4.1 数列的概念（知识清单，知识点+四大易错点+十一大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念 内容概览 2 🔷知识点一　数列的概念及一般形式 2 🔷知识点二　数列的分类 2 🔷知识点三　数列与函数的关系 2 🔷知识点四　数列的通项公式 3 🔷知识点五　数列的递推公式 3 🔷知识点六　数列的表示方法 4 🔷知识点七　数列的前项和 4 5 易错点1：混淆数列与数集的概念 5 易错点2：已知求时，忽略的验证 5 易错点3：判断数列单调性时忽略只能取正整数 6 易错点4：误认为数列图象是连续曲线 7 8 题型1 数列的概念及辨析 8 题型2 根据规律填写数列中的某项 10 题型3 判断或写出数列中的项 12 题型4 观察法求数列的通项公式 13 题型5 根据数列递推公式求通项或项 15 题型6 与关系求通项或项 17 题型7 判断数列的增减性 19 题型8 确定数列中的最大（小）项 22 题型9 根据数列的单调性求参数 23 题型10 数列周期性的应用 25 题型11 递推数列的实际应用 27 🔷知识点一　数列的概念及一般形式 1. 数列:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2. 数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项. 3. 一般形式:数列的一般形式是，简记为. ⚠ 特别提醒 · 数列的核心是顺序，两个数列所含数字完全相同，排列顺序不同就是不同数列。 · 数列中的项可以重复出现，与集合元素的互异性不同。 · 表示整个数列，表示数列的第项，二者是整体与个体的关系。 🔷知识点二　数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ⚠ 特别提醒 · 递增（递减）数列要求对一切正整数都成立，不能只比较相邻某两项。 · 常数列单独归类，不归入递增或递减数列。 · 有穷数列一定有界；无穷数列也可能有界（如）。 🔷知识点三　数列与函数的关系 1. 数列是一种特殊的函数。 (1) 定义域：正整数集（或它的有限子集）。 (2) 对应关系：，即通项公式就是函数解析式。 (3) 图象：一群孤立的点，不是连续曲线。 2. 单调性判断（作差法）： 作差结果 数列类型 递增数列 递减数列 常数列 3. 数列的最值： 4. 最大项满足； 5. 最小项满足。 ⚠ 特别提醒 · 数列自变量只能取正整数，作差法是判断数列单调性最常用、普适的方法。 · 数列图象是散点，作图时只画横坐标为正整数的点，不连线。 · 求最值时不能直接套连续函数最值，需通过作差判断相邻项增减趋势。 🔷知识点四　数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的对应关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做数列的通项公式，记作。 1. 已知通项公式，可以求数列任意一项，也可以判断某个数是否在数列中； 2. 由前几项写通项公式时，注意符号交替用调节，分数数列分子分母分别找规律。 ⚠ 特别提醒 · 并非所有数列都有通项公式（如的不足近似值列）； · 有些数列通项公式不唯一（如可写为或）； · 由前几项写通项公式，答案不唯一，写出一个即可，写出后需代回前几项验证。 🔷知识点五　数列的递推公式 如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式。 递推公式由两部分组成： 1. 初始条件：首项（或前几项）； 2. 递推关系：与（或前几项）的关系式。 举例：，，由此逐项求得，，。 3. 通项公式与递推公式的对比： 通项公式 递推公式 关系式 ，直接表示与的关系 与（或前几项）的关系 求项方式 代入直接求任意一项 从首项开始逐项递推 必要条件 知道即可 必须知道首项（或前几项） 作用 直接了解数列全貌 适合描述相邻项之间的规律 ⚠ 特别提醒 · 递推公式必须包含初始条件，否则数列无法唯一确定； · 通项公式和递推公式是数列的两种重要表示方法，后续章节会学习二者之间的转化； · 一个数列可以有不同形式的递推公式，但初始条件必须一致。 🔷知识点六　数列的表示方法 数列常见表示方法有四种： 方法 形式 特点 通项公式法 精确，可求任意一项 递推公式法 给定，由等给出 描述相邻项规律，需逐项计算 列表法 列出与对应值 直观，适合有穷数列 图象法 描点 形象，看出变化趋势 ⚠ 特别提醒 · 图象法中数列的点是孤立的，不连线。 · 通项公式法和递推公式法是解题中最常用的两种方法。 🔷知识点七　数列的前项和 1. 数列的前项和记为： 2. 与的关系： (1) 时：。 (2) 时：。 (3) 若由求出的通项式子，代入算出来的值等于，则两段可合并为一个统一公式。 ⚠ 特别提醒 · 本节最高频考点：已知求，必须分和两段。 · 求出的表达式后，必须验证时是否满足；不满足则写成分段函数。 易错点1：混淆数列与数集的概念 【易错点】 认为数列就是数的集合，忽略顺序性，或认为数列中项不能重复。 【易错消除】 数列与数集本质区别：数列有顺序、项可重复；数集无顺序、元素互异。 【易错例题】（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】根据数列的概念分别判断各个选项即可. 【详解】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 易错点2：已知求时，忽略的验证 【易错点】 直接用求通项，不验证，导致首项错误。 【易错消除】 严格分步：先求，再求时的，最后验证是否满足的表达式。 【易错例题】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 易错点3：判断数列单调性时忽略只能取正整数 【易错点】 类比函数，用连续函数的单调区间直接判定数列单调性，忽略得到的是连续自变量的性质，不一定完全对应离散的n。 【易错消除】 数列单调性用作差法(或作商法 ，同号)，直接比较相邻两项，只在正整数范围内判断增减。 【易错例题】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【答案】 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，分母，数列递减， 所以在处最大，最大项为. 易错点4：误认为数列图象是连续曲线 【易错点】 把数列图象画成连续曲线，忽略为正整数。 【易错消除】 数列图象是孤立的点，横坐标为正整数，不连线。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）以自然数1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：，，，，，…．请分别用列表法和图象法表示这列数． 【答案】列表法可表示为 1 2 3 … … 1 … … 图象法可表示为 【详解】用列表法可表示为 1 2 3 … … 1 … … 图象法可表示为以项的序号为横坐标，相应的项为纵坐标，作出它的图象，如图．    题型1 数列的概念及辨析 方法技巧 1. 数列是按一定顺序排列的一列数，核心特征是有序性，数相同顺序不同则为不同数列。 2. 数列可看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，通项公式即为对应函数解析式。 3. 数列按项数分为有穷数列和无穷数列；按增减性分为递增、递减、常数列、摆动数列。 4. 辨析时注意：数列的项可以重复，且项数必须为正整数。 【例题1.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 【答案】B 【分析】利用数列的定义求解即可. 【详解】由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数， 而不能是图形、文字、向量等，故B正确． 故选：B 【例题1.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【分析】根据数列的定义逐项判断即可. 【详解】①错误，例如无穷个构成的常数列、、、的各项都是； ②错误，数列、、与数列、、各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确． 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 【变式1.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下面四个结论正确的是（   ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【分析】根据数列的定义、特征，数列与函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因为数列的项是有顺序的，这两个数列虽然项的组成相同，但不是相同的数列，A错误； 对于B，由数列和函数的关系可知B正确； 对于C，数列的第6项即，故C正确； 对于D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，故D错误． 故选：BC. 题型2 根据规律填写数列中的某项 方法技巧 1. 先观察相邻两项的差或商，判断是否为等差、等比或二级等差规律。 2. 区分奇偶项分别找规律，摆动数列先分离符号规律与绝对值规律。 3. 分数数列分别观察分子、分母的规律，注意统一形式后再分析。 4. 周期数列先计算前几项找到周期，再用项数除以周期取余数对应求解。 【例题2.1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 【例题2.2】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝______． 【答案】/ 【分析】根据图形做法，利用三角形的面积公式逐一计算. 【详解】由题意可知，，， ，. 故答案为： 【变式2.1】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 【变式2.2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的称为三角形数，该数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项之差或者高次差相等．我们把这类数列叫作高阶等差数列（三角形数是二阶等差数列）.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第7项为（   ） A．82 B．84 C．86 D．88 【答案】B 【分析】设高阶等差数列，得到，再设数列，求得，得到为等差数列，结合累加法，即可求解. 【详解】设高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35， 可得， 设数列满足前4项分别为，可得， 所以数列构成首项为，公差为的等差数列，所以， 可得 ，即， 所以， 所以该数列的第7项为. 故选：B. 题型3 判断或写出数列中的项 方法技巧 1. 将所求项数代入通项公式，直接计算得到对应项的值。 2. 判断某数是否为数列中的项，令通项等于该数，解方程求。 3. 若方程解出的为正整数，则该数是数列的项，对应即为项数；否则不是。 4. 含绝对值、分段形式的通项，注意根据的范围选择对应表达式。 【例题3.1】（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 【例题3.2】（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 【答案】D 【分析】根据通项，列出等式解方程即可． 【详解】根据数列通项可知：，令， 解得，故7是这个数列的第25项． 【变式3.1】（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. 【变式3.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）数列的通项公式是． (1)0和1是不是数列中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 【答案】(1)0是中的第21项，1不是中的项 (2)存在，第10项与第11项 【分析】（1）直接代入通项式计算即可判断； （2）假设存在，从而得到方程，解出即可. 【详解】（1）若0是中的第n项，则． 因为，所以．所以0是中的第21项． 若1是中的第n项，则， 所以，即． 因为方程不存在正整数解，所以1不是中的项． （2）假设中存在第m项与第项相等，即，解得． 所以数列中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． 题型4 观察法求数列的通项公式 方法技巧 1. 先统一各项的形式（如分数、根式），分别观察符号、分子、分母的规律。 2. 符号交替用或调节，正负起始项对应选择。 3. 相邻项差值有规律，可叠加基础数列（等差、等比）构造通项。 4. 奇偶项规律不同时，可写成分段形式，或利用周期统一成一个表达式。 【例题4.1】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时代入各选项检验即可. 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 【例题4.2】（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 【变式4.1】（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数列的符号规律、分子规律和分母规律，然后根据这些规律来确定数列的通项公式. 【详解】观察数列，可以发现数列的奇数项为负，偶数项为正， 则第n项的符号为 ， 数列可变为 ，所以分子的规律是 ，分母的规律是， 综上，可得该数列的通项公式为 . 【变式4.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，…； (4)9，99，999，9999，…. 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【详解】（1）各项都是偶数，且最小为4，所以通项公式，. （2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式，. （3）这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0， 所以此数列的一个通项公式，或，. （4）这个数列的前4项可以写成，，，， 所以它的一个通项公式，. 题型5 根据数列递推公式求通项或项 方法技巧 1. 求前几项直接代入递推式，逐项计算即可。 2. 形如，用累加法。 3. 形如，用累乘法。 4. 复杂递推可通过变形构造新数列，转化为等差或等比数列求解。 【例题5.1】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为数列满足，，所以，，，， 所以 【例题5.2】（25-26高二下·全国·课后作业）数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 【答案】 【分析】计算出数列的前几项，然后归纳猜想出表达式. 【详解】因为， 所以，猜测. 故答案为：. 【变式5.1】（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】应用已知结合赋值法计算求解. 【详解】由题意，. 令，得， 所以， 即. 令，得， 所以. 令，得， 所以. 令，得. 所以. 令，得. 所以. 令，得， 所以. 【变式5.2】（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出，代入求出； （2）利用累乘法求通项公式. 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 题型6 与关系求通项或项 方法技巧 1. 核心公式：；。 2. 已知求，先算时，再算时。 3. 最终检验时是否满足的表达式，满足则合并，不满足写分段形式。 4. 已知与的混合等式，可利用时作差消去，转化为递推关系。 【例题6.1】（26-27高二上·甘肃·阶段检测）已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】. 【例题6.2】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 又不满足上式， 所以； （2）因为， 当时，， 当时，， 又满足上式， 所以. 【变式6.1】（2026·山东聊城·一模）已知为数列的前项和，若，则________. 【答案】11 【分析】利用与的关系计算求解即可. 【详解】当时，，即， 解得； 当时，， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以数列为常数列， 所以， 所以， 所以． 【变式6.2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的递推公式，再利用累乘法可得数列的通项； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由已知， 当时，， 则， 化简可得，即，，，，， 等式左右分别相乘可得，即， 又，所以； （2）由（1）得，即， 所以 . 题型7 判断数列的增减性 方法技巧 1. 作差法：计算，结果大于0为递增，小于0为递减，等于0为常数列。 2. 作商法：适用于各项同号的数列，比较与1的大小。 3. 函数法：将通项视为关于的函数，借助函数单调性判断数列增减性。 【例题7.1】（25-26高二下·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列是单调递减数列，都是单调递增数列． 【例题7.2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递增数列的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为， 所以数列为递增数列，故A正确； 对于B， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以数列为摆动数列，故B错误； 对于C，因为 ， 所以数列为递增数列，故C正确； 对于D，因为 ，所以， ，，， ，，所以数列为摆动数列，故D错误． 