第3章 14-专题强化练10 圆锥曲线中的最值、范围问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆锥曲线的方程、几何性质及最值范围问题，通过专题专项练串联椭圆、抛物线、双曲线的核心内容，结合详细解析构建从基础方程到综合应用的知识网络，帮助学生形成完整的圆锥曲线知识体系。 其亮点在于采用“真题演练-方法总结-素养提升”的复习模式，如通过椭圆切线问题培养数学思维（运算能力、推理意识），用参数取值范围策略强化数学语言表达（模型观念、应用意识）。分层设计的练习让不同水平学生巩固知识，教师可依托资料精准开展复习教学，提升复习效率。

第三章 圆锥曲线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练10　圆锥曲线中的最值、范围问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026浙江金华联考]已知椭圆C: + =1,动直线l与椭圆C相切于点P,且点P在第一象限内. (1)若直线l的斜率为-1,求点P的坐标; (2)若过原点O的直线l1与l垂直,垂足为Q,求△OPQ面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可设直线l:y=-x+b,代入椭圆C的方程 + =1,得7x2-8bx+4b2-12=0(*), ∵动直线l与椭圆C相切, ∴Δ=64b2-28(4b2-12)=16(-3b2+21)=0,解得b=± , 又点P在第一象限内,∴b= , ∴方程(*)即7x2-8 x+16=0,解得x= (二重根),将x= 代入y=-x+ ,得y= ,则P . (2)由题意可设直线l:y=kx+m(k<0,m>0),令y=0,得x=- ,记A , ∵直线l1与l垂直,且过原点O, ∴l1:y=- x, 联立l1与l的方程,解得x= ,y= ,则Q , 第1讲　描述运动的基本概念 将y=kx+m代入 + =1,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0(**), ∵动直线l与椭圆C相切, ∴Δ'=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得4k2+3=m2, 解(**)式得x= = (二重根), ∴P ,即P , 因此S△OPQ= |OA|·|yQ-yP|= × · = = ≤ ,当且仅当-k=- ,即k=-1时取等号,故 △OPQ面积的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 名师总结　圆锥曲线中最值问题的解法灵活多变,但总体上有两种思路:一是几何方法,即利用圆锥曲 线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求最值的几何量 表示为某个(些)变量的函数(或将所给代数表达式整理为某个(些)变量的函数解析式的形式),然后利用 函数性质、不等式等进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南部分高中联考]已知抛物线Γ:y2=2x,A,B,M,N为抛物线Γ上四点,点T在y轴左侧,满足 =2 ,  =2 .设线段AB的中点为D. (1)求抛物线Γ的准线方程和焦点坐标; (2)证明:直线TD与y轴垂直; (3)设圆C:(x+2)2+y2=3,若点T为圆C上的动点,△TAB的面积为S,求S的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵Γ:y2=2x,∴2p=2,即 = ,∴准线方程是x=- ,焦点坐标是 . (2)证明:设T(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由 =2 可知,M为TA的中点,故M ,又点M,A在抛物线 上,故 =2· =x0+x1, =2x1, =x0+ , 整理可得 -2y0y1+4x0- =0, 同理可得 -2y0y2+4x0- =0,故y1,y2为方程y2-2y0y+4x0- =0的两个实数根,∴y1+y2=2y0,y1y2=4x0- ,∴D点的 纵坐标为 =y0, ∴直线TD的斜率为0,即直线TD与y轴垂直. 第1讲　描述运动的基本概念   (3)由(2)可知 = = = , ∴D , ∴S= |TD|·|y1-y2| =  · = | -2x0|×2   第1讲　描述运动的基本概念 =  , ∵T在圆C上,∴ =3- ,-2- ≤x0≤-2+ , ∴S=  =  , 则当x0=-3时, =-9+18-1=8, ∴Smax= × = ×8×2 =48. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南鹤壁期中]在平面直角坐标系Oxy中,已知等轴双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左顶点为A,过 右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,且△ABC的面积为 +1. (1)求双曲线E的方程; (2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于点M,N,与双曲线E的两条渐近线分别交于点P,Q,求  的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为双曲线E: - =1(a>0,b>0)为等轴双曲线,所以a=b,设双曲线的焦距为2c,c>0, 故c2=a2+b2=2a2,即c= a, 因为直线BC过右焦点F,且垂直于x轴,所以xB=c, 将xB=c= a代入双曲线的方程可得|yB|=a,故|BC|=2a, 又△ABC的面积为1+ ,故 |BC|·|AF|= ×2a×(a+c)=a(a+ a)=1+ ,解得a=1(舍负), 故双曲线E的方程为x2-y2=1. (2)联立 可得(1-k2)x2+2kx-2=0, 因为直线l:y=kx-1与双曲线的左、右两支分别交于点M,N, 所以1-k2≠0,Δ=(2k)2-4(1-k2)×(-2)>0,解得- <k< ,且k≠±1.由根与系数的关系得xM+xN=- ,xMxN= 第1讲　描述运动的基本概念  , 易知 <0,故-1<k<1, 所以|MN|=  = |xM-xN| = ·  = ·  = , 易得双曲线E的渐近线方程为y=±x. 不妨设点P在渐近线y=x上, 第1讲　描述运动的基本概念 联立 解得x= , 即xP= ,同理可得xQ= , 所以|PQ|= |xP-xQ| = · = , 所以 = = ,又-1<k<1,所以 ∈(1, ]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026黑龙江大庆第四中学期中]如图,已知椭圆C1: +y2=1,曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过坐标原 点O的直线l与曲线C2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线MA,MB分别与C1交于点D,E. (1)求x1x2; (2)证明:以DE为直径的圆经过点M; (3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若直线l的斜率不存在,则该直线与y轴重合,此时直线l与曲线C2只有一个交点,不符合题意, 所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx. 由 得x2-kx-1=0, 则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=k,x1x2=-1. (2)(思路探究:结论“以DE为直径的圆经过点M”等价于“MD⊥ME”,即“MA⊥MB”) 证明:易得M(0,-1),所以kMAkMB= · = = = =-1, 所以MA⊥MB,即∠DME=90°,因此以DE为直径的圆经过点M. (3)(思路探究:利用交点坐标求出三角形的面积,建立目标式,然后利用基本不等式求取值范围) 设直线MA的斜率为k1(k1>0),则直线MA的方程为y=k1x-1, 第1讲　描述运动的基本概念 由 解得 或 则点A的坐标为(k1, -1), 由(2)知MA⊥MB,则直线MB的斜率为- , 同理可得点B的坐标为 . 所以S1= |MA|·|MB| =  ·|k1|· ·  = , 由 得(1+4 )x2-8k1x=0,解得 或 则点D的坐标为 , 第1讲　描述运动的基本概念 同理可得点E的坐标为 , 于是S2= |MD|·|ME| =  · · ·  = , 因此λ= =  =  4 + +17 ≥ × 2 +17 = , 当且仅当4 = ,即k1=1时,等号成立, 所以λ≥ ,所以λ的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 名师总结　圆锥曲线中参数取值范围问题的五种求解策略: (1)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (2)利用圆锥曲线的几何性质或方程的判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系; (5)将待求量表示为其他变量的函数,利用求函数值域的方法确定参数的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 $