精品解析：江苏南京市励志高级中学2026-2027学年高二上学期10月调研考试数学试题

励志高中2026--2027年度高二年级第一学期第二次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卷相应位置上． 1. 设复数，则的共轭复数（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】复数，所以. 2. 设向量，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，由得， 即，解得． 3. 数据，，，，，，，的分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排序为：1，2，2，3，5，6，8，9，共8个数据. 则，所以该数据的分位数是6. 4. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的系数等价关系列方程求解的值可得. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，，解得. 因此. 5. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助列举法计算即可求解概率. 【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数， 有，，，，，， ，，，共10种情况， 其中三个数之和不超过8的有： ，，，，共4种情况， 所以这三个数之和不超过8的概率为. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 8. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应位置上．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ） A. C的焦距为2 B. C的短轴长为 C. C的离心率为 D. 的周长为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解. 【详解】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 10. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为钝角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由正弦定理可得：，故A错误； 由余弦定理可得：，化简得，解得，故B正确; 由正弦定理可得：,所以的外接圆的周长为,故C正确; 因为，所以角为最大角，由余弦定理有，所以角为锐角，所以为锐角三角形，故D错误. 故选：BC. 11. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷相应位置上． 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解． 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题． 13. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， . 14. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）过点且与边平行的直线方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行满足的斜率关系，由点斜式即可求解方程， （2）根据垂直的斜率关系，以及中点坐标公式，即可由点斜式求解方程. 【小问1详解】 由于,故所求直线的斜率为3， 又直线经过点，故直线方程为，即 【小问2详解】 的中点为,且， 故所求直线的斜率为，且经过点， 故其方程为，即. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）连接，交于点，连接， 由条件可知为中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 （2）因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，是的中点． 则，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过即可求证； （2）通过面面垂直得到，通过等腰三角形得到，即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，内角的对边分别为且为钝角，． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，由正弦定理， ， 又， 代入化简得， 因为， 所以，又， 故. 【小问2详解】 由面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入得， 即， 将代入得，故， 解得或 因为 为钝角，故 ，因此. 18. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【小问1详解】 因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 19. 已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； （3）若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【小问1详解】 由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. 【小问3详解】 如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励志高中2026--2027年度高二年级第一学期第二次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卷相应位置上． 1. 设复数，则的共轭复数（       ） A. B. C. D. 2. 设向量，，．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 数据，，，，，，，的分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（   ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应位置上．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ） A. C的焦距为2 B. C的短轴长为 C. C的离心率为 D. 的周长为8 10. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为钝角三角形 11. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷相应位置上． 12. _____. 13. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 14. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）过点且与边平行的直线方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17. 在中，内角的对边分别为且为钝角，． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 18. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 19. 已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； （3）若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $