5.3.2函数的极值与最大(小)值（分层作业，17大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数极值的辨析 题型02 导函数图象与极值的关系 题型03 求不含参数的函数的极值 题型04 函数最值的概念 题型05 求不含参数的函数的最值 B组 能力进阶 题型01 已知函数的极值求参数 题型02 函数极值的应用 题型03 已知函数的最值求参数 题型04 函数最值的实际应用 题型05 函数最值在几何中的应用 题型06 不等式恒成立问题 题型07 不等式有解问题 题型08 证明不等式 C组 思维拔高 题型01 求含参函数的极值 题型02 求含参函数的最值 题型03 函数零点或方程根的问题 题型04 极值与最值相关的新定义问题 函数极值的辨析题型01 1．（25-26高二·天津·质检）下列函数中存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的导函数则的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知函数，，则下列结论不正确的是（    ） A．存在，使得的图象与x轴相切 B．存在，使得有极大值 C．若，则 D．若，则关于x的方程有且仅有3个不等的实根 5．设函数. (1)求的单调区间； (2)若，设，求证：不存在极大值. 导函数图象与极值的关系题型02 1．如图是导函数的图象，则的极大值点是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 3．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 4．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 5．（25-26高二·北京·期中）已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________.    求不含参数的函数的极值题型03 1．已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高二下·湖北武汉·质检）已知函数，则在区间上的极大值点为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北·质检）已知函数，则（   ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 4．若的两个极值点为，则_______． 5．（25-26高二·天津·月考）函数的极大值是______． 函数最值的概念题型04 1．函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 2．下列说法正确的是(    ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 3．设，在上，以下结论正确的是 （    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点 4．（25-26高二下·浙江温州·期末）如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 5．下列关于函数的判断正确的是__________． ①的解集是；    ②是极小值，是极大值； ③没有最小值，也没有最大值；    ④有最大值，没有最小值． 求不含参数的函数的最值题型05 1．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 3．函数的最大值是____________． 4．已知，若对一切成立，则__________. 5．已知函数f(x)＝，若存在x1，x2（x2＞x1）满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣2x1的取值范围为_____. 已知函数的极值求参数题型01 1．已知函数在处有极值，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 3．已知函数存在极值点，则实数的取值范围为_________． 4．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 5．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 函数极值的应用题型02 1．（24-25高二下·四川·期中）在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A．3 B． C． D．9 2．已知函数没有极值点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．e 3．函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断： ①f(1)+f(－1)=0；    ②f(－2)>0； ③函数y=f'(x)在区间(－，0)上是增函数. 其中正确的判断是_________. (写出所有正确判断的序号) 4．设 (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 已知函数的最值求参数题型03 1．函数，的最小值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________. 5．（26-27高三上·江苏·适应性考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 函数最值的实际应用题型04 1．（24-25高二下·河南商丘·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（   ） A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条 2．（24-25高二下·福建莆田·月考）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 3．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论： ①该生物种群的数量不超过40000只； ②该生物种群数量的增长速度逐年减小； ③该生物种群数量的年增长量不超过10000只． 其中所有正确说法的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 (1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； (2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 函数最值在几何中的应用题型05 1．已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·重庆·月考）如图，由函数与函数的部分图象可得一条封闭曲线，可以证明封闭曲线的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．封闭曲线的弦长的最大值为 B．封闭曲线上任意一点到原点的距离 C．封闭曲线的面积等于 D．直线被封闭曲线截得弦长的最大值为 3．已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径________厘米. 4．（24-25高二下·重庆·期中）礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力.公园为了再次升级，拟将一块在半径为20米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场（如图所示的阴影部分），同时为了拥有更好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，新型文化广场的面积为． (1)求出新型文化广场的面积为关于的函数解析式； (2)当角取何值时，新型文化广场的面积最大？其最大面积是多少？ 5．2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 不等式恒成立问题题型06 1．（25-26高三上·北京·月考）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是______. 3．（25-26高三上·山西大同·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 4．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 5．已知函数，且在处取得极值，. (1)证明：函数存在唯一的极小值点； (2)若，且当时，恒成立，求的最大值. 不等式有解问题题型07 1．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．当a<1时，已知f（x）=ax-a，g（x）=（2x-1），若存在唯一的整数x0，使得g（x0）<f（x0 ） 成立，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 5．