精品解析：福建省泉州市第七中学2027届高三毕业班“顶尖计划”（一）数学试题

2027届高三毕业班“顶尖计划”（一） 数学 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，且，则实数的取值范围为 C. 若，则 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是纯虚数，则__________． 13. 已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 14. 若，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 17. 富平尖柿采摘季，合作社安排工人采摘柿子．设为单日采摘柿子的质量（单位：，）．根据生产经验：集合：柿子保鲜要求下，单日采摘量的可行范围，满足不等式；集合：人工成本管控下，单日采摘量的可行范围，满足不等式，实数为生产调配参数． （1）求集合；当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）合作社新增冷链仓储限制，对应单日采摘量集合．若满足，且，求实数的取值范围． 18. 已知函数，若函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若集合，求集合； （3）若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 19. 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三毕业班“顶尖计划”（一） 数学 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，则. 3. 已知是定义在上奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出参数的值． 【详解】是定义在上的奇函数，， 即，整理得. ，． 4. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，即， 所以． 5. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】已知函数，若是奇函数，则有， 即，得到，化简得， 要使等式对定义域内的恒成立，则必须满足，解得或， 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 所以，若，则是奇函数；若是奇函数，则或； 因此“”是“为奇函数”的充分不必要条件，故A正确. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 7. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数法求得极值点，再根据函数在内存在极值建立关于的不等式求解即可. 【详解】的定义域为，， 令，可得：或（舍）， 由在其定义域内的一个子集内存在极值， 可得：，解得， 所以实数的取值范围为． 8. 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件确定 的大小关系，再借助相应函数的单调性或作差法逐项判断. 【详解】因为 ，， ，得 ，所以 . 对于 A，因为 在 上单调递增，则，故A 正确； 对于 B，， 其中 ， 不能确定正负. 例如取 ，，则 ，故B 错误； 对于 C，，故C 正确； 对于 D，因 是减函数，则得 ，故D 正确. 10. 已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，且，则实数的取值范围为 C. 若，则 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据各项的描述，应用一元二次不等式的解法、对数函数的性质求对应情况下参数的范围，由集合的交补运算、必要不充分条件求参数范围判断各项的正误. 【详解】由，， A，要使，则须方程的判别式， 即，无解，故错误； B，方程的两个根为、，且， ，则或，又，， ，即，故正确； C，，则或， ，故，故错误； D，，且，则或. “”是“”的必要不充分条件， 是的真子集，则，解得， 实数的取值范围为，故正确. 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举反例即可；对于B，利用函数零点和符号确定、的关系；对于C，利用图象关于原点对称的性质及导数判断交点个数；对于D，取边界值检验D项，并证明该值确实满足原不等式． 【详解】对于A，取，则，该函数严格递增，输出幅度值与输入幅度值一一对应，但，A错误． 对于B，由题意得当且仅当． 又，因此，． 若，不妨设，取，则，，，所以，与题意矛盾． 因此一定有，B正确． 对于C，此时，其图象与边界均关于原点对称，只需判断右半平面的交点个数． 当时，，由得，故交点横坐标满足 由，列增减表如下： − + ↘ ↗ 由表可知，方程在内恰有2个不同的解，对应2个交点． 当时，，由边界方程得，故交点横坐标满足 由，，且，知该区间恰有个交点． 边界上，且、、时均非交点，故右半平面恰有个交点． 结合关于原点的对称性，共有个交点，C正确． 对于D，当时，． 取，则当时， 所以当时，对任意均有，但不满足，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是纯虚数，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】， 若是纯虚数，则，解得. 13. 已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把不等式变形为，转化为两个函数图像的位置关系，对参数分三类讨论，根据仅有一个整数解列出边界不等式，最后合并两段取值范围得到答案． 【详解】因为有且只有1个整数解， 则有且只有1个整数解， 因为当时，恒成立， 所以不符合题意； 当时，在同一坐标系中，作出函数与的图象如下图1所示， 则只能有且只有一个整数解1，即， 解得； 当时，在同一坐标系中，作出函数与的图象如下图2所示， 则只能有且只有一个整数解， 则有，即； 当时，由下图3可知，1有无穷多个整数解，不符合题意． 综上，实数的取值范围为：． 14. 若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：把条件整理为“同构”形式，用同一函数的单调性得到，再把化为的函数求值域；方法二：由原条件得分析得到，令，则，构造求导确定单调性即可求解.. 【详解】方法一：因，分母，原条件等价于 ，即. 因右边为正，故，即. 令，则. 设，，则， 故在上单调递增，由得，即. 于是.设，，则， 故在上单调递减；当时，当时. 所以. 反之，任取，令，代入原式恒等于，故上述范围内的值都能取到. 方法二：由原条件得， 因为，所以代入并整理， 得. 因，，且与同号， 两个同号实数相加等于 0，只能两项都等于 0，故两项只能同时为零，即. 令，则，. 令，， 恒成立， 故 又时， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）结合“”的妙用，将恒成立，转化为，进而求出结果即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，则，， 当且仅当，即，时等号成立. 【小问2详解】 由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 由恒成立，则得， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后因式分解，由比较两根的大小，得单调区间； （2）先求在上的最值，把“充分条件”转化为最值所满足的不等式组. 【小问1详解】 的定义域为，且 . 因，，两根与满足， 故当或时，，当时，. 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故最大值为. 又，，而， 故在上的最小值为. “是 的充分条件”即当时恒有， 故，且， 解得且. 因，所以的取值范围是. 17. 富平尖柿采摘季，合作社安排工人采摘柿子．设为单日采摘柿子的质量（单位：，）．根据生产经验：集合：柿子保鲜要求下，单日采摘量的可行范围，满足不等式；集合：人工成本管控下，单日采摘量的可行范围，满足不等式，实数为生产调配参数． （1）求集合；当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）合作社新增冷链仓储限制，对应单日采摘量集合．若满足，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式即可求得集合，解分式不等式求得集合，再根据交集的定义求解； （2）先求得集合，由题设可得是的真子集，进而求解即可； （3）由题设，结合含参一元二次不等式的解法分类讨论求解即可. 【小问1详解】 不等式，变形为，解得， 则. 当时，的不等式为，则，解得， 则，即. 【小问2详解】 集合的不等式为，则， 解得，即， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，而， 则，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，且，，， 而集合的不等式为， 则， 当，即时，不等式解得，则， 由，得，解得， 此时，因此，符合题意； 当，即时，不等式解得，即， 此时，则，不符合题意； 当，即时，不等式解得，即， 此时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． 18. 已知函数，若函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若集合，求集合； （3）若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据得出，再根据分类讨论求出，再代入检验即可； （2）结合函数图象，分、两种情况，利用对称性和单调性可得； （3）将问题转化为方程在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在，结合二次函数图象求解. 【小问1详解】 因为函数的图象关于直线对称，所以，即， 两边平方得：，整理得：， 所以，即， 再由，得，即. 当时，，解得； 当时，，无解. 所以. 当时，， 则， 所以符合题意. 【小问2详解】 因为，作出函数的大致图象如下图所示， 由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 当时，，所以，所以符合题意； 当时， 因为，所以，等价于， 因为，，所以，解得，所以. 综上所述，； 【小问3详解】 因为函数有两个不同零点，且， 即有两个不等根，且，， 令，则①，， 所以方程①在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在. 令， 则有或， 解得或， 则实数的取值范围为：. 19. 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）此时. 令， ，则 ， 又，， 故在上有唯一零点 ，即. 因， 所以 当 时 ； 由解析式可知在上单调递增、 当时，恒成立，故在上单调递减， 且， 所以的最大值点 ， 不妨设 . 由及两侧的单调性得： ，且 ，. 令，，， 则， （因 ，下面证明， 证明：令，则在时恒成立， 即在单调递增，又当时，，故 即）， 故、在上均单调递增. 由 得 ； 由 得 . 又，，故， 所以，即 ，得证. 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，用点斜式写出切线方程； （2）（ⅰ）分别求 的最小值与 的最大值，由互为相反数列方程求 ；（ⅱ）先确定 的分段表达式与最大值点 ，再由 把 分居 两侧，通过比较单调函数的增量证明结论. 【小问1详解】 ，故 ，. 所以曲线 在点 处的切线方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ） 的定义域为 ，. 当时，当时， 故的最小值为. 又 ，故 在 上单调递增、在 上单调递减，最大值为 . 由题意，解得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $