专题21 圆锥曲线的最值与范围问题高频考点精讲【7大考点】2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册
|
2份
|
56页
|
28人阅读
|
0人下载
精品
内容正文：
专题21 圆锥曲线的最值与范围问题高频考点精讲
一、圆锥曲线中的最值范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、最值范围问题的一般解题步骤
第一步设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；
第二步联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x(或y)的一元二次方程；
第三步建立关系式：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；
第四步求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值．
三、参数取值范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
考点一 圆锥曲线的离心率的取值范围
考点二 圆锥曲线中距离或长度的最值范围
考点三 圆锥曲线中与面积有关的最值范围
考点四 圆锥曲线中与弦长有关的最值范围
考点五 圆锥曲线中斜率或倾斜角的最值范围
考点六 圆锥曲线中与向量有关的最值范围
考点七 参数的最值范围
考点一 圆锥曲线的离心率的取值范围
1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________．
2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
4．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点二 圆锥曲线中距离或长度的最值范围
5．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点.
(1)求的周长；
(2)若，求点的坐标；
(3)求动点到点距离的最大值和最小值.
6．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
7．（2026高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______．
8．（25-26高三上·广东·开学考试）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
(1)求的方程；
(2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
考点三 圆锥曲线中与面积有关的最值范围
9．（2026·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2 .
(1)求的方程;
(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于，设线段的中点分别为.
(i)证明：直线过定点；
(ii) 求四边形面积的取值范围.
10．（2026高三·全国·专题练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值．
11．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）求的取值范围.
12．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）（多选）已知抛物线：，斜率为（）的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点、均在上，则下列结论正确的有（ ）
A．的准线方程为
B．若与没有公共点，则
C．若，则面积的最小值为
D．若与恰有一个公共点，则该公共点的坐标为
考点四 圆锥曲线中与弦长有关的最值范围
13．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值.
14．（25-26高二上·广东·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知抛物线上的一点到抛物线的焦点的距离是.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与C交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，设，求实数的取值范围.
16．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的顶点为O，准线与x轴交于点K．以K为圆心、为半径作圆．直线l与抛物线C交于两点，若．
(1)证明：直线过定点；
(2)记点在x轴上的投影分别为，且．过分别作圆的切线，且切点分别位于x轴两侧，设直线交于点P．求动点P的轨迹方程，并注明取值范围；
(3)在（2）的情况下，若，求弦的长度．
考点五 圆锥曲线中斜率或倾斜角的最值范围
17．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围.
18．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线与直线的斜率之积为定值．
19．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________．
20．（25-26高二上·江苏连云港·期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点六 圆锥曲线中与向量有关的最值范围
21．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知椭圆过点和，，为的左、右焦点．直线交于，两点．
(1)求的方程；
(2)当时，
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若平面上一点，满足，求（为坐标原点）的最大值．
22．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知椭圆，为椭圆的右焦点，椭圆上有两两不重合的A、B、C、D四点．
(1)设点，若直线过点F，当时，求：点A的坐标；
(2)若原点是的重心，求：的值；
(3)若与交于椭圆的左焦点，且，求：的取值范围．
23．（2026·陕西·三模）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：交双曲线于，两点，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．若，则点到轴距离的最大值为
24．（2026高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
25．（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标．
(2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值．
26．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点．若上存在点使得，求直线的斜率．
(3)已知点是上的一点，若，当点到直线的距离最大时．求直线的方程．
考点七 参数的最值范围
27．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
(1)求的周长；
(2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标；
(3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围．
28．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）已知椭圆，为坐标平面上一点．
(1)求椭圆四个顶点构成的四边形的面积；
(2)已知为实数，设，点为椭圆上的动点，求的最大值；
(3)若为椭圆的下顶点，过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点、，若，求实数的取值范围．
29．（2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点．
（i）证明：点在定直线上．
（ⅱ）求的取值范围．
30．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2．
(1)求C的方程：
(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．
（ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程；
（ⅱ）求的取值范围．
31．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若离心率时，求的值；
(2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围．
32．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线上有一点位于第一象限，的纵坐标为．
(1)若点到抛物线的准线的距离为，求的值；
(2)若，点在轴上，线段的中点在上，求点的坐标和坐标原点到直线的距离；
(3)若对于上第一象限的任一不与重合的点，设直线与直线交于点，作于，都有恒成立，求的取值范围．
2 / 16
1 / 16
学科网（北京）股份有限公司
$
专题21 圆锥曲线的最值与范围问题高频考点精讲
一、圆锥曲线中的最值范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、最值范围问题的一般解题步骤
第一步设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；
第二步联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x(或y)的一元二次方程；
第三步建立关系式：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；
第四步求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值．
三、参数取值范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
考点一 圆锥曲线的离心率的取值范围
考点二 圆锥曲线中距离或长度的最值范围
考点三 圆锥曲线中与面积有关的最值范围
考点四 圆锥曲线中与弦长有关的最值范围
考点五 圆锥曲线中斜率或倾斜角的最值范围
考点六 圆锥曲线中与向量有关的最值范围
考点七 参数的最值范围
考点一 圆锥曲线的离心率的取值范围
1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据椭圆定义及基本不等式得出，再根据离心率公式即可求解．
【详解】因为，所以，
又
，
当且仅当时取等号，
所以，
由椭圆定义知，又，
所以，又，
所以离心率的取值范围为．
2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解.
【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角，
中，由正弦定理，知，所以，
易知，所以，且，
又，
所以，解得或（舍去）.
又，故，所以，
综上，椭圆的离心率的取值范围是.
3．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
【答案】
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，，
再由及余弦定理得到，从而表示出，结合椭圆的离心率求出的范围.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，
延长交双曲线于点，
因为，由对称性得.
设，则，由双曲线的定义得，，
由，
知，
化简得，所以，
则椭圆的离心率为，
又椭圆的离心率的取值范围为，所以，
又，解得，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故答案为：
4．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出双曲线渐近线方程及顶点坐标，进而求出线段长，再利用三角形面积列出不等式求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，，
直线与渐近线方程联立得，则，，
由，得，即，则，
整理得，即，而，解得，
所以的离心率的取值范围为.
故选：A
考点二 圆锥曲线中距离或长度的最值范围
5．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点.
(1)求的周长；
(2)若，求点的坐标；
(3)求动点到点距离的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解；
（2）设，由向量垂直确定轨迹方程，再联立椭圆方程即可求解；
（3）设，结合两点间距离公式和二次函数性质即可求解.
【详解】（1）
椭圆，得，，，
上顶点，焦点， ，
根据椭圆的定义：，焦距，
周长；
（2）设，由垂直性质得，
， ，
点积展开得： ，
又在椭圆上，满足，
代入上式得： ，得，
回代得，即，
故的坐标为；
（3）设， ，则，
距离平方为： ，
这是开口向下的二次函数，对称轴为，
最大值在对称轴处取得：即时，，得，
最小值在端点处取得：即时， ，得
故动点到点距离的最大值为，最小值为.
6．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
显然直线不与轴平行，可设其方程为，
由，得，
设，，则由韦达定理可得，，
因为，所以，
即，
整理得，即，
而显然直线不经过点，所以，，
故直线经过定点，得证.
(3)
【分析】（1）根据双曲线与双曲线有相同的渐近线方程求出可得答案；
（2）可设其方程为，与双曲线方程联立，设，，由韦达定理代入的坐标运算可得答案；
（3）设点在直线上的投影为，当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最值.
【详解】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程，
所以，即，又，从而，
所以双曲线的方程为；
（2）略
（3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点，
所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值，
此时，所以点到直线距离的最大值为.
7．（2026高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______．
【答案】
【分析】设直线与抛物线联立，结合的向量点积为0的条件，可推导出直线恒过定点，原点到直线的距离最大值即为原点到定点的线段长度.
【详解】设，，由得，
即 ，
因不与重合，约去非零因子，得.
设直线，代入得，
由韦达定理，，代入上式得，
因此直线，恒过定点.
原点到直线的距离满足：过定点的直线中，原点到直线的距离不超过原点到的线段长，
即，当且仅当时取等号.
故原点到直线的距离的最大值为.
8．（25-26高三上·广东·开学考试）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
(1)求的方程；
(2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；
（2）①设，分和两种情况讨论，当时，可直接求得或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用直线与椭圆的位置关系，得，化简即可求解；②利用恰为圆心，利用圆的性质有，再求出的范围，即可求解.
【详解】（1）由题可知，，解得，，
又，所以椭圆方程为.
（2）由（1）知，设，则的中点为，
①当时，的垂直平分线方程为，
此时，则或；即或
当时，的垂直平分线方程为：，
由，消得，
，
整理得，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则，
即，
整理得，
即，
因为，所以，
而，也满足该式，
故点的方程为，即．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，
又易知点在圆内，则，
又由椭圆的性质知，，得到，
故所求线段MQ长度的取值范围是
考点三 圆锥曲线中与面积有关的最值范围
9．（2026·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2 .
(1)求的方程;
(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于，设线段的中点分别为.
(i)证明：直线过定点；
(ii) 求四边形面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)(i)当两条直线的斜率都存在时，不妨设，
设，
联立直线与椭圆的方程，得，
消去整理得，易知，
根据韦达定理可知，，
即，
同理，所以，
所以，
令，得，此时直线恒过，
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，
易知也经过，所以直线过定点；
(ii).
【分析】（1）由椭圆所过的点及焦距求出椭圆参数，即可得方程；
（2）（i）讨论直线斜率的存在性，设，联立椭圆方程并应用韦达定理，结合中点坐标求坐标，进而写出直线，即可证；（ii）根据（i）并应用弦长公式求相交弦长，由，最后应用基本不等式求范围即可.
【详解】（1）由题意知椭圆过点 ，则，
因为，所以，
联立方程组 ，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）(i) 略
(ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知，
当两条直线的斜率都存在时，不妨设，
由(i)得：，同理，
则
因为 ，
根据基本不等式 ，当且仅当时等号成立，
所以 ，
综上所述，四边形面积的取值范围为 .
10．（2026高三·全国·专题练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知列方程组求参数值，再由曲线的关系即可得椭圆方程；
（2）讨论直线的斜率，并设出直线方程，联立椭圆求交点坐标，再由化简得到定值，结合三角形面积公式及基本不等式求面积最小值.
【详解】（1）当时，，则，由对称性知内切圆的圆心为原点，
结合题设，有，解得，
因此所求椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率存在且时，则，
联立，得，
由，解得，
所以，则，同理，
法一：由
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
法二：因为，
又，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是，
当时，，
当k不存在时，，
综上所述，的面积的最小值为.
11．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（i）证明：易知，，
由题可设直线的方程为，
由，得，
，
直线与的右支交于两点，
，
，
.
，
故为定值.
（ii）
【分析】（1）由题意求出，即可求得答案；
（2）（i）设直线的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；
（ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案.
【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点，
所以
解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）（i）略
（ii）由题意可得，
直线的方程为，则，
同理可得，
，
，
，
，当且仅当时等号成立，
故的取值范围为.
12．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）（多选）已知抛物线：，斜率为（）的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点、均在上，则下列结论正确的有（ ）
A．的准线方程为
B．若与没有公共点，则
C．若，则面积的最小值为
D．若与恰有一个公共点，则该公共点的坐标为
【答案】ACD
【分析】结合判别式、点到直线距离公式、二次函数最值等知识点逐项分析每个选项即可.
【详解】对于A，抛物线为开口向右的标准抛物线，满足，即，准线方程为，故A正确.
对于B，斜率为且过点的直线方程为，
与抛物线方程联立得，消去整理得.
∵ 与没有公共点，
∴ 判别式，结合解得，故B错误.
对于C，若，则直线的方程为.
设点的坐标为，则点到直线的距离.
∵ ，
∴ 当时，取得最小值.
等边三角形的边长，面积，代入的最小值得，故C正确.
对于D，若与恰有一个公共点，则判别式，结合得，
代入联立方程得，解得，
代入直线方程得，即公共点坐标为，故D正确.
考点四 圆锥曲线中与弦长有关的最值范围
13．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点与短轴两个顶点所连成三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆E有两个交点，，求的取值范围，并求弦长最大值.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）借助离心率及椭圆性质计算即可得；
（2）联立曲线方程与直线方程，消去后可得与交点横坐标有关的一元二次方程，借助根的判别式计算可得的范围，利用韦达定理及弦长公式计算即可得弦长最大值.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则椭圆的方程为；
（2）设，.
联立，消去，可得，
由直线与椭圆E有两个交点，则，
化简得，解得；
则，，
，
由，则当时，有最大值，
且.
14．（25-26高二上·广东·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出.
【详解】
设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又
，
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是.
故选：B.
【点睛】解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出，再利用离心率的取值范围可求解.
15．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知抛物线上的一点到抛物线的焦点的距离是.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与C交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，设，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程.
（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线的方程并与准线方程求得，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数的取值范围.
【详解】（1）根据抛物线的定义有，
所以抛物线的方程为.
（2），抛物线的准线为，依题意可知直线与轴不重合，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，设，
则，，
所以，由于垂直平分，
所以直线的方程为，
令得，则，
，
，所以.
16．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的顶点为O，准线与x轴交于点K．以K为圆心、为半径作圆．直线l与抛物线C交于两点，若．
(1)证明：直线过定点；
(2)记点在x轴上的投影分别为，且．过分别作圆的切线，且切点分别位于x轴两侧，设直线交于点P．求动点P的轨迹方程，并注明取值范围；
(3)在（2）的情况下，若，求弦的长度．
【答案】(1)因为直线l与抛物线C交于两点，
所以设直线的方程为，代入抛物线方程，
整理得，
由韦达定理得 ，
因为，因此，解得，
故直线的方程为，无论取何值，当时，，
所以直线恒过定点.
(2).
(3)
【分析】（1）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理结合已知纵坐标乘积求出截距，确定定点坐标；（2）由切线的距离条件构造关于横坐标的二次方程，结合抛物线点的坐标关系消参，再根据几何约束确定取值范围；
（3）利用距离平方比结合的定值条件，推出横坐标的比例关系，进而结合韦达定理求参数，代入弦长公式求解.
【详解】（1）略
（2）由抛物线得准线为，故，所以圆的方程为，圆心 ，半径 ，
在轴上的投影为、，设，
直线、均为圆的切线，
设交点 ， 轴上任意切点弦端点为 （对应题目中的 或，即 或 ），
直线过两点 和 ，斜率为
所以直线的方程为，整理得，
因为直线与圆相切，
所以圆心 到直线的距离为
，
等式两边同时平方，得，故，
分别展开左右两边得，
整理得的一元二次方程为，所以，
因为过 、 的两条切线都经过点 ，
所以 和 就是上述方程的两个实根，
所以由韦达定理得，
由 在抛物线上，，，
结合 ，得：，因此 ，化简得 ，
切点 在 轴两侧，故两条切线斜率一正一负， 的横坐标需介于 之间，
又 ，因此 ；
，得，结合，；
所以，且此时满足，且，
综上，，
设，则动点的轨迹方程为.
（3）由得， ，
由两点间距离公式得，
结合和，
，
同理，
因此，即，
结合，得，解得，，故，
由直线过，设，联立抛物线得，
则，解得，
故，
代入，，得，
因此.
考点五 圆锥曲线中斜率或倾斜角的最值范围
17．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可；
（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解；
（3）先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线的方程为，，联立方程，结合韦达定理，求解即可.
【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为，
所以，解得，
所以，椭圆的方程为；
（2）易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得
，
由韦达定理得，
若点为线段的中点，此时，解得，
将代入判别式，满足题意；
所以，直线的方程为，即；
（3）斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点，
此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件；
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立方程，整理得
所以，
因为原点在以为直径的圆内，所以，
整理得：
进一步整理得：，解得
综上，直线斜率的取值范围为.
18．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线与直线的斜率之积为定值．
【答案】(1)
(2)为定值
【分析】（1）由题意可得方程组，计算可解；
（2）直线的方程为，，，直线与双曲线联立方程组，由韦达定理及斜率公式计算即可证明.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
由题意得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）∵过点，由题意可知的斜率不为0，
故可设直线的方程为，，，
则 ，
，
∴
．
故直线与的斜率之积为定值．
19．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________．
【答案】
【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，等价于 夹在射线 与 之间（经过指向线段的方向），先求两条边界直线的斜率，再结合 的变化关系得两空的范围.
【详解】，.
直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 .
因为 （），当 时，；
当 时，；
当 时，直线 与线段 无公共点，
所以 的取值范围是 .
20．（25-26高二上·江苏连云港·期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
考点六 圆锥曲线中与向量有关的最值范围
21．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知椭圆过点和，，为的左、右焦点．直线交于，两点．
(1)求的方程；
(2)当时，
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若平面上一点，满足，求（为坐标原点）的最大值．
【答案】(1)．
(2)（ⅰ）或．（ⅱ）
【分析】（1）将点代入方程计算即可求解；（ⅰ）先联立椭圆和直线的方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理及已知条件得到点坐标，进而得到的值；（ⅱ）设，利用，化简可得点在圆上，利用求解即可.
【详解】（1）将两点，代入的方程，得
解得故的方程为．
（2）（i）设，，
联立，得消去并整理，得，
则，所以，
由（1）得，，，，
因为，所以，即，
与联立并解得或或或
分别代入的方程，得，或（舍），或（舍），或，故或．
（ⅱ）由（ⅰ）得，，
所以，．
设，则，，
因为，所以，即，
所以，
所以，
即．
即点在圆上，，
所以．
令，，则，
因为，所以点在四分之一圆弧上运动，
当直线与圆弧相切时，
取得最大值，所以，解得或（舍），
所以，即的最大值为．
22．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知椭圆，为椭圆的右焦点，椭圆上有两两不重合的A、B、C、D四点．
(1)设点，若直线过点F，当时，求：点A的坐标；
(2)若原点是的重心，求：的值；
(3)若与交于椭圆的左焦点，且，求：的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由题可知斜边的中点，则，进而得到点在线段的垂直平分线上即可求解；
（2）设，，，由焦点弦公式可得，，，结合重心的性质得即可求解；
（3）分或垂直于轴、和不垂直于轴两种情况，结合弦长公式和基本不等式计算范围即可．
【详解】（1）因为，且直线过点，设椭圆左焦点为，
所以，在中，，
所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点，
所以，又由椭圆的定义可得，
所以点在线段的垂直平分线上，
又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点，
所以或；
（2）设，，，
则，即，
，
同理，，
又是的重心，所以，
所以，；
（3）①若或垂直于轴，则，
②若和不垂直于轴，
设直线的解析式为，点，，
联立方程组，得，
从而，，
，
同理，
则，
因为，所以，
综上，的取值范围是．
23．（2026·陕西·三模）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：交双曲线于，两点，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．若，则点到轴距离的最大值为
【答案】AC
【分析】A用联立判别式判断交点条件；B利用对称性与双曲线定义判断边长关系；C、D将向量数量积转化为坐标表达式，利用双曲线范围求最值或解不等式.
【详解】由，可知，双曲线的渐近线的斜率为.
且，则焦点.
选项A，将代入双曲线方程得，整理为.
已知直线与双曲线交于两点，所以，即，解得，A正确；
选项B，由双曲线的中心对称性，A、B关于原点对称，故.
又，四边形是平行四边形，因此.
根据双曲线定义，可得，即，B错误；
选项C，设，则，，
由可得，则.
因，故当时，取得最小值，C正确；
选项D，若，即，解得，即，而，
即点到轴距离的最大值为，D错误.
24．（2026高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值.
【详解】如下图示，，，，
所以，
由图知：，且可以同时取到，
所以的最大值为.
故选：D
25．（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标．
(2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形两腰长相等可列方程组求点的坐标；
（2）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来表示，利用这个等式可得到与直线参数的函数关系，利用函数求最大值.
【详解】（1）
当时，双曲线，且．
由点在第一象限，可知为钝角．
由为等腰三角形，得．
设点，且，则，解得，
即；
（2）
由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称．
设，则．
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立，得，
则，即，,
由，得，
得，所以
整理得，则,
再由，得，解得，所以，
又，得，即的最大值为．
26．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点．若上存在点使得，求直线的斜率．
(3)已知点是上的一点，若，当点到直线的距离最大时．求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用根与系数关系以及求得点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，由此求得的值.
（3）先求得点的坐标，设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用根与系数关系以及求得直线所过定点的坐标，结合点到直线的距离最大求得直线的方程.
【详解】（1）由题可知，，
又椭圆四个顶点所组成的菱形面积为，解得，
因此椭圆方程为．
（2）因为椭圆方程为，所以，
设直线的方程为，
联立，可得，
所以，，，所以．
因为，所以，
代入椭圆的方程，，
，
，．
（3）由点在椭圆上可得，因此点坐标为．
设直线的方程为，联立方程组，
消去变量可得：①．
设直线与椭圆交点分别为，
则是方程①的两根，由韦达定理可知：，②．
由，可得．
又，
所以，
即，
将②代入可得，
即，
分解因式可得．
又直线不过点，所以．
因此，所以，所以直线方程为；
因此直线过定点；
当直线与垂直时，点到直线的距离最大，此时易得，因此，
所以直线的方程为，即．
考点七 参数的最值范围
27．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
(1)求的周长；
(2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标；
(3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围．
【答案】(1)6
(2)或
(3)
【分析】（1）利用椭圆定义，将两条焦半径之和转化为长轴长．
（2）两三角形同底，将面积比转化为点到直线的距离比，再联立直线与椭圆方程求点的坐标．
（3）利用关于原点对称的两点坐标及椭圆方程作差，求出两条直线斜率的乘积，再由已知斜率范围求所求范围．
【详解】（1）由椭圆方程得，，，由椭圆定义得，因此的周长为．
（2）因为点在椭圆上且在第一象限内，，又，，所以，从而直线的方程为．
设，因为与以为公共底边，且，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍，即，得或．
由得，其判别式，故无实数解；
由得，解得或，代入，对应得或．
因此点的坐标为或．
（3）由（2）中直线的方程与椭圆方程联立，得，两根为和，故．
设，，则，且．
由存在知，若，则由椭圆方程得，此时或，均不在内，故，直线的斜率存在．
将两点满足的椭圆方程相减，得，所以．
由及，得，且两端点分别在和时取得．
28．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）已知椭圆，为坐标平面上一点．
(1)求椭圆四个顶点构成的四边形的面积；
(2)已知为实数，设，点为椭圆上的动点，求的最大值；
(3)若为椭圆的下顶点，过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点、，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为.
(3)
【分析】（1）由椭圆方程得四顶点坐标，用菱形面积公式求解；（2）取最大值时，也取最大值，将表示为关于点的纵坐标的二次函数，对其对称轴分类讨论求得最值；（3）先由直线与椭圆有两个交点，可得判别式大于零，再利用韦达定理证明点和点在轴的同一侧，可得，综合求得的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，椭圆的四个顶点坐标分别为，，
因此由椭圆四个顶点构成的四边形为菱形，面积．
（2）设，则，即，
所以，
设，且二次函数的图象关于对称，
当，即时，，所以的最大值为；
当，即时，，所以的最大值为；
当，即时，，所以的最大值为；
综上所述，当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为.
（3）设，，因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理．
直线，由可得，
因为直线与椭圆有两个交点，故，解得或．
由韦达定理得，，，故，所以，
，
化简得，，
所以，解得，
综上所述，的范围为.
29．（2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点．
（i）证明：点在定直线上．
（ⅱ）求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立得，
则，由韦达定理得
设过点的切线为，
联立，得，
令上式中，
即，即，
即，即，即，
解得，故切线的方程可化为，
同理可得过点的切线的方程为，
联立，化简得，
两式相减得，即，所以点在定直线上．
（ⅱ）．
【分析】（1）利用椭圆结合已知点坐标代入椭圆方程，联立求解得到，写出椭圆标准方程；
（2）（i）设过焦点的直线为与椭圆联立得到纵坐标关系，写出椭圆在处的两条切线方程并联立，两式作差消元求得交点横坐标恒为，证明在定直线上；
（ii）把代入切线方程求出点坐标，结合韦达定理得到弦中点坐标，通过斜率相等证明三点共线，再写出表达式，利用求该乘积的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）（i）略
（ii）将代入直线的方程，得，所以，
再由，及得，中点，
因为，所以三点共线．
所以，
因为，所以，所以．
30．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2．
(1)求C的方程：
(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．
（ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程；
（ⅱ）求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解；
（2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解.
【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率．
则，，解得，，因此双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率，
设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点，
联立直线与双曲线方程，得，化简得，
其中.
由根与系数的关系，可得，，
因为Q点在第三象限，所以，所以．
因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点，
因此，所以，
由于，所以，
，，
所以，由于，，所以简化为，
代入韦达定理，得，则，
化简得，由于，解得，
所以直线l的方程为，即.
（ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角，
直线QP即直线l，方程为，
点，点，点，直线QP的斜率，
直线QR的斜率，
由于P，Q在直线上，有，，
则，代入，
则，
设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则，
因此，
即，
又因为单调递减，所以的取值范围．
31．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若离心率时，求的值；
(2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出；
（2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标；
（3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围．
【详解】（1）由题意得，则，
.
（2）当时，双曲线，
其中，，
因为为等腰三角形，则
①当以为底时，显然点在直线上，
这与点在第一象限矛盾，故舍去；
②当以为底时，，
设，联立解得或或，
因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；
③当以为底时，，
设，其中，，
解得，即，
综上所述：.
（3）由题知，，
当直线的斜率为时，此时，不合题意，则，
则设直线，
设点，，而直线与双曲线另外一个交点，
根据双曲线对称性知，
联立，
显然二次项系数，
其中，
①，②，
则，，
则，
因为，在直线上，
则，，
即，即，
将①②代入有，
即
化简得，
所以，代入到，
得，所以，
且，解得，
又因为，则，
综上知，，
所以．
32．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线上有一点位于第一象限，的纵坐标为．
(1)若点到抛物线的准线的距离为，求的值；
(2)若，点在轴上，线段的中点在上，求点的坐标和坐标原点到直线的距离；
(3)若对于上第一象限的任一不与重合的点，设直线与直线交于点，作于，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，距离为
(3)
【分析】（1）由抛物线的定义可求得点的横坐标，再将该点的横坐标代入抛物线方程，即可得出的值；
（2）求出点的坐标，设点，可得出线段的中点坐标，结合题意求出的值，可得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可；
（3）设，求出直线的方程，可得出点的坐标，进而可得出点，结合以及两点间的距离公式得出对恒成立，然后分、、三种情况即可.
【详解】（1）设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，由题意可得，解得，
故，因为，所以.
（2）设点的横坐标为，则，因为，则，故，即点，
设点，线段的中点为，
所以，即，
，则直线的方程为，即，
故原点到直线的距离．
（3）设，因为点，所以直线的方程为，
其中，所以点、，
则，
即对恒成立，
当时，，成立；
当时，即时，恒成立，此时，
当时，因矛盾，故舍；
综上所述，的取值范围为．
2 / 16
1 / 16
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