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 证明不等式题型08 1．证明不等式： (1)，； (2)． 2．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 3．已知函数. (1)求函数的极值点及极值； (2)若，且，求证：为自然对数的底. 4．已知函数 （1）若函数是上的增函数，求的取值范围； （2）证明：当时，不等式对任意恒成立； （3）证明： 5．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：不是函数的极值点； (3)设u，v为正数，证明：. 求含参函数的极值题型01 1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 2．已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且． (1)求函数的解析式； (2)若（且），求的极大值. 3．已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并说明理由； (2)当，探究在上的极值点个数. 4．已知函数. (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)讨论函数的极值点个数. 5．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数极值点的个数； (2)当时，数列满足：.求证：的前项和满足. 求含参函数的最值题型02 1．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 2．已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 3．已知函数，求函数在区间上的最大值． 4．已知函数． (1)求的极值； (2)讨论在区间上的最大值． 5．设函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且，其中，求证：； (3)若，函数，求在上的最大值． 函数零点或方程根的问题题型03 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．e 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数 (1)探究在定义域内是否存在极值点； (2)求在定义域内的零点个数. 极值与最值相关的新定义问题题型04 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高三下·四川成都·月考）若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______. 3．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”． 4．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，，则称函数为函数. (1)若函数，为函数，求的取值范围； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上存在唯一的极大值点，求函数最值差的绝对值的取值范围； (3)若，，且为函数，为的一阶导函数，对任意，，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 5．已知函数. (1)若函数有两个极值 （i）求实数的取值范围； （ii）求极大值的取值范围. (2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数极值的辨析 题型02 导函数图象与极值的关系 题型03 求不含参数的函数的极值 题型04 函数最值的概念 题型05 求不含参数的函数的最值 B组 能力进阶 题型01 已知函数的极值求参数 题型02 函数极值的应用 题型03 已知函数的最值求参数 题型04 函数最值的实际应用 题型05 函数最值在几何中的应用 题型06 不等式恒成立问题 题型07 不等式有解问题 题型08 证明不等式 C组 思维拔高 题型01 求含参函数的极值 题型02 求含参函数的最值 题型03 函数零点或方程根的问题 题型04 极值与最值相关的新定义问题 函数极值的辨析题型01 1．（25-26高二·天津·质检）下列函数中存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分析函数的单调性，进而可得是否有极值，即可得出答案． 【详解】对于A：函数在上单调递减，无极值点； 对于B：函数在上单调递增，无极值点： 对于C：函数在上单调递增，无极值点： 对于D：函数对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点． 2．（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．已知函数的导函数则的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出的根，确定变号根的个数即可得． 【详解】由得，，， 或时，，不是极值点， 或时，，时，，因此都是极值点．极点点有2个． 故选：C． 4．已知函数，，则下列结论不正确的是（    ） A．存在，使得的图象与x轴相切 B．存在，使得有极大值 C．若，则 D．若，则关于x的方程有且仅有3个不等的实根 【答案】B 【分析】取，求出函数的图象在处的切线判断A；分类讨论的单调性及极值情况判断B；构造函数，当时，利用导数求出的最小值判断C；当时，利用导数探讨的零点情况判断D. 【详解】对于A，令，函数，求导得，则， 而，则的图象在处切线为，即的图象与x轴相切，A正确； 对于B，由，当时，，在上单调递减，无极大值， 当时，由，得，由时，得， 函数在处取得极小值，无极大值，B错误； 对于C，令， 求导得，令，求导得， 当时，，即函数在上单调递增，， ，， 则存在负数且，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，因此，C正确； 对于D，由选项C知，当时，函数在上单调递减， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， ，则存在，使得， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，，即当时，， 当时，，二次函数图象开口向下， 其对称轴，则存在，使得， 则当或时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， ， ， 令，则， 令，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递减，则， 函数在上单调递减，则， 函数在上单调递减，则，因此， 于是在区间上各有一个零点， 所以当时，关于x的方程有且仅有3个不等的实根，D正确. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 5．设函数. (1)求的单调区间； (2)若，设，求证：不存在极大值. 【答案】(1) 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为. (2) 当时，，则， 令，则， 令，解得：，， 当时，；当时，； ，即在，上单调递增，在上单调递减， ，，又， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，不存在极大值. 【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到结论； （2）求得后，对进行再次求导，可求得，结合零点存在定理可说明的正负，从而得到单调性，结合极值点定义可得结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为，； ①当时，， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当时，令，解得，； 当时，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为. （2）略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解含参数函数的单调性、函数极值的求解问题，本题求解极值的关键是能够通过二次求导的方式，结合零点存在定理说明导函数的零点及单调性，进而根据极值点定义得到结论. 导函数图象与极值的关系题型02 1．如图是导函数的图象，则的极大值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，有导函数的图象，结合函数的导数与极值的关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，由导函数的图象， ，并且，，，在区间，上为增函数， ，，，在区间，上为减函数， 故是函数的极大值点； 故选：． 【点睛】本题考查函数的导数与单调性、极值的关系，注意函数的导数与极值的关系，属于基础题． 2．已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数. 【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间， 区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即有4个驻点， 综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且为拐点. 所以C正确，A、B、D错误. 故选：C 3．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 4．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D 5．（25-26高二·北京·期中）已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________.    【答案】②③ 【分析】根据图像及导数与函数单调性的关系判断出实线图像是的图像，虚线的图像是的图像，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系求解. 【详解】由图像可知实线图像在区间函数值分别为正、负、正，而 虚线图像在区间分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实线的是的图像，虚线是的图像.所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④错误; 又因为， 由图像可知时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间(0,3)上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、0、3分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点 所以③正确 求不含参数的函数的极值题型03 1．已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据抽象函数换元法求解析式，令，可得，再根据的符号确定函数单调性，得到极值点即可． 【详解】设，则，，即， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极大值点为． 故选：B． 2．（24-25高二下·湖北武汉·质检）已知函数，则在区间上的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导，结合定义域可判断极大值点. 【详解】由， 因为，所以由得，即， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 即在区间上的极大值点为, 故选：B. 3．（25-26高二下·湖北·质检）已知函数，则（   ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】借助导数计算即可得. 【详解】， 令，则，有， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，故A、B、C错误，D正确. 4．若的两个极值点为，则_______． 【答案】0 【分析】利用导数，求出函数的极值点即可得解. 【详解】由可得， 令解得或，令解得， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极值点为和，则. 故答案为：0 5．（25-26高二·天津·月考）函数的极大值是______． 【答案】## 【分析】利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大值. 【详解】由的定义域为， 求导得， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减, 故函数在时取得极大值. 函数最值的概念题型04 1．函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 【答案】C 【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解. 【详解】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值． 故选：C． 2．下列说法正确的是(    ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 【答案】B 【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断． 【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象： 对于选项A：极大值极小值，故A错误； 对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确； 如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误． 故选：B. 3．设，在上，以下结论正确的是 （    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点 【答案】C 【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可. 【详解】由已知，，由，得或时；由， 得时，所以在上单调递增，在，上单调递减. 对于选项A，取 ，易知的极值点为， 且，而，所以不是最小值点，故A错误； 对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但 不是极值点，故B错误，C正确； 对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误. 故选：C 【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，是一道容易题. 4．（25-26高二下·浙江温州·期末）如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误. 对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误. 对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确. 对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误. 5．下列关于函数的判断正确的是__________． ①的解集是；    ②是极小值，是极大值； ③没有最小值，也没有最大值；    ④有最大值，没有最小值． 【答案】①②④ 【分析】对于①，令，解出解集；对于②，由导函数得到函数单调性，进而得到函数极值情况；对于③④，在②基础上，得到函数图象，数形结合得到③错误，④正确. 【详解】对于①，令可得，故，①正确； 对于②，定义域为R， 令， 令，解得，令，解得或， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是极小值，是极大值，②正确； 对于③，当或时，，结合②，可得到函数图象如下，    显然为函数最大值，无最小值，③错误，④正确. 故答案为：①②④ 求不含参数的函数的最值题型05 1．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，借助导数探讨单调性求出最小值即可. 【详解】当时，，单调递增，则， 当时，，求导得，单调递减， 因此， 所以的最小值为. 故选：B 2．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 3．函数的最大值是____________． 【答案】 【分析】利用求导来研究函数的单调性，从而可求闭区间上的最大值. 【详解】由求导可得：，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 由于当时，，当时，， 所以可知函数最大值为， 故答案为：. 4．已知，若对一切成立，则__________. 【答案】##0.5 【分析】依题意为函数最小值点，利用导数求解即可. 【详解】由，有，在R上单调递增， 令，得， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 若对一切成立，则.   故答案为： 5．已知函数f(x)＝，若存在x1，x2（x2＞x1）满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣2x1的取值范围为_____. 【答案】[ln2，2） 【分析】用表示出，得出关于的函数，根据的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然，， 由题意可知，故， ， 由可得，故，， 设， 则，在，上单调递减， 又，， ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 已知函数的极值求参数题型01 1．已知函数在处有极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0. 【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意， 故选：A 2．（25-26高二·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 3．已知函数存在极值点，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】因为函数存在极值点， 所以有两个不相等的实数根，故. 4．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】空1：求导，利用导数有两个正根可得，求解即可；空2：利用空1，可得函数的单调性，可得时，函数取得极小值，由已知计算可得，根据可求结论. 【详解】空1：函数的定义域为 求导得，令，可得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根， 设两根分别为且，所以可得，解得， 所以的取值范围为； 空2：由（1）可得时，，当时，， 当时，，所以时，函数取得极小值， 所以且，即， 极小值，所以， 令，求导可得， 所以在上为减函数， 又，所以时，， 由，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，，所以， 所以的取值范围为. 故答案案为：；. 【点睛】思路点睛：函数有极值点转化为导数为0的方程的根的问题，进而可转化为函数的零点问题. 5．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 当时，没有极值点；当时，有2个极值点. (3). 【分析】（1）求出导数，利用给定导数值求出. （2）利用导数分类探讨函数的单调性，进而确定极值点个数. （3）利用（2）的结论，列出不等式求解. 【详解】（1）函数，求导得， 因为，所以. （2）由（1）知，令，而，则， ①当时，即，此时，则， 所以在上单调递增，无极值点； ②当时，即，有两个不等的实根，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是的极大值点，是的极小值点， 所以当时，没有极值点；当时，有2个极值点. （3）若在区间上存在极值，由（2）知，，解得， 所以a的取值范围是. 函数极值的应用题型02 1．（24-25高二下·四川·期中）在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据函数的极值可得，是方程的两根，结合一元二次方程根与系数的关系得，结合等比数列的性质求解即可. 【详解】由题得， 因为，是函数的极值点，则，是方程的两根， 所以，从而可得， 又因为等比数列，可得，且，所以. 故选：B. 2．已知函数没有极值点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．e 【答案】A 【分析】分析可知，，可知在上恒成立，故需要有在上恒成立（等号不恒成立），，求出函数的斜率为的切线方程，可得出，令，则，利用导数求出的最大值，即为所求. 【详解】因为， 依题意在上没有变号零点， 令，其中， 若，则，则函数在上为减函数， 当时，；当时，， 所以，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，不合乎题意， 所以，，从而， 因为当时，，所以需满足在上恒成立， 故需要有在上恒成立（等号不恒成立）， 设，令，得， 所以函数的斜率为的切线方程为， 即， 所以只需要， 所以只需要即可， 令，则， 故，当时，，当时，， 所以，函数的单调递增区间为，递减区间为， 所以当时取得唯一的极大值，即最大值，所以，所以． 所以，的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出，得出，并求出函数的斜率为的切线方程，进一步得出关于、所满足的不等式，然后从不等式中分离出，进而通过构造新函数求解最值. 3．函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断： ①f(1)+f(－1)=0；    ②f(－2)>0； ③函数y=f'(x)在区间(－，0)上是增函数. 其中正确的判断是_________. (写出所有正确判断的序号) 【答案】②③ 【分析】由题意得且，求出，判定符号即可，最后根据开口向下，对称轴为的二次函数，可得函数在区间上单调递增，即可得到答案. 【详解】由函数的图象，且在和处取得极值， 则且，则， 所以，所以①不正确； ，所以②正确， 又由是开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，所以③是正确的， 综上正确命题的序号为②③. 故答案为：②③. 4．设 (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和； (2). 【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值. 【详解】（1）， 由得或， 所以的单调递增区间为和； （2）由Ⅰ知函数在处取得极大值， 即，得 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以在上的最小值为． 5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）（i）根据极值点的概念可得是方程的两个正根，结合计算即可求解； （ii）由（i）得，化简计算可得，令，利用导数求出即可. 【详解】（1）当时，， 则，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）（i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 已知函数的最值求参数题型03 1．函数，的最小值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】求导，得到函数单调性，得到的最小值为，列出方程，求出答案. 【详解】，， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以的最小值为，令，解得. 故选：C 2．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】由得，再由在处取得最大值，分析得，得. 【详解】当时，函数取得最大值-2， 所以，即，，定义域为， 又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以. 故选：A. 3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的导数求的单调性和极值，作出简图，数形结合即可求m的范围. 【详解】因为， 所以当或时，当时， 所以在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 故的图象如图： 函数在区间上有最小值，则由图可知， 即的取值范围是. 故选：D. 4．已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】当时，通过利用导数研究的单调性以及分段函数的性质，找出的单调递增区间即可.利用导数研究单调性，再通过题目中的条件函数的最大值为2，对分情况讨论即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，，解得， 所以当时，，当时，， 所以时，函数的单调递增区间为. （2）因为时，恒成立，故在上的最大值为. 设，则， 故或时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 且的极大值为，令，则， 故，故， 故当时，，且在上的最大值为. 若，则由的单调性可得在为减函数， 故，不合题意，舍； 若，则由的单调性可得在上为减函数， 在为增函数，在上为减函数，且， 而，故，故，不合题意，舍； 若，同理可得， 而，故，符合； 当，由的单调性可得在为减函数，故， 符合； 综上，. 故答案为：， 5．（26-27高三上·江苏·适应性考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 【答案】(1)时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，就分类讨论可得函数的单调性； （2）由（1）结果可得及，再根据题设条件构建新函数，利用导数判断其单调性后可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 若，则恒成立，故的增区间为，无减区间； 若，令，则， 当时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上，时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）因为有最大值，结合（1）的讨论可得， 且， 由题设有即， 设，则，故为上的增函数， 而，故的解为. 函数最值的实际应用题型04 1．（24-25高二下·河南商丘·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（   ） A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条 【答案】C 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为y元，则， ，当时，；当时，， 所以函数y在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C. 2．（24-25高二下·福建莆田·月考）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【答案】D 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 3．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论： ①该生物种群的数量不超过40000只； ②该生物种群数量的增长速度逐年减小； ③该生物种群数量的年增长量不超过10000只． 其中所有正确说法的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可知，求出，然后得，化成带分式便可求出的取值范围判断①，对求导，根据单调性便可求出增长速度，可判断②③. 【详解】解：由题意得： ，即，解得，故．因为，故①正确； 因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误； 当时，，故③正确. 故选C． 4．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 (1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； (2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 【答案】(1) (2)80万件 【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可； （2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可. 【详解】（1）由题意得，总售价固定为， 当产量不足60万箱时，. 当产量不小于60万箱时，. 则 （2）设， 当时，，令，得， 得在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，由基本不等式有 当且仅当，即时取等号； 又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元 函数最值在几何中的应用题型05 1．已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值. 【详解】 设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接， 根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心， 线段为该外接球的半径，， 设正三棱柱的底面边长为，设线段的中点为， 则，， 在中，， 所以，， 又的面积， 所以正三棱柱的体积， 设，则，， 所以，， 所以， 令，可得或，舍去， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当时，三棱柱的体积最大，最大体积为. 故选：B. 2．（24-25高二下·重庆·月考）如图，由函数与函数的部分图象可得一条封闭曲线，可以证明封闭曲线的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．封闭曲线的弦长的最大值为 B．封闭曲线上任意一点到原点的距离 C．封闭曲线的面积等于 D．直线被封闭曲线截得弦长的最大值为 【答案】D 【分析】求函数被直线截得的弦长，判断A真假；求得的零点计算可判断B真假；构造四边形内含于图形，求四边形的面积，判断C的真假；求曲线上的点到直线距离的最大值，判断D的真假. 【详解】对于A选项，有. 设，则， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，， 所以存在，使得，另. 所以上两点，，，所以. 所以的弦长最大值大于，故A错误； 对于B选项，由，可得， 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在内有一个零点，另一个零点为， 所以存在到原点的距离，故B错误； 对于D选项，因为直线与直线垂直， 设曲线的切线为， 由，所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为即.故D正确； 对于C选项，由D选项可知， 设函数在点处的切线与直线平行， 由D选项可知，点到直线的距离为， 设函数在点处的切线与直线平行， 同理可知，点到直线的距离为， 所以的面积，C错. 故选：D. 3．已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径________厘米. 【答案】3 【分析】由题意得到条件等式，进而可得关于的表达式，由导数即可求得极值点. 【详解】设圆柱高为，表面积为，体积为，则， 所以，从而， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当该圆柱的底面半径时，表面积最小， 故答案为：3. 4．（24-25高二下·重庆·期中）礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力.公园为了再次升级，拟将一块在半径为20米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场（如图所示的阴影部分），同时为了拥有更好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，新型文化广场的面积为． (1)求出新型文化广场的面积为关于的函数解析式； (2)当角取何值时，新型文化广场的面积最大？其最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)时，健康广场的面积最大，最大值为m2. 【分析】（1）借助三角函数将矩形的长与宽，三角形的底与高表示出来，利用面积公式求解面积再相加即可. （2）借助导数研究函数的单调性，求出的最大值，进而得到的最大值即可. 【详解】（1）由已知得， 结合题意：等腰底边上的高为=， 而 ， ， 得到 （2）设，则， 令，由，可得，令，可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则时，有， 故， 即时，健康广场的面积最大，最大值为. 5．2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理表示出，可得的表达式，由的活动范围可求的范围； （2）利用导数求解，的最小值，进而可得答案. 【详解】（1）因为是弧的中点，所以，， 又，由正弦定理，得， 又，得，， 所以 ， 当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是. （2）令，； ，令得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为. 不等式恒成立问题题型06 1．（25-26高三上·北京·月考）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，问题转化为恒成立，求的取值范围. 【详解】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意，利用导数分别求出，得，解不等式即可. 【详解】， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； ， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又恒成立， 所以，即， 由，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 3．（25-26高三上·山西大同·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将已知不等式化为，设，结合单调性可求得；令，利用导数可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围. 【详解】由得：， 设，则， 与均为上的增函数，在上单调递增， ，即； 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2). 【分析】（1）把代入，利用导数探讨单调性并求出极值即可. （2）根据给定条件，分离参数构造函数，再利用导数求出最大值即得. 【详解】（1）当时，函数定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以的极大值为，的极小值为. （2）由在上恒成立等价于在上恒成立， 令，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，于是， 所以的取值范围为. 5．已知函数，且在处取得极值，. (1)证明：函数存在唯一的极小值点； (2)若，且当时，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)，则， 因为在处取得极值，则，可得，所以，， 所以，，则，故. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，且， 所以，，使得， 又，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，存在唯一的极小值点； (2). 【分析】（1）由已知条件得出，可得出，利用导数分析函数的符号变化，由此可证得结论成立； （2）分析可知，不等式在时恒成立，令，利用导数求出函数在时的最小值，由此可求得整数的最大值. 【详解】（1）略 （2）依题意得， 当时，恒成立，即在时恒成立. 令，则， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，故， 因为，， 所以，，使得，即， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， ，即， ，故的最大值为. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. . 不等式有解问题题型07 1．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 注意到，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 又因为，由二次函数性质可知， 可得，即实数的取值范围是. 故选：C. 2．当a<1时，已知f（x）=ax-a，g（x）=（2x-1），若存在唯一的整数x0，使得g（x0）<f（x0 ） 成立，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，函数 g（x） = （2x -1）ex 在f（x）= ax - a 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， g’（x） = ex （2x + 1） ，当 x < - 时， g’（x） < 0 ；当 时， g’ 所以，函数 y = g（x） 的最小值为 = -2e- = -1 ， g      = e > 0 . 直线 y = ax - a 恒过定点 （1， 0） 且斜率为 a ， 故 -a > g = -1 且 g > -a - a ，解得≤a < 1， 故选： D . 3．设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A，B两个选项的范围中，出现在了B，C两个选项的范围中，故通过验证参数为0与时是否符合题意判断出正确选项． 法二：根据题意可将问题转化为在上有解，分离参数得到，，利用导数研究的值域，即可得到参数的范围． 【详解】法一：由题意可得， ， 而由可知， 当时，＝为增函数， ∴时，． ∴ 不存在使成立，故A，B错； 当时，＝， 当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D． 法二：显然，函数是增函数，，由题意可得， ，而由可知， 于是，问题转化为在上有解． 由，得，分离变量，得， 因为，， 所以，函数在上是增函数，于是有， 即，应选D． 【点睛】本题是一个函数综合题，方法一的切入点是观察四个选项中与不同，结合排除法以及函数性质判断出正确选项，方法二是把问题转化为函数的最值问题，利用导数进行研究，属于中档题． 4．已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 【答案】 【分析】将问题转化为存在，使得，构造函数，结合导函数研究其最小值. 【详解】因为存在，使得， 即存在，使得， 所以存在，使得， 令，则， 则， 令，则， 则在上单调递增， 因为，， 所以存在使得， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为，所以m的最小值为 5．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 证明不等式题型08 1．证明不等式： (1)，； (2)． 【答案】(1)证明：设，，则． 令，得． 当时，，从而在内单调递增； 当时，，从而在内单调递减． 所以当时，在区间上取最大值． 所以，所以，，． (2)证明：设，则．令，得． 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减． 所以当时，取最小值． 所以，所以，． 【分析】（1）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， （2）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， 【详解】（1）略 （2）略 2．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1) 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. (2)证明：当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）略 3．已知函数. (1)求函数的极值点及极值； (2)若，且，求证：为自然对数的底. 【答案】(1)极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值； (2) 令，则，由，得，即， 不等式，， 则要证，只需证，即证， 令，求导得， 令，求导得， 因此在上单调递增，， 则函数在上单调递增，，即成立， 所以原不等式成立. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，求出极值点及极值. （2）令，结合已知用表示，变形要证不等式并构造函数，利用导数推理即得. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此当时，函数取得极小值， 所以函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值. （2）略 【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 4．已知函数 （1）若函数是上的增函数，求的取值范围； （2）证明：当时，不等式对任意恒成立； （3）证明： 【答案】(1)k>−1；(2) 当k=2时，， ∴不等式f(x)<lnx对任意x>0恒成立，等价于对任意x>0恒成立． 令，则，令， ∴g(x)在(0,3)上递减，在(3,+∞)上递增， ∴g(x)⩾g(3)=ln3−1>0， 即对任意x>0恒成立． ∴不等式f(x)<lnx对任意x>0恒成立； (3) 由(2)知，对任意x>0恒成立，即. ， ， >2n−3. 即. 【分析】(1)首先求得导函数，然后由导函数恒非负即可确定实数k的取值范围； (2)将原问题进行恒等变形，构造新函数，求解新函数的最小值即可证得题中的不等式； (3)利用(2)中证得的不等式，令然后进行放缩，结合裂项求和法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)函数的定义域为， ， ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数，对x∈(0,+∞)恒成立． ∴k+1⩾0，得k⩾−1， 而k=−1时f′(x)=0，f(x)=−1为常函数，不满足条件， ∴k>−1； (2)略 (3)略 5．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：不是函数的极值点； (3)设u，v为正数，证明：. 【答案】(1)在单调递增 (2) 设，则， 若是的极值点， 则，，. 设，则， 由（1）可知，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，单调递增， 所以不是函数的极值点. (3) 当时，，当时，. 因为是增函数，且由（1）可知，单调递增，. 所以，即①， 另有， 即②， 所以①＋②有. 【分析】（1）求导，根据导函数分析单调性即可； （2）假设是的极值点得到，然后求导得到时在上单调递增，即可说明不是函数的极值点； （3）根据函数和的单调性得到，，整理得，，然后两不等式相加即可证明原不等式成立. 【详解】（1）根据题意有. 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以，在单调递增. （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：导数证明不等式方法： （1）构造函数：转化为求函数的最值问题； （2）放缩法：可以通过函数不等式，切线不等式进行放缩； （3）隐零点法：当导数零点不可求时可先证明零点存在，再用此零点代入求函数最小值. 求含参函数的极值题型01 1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增 (2) 当时，在上无极值； 当时，在上无极值； 当时，在处有极小值，无极大值. 【分析】（1）求出导函数，通分，然后按照和分类讨论即可得解； （2）按照、和分类讨论，根据极值的定义来求解. 【详解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 2．已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且． (1)求函数的解析式； (2)若（且），求的极大值. 【答案】(1) (2) 当时，的极大值为； 当时，的极大值为． 【分析】（1）先求出导函数，再根据题目条件列出等式求解出，，，得出；最后利用导数求出函数极值进行验证. （2）先根据（1）中结论和题目条件得出，求出导函数；再根据和分两种情况讨论，分别利用导数判断函数的单调性求出极大值即可. 【详解】（1）因为， 所以. 由函数的图象经过点，可得：， 由函数在处有极值，可得：且， 由，可得：， 以上式子联立，解得：，，， 故，， 令，解得：或；令，解得：， 则函数在内单调递增；在内单调递减；在内单调递增， 故在处取极小值，符合题意， 所以． （2）因为，， 所以，，， 则. 令，解得：，. 当时，有， 令，解得：或；令，解得：， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 当时，有， 令，解得：或；令，解得：， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 综上可得：当时，的极大值为； 当时，的极大值为． 3．已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并说明理由； (2)当，探究在上的极值点个数. 【答案】(1)时，在上单调递增.理由如下： 时，，，，， 所以在上单调递增. (2)当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【分析】（1）求的导函数，根据时，导函数的符号，判断函数的单调性； （2）求的导函数，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，再求的导函数，对a分类讨论，得到的极值点个数. 【详解】（1）略 （2）由，得， 依题意，只要探究在上的变号零点个数即可， 令，，则， (Ⅰ)当，即时，，此时在上恒成立， 则即单调递增，，在上无零点， 在上的极值点个数为0. (Ⅱ) 当，即时， ，使得，即， 当，；当，， 所以即在上单调递增，在上单调递减， 由于，， 若，即时，在上无零点， 在上的极值点个数为0. 若，即时，在上有1个变号零点， 在上的极值点个数为1. 综上所述，当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【点睛】方法点睛：利用化归思想，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，根据的取值范围对参数进行分类讨论. 4．已知函数. (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1) (2) 当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． 【分析】（1）由题知，进而构造函数，研究的性质即可得在上单调递增，在上单调递减，最后再求与两者中的最小者即可； （2）求导后令得，再利用换元法设，得到，构造函数，利用导数分析其单调性和极值，画出图象，再由方程根的个数讨论函数零点的个数. 【详解】（1）解：当时，， 则， 令，则， 因为，所以．则在上单调递减， 又因为， 所以使得，即时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，在上的最小值是与两者中的最小者． 因为， 所以，函数在上的最小值为． （2）解：， 由，解得， 易知函数在上单调递增，且值域为， 令，由，解得， 设，则， 因为当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为趋近于时， 趋近于，趋近于时， 趋近于， 所以的大致图象如图所示． 因此有： （ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点； （ⅱ）当时，， 设，则， 令，， 在上单调递增函数，在上单调递减， 所以，即， 得， 所以，函数在内单调递增，此时没有极值点； （ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点； （ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点． 综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． 【点睛】关键点点睛： （1）求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值. （2）讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两函数相等时方程根的个数问题.用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或方程根个数. 5．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数极值点的个数； (2)当时，数列满足：.求证：的前项和满足. 【答案】(1) 当时，函数有唯一极值点； 当时，函数有两个极值点； 当时，函数无极值点. (2)证明如下： 当时，，， 则， 所以函数在上单调递增， 当时，， 由，可得， 所以，则，， 可得，所以. 设，，则， 所以函数在上单调递减， 所以，则， 所以 ， 所以， 则， 所以， 则. 综上所述，. 【分析】（1）先对函数求导，进而分，，三种情况讨论求解即可； （2）利用导数分析易得函数在上单调递增，可得当时，，进而得到，，构造函数，利用导数分析易得，进而放缩得到，可得，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）由，， 则， 当时，，令，得， 所以函数有唯一极值点； 当时，令，即， 由于，设方程的两根为， 则，所以， 所以函数有唯一极值点； 当时，令，即， 当，即时，设方程的两根为， 则，， 所以函数有两个极值点； 当，即时，方程无解， 所以函数无极值点. 综上所述，当时，函数有唯一极值点； 当时，函数有两个极值点； 当时，函数无极值点. （2）略 【点睛】本题第二问关键在于构造函数，利用导数分析易得，进而放缩得到，可得，进而得到，进而求证即可. 求含参函数的最值题型02 1．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数； (2) 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间． （2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 2．已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 当时，， 当时，. 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号求单调区间即可； （2）讨论、，结合（1）所得函数的单调性求其最小值. 【详解】（1）由题设，， 令，解得； 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时在上单调递减， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， . 3．已知函数，求函数在区间上的最大值． 【答案】 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为. 【分析】求导，分类讨论判断原函数的单调性，进而确定最值. 【详解】由题意可得：，则， ∵，则有： 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递增，则； 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递减，则； 当时，则， 令，解得，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且， ①当，即时，则在区间上的最大值为； ②当，即时，则在区间上的最大值为； ③当，即时，则在区间上的最大值为； 综上所述：当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为. 4．已知函数． (1)求的极值； (2)讨论在区间上的最大值． 【答案】(1)极小值为，极大值为； (2) 当或时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为 【分析】（1）求出函数的导数，探讨导数值正负求出极值. （2）借助（1）求出的函数的单调性，再对进行分类讨论，结合单调性得到最大值. 【详解】（1）函数定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值， 所以函数的极小值为，极大值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 由，得，， 当时，，，； 当时，，，； ③当时，在上单调递增，； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，； ⑤当时，在上单调递减，， 所以当或时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为. 5．设函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且，其中，求证：； (3)若，函数，求在上的最大值． 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，上单调递减． (2) 由（1）知，，即， ， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 又，所以． (3) 【分析】（1）对求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，从而得原函数的单调性； （2）由存在极值点，可得，再根据，经计算可得； （3）根据，分析其单调性，分，，三种情况求其最大值，可得结论. 【详解】（1）， ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，在上单调递增，上单调递减． （2）略 （3）， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 当时，，， 所以在上单调递增， ，，， ①当时，即时，在上单调递增， 所以； ②当时，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以； ③当时，即时， 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 由于，， 当时，即，所以， 当时，即，所以 则， 综上，． 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 函数零点或方程根的问题题型03 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．e 【答案】B 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，根据单调性，讨论函数存在唯一零点时的情况，列出方程，求出参数的值. 【详解】由题意得， 因为，令，解得， 可知当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增，在处取得极小值， 当时，，当时，， 若存在唯一的使得，必有， 所以，化简得， 因为，所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 3．若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数. 【详解】, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，，， 则的草图如下： 由图象可得函数的零点个数为. 故选：C. 4．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，利用导数求出的极值，当位于极小值与极大值之间时，可使有3个不同根，即可得答案. 【详解】因方程（）有个不同的根，，， 则，经比较系数可得， 则问题等价于，当方程有三个不同根时，k的范围， 即图象与有三个交点时，k的范围， 注意到， 令；令， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即. 故选：C. 5．已知函数 (1)探究在定义域内是否存在极值点； (2)求在定义域内的零点个数. 【答案】(1)存在极大值点 (2)0 【分析】（1）求导，分析可知在区间上单调递减且存在零点，进而可得的符号以及的单调性，结合单调性分析极值； （2）根据（1）结合零点代换可得，再根据对勾函数性质即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 因为函数和在上单调递减，可知在区间上单调递减. 且，， 可知存在，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以在定义域内存在极大值点. （2）由（1）可得： ， 即， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递增，且， 可知，即， 故的零点个数为 极值与最值相关的新定义问题题型04 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先对函数求导，结合已知定义即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 若， 由，解得 故选：C 2．（25-26高三下·四川成都·月考）若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据“函数”的定义，将不等式转化为，再构造函数，再用导数求函数的最大值，从而可得所求值的范围. 【详解】由，且，所以， 所以， 依题意，为区间上的“函数”，所以，即， 所以在上恒成立，得在上恒成立. 令，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故当时，函数在区间上取得极大值，也是区间上的最大值， ，实数的取值范围为. 3．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”． 【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的极大值，结合题中定义判断即可； （2）分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用题中定义得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围； （3）求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，设函数的极值点分别为、，可知、是方程的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数是“函数”，理由如下： 因为，则， 当时，；当时，， 所以函数的极大值，故函数是“函数”； （2）函数的定义域为，. 当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极大值为， 易知，解得， 因此，实数的取值范围是； （3） ，因为，，则， 所以有两个不等实根，设为、， 因为，所以，，不妨设， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减. 所以函数的极大值为， 由得， 因为，， 所以 ． 所以函数是“函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 4．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，，则称函数为函数. (1)若函数，为函数，求的取值范围； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上存在唯一的极大值点，求函数最值差的绝对值的取值范围； (3)若，，且为函数，为的一阶导函数，对任意，，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】（1）由新定义函数得到不等式，由的最小值得到的取值范围； （2）设极值点，由定义得到不等式组，得到范围，又因为是极大值，所以，得到函数的最大值和最小值，从而得到函数最值差的绝对值的取值范围； （3）当时，函数在上单调递增，设，则.由新定义得恒成立，构造函数，且为上的减函数，所以，得对恒成立，由函数单调性求得的取值范围.求出导数，再求得其导数，由得到函数的单调性，由函数的最大值与最小值的差求得. 【详解】（1）因为是函数，对任意，，， 则， 所以 ， 故，即，又，， 所以， （2）设为在区间上存在的唯一的极大值点， 则在严格递增，在严格递减， 由，即，得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； （3）因为，，显然为上的严格增函数， 又由题干可知，，任意，，不妨设，此时， 由为函数，得恒成立， 即恒成立， 设，则为上的减函数，，得对恒成立， 易知上述不等号右边的函数为上的减函数， 所以，所以的取值范围为， 此时， ， 因为，当，，所以为上的增函数， 由题意得，，. 【点睛】方法点睛，本题考查函数新定义，以及由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的新定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证. 5．已知函数. (1)若函数有两个极值 （i）求实数的取值范围； （ii）求极大值的取值范围. (2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 证明：要证， 代入即证， ， ，. 只要证：， 即证：， 令，即证非负， ， 当时，，时，， 在递减，递增， 结论成立. 【分析】（1）（i）求定义域，求导，分与两种情况，求出的取值范围；（ii）求出极大值点，结合在上单调递增，从而求出极大值的范围； （2）利用分析法，转化为证明，换元后得到即证非负，求导得到，证毕. 【详解】（1）（i）函数的定义域为 当时，有且只有一个极值点，故舍去. 当时，， 经检验，此时满足函数有两个极值， 故的取值范围是. （ii）设的极大值点，则， 则， ， ，∴在上单调递增 . （2）略 【点睛】证明多元不等式问题，要对不等式进行合理变形，化多元为单元问题，进行求解. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $