精品解析：新疆克拉玛依市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷（二层）

高二年级（2025级三年制）数学学科第5学段 数学II教与学质量诊断 试题 考试时间：2026.10 考试时长：120分钟 满分：100分 一．单选题（每题5分共30分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是直线的一个方向向量，直线的方程为，若直线与直线垂直，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 6. 如果实数，满足等式，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每题6分共12分） 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在两个点，使得 D. 的最小值为1 三．填空题（每题5分共10分） 9. 直线与直线平行，则直线与的距离为________． 10. 直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是_______________________. 四．解答题（共44分） 11. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 12. 已知点，直线及圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值. 13. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 14. 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 15. 已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级（2025级三年制）数学学科第5学段 数学II教与学质量诊断 试题 考试时间：2026.10 考试时长：120分钟 满分：100分 一．单选题（每题5分共30分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】的斜率为，设倾斜角为，， 则，解得，故倾斜角为. 故选：A 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4. 已知是直线的一个方向向量，直线的方程为，若直线与直线垂直，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】结合直线方向向量与斜率的对应关系，列方程即可求解参数的值. 【详解】直线的斜率，直线的斜率. ∵ 与垂直，∴ ，代入得. 解得或. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 6. 如果实数，满足等式，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设过原点的直线的斜率为，数形结合当直线与圆相切时利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； 【详解】由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为 画出图形 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小， 圆心，半径为 所以，解得或（舍）， 故选：D. 二．多选题（每题6分共12分） 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的性质、两条直线垂直的性质，结合直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】A：因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率等于，因此本选项说法不正确； B：当直线与直线互相垂直时， 则有，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，因此本选项说法正确； C：在中，令，得，即，如图所示： 根据对称性可知：， 所以直线的方程为，因此本选项说法正确； D：如图所示： 因为， 所以直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是，因此本选项说法正确， 故选：BCD 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在两个点，使得 D. 的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 三．填空题（每题5分共10分） 9. 直线与直线平行，则直线与的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】直线与直线平行，所以， 所以直线与直线间距离为. 故答案为：. 10. 直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是_______________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数的取值范围． 【详解】解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度为半径的半圆， 是一个斜率为的直线， 要使两图有两个交点，连接和，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的值， 当直线与重合时，； 当直线与半圆相切时， 圆心到的距离， 即，解得：或（舍去）． 所以的取值范围是． 故答案为： 四．解答题（共44分） 11. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程， （2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解， （3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由两点式得边AB所在直线方程为，即． 【小问2详解】 因为，AC的中点， 所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 点C到边AB的距离为，， ． 12. 已知点，直线及圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，分别求出切线的方程，即可得到答案； （2）由题意得到圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的圆心为， 当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，此时与圆相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则方程为， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，即切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 在直角中，，， 所以， 则圆心到直线的距离，解得. 故的值为. 13. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 14. 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】（1）直线与相交 （2）3 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得； （2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0． 【小问1详解】 当时，可化为：， 表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则， 直线与相交. 【小问2详解】 设，由， 直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即， 由消元，得. 经检验时，. 15. 已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，由，求得，即可求得椭圆的方程的标准方程； （2）假设存在定直线，设为，联立方程组求得，化简，设直线、及直线的倾角分别为，，，且直线与直线交于点，利用斜率公式，化简得到且，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的两个顶点分别为、，可得， 又由，解得， 所以椭圆的方程的标准方程为. 【小问2详解】 解：假设存在定直线，显然直线的斜率存在，设为，且、， 联立方程组，整理得， 则，且，， 由 . 设直线、及直线的倾角分别为，，，设直线与直线交于点， 则，，所以， 即， 所以即， 化简得且， 所以，解得或（舍）， 所以存在过点的定直线，使直线平分，该定直线的方程为； 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $