湖南衡阳市2027届高三上学期第一次质量监测数学试题

高三数学一 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，则在方向上的投影向量为 A． B． C． D． 4．某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有 A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 5．已知，且，则 A． B． C． D． 6．已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则 A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使既是等差数列又是等比数列 7．已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则 A．有最大值12，最小值0 B．是定值6 C．是定值3 D．随变化，取值范围为 8．在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记为数列的前项和，已知，，则 A． B． C．是等差数列 D．取最小值时 10．如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是 A． B．对任意，均有 C．两人自出发后第次相遇的时刻为（） D．记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 11．已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是 A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中的系数为________． 13．已知点在抛物线上，点，点在圆：上，当取得最小值时，________． 14．若曲线上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点，，，且以为直径的圆与该曲线在点处相切，则的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，其面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 17．（本小题满分15分） 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 （1）求，； （2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． （3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：（）的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 设函数，对任意，记． （1）求集合； （2）若，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）当，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学一参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B D A C A C B C 1.B【解析】集合M与N的公共元素为2,3，所以M∩N={2,3}. 2.D【解析】计算得=-1+i,故|=√(-1)2+1=√2 3.A【解析】因为a·b=1×2+2×(-1)=0,所以a⊥b. 4.C【解析】先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有5×C=30种选派方法 5.A 【解析】由cosa=号，可知sina-45,t 分，tana=4W3,且tana= 2tan 2 -tam2号 邮得m号号或-2（合. 6.C【解析】由题意知，b=a2=2十(2一1)d,即2,2十d,2十3d,2十7d,…,对于A,相邻两项的差不为常数，错 误.对于B,D,由于数列{b}单调递增，不是等比，也不可能是常数列，错误.对于C,由bs+1一b=(2+1一2)d= 2d,故{b+1一b}是公比为2的等比数列. 7.B【解析】因为PA⊥面ABC,AB⊥BC,可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1,1,2，且PC为长方 体的体对角线，故PC为三棱锥外接球的直径.