【变式7.1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的通项公式． (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 【答案】(1)证明： ， ，当且仅当时，即时，等号成立， ，，； (2)数列是递减数列，理由如下： 由函数在上单调递增，且， 所以在上单调递减，因为． 所以数列是递减数列． 【分析】（1）将的分子分母都除以，得到，利用基本不等式求出的范围，由得到的范围； （2）利用函数在上单调递增且得到在上单调递减，从而得到数列是递减数列． 【详解】（1）略； （2）数列是递减数列，理由略. 【变式7.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)数列是递减数列，理由为： （方法一：作差法） ， 又，，， ，即.数列是递减数列. （方法二：作商法） ，，. 数列是递减数列. 【分析】（1）解一元二次方程可求数列的通项公式； （2）法一：利用作差法可得，即可得结论.法二：利用作商法可得，即可得结论. 【详解】（1），， ，即，解得， ，. （2）略 题型8 确定数列中的最大（小）项 方法技巧 1. 单调性法：先判断数列增减性，单调数列在端点处取得最值。 2. 不等式组法：设第项最大，列且，解不等式组得；最小项同理反向。 3. 函数图像法：画出对应函数图像，结合正整数点确定最值位置。 4. 先增后减数列有最大值，先减后增数列有最小值，注意验证相邻项大小。 【例题8.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式为，则数列中第________项最小． 【答案】4 【分析】先化简通项公式，再应用二次函数求解最小值. 【详解】因为，所以第4项最小． 故答案为：4. 【例题8.2】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解得，即可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，第四项起为正， 的最小值为. 故选：B 【变式8.1】（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【答案】 【详解】因为， 所以可知当时，数列是递增数列且； 当时，数列也是递增数列且． 当时，数列取到最大值，最大值为； 当时，数列取到最小值，最小值为． 【变式8.2】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 题型9 根据数列的单调性求参数 方法技巧 1. 将单调性条件转化为（递增）或（递减）恒成立。 2. 整理不等式，分离参数，转化为求数列的最值问题。 3. 二次函数型通项，需结合开口方向与对称轴，注意为正整数，对称轴不一定取到。 4. 求出参数范围后，代回验证端点值是否符合题意。 【例题9.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列为递增数列，其通项公式为，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据数列递增定义列式计算求解. 【详解】由题意知，即实数k的取值范围是． 故答案为：． 【例题9.2】（25-26高二上·上海·期末）设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，在时恒成立，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，若是严格减数列，且， 则在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即的取值范围为. 故答案为：． 【变式9.1】（25-26高二上·上海·阶段检测）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式9.2】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 题型10 数列周期性的应用 方法技巧 1. 根据递推公式计算前若干项，观察重复出现的规律，确定周期。 2. 求大项数的项时，用项数除以周期，根据余数对应到周期内的项。 3. 求和问题利用周期分组，先算一个周期内的和，再乘以周期个数加剩余项。 4. 可通过递推式代数推导，证明，严格确定周期。 【例题10.1】（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】由题可知， 可得数列是周期为的周期数列， 又因为， 所以. 【例题10.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，求． 【答案】 【详解】因为，， 所以， ， ， ， 所以是周期为4的数列，所以． 【变式10.1】（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）已知数列满足，则________________________． 【答案】 【分析】根据递推公式逐个求出，得到数列是周期数列，结合周期数列的性质求解. 【详解】因为，所以，， ，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 【变式10.2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出数列的周期，再由数列的性质，即可求解. 【详解】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 题型11 递推数列的实际应用 方法技巧 1. 仔细审题，将实际问题转化为数列模型，明确首项与递推关系。 2. 常见模型：增长率、银行利息、分期付款、细胞分裂、递推型工程问题。 3. 根据递推关系求出通项公式或前项和，代入求解对应问题。 4. 最终结果需结合实际意义检验，确保项数、数值符合现实场景。 【例题11.1】（25-26高二下·江西宜春·期中）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【答案】 【详解】依题意，，消去，得． 【例题11.2】（4.2 简单的递推数列）一楼梯有10级台阶，一个人每步可以走1级或2级台阶，则走完这10级台阶共有多少种不同的走法？ 【答案】89种 【分析】根据题意列出数列的递推公式，然后求出即可. 【详解】考虑一般情况，设楼梯有级台阶，则走完有种走法． 走到级台阶分两种情况，一是从第级台阶走一步（1级台阶）到级台阶； 二是从级台阶走一步（2级台阶）到级台阶． 所以有． 由题意可得， 所以，，，， ，，， 所以走完10级台阶共有89种走法． 【变式11.1】（24-25高二上·全国·课前预习）观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 【答案】 由题意得，自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多根， 即，，， 依此类推：. 【分析】根据题意，结合下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多，即可求解. 【详解】略 【变式11.2】（暑假作业01 数列与等差数列（含斐波那契数列）（巩固培优,5知识9题型巩固提升 能力培优 创新拓展）高二数学人教A版）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：直接由递推公式写出数列的前6项，即可判断；对于B：直接求出数列的前7项的和；对于C：由递推关系直接求解；对于D：由，直接转化，即可判断. 【详解】对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：由已知，，，…，， 累加得，故C正确； 对于D：由 ()可得 ()， 则， 又因为，所以原式，故D正确. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.1 数列的概念 内容概览 2 🔷知识点一　数列的概念及一般形式 2 🔷知识点二　数列的分类 2 🔷知识点三　数列与函数的关系 2 🔷知识点四　数列的通项公式 3 🔷知识点五　数列的递推公式 3 🔷知识点六　数列的表示方法 4 🔷知识点七　数列的前项和 4 5 易错点1：混淆数列与数集的概念 5 易错点2：已知求时，忽略的验证 5 易错点3：判断数列单调性时忽略只能取正整数 5 易错点4：误认为数列图象是连续曲线 6 6 题型1 数列的概念及辨析 6 题型2 根据规律填写数列中的某项 7 题型3 判断或写出数列中的项 8 题型4 观察法求数列的通项公式 9 题型5 根据数列递推公式求通项或项 10 题型6 与关系求通项或项 10 题型7 判断数列的增减性 11 题型8 确定数列中的最大（小）项 12 题型9 根据数列的单调性求参数 12 题型10 数列周期性的应用 13 题型11 递推数列的实际应用 13 🔷知识点一　数列的概念及一般形式 1. 数列:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2. 数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项. 3. 一般形式:数列的一般形式是，简记为. ⚠ 特别提醒 · 数列的核心是顺序，两个数列所含数字完全相同，排列顺序不同就是不同数列。 · 数列中的项可以重复出现，与集合元素的互异性不同。 · 表示整个数列，表示数列的第项，二者是整体与个体的关系。 🔷知识点二　数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ⚠ 特别提醒 · 递增（递减）数列要求对一切正整数都成立，不能只比较相邻某两项。 · 常数列单独归类，不归入递增或递减数列。 · 有穷数列一定有界；无穷数列也可能有界（如）。 🔷知识点三　数列与函数的关系 1. 数列是一种特殊的函数。 (1) 定义域：正整数集（或它的有限子集）。 (2) 对应关系：，即通项公式就是函数解析式。 (3) 图象：一群孤立的点，不是连续曲线。 2. 单调性判断（作差法）： 作差结果 数列类型 递增数列 递减数列 常数列 3. 数列的最值： 4. 最大项满足； 5. 最小项满足。 ⚠ 特别提醒 · 数列自变量只能取正整数，作差法是判断数列单调性最常用、普适的方法。 · 数列图象是散点，作图时只画横坐标为正整数的点，不连线。 · 求最值时不能直接套连续函数最值，需通过作差判断相邻项增减趋势。 🔷知识点四　数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的对应关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做数列的通项公式，记作。 1. 已知通项公式，可以求数列任意一项，也可以判断某个数是否在数列中； 2. 由前几项写通项公式时，注意符号交替用调节，分数数列分子分母分别找规律。 ⚠ 特别提醒 · 并非所有数列都有通项公式（如的不足近似值列）； · 有些数列通项公式不唯一（如可写为或）； · 由前几项写通项公式，答案不唯一，写出一个即可，写出后需代回前几项验证。 🔷知识点五　数列的递推公式 如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式。 递推公式由两部分组成： 1. 初始条件：首项（或前几项）； 2. 递推关系：与（或前几项）的关系式。 举例：，，由此逐项求得，，。 3. 通项公式与递推公式的对比： 通项公式 递推公式 关系式 ，直接表示与的关系 与（或前几项）的关系 求项方式 代入直接求任意一项 从首项开始逐项递推 必要条件 知道即可 必须知道首项（或前几项） 作用 直接了解数列全貌 适合描述相邻项之间的规律 ⚠ 特别提醒 · 递推公式必须包含初始条件，否则数列无法唯一确定； · 通项公式和递推公式是数列的两种重要表示方法，后续章节会学习二者之间的转化； · 一个数列可以有不同形式的递推公式，但初始条件必须一致。 🔷知识点六　数列的表示方法 数列常见表示方法有四种： 方法 形式 特点 通项公式法 精确，可求任意一项 递推公式法 给定，由等给出 描述相邻项规律，需逐项计算 列表法 列出与对应值 直观，适合有穷数列 图象法 描点 形象，看出变化趋势 ⚠ 特别提醒 · 图象法中数列的点是孤立的，不连线。 · 通项公式法和递推公式法是解题中最常用的两种方法。 🔷知识点七　数列的前项和 1. 数列的前项和记为： 2. 与的关系： (1) 时：。 (2) 时：。 (3) 若由求出的通项式子，代入算出来的值等于，则两段可合并为一个统一公式。 ⚠ 特别提醒 · 本节最高频考点：已知求，必须分和两段。 · 求出的表达式后，必须验证时是否满足；不满足则写成分段函数。 易错点1：混淆数列与数集的概念 【易错点】 认为数列就是数的集合，忽略顺序性，或认为数列中项不能重复。 【易错消除】 数列与数集本质区别：数列有顺序、项可重复；数集无顺序、元素互异。 【易错例题】（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 易错点2：已知求时，忽略的验证 【易错点】 直接用求通项，不验证，导致首项错误。 【易错消除】 严格分步：先求，再求时的，最后验证是否满足的表达式。 【易错例题】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 易错点3：判断数列单调性时忽略只能取正整数 【易错点】 类比函数，用连续函数的单调区间直接判定数列单调性，忽略得到的是连续自变量的性质，不一定完全对应离散的n。 【易错消除】 数列单调性用作差法(或作商法 ，同号)，直接比较相邻两项，只在正整数范围内判断增减。 【易错例题】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 易错点4：误认为数列图象是连续曲线 【易错点】 把数列图象画成连续曲线，忽略为正整数。 【易错消除】 数列图象是孤立的点，横坐标为正整数，不连线。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）以自然数1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：，，，，，…．请分别用列表法和图象法表示这列数． 题型1 数列的概念及辨析 方法技巧 1. 数列是按一定顺序排列的一列数，核心特征是有序性，数相同顺序不同则为不同数列。 2. 数列可看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，通项公式即为对应函数解析式。 3. 数列按项数分为有穷数列和无穷数列；按增减性分为递增、递减、常数列、摆动数列。 4. 辨析时注意：数列的项可以重复，且项数必须为正整数。 【例题1.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 【例题1.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【变式1.1】（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下面四个结论正确的是（   ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 题型2 根据规律填写数列中的某项 方法技巧 1. 先观察相邻两项的差或商，判断是否为等差、等比或二级等差规律。 2. 区分奇偶项分别找规律，摆动数列先分离符号规律与绝对值规律。 3. 分数数列分别观察分子、分母的规律，注意统一形式后再分析。 4. 周期数列先计算前几项找到周期，再用项数除以周期取余数对应求解。 【例题2.1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【例题2.2】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝______． 【变式2.1】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【变式2.2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的称为三角形数，该数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项之差或者高次差相等．我们把这类数列叫作高阶等差数列（三角形数是二阶等差数列）.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第7项为（   ） A．82 B．84 C．86 D．88 题型3 判断或写出数列中的项 方法技巧 1. 将所求项数代入通项公式，直接计算得到对应项的值。 2. 判断某数是否为数列中的项，令通项等于该数，解方程求。 3. 若方程解出的为正整数，则该数是数列的项，对应即为项数；否则不是。 4. 含绝对值、分段形式的通项，注意根据的范围选择对应表达式。 【例题3.1】（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【例题3.2】（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 【变式3.1】（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）数列的通项公式是． (1)0和1是不是数列中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 题型4 观察法求数列的通项公式 方法技巧 1. 先统一各项的形式（如分数、根式），分别观察符号、分子、分母的规律。 2. 符号交替用或调节，正负起始项对应选择。 3. 相邻项差值有规律，可叠加基础数列（等差、等比）构造通项。 4. 奇偶项规律不同时，可写成分段形式，或利用周期统一成一个表达式。 【例题4.1】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【例题4.2】（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，…； (4)9，99，999，9999，…. 题型5 根据数列递推公式求通项或项 方法技巧 1. 求前几项直接代入递推式，逐项计算即可。 2. 形如，用累加法。 3. 形如，用累乘法。 4. 复杂递推可通过变形构造新数列，转化为等差或等比数列求解。 【例题5.1】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【例题5.2】（25-26高二下·全国·课后作业）数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 【变式5.1】（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5.2】（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 题型6 与关系求通项或项 方法技巧 1. 核心公式：；。 2. 已知求，先算时，再算时。 3. 最终检验时是否满足的表达式，满足则合并，不满足写分段形式。 4. 已知与的混合等式，可利用时作差消去，转化为递推关系。 【例题6.1】（26-27高二上·甘肃·阶段检测）已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【例题6.2】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【变式6.1】（2026·山东聊城·一模）已知为数列的前项和，若，则________. 【变式6.2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 题型7 判断数列的增减性 方法技巧 1. 作差法：计算，结果大于0为递增，小于0为递减，等于0为常数列。 2. 作商法：适用于各项同号的数列，比较与1的大小。 3. 函数法：将通项视为关于的函数，借助函数单调性判断数列增减性。 【例题7.1】（25-26高二下·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【例题7.2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的通项公式． (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 【变式7.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 题型8 确定数列中的最大（小）项 方法技巧 1. 单调性法：先判断数列增减性，单调数列在端点处取得最值。 2. 不等式组法：设第项最大，列且，解不等式组得；最小项同理反向。 3. 函数图像法：画出对应函数图像，结合正整数点确定最值位置。 4. 先增后减数列有最大值，先减后增数列有最小值，注意验证相邻项大小。 【例题8.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式为，则数列中第________项最小． 【例题8.2】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【变式8.2】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型9 根据数列的单调性求参数 方法技巧 1. 将单调性条件转化为（递增）或（递减）恒成立。 2. 整理不等式，分离参数，转化为求数列的最值问题。 3. 二次函数型通项，需结合开口方向与对称轴，注意为正整数，对称轴不一定取到。 4. 求出参数范围后，代回验证端点值是否符合题意。 【例题9.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列为递增数列，其通项公式为，则实数k的取值范围是________． 【例题9.2】（25-26高二上·上海·期末）设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 【变式9.1】（25-26高二上·上海·阶段检测）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 【变式9.2】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 题型10 数列周期性的应用 方法技巧 1. 根据递推公式计算前若干项，观察重复出现的规律，确定周期。 2. 求大项数的项时，用项数除以周期，根据余数对应到周期内的项。 3. 求和问题利用周期分组，先算一个周期内的和，再乘以周期个数加剩余项。 4. 可通过递推式代数推导，证明，严格确定周期。 【例题10.1】（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列满足，则__________. 【例题10.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，求． 【变式10.1】（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）已知数列满足，则________________________． 【变式10.2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 题型11 递推数列的实际应用 方法技巧 1. 仔细审题，将实际问题转化为数列模型，明确首项与递推关系。 2. 常见模型：增长率、银行利息、分期付款、细胞分裂、递推型工程问题。 3. 根据递推关系求出通项公式或前项和，代入求解对应问题。 4. 最终结果需结合实际意义检验，确保项数、数值符合现实场景。 【例题11.1】（25-26高二下·江西宜春·期中）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【例题11.2】（4.2 简单的递推数列）一楼梯有10级台阶，一个人每步可以走1级或2级台阶，则走完这10级台阶共有多少种不同的走法？ 【变式11.1】（24-25高二上·全国·课前预习）观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 【变式11.2】（暑假作业01 数列与等差数列（含斐波那契数列）（巩固培优,5知识9题型巩固提升 能力培优 创新拓展）高二数学人教A版）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $