专题04 平面向量与复数（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知向量，，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（       ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 0 3．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A.  B. 1 C.  D. 7 4．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知向量满足，则（       ） A. 2 B.  C. 4 D. 12 5．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A. 4 B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）如图，在中，是延长线上一点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知菱形的边长为，，则 A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（       ） A.  B.  C. 8 D. 12 12．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知平面向量，，，若，则（       ） A.  B.  C. 5 D. 7 13．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（     ） A. 280 B.  C. 300 D.  15．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（               ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（     ） A.  B.  C. -4 D. 4 18．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）若向量满足，且的夹角为，则　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知向量，若，则实数的一个值为　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为　　　　　　． 23．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知向量，，满足，与的夹角为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为　　　　　　 25．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）如图，在正方形中，，点为和的交点.若为钝角，写出符合条件的一组的值为　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）若向量，，则　　　　　　；　　　　　　． 27．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若，则=　　　　　， （2）若的最大值为，此时的最小值为　　　　　． 28．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则　　　　　　． 29．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知菱形的边长为，，（）．当时，　　　　　　　　；当取得最小值时，　　　　　　　　． 30．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知向量满足，，且，则　　　　　　　　. 31．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为　　　　　　　　　　，的最大值为　　　　　　　　　　. 考点02 复数 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）若复数z满足，则（       ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 2．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知复数满足，则的虚部为（     ） A.  B.  C.  D. 1 3．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）如果复数的实部与虚部相等，那么（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 4．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）复数在复平面上所对应的点位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）在复平面内，复数对应的点位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）复数的共轭复数为 A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知复数满足，则（       ） A.  B.  C. 4 D. 8 8．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（       ） A. 2 B. -1 C.  D.  9．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 10．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（       ） A.  B.  C.  D. 4 13．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知复数，则复数（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）设复数，则的共轭复数（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（   ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 16．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）复数，则　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）复数的共轭复数所对应的点坐标为　　　　　. 18．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）复数满足，则　　　　　　　　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知复数满足，则的共轭复数　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面向量与复数 考点01平面向量 考点02复数 D考点01平面向量 1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.D 11.A 12.D 13.A 14.C 15.D 16.B 17.D 18.A 19.B 20.【答案】①1②V叵 【分析】 第一空：由数量积的定义即可得解：第二空：利用转换法求向量的模 【详解】 a.b-lal-1bcos=121.a+bl= 3 故答案为：1；V▣ 21.【答案】-2（或填1） 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 根据向量平行列方程，由此求得X的值 【详解】 a/6所以xx-x=2-x×-1: 由 即x2+x-2=x+2x-1=0' 解得X=-2或x=1, 故答案为：-2（或填1） 2.【容家1 ·(答案不唯一) 【分析】 根据题意，得到6=入。列出方程组，进而得到答案 【详解】 由向量a=1,1,b=x,tx+2存在实数x,使得。卢方的方向相同， 圆b=Aa,20,即X,tx+2E11,可得x+2E2·所以x兰>0，<1取 3 故答案为：青 23. 【答案】晋45 【分析】 根据平面向量向量垂直的坐标关系求解k的值，再根据向量坐标运算与夹角余弦公式即可得一与~，二的夹 aa+b 角 【详解】 向量a=1,-2:6=k,1满足a16 则a-b=1×k-2×1=k-2=0所以k=2,则6=2,1 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以-与-，二的夹角余弦值为c0s aa+b 1,-23,-1 aa+b a,a+b/ +7 aa+b ×和阿石 又a,a+b/el0,m小所以a,a+b=4故a与a+b的夹角为4 放答案为：平 24. 【81空 【分析】 如图，根据单位向量的概念可得， AE=4,AF=1'利用几何图形可得AB=5,即可得解 【详解】 C E 4AB AC 如图，由于AP= T+, 所以AE=4AB,AF=AC ABAC IABI 则AE=4,AF1:所以在等腰直角△ABC中，PE=1:BE=1,所以AB=5: 即腰长为5，故AABC的面积S5x5主 25 故答案为： 2 25.【答案】① (答案不唯一) ② 23 (答案不唯一) 【分析】 计算出∠EMF为钝角时入，μ满足的关系式，即得答案. 3/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 因为ED=-AAB+AD'AF=AB+BF=AB+HAD 所以ED·AF=-AAB+ADAB+HAD 1-21 =-λAB+-AABHAD+AD·AB+ADμAD 因为ABCD为正方形，所以AB=AD,AB⊥AD 所以ED-AF=-AAB+0+0+AD=A+lAB, 因为∠EMF为钝角，且EDAF与∠EMF互补， 2 所以ED·AF=-+μAB>0 1 所a<,所以符台条件的一组，的值为号号 1 2 故答案为：2 (答案不唯一) 26.【答案】①-5： ② 3π 4 【分析】 根据数量积的坐标运算及夹角公式直接计算可得。 【详解】 因a=2,16=-3,1所以a6=2×-31+1×1=-5 d-啊口：6=0口 所以Cos<a,b>= a.b -5 且ia,b>e0,π小所以da,b>=3r 4 故答案为-5；4 π 27.【答案】①-2 ②-2 【分析】 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当0=π时，得到oA,0C的坐标，求得0A:0C OC的值，设B(2+cosa,sina),利用向量的数量积的坐标 运算公式，求得0A:0B=2c0s日+cosa-结合0A:0B的最大值为0，求得cos0=- 2,代入即可 求解 【详解】 由圆c:x-2P+y=1可得圆心C2,0 又由0=π，可得点A的坐标为cosπ，sinπ，即A(-1,0), 所以0A=-1,0,0C=2,0则0A0C=-2 因为点B为圆C:x-2P+y'=1上的动点，可设B(2+cosa,sina 又因为点A的坐标为cos0,sin0,可得0A=cos日，sin8l,OB=2+cosa,sina' A-OB=2+coscos+sinasin@=2cs+cos 因为cos(a-0)∈-1,1所以当cos(a-8)=1时，0A:0B取得最大值2cos6+1: 则2c0s6+1=0,解得c0s0=-号， 因0c0≤元，所8=2受时0A0n的放小值为2a0s受-1=-2 3 故答案为：-2；-2 28.【答案】-1 【分析】 建立如图所示坐标系，由图可得。及。-b的坐标表示，后由数量积的坐标形式下的计算公式可得答案。 【详解】 由图及网格纸上小正方形的边长为1， 可得E0,1,F2,2,G2,3,H3,0l 则c=EF=2,1,a-b=GH=1,-3引 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则20-b=2-3=-1 故答案为：-1. A H 0 29,【爷案】0子 【分析】 当入时，AP=AB,根据向量的三角形注则和激量积的运算法则计苹可行ACPD的值：而 AP-DP=AB入AB-AD=-,科根据二次函数的性质可符出当AP-DP取符最小值时A的值 【详解】 当-，AP=AB, AC-FD-AB+BCAD-AP-AB+ADAD-T48-AD-ABAB-AD 1-+号x1x1x60-子 DP=AP-AD=λAB-AD 所以AP·DP=入ABAAB-AD =Ag-iBAn-h-以小Ah0m=-号2A--。以当- 4 APDp取得最小值，最小位为店 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 31 故答案为：4：4 【点睛】 关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出AP·DP=X2-号入，从而利用二次函数的 性质解决问题 30.【答案】▣ 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】 |a-b=阿石 故答案为：叵 31.【答案】①25 ②2V▣ 【分析】 建立平面直角坐标系，写出相应的点，得出相关的向量，结合向量数量积的坐标表示和图形分析得出第一 空：根据图形的对称性结合已知条件分析即可得出CD 一。的最大值 【详解】 建立如图所示平面直角坐标系，， R M 由AB=5且AB在竖直方向， 可得B0,5则AB=0,5 设Cx,y那么AC=x,y 则ABAC=5y要使ABAC最大，要y最大， 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结合图形，y的最大值可达到5（例如当C处于图中M点时）， 此时AB-AC=5×5=25即A8-AC的最大值为25， 即 虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问思， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界， 根据对称性，可假设C点位于原点A, 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可， 所以CD=阿 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形MNPQRS的顶点， 而对于正六边形NPQRS 其中QU⊥PR,U为PR中点， PU=PQ·cos30°=-y▣ ,QU=PQ-sin30=号 PR=2PU= ▣ 在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为M-2+1口 p的 3 即 即s 可知xxxyxxsxxsyx' 8/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点， 因cM=2cO 故应取更大的CM=2口' 故答案为：25,2只▣ 列 考点02复数 1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.B 9.A 10.C 11.B 12.D 13.C 14.B 15.A 16.【答案】V▣ 【详解】 17.【答案】(-1，-2) 【分析】 由复数乘法求得z,从而得共轭复数，然后由复数的几何意义得点坐标 【详解】 2=2+i=2i+7=-1+2所以2=-1-21对应点的坐标为(-1，-2 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：（-1，-2). 18.【答案】1+i 【分析】 由复数的除法运算得到答案， 【详解】 因为1-2=2所以2=221+12+2-2+2=1+” 1-i1-i训1+i1-平2 故答案为：1+i 2 19. 【答案 【分析】 根据复数代数形式的除法运算化简z,即可得到其共轭复数 【详解】 因-1+2所=中2日台 1 1+ 故答案为：55 10110 专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知向量，，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】 由题意知，， 所以，得， 所以. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（       ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】D 【分析】 利用投影向量公式，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】 ∵向量在向量上的投影向量相同， ，则， 得， 而，得， 得，得，得. 故选：D 3．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A.  B. 1 C.  D. 7 【答案】A 【分析】 建立坐标系，依次求得，，借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系.由图可知，, ， 故. 故选：A. 4．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知向量满足，则（       ） A. 2 B.  C. 4 D. 12 【答案】B 【分析】 根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】 因为， 所以. 故选：B 5．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A. 4 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据向量数量积的定义即可计算. 【详解】 由图知，， 则. 故选：C. 6．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【分析】 直接建立平面直角坐标系，再根据向量的坐标运算可得. 【详解】 建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以. 故选：A. 7．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）如图，在中，是延长线上一点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】 . 故选：B. 8．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出夹角的最小值和最大值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】 圆：，圆心为，半径. 记点为点， 因为，所以点在圆内， ， 当点为的中点时，的夹角最小，此时，， 所以，所以，所以， 即夹角的最小值为； 当线段是圆的一条直径时，的夹角最大，最大值为. 所以，, 所以. 故选：A. 9．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达式，根据函数单调性即可得到其范围. 【详解】 以中点为原点建立如下直角坐标系； 则，，， 设，则，， 则， 即，则，其中，， 则， 则， 故选：D. 10．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知菱形的边长为，，则 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则， 可知. 11．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（       ） A.  B.  C. 8 D. 12 【答案】A 【分析】 由向量模的坐标表示计算模后，结合三角函数的辅助角公式求得最大值. 【详解】 由已知，， ， 所以， ，其中，为锐角， 所以的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A. 12．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知平面向量，，，若，则（       ） A.  B.  C. 5 D. 7 【答案】D 【分析】 根据向量垂直的坐标表示求解． 【详解】 由已知， 又因为，所以，解得， 故选：D． 13．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】 如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或CB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】 本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 14．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（     ） A. 280 B.  C. 300 D.  【答案】C 【分析】 先求出，设为中点，进而可以用向量表示出，结合数量积运算律即可解求． 【详解】 因为，，， 由，所以，所以． ， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以 故选：C. 15．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（               ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由题意可知，由，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可. 【详解】解：由题意可知，，，. ，. ，， . 故选：D. 【点睛】 本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 16．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】 由题意可得，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 17．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（     ） A.  B.  C. -4 D. 4 【答案】D 【分析】 由基底表示表示，再结合题设和数量积的运算律即可计算求解. 【详解】 由题得， 所以. 故选：D 18．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，设，利用向量的模以及数量积的坐标运算可得且，再根据向量模长的坐标运算公式计算取值范围即可. 【详解】 根据题意，设，则，即， 因为，所以，即，所以. 因为，则， 所以， 又因为，即， 所以， 由可得，则的取值范围是. 故选：A. 19．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】 法1：每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则 ，两式相加可得， 因为，则 或 ， 当 时，则次数为； 当 ，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 法2：考虑所有边长为5的勾股数，每次正向的位移之和最大为7， 从到的正向的位移，故移动的次数大于， 考虑下面的移动：，4次，4次，则可从从到. 故最小次. 故选：B. 20．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）若向量满足，且的夹角为，则　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　. 【答案】① 1    ② 【分析】 第一空：由数量积的定义即可得解；第二空：利用转换法求向量的模. 【详解】 ，. 故答案为：1；. 21．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知向量，若，则实数的一个值为　　　　　　　　　　． 【答案】（或填） 【分析】 根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】 由于，所以， 即， 解得或. 故答案为：（或填） 22．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，得到，列出方程组，进而得到答案. 【详解】 由向量，存在实数x，使得与的方向相同， 则，即，可得 ，所以，则,取. 故答案为： 23．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知向量，，满足，与的夹角为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据平面向量向量垂直的坐标关系求解的值，再根据向量坐标运算与夹角余弦公式即可得与的夹角. 【详解】 向量，，满足， 则，所以，则， 所以与的夹角余弦值为， 又，所以，故与的夹角为. 故答案为：. 24．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为　　　　　　 【答案】.5 【分析】 如图，根据单位向量的概念可得，，利用几何图形可得，即可得解. 【详解】 如图，由于=+，所以， 则，所以在等腰直角中，， ，所以， 即腰长为5，故的面积. 故答案为：. 25．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）如图，在正方形中，，点为和的交点.若为钝角，写出符合条件的一组的值为　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　. 【答案】① （答案不唯一）    ② （答案不唯一） 【分析】 计算出为钝角时满足的关系式，即得答案. 【详解】 因为，， 所以 ， 因为为正方形，所以， 所以， 因为为钝角，且与互补， 所以， 所以，所以符合条件的一组的值为，. 故答案为：；（答案不唯一） 26．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）若向量，，则　　　　　　；　　　　　　． 【答案】① ；    ② . 【分析】 根据数量积的坐标运算及夹角公式直接计算可得. 【详解】 因，，所以. 又，， 所以，且，所以. 故答案为；. 27．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若，则=　　　　　， （2）若的最大值为，此时的最小值为　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 当时，得到的坐标，求得的值，设，利用向量的数量积的坐标运算公式，求得，结合的最大值为，求得，代入即可求解. 【详解】 由圆，可得圆心 又由，可得点的坐标为，即， 所以，则； 因为点为圆上的动点，可设， 又因为点的坐标为，可得， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 则，解得， 因为，所以，此时的最小值为. 故答案为：；. 28．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 建立如图所示坐标系，由图可得及的坐标表示，后由数量积的坐标形式下的计算公式可得答案. 【详解】 由图及网格纸上小正方形的边长为1， 可得. 则. 则. 故答案为：. 29．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知菱形的边长为，，（）．当时，　　　　　　　　；当取得最小值时，　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 当时，，根据向量的三角形法则和数量积的运算法则计算可得的值；而，再根据二次函数的性质可得出当取得最小值时的值. 【详解】 当时，， ； ， 所以 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. 【点睛】 关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出，从而利用二次函数的性质解决问题. 30．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知向量满足，，且，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 31．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为　　　　　　　　　　，的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 建立平面直角坐标系，写出相应的点，得出相关的向量，结合向量数量积的坐标表示和图形分析得出第一空；根据图形的对称性结合已知条件分析即可得出的最大值. 【详解】 建立如图所示平面直角坐标系， 由且在竖直方向， 可得，则， 设，那么， 则，要使最大，需要最大， 结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中点时）， 此时，即的最大值为25， 虽然两点异于两点，但因为图中蜂巢的对称性， 两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得两点相距最远，两点之间应靠近边界， 根据对称性，可假设点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑点位于轴左边即可， 所以， 由图观察可见，离点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形， 其中为中点， ， ， 在正六边形中，外边界四点离点相对较远， 对应坐标为， 即， 即， 即， 即， 可知， 所以外边界四点中，只需要考虑两点， 因， 故应取更大的， 故答案为：25，. 考点02 复数 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）若复数z满足，则（       ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【分析】 利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】 由题意有，故． 故选：B． 2．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知复数满足，则的虚部为（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 根据复数的除法化简运算即可. 【详解】 因为，所以. 故虚部为， 故选：. 3．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）如果复数的实部与虚部相等，那么（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 把复数化为代数形式，得实部和虚部，由此可求得． 【详解】 ，所以实部为，虚部为，所以． 故选：A． 4．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）复数在复平面上所对应的点位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 由复数的运算法则结合复平面的定义计算即可得. 【详解】 ， 在复平面上所对应的点位于第二象限. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）在复平面内，复数对应的点位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【详解】利用复数的乘除运算法则化简复数，即可得到结论. 【详解】由题意，， 所以，复数对应的点为，即为第三象限的点. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数与复平面对应点之间的关系，属于基础题. 6．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）复数的共轭复数为 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】试题分析： ，故共轭复数为 考点：复数运算 7．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知复数满足，则（       ） A.  B.  C. 4 D. 8 【答案】B 【分析】 先根据复数的除法运算确定复数，再根据复数模的概念求. 【详解】 因为， 所以. 故选：B 8．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（       ） A. 2 B. -1 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用复数的乘法运算以及复数的几何意义逐一验证求解即可. 【详解】 不妨设，则， 结合题意可知：，逐一考查所给的选项： 对于选项A：，不合题意； 对于选项B：，符合题意； 对于选项C：，不合题意； 对于选项D：，不合题意； 故选：B. 【点睛】 本题考查了复数的四则运算、复数的几何意义，属于基础题. 9．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】A 【分析】 根据复数的几何意义得到复数的代数式，再利用复数的除法运算即可. 【详解】 由题意，，则. 所以复数的虚部是 故选：A. 10．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据复数的几何意义得到复数，再根据复数的乘法计算可得. 【详解】 因为复数在复平面内对应的点的坐标是， 所以，所以. 故选：C 11．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用复数的除法运算化简，然后利用复数的几何意义求出对应点的坐标. 【详解】 ， 则复数在复平面内对应的点为． 故选：B 12．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（       ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】D 【分析】 根据复数的几何意义得到，再利用共轭复数的概念和复数的乘法计算法则即可得到答案. 【详解】 由题意得，则. 故选：D. 13．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知复数，则复数（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据复数的运算法则求得，再结合共轭复数的定义求解即可. 【详解】 由，则， 即. 故选：C 14．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）设复数，则的共轭复数（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用复数除法求出，进而求出其共轭复数. 【详解】 复数，所以. 故选：B 15．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（   ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 由复数的除法运算结合复数概念即可求解. 【详解】 由，得， 由题意可得， 故选：A 16．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）复数，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 ，. 17．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）复数的共轭复数所对应的点坐标为　　　　　. 【答案】 【分析】 由复数乘法求得，从而得共轭复数，然后由复数的几何意义得点坐标． 【详解】 ，所以，对应点的坐标为， 故答案为：． 18．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）复数满足，则　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由复数的除法运算得到答案. 【详解】 因为，所以， 故答案为：. 19．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知复数满足，则的共轭复数　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到其共轭复数. 【详解】 因为，所以， 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $