北京市丰台区2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026~2027学年度第一学期期中练习 高三数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)已知集合A={x|-2x>4},B={xx≥-1}，则AUB= (A)(-2,1] (B)(-2,+o) (C)[-1,+0) (D)(-o,-2)U[-1,+x) (2)已知复数z=3-4i,则z·z= (A)7 (B)25 (C)-7 (D)-25 (3)已知向量a=(1,0),b=(0,-1),则a(a+b)= (A)-1 (B)0 (c)1 (D)2 (4)已知a<b<0,c>0,下列结论正确的是 ()日>话 (B)a2<b2 (C)ac>bc D)生v% (5)下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为 (an)=时 (B)f(x）=xsinx (C)f(x)=n(x2+1) (D)f(x)=2-2* (6)在△ABC中，bcosA=asinB,c=√2a,则∠C= (A)平 (B)号 (c)受 (D号 高三数学第1页（共6页） (7)已知函数f(x)=sinx与g(x)=sin(x+4p)的图象关于y轴对称，则p的一个取值为 (A)君 (B)4 (c)罗 (D)受 (8)近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用. 科学研究表明，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q=Qoe·,其中Q。是臭氧 的初始含量，α为常数.经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控 制，经过266年将有一半的臭氧消失.按照这样的变化规律，若经过年，臭氧含量只 剩下初始含量的20%，n约为（参考数据：ln2≈0.693，ln10≈2.302） （A)392 (B)448 (C)618 (D)698 (9)已知平面上不共线的三点0，A,B,O=sin8OA+5cos0OB,则“A,B,P三点共线” 是0=2km-石keZ"的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)设数列{a.}满足aa+1=an+n(2-an)(n=1,2,3,…),给出下列四个结论： ①若a1=1,则{an}为常数列； ②诺0<a<分，则 J2<a226<1; ③若a=子，则{a.为递减数列； ④若a1=-2,存在常数M<0,使得an≤M恒成立. 其中正确结论的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (1)函数x)=产的定义域为 (12)已知{an}是等比数列，若a2=3,a4=9,则a6= (13)已知平面向量a,b满足12a+b1=6,a=(1,5),则1a|= ,Ib1的最大值 为 (14)已知函数f(x)=1log2(x+1)1,若f(x)=0,则x= ;关于x的方程f(x)=m 有两个不同的解1，，(x,<),当m变化时，上-1的取值范围是」 (15)已知函数f(x)=3-1"-x+2,给出下列四个结论： ①存在实数k,使fx)的图象关于直线x=1对称； ②对任意实数k,f(x)存在最小值； ③若f(x)在(1，+o)上单调递增，则k<1; ④若f(x)有且仅有一个零点，则飞的取值集合中恰有两个元素 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=10,a3=3. (I)求{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn=2a.+an,求数列{bn}的前n项和Tn 高三数学第3页（共6页） (17)(本小题14分) 设函数fx)=sin(aur+p）+cos(ox+p),w>0,lpl<7 (I)若(0)=1，求p的值； (Ⅱ)已知)在[-平，]上单调递增，再从条件①，条件②，条件⑧这三个条件中 选择两个作为已知，使函数f(x)唯一确定，求ω，P的值. 条件08）=2； 条件②：f平）+f0)=0; 条件③：x)在[g,]上单调递减。 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分。 (18)(本小题13分) 设函数f(x)=x2+（x-1)(lna)2-6xlna-1(aeR). (I)当f(x)是偶函数时，求f(x)的值域； (Ⅱ)若Hxe[0,1],f(x)≤-m2-1,求a的最小值. 高三数学第4页（共6页） (19)(本小题15分) 为打造城郊休闲农场，现将三角形地块划分成三个功能区（如图），从左到右依 次为果蔬采摘园、景观池塘、露营草坪.已知AC=300m,BC=300V5m,AC⊥BC, ∠MCN=30°. (I)若AM=150m,求CM的长； (I)若△MNC的面积是△CM的面积的'倍，求∠ACM的大小 (Ⅲ)为推介农场，计划在路段AB张贴宣传广告，假设路段AM,MW,NB的广告费用 按每米分别为1元，2元，1元计价.当路段AB的广告费用最少时，直接写出 ∠ACM的大小. (20)(本小题15分) 已知函数f(x)的导函数f'(x)=x2sinx (I)求曲线y=inx在=2严处的切线方程； 3 (Ⅱ)当0<x<π时，求证：f'(x)<2x; (Ⅲ)记g(x)=af(x)-x2(其中常数a≤1)，求函数g(x)在区间(-T,π)上极值点 的个数 (参考数据：3.14<π<3.15,1.7<3<1.8) 高三数学第5页（共6页） (21)(本小题15分) 设A=(ag)uxn是一个m行n列(m,n≥2)的数阵，且数阵中的每一项ag∈{-1,1. 若将数阵A的第i行（或第j列）的每一项均乘以-1，其余项不变，得到一个新的数 阵，称为一次变换.若可经过若干次变换后得到数阵的每一项都等于1，则称数阵A 为“可完美数阵” (I)判断下列数阵是否是“可完美数阵”：（只需写出结论） ②4=(a,= (Ⅱ)数阵A满足：若对任意i,p∈{1,2，…，m,j,9∈{1,2，…，n,都有agAigApQm=1, 则称数阵A具有性质P 1 a (i)已知数阵A= d 是“可完美数阵”，证明：数阵A具有性质P; 、-1-1 (iⅱ)数阵A=（ag)nxn具有性质P,证明：数阵A可至多经过n次变换后得到数阵的 每一项都等于1. 高三数学第6页（共6页） 2026~2027学年度第一学期期中练习 高三数学 第一部分 （选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A．7 B．25 C．-7 D．-25 3．已知向量，，则 A． B． C． D． 4．已知，，下列结论正确的是 A． B． C． D． 5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为 A． B． C． D． 6．在中，，，则 A． B． C． D． 7．已知函数与的图象关于轴对称，则的一个取值为 A． B． C． D． 8．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过266年将有一半的臭氧消失．按照这样的变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（参考数据：，） A．392 B．448 C．618 D．698 9．已知平面上不共线的三点，，，，则“，，三点共线”是“，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设数列满足，给出下列四个结论： ①若，则为常数列； ②若，则； ③若，则为递减数列； ④若，存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为_________． 12．已知是等比数列，若，，则_________． 13．已知平面向量，满足，，则_________，的最大值为_________． 14．已知函数，若，则_________；关于的方程有两个不同的解，，当变化时，的取值范围是_________． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①存在实数，使的图象关于直线对称； ②对任意实数，存在最小值； ③若在上单调递增，则； ④若有且仅有一个零点，则的取值集合中恰有两个元素． 其中正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分） 设等差数列的前项和为，且，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 17．（本小题14分） 设函数，，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）已知在上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定，求，的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题13分） 设函数． （Ⅰ）当是偶函数时，求的值域； （Ⅱ）若，，求的最小值． 19．（本小题15分） 为打造城郊休闲农场，现将三角形地块划分成三个功能区（如图），从左到右依次为果蔬采摘园、景观池塘、露营草坪．已知，，，． （Ⅰ）若，求的长； （Ⅱ）若的面积是的面积的倍，求的大小； （Ⅲ）为推介农场，计划在路段张贴宣传广告，假设路段，，的广告费用按每米分别为1元，2元，1元计价．当路段的广告费用最少时，直接写出的大小． 20．（本小题15分） 已知函数的导函数． （Ⅰ）求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）记（其中常数），求函数在区间上极值点的个数． （参考数据：，） 21．（本小题15分） 设是一个行列（，）的数阵，且数阵中的每一项．若将数阵的第行（或第列）的每一项均乘以-1，其余项不变，得到一个新的数阵，称为一次变换．若可经过若干次变换后得到数阵的每一项都等于1，则称数阵为“可完美数阵”． （Ⅰ）判断下列数阵是否是“可完美数阵”：（只需写出结论） ① ② （Ⅱ）数阵满足：若对任意，，，，都有，则称数阵具有性质． （ⅰ）已知数阵是“可完美数阵”，证明：数阵具有性质； （ⅱ）数阵具有性质，证明：数阵可至多经过次变换后得到数阵的每一项都等于1． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度第一学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分， (1)D (2)B (3)C (4)A (5)D (6)C (7)B (8)C (9)B (10)B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)[0,1) (12)27 (13)2:10 (14)0:(-∞，-1) (15)①②④ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(共13分) 解：（I)设等差数列{an}的首项为a,公差为d, 则 a+2d=3 (44+6d=10'解得 %=1 d=1 所以an=n. …7久 (Ⅱ)bn=2°+an=2"+n, 所以{凸，}的前血项和T,=(2+22+2…+2)+1+2+3…+n) _20-29)+n0+2=21+m0+m-2· 1-22 2 …13 (17)(共14分) 解：(1)因为f0=血p+casp=5n(o+1 nlo+- 2 又因为州受+< 所以p+亚=平 44 p=0. 。而8年。。●●。。8s中。4中票年。。s4 高三数学参考答案第1页（共6页） (Ⅱ)选条件①② f)=sin(or+p)+cos(or+）-五sin(ar+n+孕. 因为∫（设）=V反，所以当x=时，函数了()取得最大值， 又因为心-孕+/0=0，且/在[要司引上单调递抛。 所以f八没=0， π 8 4 所以0=2， 所以f网=2sn2x+p+孕： 又因为f爱=V5, 所以反sin(2×g+p+5=反sin(5+p)=反， A 所以加c+p)=1. 又因为回<5,0<5+p<元， 2 2 所以+p=元 2 2 所以2=0. 选择条件②③解答同上，选择条件①③不得分. 14分 (18)(共13分) 解：(I)因为f(x)是偶函数，所以na)2-6lna=0,解得a=1或a=e. 当a=1时，f(x)=x2-1,值域为[-1，+o). 当a=e时，f(x)=x2-37,值域为[-37，+o) 6分 (Ⅱ)可得题设即 f(0)=-na)2-1≤-π2-1 f0=-6lna≤-π2-1 ，解得na之元，进而可得am=e, 13分 (19)(共15分) 高三数学参考答案第2页（共6页） 解：（1)因为4C=300m,BC=3003m,AC1BC,所以tanB=4C= 300 3 BC30053 因为0°<B<90°，所以B=30°，A=60°. 由余弦定理得，CM2=AC2+M2-2AC·AM.cosA=67500. 所以CM=150V3m. …6分 (Ⅱ)设∠ACM=B,则 5AA-CM-CN.sin /MCN-CM.CN. 1 SACku= )AC:CM·sin∠ACM=150cM~sin0. 因为5ne=55au,所以CV=30月如0. 21 在△BCN中，由正弦定理得 si咖∠BNCsi2即30o6 CB CN _300V3sin0 sin(90°+) sin30° 所以sin20=1. 因为0°<0<60°，所以0°<28<120°，所以0=45°，即∠ACM=45°. …12分 (Ⅲ)当广告费用最少时∠ACM为15°. …15分 (20)（共15分) 解：(I)因为y=cosx 2π1 所以y 2红 =COS 3 ,又因为sim2r-V3 32 所以曲线y=sinx在点 2π 2 ,sin 3 3 处的装方程为y-5- x+π3 即y=一2 x+ 32 …5分 1x-π (Ⅱ)法一：设h(x)=sinx+-x- ，其中0<x<元. 232 π 则（因=osx+2令（因=0，解得x= 3 当0<x<2严时，h)>0,函数)单调递增：当2<x<元时，H闪<0，函数 3 3 h(x)单调递减： 所议-4）-0，所以)s0,所以血x≤-宁+号号 3 2 =(x+经+同 =+j <写02+1=2 因为0<x<元，所以∫(x)<2x. 法二：设h(x)=xsinx(0<x<), h(x)=sinx+xcosx, 当0<x<受时，>0： 当无<x<π时，K()=cosx(tanx+x),设r()=tanx+x,则 2 r)=a如x+x在（写网上单调递增， 又)m登2-5+登<-37+2<0，画数连及 12 侣）否-5+-18+2>0，由零存在定理知，者在唯- 7π2m 的x(123) 使得r(xo)=tanx+=0,于是： 当g<x<x时，()<0，得)>0：当<x<π时，()>0，得(<0， 且[ 0. 21 综上，当0<x<x时，(x)>0:当x。<x<π时，r(x)>0,得h(x)<0,E 高三数学参考答案第4页（共6页） 亚>0，得h(x)mx=h(). 7元 此时tamx=-名名e23 得sin= V1+x x 11+<1+<1+2<55. 1 由函数s0=1+上在(，+)上单调递增，所以(x)<5.5+ -2<V5.5+0.5-2=2, .5 所以xsinx<2, 所以f'(x)<2x. …10分 (Ⅲ)由g'(x)=qf'(x)-2x,函数g'(x)=ax2sinx-2x是(-元，π)上的奇函数， 又由(2)的结论可知，当0<x<π时，g'(x)=af'(x)-2x≤f(x)-2x<0,函数g(x) 在(0，π)单调递减，无极值点：当x=0时，g'(0)=0:当-π<x<0时，g(x)>0,函数g(x) 在（一π，0）单调递增，无极值点： 综上，当x=0时，函数g(x)取得极大值. 于是，函数g(x)在区间(-π，π)上仅有1个极大值点，没有极小值点. 所以函数g(x)在区间(-π，π)上的极值点个数是1. …15分 (21)(共15分) 解：（1)数阵A是“可完美数阵”：数阵A不是“可完美数阵”.…4分 (Ⅱ)(1)假设数阵A具有性质P不成立，即数阵A不具有性质P,于是存在 1sism,1≤psm,1sj≤n,1≤g≤n,其中i≠p,j*9,使得AyAngApjApg*1. 又因为a,∈{-1，，所以a40n“=-1,即a,ag,a,,恰有3项为1（或3项为 -1),每次变换ag,ag,42,apg四项中恰有两项变换为原来的相反数，则 (1)变换的两项都为1（或为-1）时，变换后四项a,a',ap,ag积的值为-1，则 a0ga'0m=ay4g44pm=-1不变： 高三数学参考答案第5页（共6页） (2)变换的两项分别为-1,1时，变换后a,ag,0,“四项积的值不变，则 a'0g0'0N=a0g00m=-1不变： 变换后a4川N=-1与A是“可完美数阵”则ag0m=l矛盾， 所以假设不成立，所以数阵A具有性质P, …9分 (i)由数阵A=(a),具有性质P，可证数阵具有如下性质： 引理1若an=an(a,=ay)其中1≤i<jSn,则a:=ar(au=ag),其中2≤k≤n. 证明：若存在k(2≤kSn)使得a4=a不成立，即a:≠a: 所以a1,an,ak,a:四项中恰有3项相同，即an4n4aa=-l. 数阵A=(ag)n,具有性质P，与anan4ua:=1矛盾 所以假设不成立，得ak=a. 引理2若an=-an(au=-ay),其中1≤i<j≤n,则an=-an(a,=-a),其中 2≤k≤n. 同引理1的证法可证 引理3对数阵进行1次变换后得到数阵仍具有性质P.（由（Ⅱ）()的结论可得) 下面证明原问题」 若a1,a2,…,4中恰有s个-1，n-S个1，a1,a2,,01中恰有1个-1，n-(个1. 当s+1≤n时，将a,42,,4n中s个-1的项对应的列进行变换得到新数阵，由引理1-3 得此时的新数阵每行都相同，且n行中恰有t行，每行中的项都是-1，其余的项都是1：对 每项都是-1的1行进行变换再得新数阵，得到数阵中的每一项都等于1，此时共进行了 s+l≤n次变换. 当s+1>n时，不妨s2t. 将a1,a2,,4,中n-3个1的项对应的列进行变换，由引理1-3得此时每列都相同，且 n行中恰有1行.每行中的项都是-1，其余项都是1；对每项都是-1的1行进行变换，得到 数阵中的每一项都等于1，此时进行了n-5+1sn次变换， 综上，数阵A=(a,)x,具有性质P,数阵A可至多经过n次变换后得到数阵的每一项都 等于1.（其它方法酌情得分） …15分 高三数学参考答案第6页（共6页）