|PC1=√+12+2=√6，所以|MP|2+|MC2是定值6. 8.C【解析】原方程等价于：(e-3)2十(ex-3)2=r2,令t=e+e≥2，当t等于2时，仅对应x等于0；当t大 于2时，对应两个互为相反数的实数x.又e2x十e2r=2一2，代入并整理得，(t一3)2=r2一7，要使原方程有四个 不同的实数解，关于t的方程必须有两个不同且均大于2的实根.1=3一√一7,2=3十√2一7，因此应同时 满足r2-7>0,3-√2-7>2，解得，√7<r<2√2，故选C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 题号 9 10 答案 ABD ABC BCD 9.ABD【解析】对于A,由nS+1-(n十1)Sn=n(n十1)，S2=8,可得S2一2S1=2,即S1=a=3,A正确； 对于B条件支衫有一-1，所以各是以3为首项1为公蒸的等差最列，则子-十2 n 所以Sn=m2+2n,Sn-8n=n2-6n,n∈N*, 由二次函数的对称性可知=3时Sm一8m取最小值，故B,D正确； 对于C,由S=n2+2m,Sn-1=(n-1)2+2(n-1),(n≥2)，作差得am=2n十1(n≥2)， 而S,=a=3,符合上式，所以，=2m十1.号=2+7即份}不是等差鼓列，故C错误. 1 10.ABC【解析】由题意知，∠AOP=t,∠BOP=3t,故∠AOB=2t, 故f(t)=|AB|=√/TOA2+OB2-2OA·OB cos2t=√/2-2cos2t=2sint川，A正确. 由f(t)=2sint,对任意t>0,都有f(t+π)=2sin(t+π)|=2sint=f(t),B正确. 两人相遇即为f(t)=0,解得t=nπ，且t=nπ恰好是f(t)的第n个零，点，C正确. Sw=号0·0B1·sn2=号sn2,当sin2=1时，S的最大值为分此时1-牙，平积牙，故 有四个时刻可以取到最大值，D错误. 11.BCD【解析】对于A,当直线AB斜率为0时，AB=2a=4,故A错误. 对于B,由于满足AB引=m的直线l恰有3条，则必有2条交于左右两支，这两条直线关于x轴对称，另有一 条交于右支的两点，也关于x轴对称，故斜率不存在.所以m为通径长，等于12，故B正确. 对于C,当AB斜率为0时，易知AF·|BF|=3|AB引成立. 当AB斜率不为0时，当直线AB与C交于同一支时，|AF·|BF|=3AB|等价于 数学参考答案(27J)-1 1F1·B=3F+BF).即十动号 设AB:x=my十4，A(y1),B(x2,y2), 联立/r=my+4, %+= 3.x2-y2=12, 得(3m2-1)y2+24my十36=0，则 36 y=3m2-1' 则|AF|=√1十m21yl,BF|=√1+m2|y2|, 以而南债喷)广南· 1 1 √(y十2)2-4y2 m2+1 Iyy 代入根与系数关系并化简得AF十BF可一√m干 1 1 1 √/(24m)2-4X36(3m-1)_1 36 31 当直线AB与C交于左右两支时，不妨设A在左支，AF·BF=3AB等价于BFAF-方， 1 1 1 同上运步捧可得，的宁成立，故C正确 1 11 对于D,当直线AB与C交于右支时，A可十B丽=3 当直线AB与C交于左右两支时，不坊设>>0，一厅<<0， 扇+威扇南+☆)南· 1· 24ml yy2√m2+1 36 31+ m 由于六E03》+京∈（片号）当直线AB斜率为0时，十即专+日号 1 1+1=2 禁上的十京的取值范因为片，号]，故D正确 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.40【解析】(1+2x)5中，x的系数为C2,乘以(1一x)之后，x3的系数为C23×1+C2×(一1)=40. 13.16【解析】由题可得显然Q(5,4)在拋物线内部， M 过点Q作QT垂直准线x=一2，交准线于T点， 所以|MQ|+|MN|≥|MQ+|MC-r=|MQ+|MTI-1,当且仅当M,N,C三，点 共线且，点N在，点M,点C之间时取等号，又|MQ|十|MT≥|TQ|,当且仅当M,Q, T三点共线时取等号，此时C(2,0),M(2,4),Q(5,4),所以CM·C0=16. 14.一号【解析】设三个点横坐标的中项为m,公差为d, 则xA=m一d,xB=m,xc=m十d(>0), 设以AC为直径的圆的圆心为O,由等差数列中项的性质，0-c-m=x, 2 由于以AC为直径的圆与该曲线在，点B处相切，因此圆与曲线在，点B处的切线与y轴垂直. 即f(m)=3m2+k=0,得k=-3m2. 点B在以AC为直径的圆上，由圆周角定理可知AB垂直于BC 因为A(m-d,(m-d)3+k(m-d)),B(m,m3十km), kkm-(m d)km-d)m(m2-3m d+3md-d)+kd 3m'd-3mdetd3md m-(m-d) d d =d2-3md, 用d代一d可得kc=d+3md, 由两直线垂直，得(d-3md)(d+3md)=-1, 签理得，d(9nm2-d)-1.8nm-d+≥2. 则k=一3m<-号等号成立的条件为：d=1,m=号 9 数学参考答案(27J)一2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)如图，设AC,BD交于点O,连接PO,因为正方形ABCD中，AC⊥BD,…2分 因为△PAC为等腰三角形，则POLAC,…4分 且PO∩BD=O,所以ACL平面PBD.…5分 (2)PD+DC2=PC2,PD2+DA2=PA2, 所以PD⊥DC,PD⊥DA,且DA∩DC=D,故PD⊥平面ABCD. …6分 以D为原点，DA,DC,DP为x,y,之轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， …7分 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1). D AP=(-2,0,1),AB=(0,2,0),…8分 0 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 B AP·n=-2x十x=0, ……9分 AB·n=2y=0, 取n=（1,0,2), 又因为ACL平面PBD, 所以平面PBD的法向量可取AC=(一2,2,0)， …………………………………………10分 设二面角A-PB-D的大小为0， cos 0-lcos(AC,n)1=-1-2110 10· …12分 √5×22 由图可知，二面角为锐二面角，故所成余弦值为 10 ………13分 【另解（等体积法）】由PD2+DA=PA,PD+DC=PC,得PD⊥DA,PD⊥DC,故PD⊥平面ABCD. …6分 由正方形边长为2，得DB=2√2；又PB2=PD十DB2=9,故PB=3. 7分 PA2+AB2=PB2,所以SAPAB=√5；同理S△PDB=√2. 8分 四面体P-ABD的体积V=号X5.wnXPD=- 2 3 …9分 3V 设二面角A-PB-D为0，则，点D到平面PAB的距离h1= …10分 SAPAB /5 点D到直线PB的距离h,=2S△mB=22 PB 3· …11分 由垂直于棱PB的截面关系，sin0==3 12分 h2√/10 由图可知0为锐角，故cos0=个一sim0=1 _10 10 10 13分 16.【解桥】1)证明：由三角形面积公式S-sinC-之。 豆Q2得，bsin C-=a,…3分 由正弦定理得，sinA=sin Bsin C. ……5分 (2)方法一：由于C=π-(A十B),故sinC=sin(A十B),条件化为sinA=sin Bsin(A十B),…6分 展开并两边除以cosA(cosA≠0)得tanA(1-sin Bcos B)=sinB,…8分 sin2B 1-cos 2B tan A-1-sin Bcos B 2-sin 2B' …10分 令y=tanA,x=2B,则y(2-sinx)=1-cosx, 整理为ysin a--cosx=2y-1,即/y2+1sin(x-p)=2y-1, 11分 要使这样的x(2B)存在，须2y一1≤V小了+1，即(2一1)P≤+1，化简得3y-4y0,即0≤≤号 …13分 所以1anA的最大值为号，此时sin2B-号60s2B=一号对应B-C,即等腰三角形.…15分 数学参考答案(27J)-3 方法二：由sin Bsin C-osB=C,sB+O<1oB+O=sir(B生9)， ……8分 即smA≤sin(B9）-cos(份）=1+g4， 2 ………9分 上式化简为2sinA-cosA≤1，即5sin(A-g)≤1，其中tanp=2, …10分 当S如(A-g）=写，即1m(A-g）=2时A一g达最大，此时anA最大，…12分 am-w.A-p+p)品。号 …15分 方法三：S=6csmA=,则e·simA-d2-十e-2c·0sA、6分 所以bc·sinA+2bc·cosA=b2+c2≥2bc, 7分 得：SinA十2c0SA2,…8分 则(sinA+2cosA)2=sinA+4sinA·cosA+4cos2A≥4(sinA+cos2A), 10分 2即：3sin2A-4sinA·C0sA≤0，…12分 因为sinA≠0，所以3sinA-4c0sA≤0，…13分 得：3anA-4<0,所以anA≤专 …15分 (注：其它方法对应给分) 17.【解析】1)由题意知，十b+号-1，E()=0+b+1 5 4 2分 解得a=}= … 3分 (2)设事件A=恰有1台摄像头识别出该障碍物，B:=有i(i=0,1,2)台摄像头正常工作， 由全概率公式知， P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2).................. 5分 =×0+×号+3×C2(1-2）)= 7分 故P(B,|A)= P(AB2) ×c1-) 。。t。。。。 P(A) …9分 38 (3)因为P(5=0,Y=0)=子，P(g=1.Y=0)=十×(1-p),P(=2.Y=0)=号X1-p)只..12分 所以PY=0)=+(1-p）+21-p)=号p2-号+1.…13分 若要P(0Y1)≥0.8，则P0Y=0)≤0.2，即2p2-号b十10.2.…14分 上式化简为10p2一25p十16≤0，△=（一25）2-4×10×16=-15<0，故此不等式无解，故不能达到要求。 ……15分 (说明：此问没有任何解析，仅有答案“不可能”的得1分) 18.【解析】(1)由题意知，c2=a2-b=1, 1分 将点1,2)代入描国方程得+品=1，解得。=4.心=3， …3分 所以摘圆C的方程为十兰白1，分 (2)(i)易知直线PQ斜率不为0，设PQ:x=my十1，P(1y1),Q(x2y2), -6m 我之1g得or++g一g-0. y1+y2= 3m2+4' …6分 -9 yy2=3m+4' 设过点P的切线为y=k(x一x1)十y1, 联立-x)+得3十42)2十8(-k)x十4-k)2-12=0,…7分 3x2+4y2=12 数学参考答案(27J)-4 令上式中△=0，结合椭圆方程可解得，k=一8四，（说明：这里直接用二级结论得出切线方程，没有△说明的， 4y1 扣1分)… …8分 故切线方程可化为PT:+号=1， 3 同理可得过Q点的切线方程为QT:+学=1， …9分 3 联立3x1x十y-12化简得3Cm十1)x+3y-12· 3.x2x+4y2y=12 3(my2+1)y1x+4y1y2y=12y, 两式相减得3(2一y1)x=12(一为)，即x=4,所以，点T在定直线x=4上.… 11分 (i)将x=4代入PT方程，得y=33五=33(my+1D=-3m,所以T4,-3m）.…12分 y -3m 再由十为及=my叶1得，PQ中点M(3n3》…13分 因为kr=m=一职，所以O.M,T三点共线 …14分 所以1oMom=V+(3m小·√+(×4-15 3m2+4 =3+3m+:…16分 4 4 因为m≥0，所以3m+∈(0,1，所以0M·OT1∈(3,41 …17分 19【解析)由题意f)=hx+2女，令g)=f),得g(0=- xx>0,…1分 所以0<x<1→g(x)<0;x>1→g'(x)>0,… …2分 因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调通增，并在x=1处取得最小值，即∫(x)≥∫(1)=2： …3分 由A的定义，A=(0,十o∞)，或{xx>0. …4分 (2)(1)由于u∈A=A,故f(u)≥f(o);由于v∈A=A,故f(o)≥f(u),因此f'(u)=f(o).…6分 所以h叶2-h叶0得h名站嘉-，7分 令x=ln乙>0，则=ue, 将=心代入上式，分别得到心=1=1， 2z 则uu=e一e 2· …9分 当>0时，设o(x)=e-e-2x, 故p()=e十e-2-eD>0,故g()在[0，十o0)上单调通增， e 因为p(0)=0,所以o()>0,即e-e>2→uw>1.…10分 (i)令-n是由>eu,得=n≥l,又因为uwee,所以入≤w引 e-e-22,…12分 2 设(x)=e--2兰，(g)=-3》e+(十3》e+4, 23 ……… 2g4 13分 令H(z)=(x-3)e+(x+3)e+4z, 下面逐层判断H(z)的符号：令H1(x)=H'(x)=(x-2)e-(x十2)e+4, H2(z)=H1'(x)=(之-1)e*+(x+1)e*,当>0时，H2'()=(e-e)>0,…14分 又H(0)=H1(0)=H2(0)=0, 由H2'(之)>0，依次得到H2(之)>0，H1()>0,H(之)>0.……15分 因此Φ'()>0，>0，所以Φ(x)在(0，十∞)上单调递增. …16分 由于≥l,故重n(e)=(1)=ee-2」 2 因此imx=e-e,2_e-e-1 2 17分 2 数学参考答案(27J)一5