2.1 分式的概念及基本性质 第2课时 分式的基本性质 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式 2.1　分式的概念及基本性质 第2课时　分式的基本性质 关键词：基本性质 符号法则 约分 最简分式 本课的一条式子 是整式， 从左往右看：扩分　　从右往左看：约分 授课班级：八（　）班　　授课教师：________ 【课件说明】本课件用于湘教版八年级上册第2章 2.1“分式的概念及基本性质”第2课时（分式的基本性质），共28页。内容：分式的基本性质、符号法则、约分、最简分式、化简求值。 【请教师核对】据同步资源，通分安排在 2.2“分式的加法和减法”第2课时，本课只在作业中预告，不展开。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 1 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 2 学习目标与评价任务 学习目标 评价任务 达成标准 1. 类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，知道所乘（除）的整式不能为0 糖水情境（第4页）、代值探究（第5页）、想一想（第7页） 能说出“同乘同除、非零整式”两个要点 2. 会用基本性质填空，会用符号法则把分子、分母的首项系数化为正 例1、例2、符号易错（第8~11页）；检测第2题 符号改变“两处”，多项式每项都变号 3. 理解约分和最简分式，会先因式分解再约分，结果化为最简分式 例3、例4、批改、判断最简、变式（第12~18页）；检测第1、3、4题 先分解后约分，只约因式不约项 4. 会先约分再求值，能解决简单的实际问题和系数化整数问题 化简求值、花坛与徒步、系数化整数（第19~21页）；检测第5题 过程简洁，结果正确 重点 分式的基本性质；约分。　难点 符号法则；多项式的约分（先因式分解）；判断最简分式。 【学习目标与评价任务】每个目标对应课件中的评价任务和当堂检测题号。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 2 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 3 情境导入 回顾：分数的基本性质 三条长度相同，涂色部分一样长（按比例绘制） 同乘或同除以一个不为0的数 猜一猜：分式是不是也有类似的性质？ 【回顾分数的基本性质】三条分数条长度相同（按比例绘制），涂色部分分别是 2/3、4/6、8/12，面积相同，说明三个分数相等。分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 3 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 4 情境导入 情境：两杯糖水一样甜吗？ A 杯 糖 20 g + 水 80 g = 糖水 100 g B 杯 糖 60 g + 水 240 g = 糖水 300 g 橙色 糖，浅蓝 水，按质量比例绘制（情境设定） 用数算 用字母： g 糖配成 g 糖水 【情境：两杯糖水一样甜吗？（情境设定）】A 杯：20 g 糖溶于 80 g 水，得 100 g 糖水；B 杯：60 g 糖溶于 240 g 水，得 300 g 糖水。浓度都是 20%：20/100 = 60/300（Python 已核对）。比例条按质量比例绘制。 推广：a g 糖配成 b g 糖水，与 3a g 糖配成 3b g 糖水一样甜，即 a/b = 3a/(3b)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 4 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 5 概念探究 探究：用数检验你的猜想 、、 的值 原分式 分子分母同乘 结论 2，5，3 相等 ，4，2 相等 3，7，0 没有意义 发现：分子、分母同乘一个数，值不变——但这个数不能是 0。 【代值探究】对 a/b 与 (a·c)/(b·c) 取三组值：(2, 5, 3) 得 2/5 = 6/15；(−1, 4, 2) 得 −1/4 = −2/8；(3, 7, 0) 时 (3·0)/(7·0) = 0/0，没有意义。由此发现：所乘的整式不能为 0。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 5 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 6 概念探究 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个非零整式，所得分式与原分式相等。 都 分子、分母两处都要变 同一个 乘（除以）的是同一个整式 非零 ，否则没有意义 【分式的基本性质】（据同步资源转述）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等；反过来，分子与分母都除以它们的一个公因式，所得分式也与原分式相等。即 f/g = (f·h)/(g·h)（h ≠ 0）。【请教师核对课本原文】 强调三个关键词：都、同一个、非零整式。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 6 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 7 概念探究 想一想：下列等式成立吗？为什么？ (1) 成立：同乘 3 (2) 不成立：是“同加”，不是同乘 (3) 时成立 (4) 时成立：同乘 【想一想：下列等式成立吗？】(1) 成立，分子分母同乘 3；(2) 不成立，分子分母同“加 1”不是同乘，取 x = 1、y = 2 得 1/2 ≠ 2/3；(3) c ≠ 0 时成立；(4) x ≠ 0 时成立，同乘 x。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 7 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 8 例题与变式 例1　根据分式的基本性质填空 (1) 分母 × 填 (2) 分子 × 填 (3) 分子 × 填 （） (4) 分子 ÷ 填 方法：看已知的一处变了什么，另一处做同样的变化。 【例1 填空】(1) 分母 3b → 6b²，乘了 2b，分子也乘 2b，填 2ab；(2) 分子 x + y → x² + xy，乘了 x，分母也乘 x，填 x²；(3) 分子 1 → a + b，乘了 a + b（a + b ≠ 0），分母填 a² − b²；(4) 分子 x² − 2x → x − 2，除以 x，分母 x² 也除以 x，填 x。 方法：先看已知的那一处“变了什么”，另一处做同样的变化。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 8 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 9 例题与变式 符号法则：三处符号，改两处值不变 分子、分母同乘 ： 同理： 分式本身的符号 分子的符号 分母的符号 同时改变其中两处，分式的值不变；只改变一处，值变为原来的相反数。 【分式的符号法则】由基本性质，分子、分母同乘 −1：(−f)/(−g) = f/g；又 (−f)/g = f/(−g) = −f/g。分式本身、分子、分母三处符号，同时改变其中两处，分式的值不变；只改变一处，值变为相反数。【请教师核对：课本是否使用“符号法则”这一名称】 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 9 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 10 例题与变式 例2　不改变分式的值，使分子、分母首项系数为正 (1) 改分子和分式本身两处 (2) 改分子、分母两处 (3) 同乘 ，每一项都变号 (4) 提醒：分子或分母是多项式时，“变号”要变每一项的符号。 【例2 不改变分式的值，使分子、分母的首项系数都为正】(1) −x/(2y)，负号提到分式前；(2) a/(3b)，分子分母同乘 −1；(3) 分子分母同乘 −1，多项式每一项都要变号：(x − 2)/(3x + 1)；(4) 只把分子写成 −(a − 2)，负号提到分式前：−(a − 2)/(a² − 1)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 10 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 11 例题与变式 当小老师：符号的变化对吗？ 错误写法 错因 正确结果 ✗ 只变了首项 ✓ ✗ 分子分母各项都要变号 ✓ ✗ 只改了一处 ✓ 检查：数一数改了几处；多项式整体变号时，每一项都要变。 【符号易错】三个错例为典型错误示例：(1) 负号提进分子时只改了首项；(2) 分子分母同乘 −1 时只改了首项；(3) 只改分子一处的符号，值变成相反数。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 11 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 12 例题与变式 约分与最简分式：与分数类比 分数的约分 约去公因数 6，得到最简分数 分式的约分 约去公因式 ，得到最简分式 约分 把分子与分母的公因式约去（分子与分母都除以公因式）。 最简分式 分子与分母没有公因式的分式。约分的结果要化成最简分式。 【约分与最简分式】（据同步资源转述）把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分。分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式。【请教师核对课本原文】 类比：12/18 约去公因数 6 得最简分数 2/3；6a²b/(9ab²) 约去公因式 3ab 得最简分式 2a/(3b)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 12 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 13 例题与变式 约分四步：分解 → 找 → 约 → 查 一 分解 分子、分母分解因式 二 找公因式 系数、字母、因式 三 约去 分子分母同除以公因式 四 查最简 还有公因式吗？ 第1章的方法在这里派上用场 提公因式法 平方差公式 完全平方公式 【约分的步骤】一分解（用第1章的提公因式法、公式法把分子分母分解因式）→ 二找（找出公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，相同的多项式因式）→ 三约（约去公因式）→ 四查（是否最简）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 13 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 14 例题与变式 例3　约分（分子、分母是单项式） (1) (2) 找公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂；负号提到分式前。 公因式： 公因式： 【例3 分子分母是单项式】(1) 公因式 6xy³（系数 12 与 18 的最大公约数 6，x 取最低次 1，y 取最低次 3），结果 −2x/(3y)；(2) 公因式 5a²bc，分母的负号提到分式前，结果 −3ab/(5c²)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 14 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 15 例题与变式 例4　约分（分子、分母是多项式） (1) 平方差 + 完全平方 (2) 提公因式 + 平方差 (3) 注意： 【例4 分子分母是多项式：先因式分解再约分】(1) 平方差与完全平方：(x + 2)(x − 2)/(x + 2)² = (x − 2)/(x + 2)；(2) 提公因式与平方差：a(a − b)/[(a + b)(a − b)] = a/(a + b)；(3) 9 − x² = (3 + x)(3 − x)，(x − 3)² = (3 − x)²，约去 (3 − x) 得 (3 − x)/(x + 3)。第(3)题也可写成 −(x − 3)/(x + 3)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 15 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 16 例题与变式 当小老师：这样约分对吗？ 错误写法 错因 正确结果 ✗ 项不能约 ✓ ✗ ✓ ✗ 分子分解错 ✓ ✗ 漏了 ✓ ✗ 没有约尽 ✓ 【当小老师：约分易错】五个错例为典型错误示例：约“项”而不是约“因式”；没有先分解就约；漏掉 −1；没有约尽。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 16 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 17 例题与变式 判一判：哪些是最简分式？ 是 不是 系数有公因数 2 是 分子不能分解 不是 等于 不是 等于 是 判断方法：先把分子、分母分解因式，再看有没有公因式（包括系数）。 【判一判：哪些是最简分式？】是：(x + 1)/(x − 1)，(x² + y²)/(x + y)，m/(m² + 1)；不是：2x/(4y)（系数有公因数 2），(a − b)/(b − a)（= −1），(x² − 9)/(x + 3)（= x − 3）。Python 用 gcd 逐一核对。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 17 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 18 例题与变式 变式练习　约分（同桌互查） (1) 答案 公因式 (2) 答案 提公因式 + 完全平方 (3) 答案 平方差 + 完全平方 (4) 答案 提公因式 + 平方差 答案在同桌互查后出示。 【变式：约分】答案：(1) −2m/(3n)；(2) x/(x − y)；(3) (a − 3)/(a + 3)；(4) 2/(x + 3)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 18 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 19 拓展应用 方法一：直接代入 计算量大，容易算错 方法二：先约分 先化简，再代入，更简便 整体代入：已知 ，求 【先约分，再求值】x = 3，y = 1。方法一直接代入：(9 − 12 + 4)/(9 − 4) = 1/5；方法二先约分得 (x − 2y)/(x + 2y)，再代入得 1/5。两种方法结果相同，先约分计算量小。 整体代入：已知 a = 2b（b ≠ 0），(a² − ab)/(a² − b²) = a/(a + b) = 2b/(3b) = 2/3。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 19 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 20 拓展应用 约分解决实际问题 m ? 面积 按 绘制：长 10 m，宽 4 m（每格 1 m） 徒步队的平均速度 徒步队走了 km，用时 h（情境设定）。 时：走 45 km，用 9 h 速度 km/h， 约分后，式子简单，代入也简单。 【实际问题（情境设定）】(1) 长方形花坛面积 (x² − 9) m²，长 (x + 3) m，宽 = (x² − 9)/(x + 3) = (x − 3) m。图按 x = 7 绘制：长 10 m、宽 4 m、面积 40 m²（按比例）。(2) 徒步队走了 (a² − 4) km，用时 (a + 2) h，平均速度 (a² − 4)/(a + 2) = (a − 2) km/h；a = 7 时为 45 km 用 9 h，即 5 km/h。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 20 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 21 拓展应用 拓展：把分子、分母的系数化为整数 (1) 同乘 10 (2) 同乘 6 易错：分子、分母的每一项都要乘，像 、、 这些系数是整数的项也不能漏。 【拓展：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数】(1) 分子分母同乘 10：(5x − 2y)/(3x + 10y)；(2) 分子分母同乘 6（2 与 3 的最小公倍数）：(3a + 2b)/(6a − 6b)。易错：分母中的 y、a、−b 也要乘，不能只乘带小数或分数的项。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 21 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 22 检测与小结 本课易错点汇总 1. 所乘整式不为 0 用基本性质时，所乘（除）的整式必须不为 0。 2. 符号法则改两处 三处符号改两处，值不变；多项式变号要变每一项。 3. 约因式，不约项 先分解因式，再约公因式； 与 不能约。 4. 结果要最简 系数也要约尽； 与 只差一个负号，约去后得 ，不是 1。 【本课易错点汇总】先请学生说，再出示。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 22 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 23 检测与小结 当堂检测　限时 6 分钟 1. 下列分式中，是最简分式的是（　　） 要求：第3~5题写出分解因式的过程。 【当堂检测】限时6分钟，5题每题2分，满分10分。题目为教师自编。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 23 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 24 检测与小结 检测答案与评分 题号 答案 要点 1 其余三个都能约分 2 分母乘 ，分子也乘 3 公因式 4 与 约去 5 时 评分：每题2分　9～10分 ★★★ 6～8分 ★★ 5分及以下 ★ 【答案与评分】第3题系数没约尽或负号位置错得1分；第4题未分解直接约得0分；第5题只代入未约分但结果正确得满分（鼓励先约分）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 24 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 25 检测与小结 课堂小结：分数 → 分式 分数 分式 基本性质 约分 最简 新的要点 思想方法：类比（分数 → 分式）；转化（分解因式 → 约分） 【课堂小结】用对比表回顾：分式的基本性质、约分、最简分式都可以和分数类比；不同之处是分式要先分解因式，还要注意符号。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 25 26 板书设计 2.1　分式的基本性质 三、约分：分解 → 找公因式 → 约去 → 查最简 　　只约因式，不约项 四、最简分式：分子分母没有公因式 学生板演区 【板书设计】左侧主板书：性质—符号—约分—最简；右侧学生板演例4(3)和变式(2)。 26 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 27 评价与作业 评价量表与自我评价 评价维度 ★★★ ★★ ★ 基本性质（目标1） 能说出“都、同一个、非零”，会判断等式是否成立 能说出性质，判断偶有错 说不完整 填空与符号（目标2） 填空正确，符号改两处、每项都变号 填空正确，符号偶有错 符号常错 约分与最简（目标3） 先分解后约分，结果最简 会约分，偶尔没约尽 约“项”或不分解 化简求值与应用（目标4） 先约分再代入，实际问题能解释 能求值，但未先约分 求值出错 我的自评：☆☆☆　　我最容易错的是：____________________　　我还想知道：____________________ 【评价量表】学生对照自评，小组长复核，教师抽查。 27 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.1 分式的概念及基本性质（第2课时） 28 评价与作业 分层作业 A 基础 （必做） B 提高 （必做） C 拓展 （选做） 的值。 预习：2.2 分式的加法和减法——同分母分式怎样相加减？（异分母需要“通分”，在 2.2 第2课时学习。） 【分层作业参考答案】1. 4x²y；2. −3a²/(4b)；3. x − 5；4. (n − m)/(m + n)；5. x/(x + 2)，x = 2 时为 1/2；6. (2a + 5b)/(7a − 10b)；7. x = 3y，原式 = (x − y)/x = 2/3。 【请教师核对】通分在 2.2 第2课时学习，预习只作提示。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-1-2_v2.txt。 28 $