根大小解不等式即可. 【小问1详解】 因为为幂函数， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则关于的不等式即为， 又因为，可知函数为定义在上的奇函数，且为增函数， 由可得， 则，可得， 令，解得或， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 17. 已知函数． （1）设，用单调性定义证明在上单调递增； （2）若存在，对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明： ， 任取， 则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，在中取，代入后，作差，判断结果的正负，即可证明结论； （2）先利用单调性求的最小值，将问题转化为对任意的恒成立，利用一次函数的性质即可列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 为二次函数，开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增， 当时，取最小值， 存在，对任意的都成立， 即等价于对任意的都成立， 即对任意的都成立， 当时，不符合题意； 当时， 设，，为关于的一次函数， 一次函数在闭区间上一定单调，故最小值一定在端点处取得， 即需满足，即，解得或， 综上所述，的取值范围为或. 18. 如图，某智能制造产业园地面巡检区域可近似看作等腰梯形，，．为提升该产业园安全监测能力，工作人员安排两架无人机沿地面区域边缘进行巡检．已知无人机，同时从点出发，飞行时间为秒，无人机沿梯形边界顺时针飞行，其飞行速度为每秒个单位长度；无人机沿梯形边界逆时针飞行，其飞行速度为每秒个单位长度．当两架无人机相遇时立即停止飞行（即两架无人机“飞行时间”不包含相遇时刻）．在巡检过程中，由无人机，与出发点形成的三角形区域为． （1）当时，求的面积； （2）求的面积关于时间的函数解析式； （3）在巡检过程中，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形边长，构造直角三角形，求出，利用三角形面积公式即可求解； （2）根据点和点的位置，进行分类讨论，用表示出三角形的底和高，利用三角形面积公式即可求解各个情况的面积； （3）根据(2)的面积，利用函数的单调性，求出每个情况下的面积最大值，即可求解. 【小问1详解】 过点作， 因为四边形是等腰梯形，，， 所以可得，所以， 所以， 当时，， ， 过点作， 在中，， 由三角形面积公式得：. 【小问2详解】 当时，，， 所以此时点在边上，点在边上， 此时，， 在中，， ； 当时，，所以点走过，在边上，， ，所以点在边上，， 由(1)可知， 所以此时的高为， ； 当时，，所以点走过，走过， 在边上，， ，所以点在边上，， 过点作， 在中，，， 所以， 所以此时的高为， ； 当时，， 所以此时两架无人机相遇，停止运动. 综上所述，的面积关于时间的函数解析式. 【小问3详解】 由(2)可知，， 当时，单调递增， 所以当时，取最大值； 当时，单调递增， 所以当时，取最大值； 当时，二次函数， 开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递减， 所以， 综上所述，的面积的最大值为. 19. 定义：若函数 在上至少存在两个不相等的自变量，（，且），使得它们的函数值相等，则称函数存在等值二元组，称作的一组等值二元组． 已知函数． （1）若，求实数的值． （2）若函数存在等值二元组． （i）求实数的取值范围； （ii）设为的一组等值二元组，证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）不妨设，则， 若，因为，即， 整理可得， 因为，可得； 若，因为，即， 整理可得，可知是方程的两根， 整理可得，可得，即， 可得； 因为，即，可得； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）根据题意整理可得，去绝对值解方程即可； （i）函数在定义域内不单调，分和两种情况，结合函数单调性运算求解即可；（ii）不妨设，则，分和两种情况，结合函数单调性分析证明即可. 【小问1详解】 若，即， 当时，可得，解得； 当时，可得，无解； 综上所述：. 【小问2详解】 （i）由题意可知：函数在定义域内连续不断， 若函数存在等值二元组，等价于函数在定义域内不单调， 因为，则， 若，则在定义域内单调递减，不合题意； 若，则， 又因为在内单调递减，在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月高一数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知为二次函数，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，且．命题；命题．若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，的图象关于轴对称，的图象关于原点对称，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 设，则“且”是“”的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若幂函数的图象经过点，则的图象关于轴对称 D. 若命题“”为假命题，则 11. 已知方程有两个不相等的实数根，，下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 若，，则 D. 若，，，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出一个定义域为的幂函数，满足，且对任意，当时，，则__________． 13. 已知命题，使得函数的图象与函数的图象有公共点，若为假命题，则实数的取值范围是__________． 14. 已知不等式对任意正实数，且恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知为幂函数． （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式． 17. 已知函数． （1）设，用单调性定义证明在上单调递增； （2）若存在，对任意的都成立，求实数的取值范围． 18. 如图，某智能制造产业园地面巡检区域可近似看作等腰梯形，，．为提升该产业园安全监测能力，工作人员安排两架无人机沿地面区域边缘进行巡检．已知无人机，同时从点出发，飞行时间为秒，无人机沿梯形边界顺时针飞行，其飞行速度为每秒个单位长度；无人机沿梯形边界逆时针飞行，其飞行速度为每秒个单位长度．当两架无人机相遇时立即停止飞行（即两架无人机“飞行时间”不包含相遇时刻）．在巡检过程中，由无人机，与出发点形成的三角形区域为． （1）当时，求的面积； （2）求的面积关于时间的函数解析式； （3）在巡检过程中，求的面积的最大值． 19. 定义：若函数 在上至少存在两个不相等的自变量，（，且），使得它们的函数值相等，则称函数存在等值二元组，称作的一组等值二元组． 已知函数． （1）若，求实数的值． （2）若函数存在等值二元组． （i）求实数的取值范围； （ii）设为的一组等值二元组，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $