4.8　图形的位似教学设计2026-2027学年数学北师大版九年级上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

4.8　图形的位似

教材分析

本节是第四章第8节，教材第113—118页。

教材从一张“由一组形状相同的图片组成的宣传海报”出发（图4—35），引导学生发现：对应点 A、A′ 所在的直线都经过镜头中心 O，且 等于同一个固定值；再把这一现象抽象到两个相似五边形（图4—36），给出位似多边形与位似中心的定义，并用图4—37 展示位似中心在两图形之间、在图形内部两种位置。

接着用尺规作图把位似“画出来”（例1、图4—39），最后落到平面直角坐标系：坐标都乘同一个数 k，图形与原图形位似，位似中心是原点，相似比为 （教材第116页结论框）；例2 用 与 两种乘数画出同侧与异侧的两个位似图形（图4—42）。

本节是相似变换的“位置版本”，把相似比、坐标、作图三者串在一起。

核心素养目标

1. 几何直观：能从生活图片与两个相似多边形中发现“对应点连线共点、距离比固定”的结构。

2. 抽象能力：能概括位似多边形与位似中心的定义，并区分“相似”与“位似”。

3. 作图能力：能以指定点为位似中心，按给定相似比作位似图形（含位似中心在图形外、内、边上等情形）。

4. 数形结合：能在坐标系中用“坐标同乘 k”画位似图形，并说明相似比为 的理由。

教学重点

1. 位似多边形、位似中心的定义与判定；

2. 用“过位似中心作射线、按相似比截取”的方法作位似图形；

3. 坐标系中“坐标同乘 k”与位似的关系。

教学难点

1. 位似与相似的区别与联系（相似不一定位似，位似一定相似）；

2. 位似中心在图形内部时的作图；

3. 负乘数 时图形落在位似中心另一侧的理解。

学情分析

1. 已有基础：学生已掌握相似三角形的判定与性质、相似比，会在坐标系中描点画图。

2. 可能困难：把“位似”当成“相似”的同义词；作图时只在同侧截取而漏掉另一侧；对“乘 后图形跑到对面”感到意外。

3. 教学对策：用“对应点连线是否共点”这一可检验的标准区分二者；作图时先讨论“截在哪条射线上”；用几何画板拖动 k 的正负，观察图形翻转。

教学方法

情境抽象与操作探究相结合：观察—抽象—定义—作图—坐标表示；作图采用“教师示范 + 学生上机/上黑板”的形式。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

多媒体课件、几何画板演示文件、直尺与圆规、方格纸、教材第113—118页（习题4.13、4.14）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境导入
发现“共点”

情境（教材第113页图4—35）：一幅宣传海报由一组形状相同的图片组成。在图片①和②上任取一组对应点 A、A′，

可以发现：直线 AA′ 都经过镜头中心 O，且 都等于一个固定值。

问题1：换一组对应点再试，结论还成立吗？比值是否相同？

问题2：这说明这组图片之间除了“形状相同”，还有什么特殊的位置关系？

展示海报与放射状辅助线；请两名学生在屏幕上各取一组对应点并测量；板书“对应点连线共点、距离比固定”。

在图上取点、连线、量长度；发现“所有连线都过 O”“比值都一样”；尝试用自己的话描述这种关系。

能否发现并说出“连线共点”“比值相等”两个特征。

设计意图：从真实照片抽象出两个可检验的特征，让定义不是被告知，而是被“发现”。

环节二

形成定义
辨析位似与相似

教材第113页图4—36：两个相似五边形 ABCDE 与 A′B′C′D′E′，设直线 AA′ 与 BB′ 相交于点 O。

问题3：直线 CC′、DD′、EE′ 是否也都经过点 O？、… 有什么关系？

定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P、P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 （），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心；k 就是这两个相似多边形的相似比。

图4—37 展示了位似中心的两种位置：在两图形之间、在图形内部。

问题4：相似多边形都是位似多边形吗？若不是，请举反例。

用几何画板验证五条连线共点；用两个全等但错位摆放的相似三角形作反例；强调“位似 = 相似 + 对应点连线共点”。

验证连线共点；举反例（如两个大小相同、方向不同的正方形）；归纳“位似比相似多了位置要求”。

能否说出位似与相似的区别；能否举出反例。

教材原图

图4—36　两个相似五边形，对应顶点连线交于点 O

教材原图

图4—37　位似中心的两种位置：(1) 在两图形之间；(2) 在图形内部

设计意图：用反例把“相似”与“位似”分开，避免学生把两个概念混为一谈。

环节三

例1
按相似比作图

例1（教材第113—114页）：已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使它与 △ABC 位似，且相似比为 2。

作法：画射线 OA、OB、OC；在射线 OA、OB、OC 上分别取点 D、E、F，使 ，，；顺次连接 D、E、F，则 △DEF 与 △ABC 位似，相似比为 2。

追问：满足条件的 △DEF 可以在点 O 的另一侧吗？（可以，此时取 的反向延长线）

示范作图全过程，强调“先作射线、再截取、后连线”；追问另一侧的作法并板书“同向放大、反向放大”。

在学案上完成作图；尝试在 O 的另一侧再画一个；比较两个图形与 △ABC 的关系。

能否正确作出位似图形；能否说出“为什么每条射线只取一个点”。