精品解析：内蒙古自治区奈曼旗第二中学2026-2027学年九年级第一学期期中质量检测数学试卷

2026-2027学年第一学期期中质量检测试卷数学（九年级） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线方程为顶点形式，顶点坐标为解答即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：B． 4. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可． 【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形 ∴（且为正整数） ∴至少为 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键． 5. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意； 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意； 方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 6. 某药厂计划把某种药品价格经过两次降价后调整为289元，已知原价为326元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；药品经过两次降价，每次降价的百分率相同，均为．最终价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：设原价为326元，每次降价率为，根据题意得， 故选：D． 7. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的图像与性质，根据的正负判断的符号，进而得到正确结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，， ∴，的符号无法确定． 8. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，在图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵，抛物线的对称轴位于轴左侧， ∴， ，故A错误，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，即， ， ∴，故B正确，该选项符合题意； C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当 时，，故C错误，该选项不符合题意； D、，， 点与关于对称轴对称， ，故D错误，该选项不符合题意． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 利用根与系数的关系及多项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式， 故答案为：． 10. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 【答案】16 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解： 解：∵， ∴当时，Ｓ取得最大值64， 即飞机着陆后滑行16秒才能停下来． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值是解题的关键． 11. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了____________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：设， 把代入中得：，解得 ∴， 在中，当时，，当时，， ∴若压强由加压到，则气体体积压缩了， 故答案为：15． 12. 如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去  表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当  时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 三、解答题：本题共6小题，共64分．13题8分，14题9分，15题10分，16-17每题12分，18题13分． 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 14. 如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； （2）画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； （3）若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是作图旋转变换、平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题的关键． （1）依据沿水平方向向左平移4个单位得，即可画出； （2）依据中心对称的性质，即可得到关于原点成中心对称的； （3）连接两对对应点，其交点即为对称中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点的坐标是． 故答案为：． 15. 如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数和正比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）12 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式，再把点代入可得m的值，求得正比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把点代入（）得 ∴反比例函数的解析式为 把点代入（）得， ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， ， ； 【小问3详解】 解：根据图象得不等式的解集为或． 16. 消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能到达，理由如下： 将抛物线向左平移2米， 得到的抛物线的解析式为， 当时，， 即在处，水流高度只有15米， ∵点的坐标为，即，而， ∴此时的水流不能到达点A正上方4米处的B着火点． 【解析】 【分析】（1）令抛物线的顶点式为：，将点代入求解即可； （2）先求出平移后的抛物线方程，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得点,抛物线对称轴：， 令抛物线的顶点式为：， 将点代入，得， 解得，， 原水流所在抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 17. 阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线上连续截取，使． 第三步：过点R作轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线上连续截取，使，则D，E为的三等分点． 但是为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设，则点A的坐标为． 轴于点A，交的图象于点P， 点P的坐标为． …… 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整 （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 【答案】（1） ， 点R的坐标为． 轴于点B，交反比例函数的图象于点C， 点C的纵坐标为． 把代入，得， 解得， 点B的坐标为， ． ， ． （2） 如图，M，N，K，L就是线段的五等分点． 【解析】 【分析】本题是反比例综合题，考查了反比例函数的性质，性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先求出点R的坐标为．再得出点C的纵坐标为．把代入，得，解得，可得点B的坐标为，得出．再求解即可； （2）仿照（1）的方法进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：具体作法如下： 第一步：将给定的线段置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线上连续截取，使． 第三步：过点T作轴于点F，交反比例函数的图象于点W，则． 第四步：在射线上连续截取，使， 则M，N，K，L就是线段的五等分点． 18. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）①四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）①由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ②由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）①略 ②∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量检测试卷数学（九年级） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 6. 某药厂计划把某种药品价格经过两次降价后调整为289元，已知原价为326元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，在图象上，则 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是__________． 10. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 11. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了____________． 12. 如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．13题8分，14题9分，15题10分，16-17每题12分，18题13分． 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出； （2）画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标； （3）若与关于点成中心对称，则点的坐标是__________． 15. 如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数和正比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 16. 消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由． 17. 阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线上连续截取，使． 第三步：过点R作轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线上连续截取，使，则D，E为的三等分点． 但是为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设，则点A的坐标为． 轴于点A，交的图象于点P， 点P的坐标为． …… 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整 （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 18. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $