专题18 圆锥曲线中离心率的问题高频考点精讲【12大考点】2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册

专题18 圆锥曲线中离心率的问题高频考点精讲 1.常见的离心率问题求解思路 ①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程． ②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． ③构造齐次方程求离心率 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解． 2.求离心率的范围 主要思路是建立不等式 1、利用焦半径的取值范围建立不等关系 为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 2、利用最大顶角建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 3、利用题目不等关系建立不等关系． 4、利用判别式建立不等关系． 5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 6、利用基本不等式，建立不等关系． 3.椭圆离心率求解的常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 4.双曲线离心率求解的常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 考点一　利用性质直接求离心率或范围 考点二　利用焦点三角形求离心率或范围 考点三　利用正余弦定理求离心率或范围 考点四　利用双余弦定理求离心率或范围 考点五　利用a、b、c的齐次式求离心率或范围 考点六　利用几何图形求离心率或范围 考点七　椭圆与双曲线共焦点的离心率问题 考点八　圆锥曲线与圆交汇的离心率问题 考点九　利用点差法求离心率或范围 考点十　与内切圆相关的离心率问题 考点十一　与角平分线相关的离心率问题 考点十二　与三角形四心有关的离心率问题 考点一　利用性质直接求离心率或范围 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 2．（25-26高二下·河南许平·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意，所以双曲线的离心率为. 3．（26-27高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】ABD 【详解】已知双曲线 ，，因此 ，，因此 ，由，得 ， A.双曲线方程中 项符号为正， 项符号为负，对应焦点在 轴上，A正确； B.焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为 ，代入 、，得 ，B正确； C.双曲线离心率 ，代入 、，得 ，而非 ，C错误； D.双曲线的虚轴长为 ，代入 ，得虚轴长 ，D正确. 4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆的焦距为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．椭圆离心率为 【答案】ABD 【详解】选项A：椭圆的焦距为，故A正确； 选项B：由椭圆的定义得，又，因此的周长为，故B正确； 选项C：椭圆上的点到焦点的距离最小值为，即的最小值为1，不是，故C错误； 选项D：椭圆的离心率，故D正确. 考点二　利用焦点三角形求离心率或范围 5．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）已知点是椭圆与圆在第一象限的交点，，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆的定义结合，求得，再根据圆的半径，利用余弦定理建立a，c的等式，然后求得离心率. 【详解】由椭圆的定义得：， 因为， 所以， 因为圆的半径， 所以由余弦定理得：， ， 两式相加得：， 解得. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及焦点三角形的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6．（25-26高三·江西景德镇·阶段检测）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】 【分析】由可将，均用表示出来，又由得到为直角三角形，利用勾股定理可求得椭圆的离心率. 【详解】解：，又， ，， ， ，即为直角三角形， ， 解得： 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的离心率，灵活利用椭圆的定义以及焦点三角形中边的关系可快速求解，是基础题. 7．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为________. 【答案】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解. 【详解】 由知， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴的离心率是. 故选：A. 考点三　利用正余弦定理求离心率或范围 9．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 10．（2026·陕西宝鸡·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：A. 11．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内心性质可得，利用椭圆的定义可得，再根据三角形面积及余弦定理得，进而求得，即可求解离心率． 【详解】因为 ，所以． 设，，焦距．的周长为． 由椭圆的定义可知，代入得，所以． 三角形面积，所以． 在中，由余弦定理得，即． 又．代入得． 整理得，即． 由代入得．联立解得．故离心率． 12．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 考点四　利用双余弦定理求离心率或范围 13．（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆的定义得到线段之间的关系，再结合余弦定理建立关于的方程，进而求出离心率. 【详解】设，所以，故，，则 在中，， 即， 化简为，解得：， 在中，根据余弦定理，， 即，化简为 两边同时除以得：，则离心率.    14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题干中给的光学性质，可将图2中的反射光线反向延长，再根据双曲线的定义列出等式，在焦点三角形中构造关于a，c的齐次式，计算离心率． 【详解】 由题意可知，延长，则必过点，如图所示： 因为，设，则，， 由双曲线定义可得，， 由可得， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 化简可得， 即，因为，故； 在中，由余弦定理可得 ，即， 化简可得：， 即， 代入得：，化简可得， 故． 15．（2026·河北沧州·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在的右支上，若，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为_______. 【答案】 【分析】利用焦点到渐近线的距离为构造直角三角形，得到，再结合正弦定理、双曲线定义和余弦定理建立和的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可得，如图，不妨设点在第一象限，与的渐近线交于点， 因为直线与的渐近线垂直， 所以点到直线的距离为， 在中，因为，所以，所以. 由，得， 在中，由正弦定理可得，即， 故， 由双曲线的定义可得：，故， 所以由余弦定理可得：， 即，得，所以. 16．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理用表示，进而求出离心率. 【详解】设，由，得，则， 由双曲线定义，得，则， 在中，由余弦定理得， 在中， ， 所以双曲线C的离心率为. 故选：D 考点五　利用a、b、c的齐次式求离心率或范围 17．（25-26高三上·河南·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义及角平分线的性质求得，，在中，利用余弦定理得，即可求解. 【详解】∵点在椭圆上，∴. 由知，直线平分，所以与共线， ∵，∴存在实数，使得， 整理得，∵不共线， ∴，解得，∴，. 在中，由余弦定理得. ∵，∴.化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 18．（25-26高二下·浙江杭州·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用角平分线性质得到，设，则，根据椭圆定义得到，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解. 【详解】不妨设点位于第一象限，如图所示，    因为为的内心，所以为的角平分线， 所以，因为，所以， 设，则，由椭圆的定义可知，， 可得，所以，， 又因为， 所以，在中，由余弦定理可得， ， 所以，则， 故选：B. 19．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用距离差的绝对值计算判断定义结合计算判断. 【详解】解法一：双曲线的渐近线方程为. 当时，满足轨迹不存在，舍去； 当时，满足轨迹为x轴挖去线段，与题意不符，舍去； 当时，满足轨迹为双曲线. 联立方程，得到． 由，解得或（舍去）， 故，解得，故该双曲线离心率的取值范围是． 解法二：上同解法一.双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，后仿照解法一即可求得. 20．（2026·全国·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，求得点到的渐近线的距离为，在直角中，由勾股定理，得到，结合，根据离心率的定义，即可求解. 【详解】不妨设渐近线方程为，即， 设，则，， 再设的中点为，则点到的渐近线的距离为， 在圆中，半径为可得，即，则， 在直角中，由勾股定理得，即， 又由，可得，即， 所以的离心率为. 故选：C. 考点六　利用几何图形求离心率或范围 21．（26-27高三上·广东·阶段检测）记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直平分线确定的横坐标，利用与焦点对称性判定为等腰直角三角形，求出坐标；再代入椭圆方程，整理得到离心率的方程，结合离心率范围取舍根，求得结果即可. 【详解】∵，∴， 又∵在轴上，关于轴对称， ∴，为等腰直角三角形， 设的半焦距为，则， 设，由，得，即， 设的离心率为，则， ， 由得 . 22．（2026·福建三明·二模）设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________. 【答案】/ 【分析】由三角恒等变换得到，并转化为斜率关系，设出点的坐标，由斜率得到方程，求出，得到离心率 【详解】，故， 即， 即， 因为，所以， 即，， 故，即，， 不妨设，则， ，故， 又，故，将其代入得 ，故椭圆E的离心率为. 23．（25-26高二下·河南·期中）已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义将转化为，进而得到的关系，即可求出的离心率. 【详解】 如图所示，设双曲线的左焦点为，连接. 因为两点关于原点对称，所以， 所以由双曲线的定义可得，即， 所以的离心率为. 24．（2026·广东深圳·二模）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过已知数据确定轴，再由双曲线定义，列出关系式即可求解. 【详解】由， 则在中，， 则，则轴， 于是，由于， 则，所以. 考点七　椭圆与双曲线共焦点的离心率问题 25．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（   ）    A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值. 【详解】为第一象限的交点，设、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设，，则， 当时，即，时，取得最大值. 26．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，明确、的关系，再结合的取值范围和“对勾函数”的单调性求的取值范围. 【详解】由题意，， 根据椭圆的定义，； 根据双曲线的定义，. 所以， 所以，且. 所以. 设，， 则. 因为函数在上单调递增，所以. 所以. 所以不可能等于. 27．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于的代数关系，进而建立目标式与离心率的关系，最后利用柯西不等式求解最值. 【详解】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义. 设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义， 不妨设，则有. 联立得. 因为，所以根据勾股定理有， 化简得：，两边同除以可得：， 则根据柯西不等式得， 当且仅当 所以的最大值为. 28．（2026·广东深圳·二模）已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】由题意可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，由勾股定理可得三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量法即可求出最大值. 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为， 因为二者共焦点，所以， 如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知， 由此解得，由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则， 所以问题转化为求的最大值， 设，由可得， 当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为. 考点八　圆锥曲线与圆交汇的离心率问题 29．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 30．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    31．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B 32．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】变形为，故圆心为半径为， 如图：直线与圆相切于，   ，， 故，所以，， 于是，即，所以． 故选：A 考点九　利用点差法求离心率或范围 33．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 34．（25-26高二上·重庆·阶段检测）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 35．（2026·河北·模拟预测）已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线上，则的离心率为______. 【答案】 【分析】设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得，，利用三点共线表示点P的坐标，代入已知直线方程得，即可求出离心率. 【详解】设，，，，， 的中点，的中点， 则，两式相减，得，化简得， 所以，所以①，同理②， 因为，所以，，三点共线，所以， 将①②代入得，即， 因为，所以，即点P恒在直线上， 又点恒在直线上，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：    【点睛】思路点睛：一般涉及中点弦问题时，采用设而不求点差法求解，本题通过点坐标之间的关系建立a，b关系，从而求出双曲线的离心率. 36．（25-26高二下·安徽宣城·阶段检测）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，根据中点坐标公式，求得值，将两点在双曲线上，两式相减，化简得，再结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设， 因为是弦的中点，根据中点坐标公式，可得， 又由直线:的斜率为，所以. 因为两点在双曲线上，可得， 两式相减并化简得， 所以，所以. 故选：D 考点十　与内切圆相关的离心率问题 37．（2026·江西·一模）设分别为椭圆的上，下焦点.点为上一点（点位于第一象限），且，直线与轴交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】由题意可得的内切圆与三角形的三边相切于点，结合椭圆的定义和切线定理可得，在中使用余弦定理并结合椭圆的参数关系即可求得椭圆的离心率. 【详解】设该内切圆的圆心为点，且与三角形的三边相切于点. 则， 又由切线定理得， 所以，则，， ，即， 联立，得，即，. 38．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且的外接圆与内切圆半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，再根据，可求椭圆的离心率． 【详解】由正弦定理得，解得， ，， 由余弦定理得 ，解得， ， ， ， ，解得． 故选：C． 39．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过其右焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，设的内切圆半径为，外接圆半径为，若，则双曲线的离心率为________． 【答案】或 【分析】本题考查双曲线的定义和简单几何性质的应用，由已知分别将，用，，表示，然后由求解即可． 【详解】由已知的横坐标为，所以，得， 则由双曲线的定义有， 因为的内切圆半径为， 所以由等面积得 ， 所以 ， 由于为直角三角形，斜边为， 所以， 又，所以， 化简得 ， 所以 ， 解得或． 40．（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，与，所围成的四边形面积为4，该四边形的内切圆半径为，则双曲线的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】首先根据题意画出图象，然后根据四边形面积求出，然后利用内切圆半径求出，联立方程可求得的值，从而求出双曲线的离心率. 【详解】由题意，，因为四边形面积为4， 所以，所以①. 因为，所以四边形为菱形. 通过三角形面积相等， 所以，因为，所以②. ①②联立解得或者，因为，所以. 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 考点十一　与角平分线相关的离心率问题 41．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知双曲线经过点，的角平分线与轴交于，则双曲的离心率（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意可知，根据焦半径公式列方程即可求解. 【详解】假设为双曲线上一点，假设双曲线左右焦点分别为， 则 ， 同理可得 本题中在双曲线上，故， 因为的角平分线与轴交于，所以，所以， 因为点满足，所以，结合， 可求得， 故选：A 42．（2026·全国·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据内切圆于，可设，进而得，结合，可得，进而得，求得，判断出，由焦点三角形求得，即可求解. 【详解】设内切圆的半径为， 由，即，则, 设，则，则， 由，即， 则，则， ，则，故，同理得， 故，故， 则， 故，则， 则. 故选：A 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 43．（25-26高二上·福建三明·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点、N关于的角平分线对称，可得，设，根据椭圆的定义求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解. 【详解】由题意可得共线， 因为点、N关于的角平分线对称，所以， 设，则， 故， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，即， 解得或（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得，， 即，解得， 即椭圆C的离心率为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 44．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于角平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于角平分线的对称点为Q，结合角平分线的性质可得是正三角形，再运用椭圆定义求得由余弦定理可得关系进而求得离心率. 【详解】设关于角平分线的对称点为， 则三点共线，设，则， 又，所以为等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以，所以． 故选：B. 考点十二　与三角形四心有关的离心率问题 45．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】设，设内切圆与边相切于点，结合圆的切线长的性质和椭圆性质可得，由内切圆性质可得，，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】如图，不妨设在第一象限，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设， 因为，所以， 利用两点间距离公式可以得到， 代入，可得， 同理， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以内心的横坐标为，则， 所以， 又因为，所以， 化简得，所以. 46．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为________． 【答案】 【分析】根据与共线，求出点的纵坐标，再根据及双曲线的定义求出，，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】设，依题意可设，所以，则， 由等面积可得，化简得， 又，所以，， 因为，点P在双曲线上，且，所以P在双曲线的右支上， 所以， 则，解得，所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 所以离心率为． 所以双曲线C的离心率为. 故答案为： 47．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由重心坐标求得I的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G的坐标，再根据与轴平行，由求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 则， 由圆的切线长定理和双曲线的定义得， 所以，则， 因为与轴平行， 所以，即， 则，即， ， 故选：B 48．（2026·黑龙江大庆·二模）已知，分别为椭圆的左､右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为___________. 【答案】/ 【分析】根据G为△重心，是中线且满足得，再应用余弦定理求解即可. 【详解】因为G为△重心，是中线且满足， 即，故, 所以， 且，，又， ， 在△中应用余弦定理得, 所以，则. 故答案为: . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 圆锥曲线中离心率的问题高频考点精讲 1.常见的离心率问题求解思路 ①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程． ②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． ③构造齐次方程求离心率 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解． 2.求离心率的范围 主要思路是建立不等式 1、利用焦半径的取值范围建立不等关系 为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 2、利用最大顶角建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 3、利用题目不等关系建立不等关系． 4、利用判别式建立不等关系． 5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 6、利用基本不等式，建立不等关系． 3.椭圆离心率求解的常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 4.双曲线离心率求解的常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 考点一　利用性质直接求离心率或范围 考点二　利用焦点三角形求离心率或范围 考点三　利用正余弦定理求离心率或范围 考点四　利用双余弦定理求离心率或范围 考点五　利用a、b、c的齐次式求离心率或范围 考点六　利用几何图形求离心率或范围 考点七　椭圆与双曲线共焦点的离心率问题 考点八　圆锥曲线与圆交汇的离心率问题 考点九　利用点差法求离心率或范围 考点十　与内切圆相关的离心率问题 考点十一　与角平分线相关的离心率问题 考点十二　与三角形四心有关的离心率问题 考点一　利用性质直接求离心率或范围 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 2．（25-26高二下·河南许平·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 3．（26-27高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆的焦距为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．椭圆离心率为 考点二　利用焦点三角形求离心率或范围 5．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）已知点是椭圆与圆在第一象限的交点，，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·江西景德镇·阶段检测）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为__________． 7．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为________. 8．（25-26高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 考点三　利用正余弦定理求离心率或范围 9．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西宝鸡·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 11．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 考点四　利用双余弦定理求离心率或范围 13．（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 15．（2026·河北沧州·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在的右支上，若，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为_______. 16．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点五　利用a、b、c的齐次式求离心率或范围 17．（25-26高三上·河南·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·浙江杭州·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·全国·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点六　利用几何图形求离心率或范围 21．（26-27高三上·广东·阶段检测）记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·福建三明·二模）设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________. 23．（25-26高二下·河南·期中）已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 24．（2026·广东深圳·二模）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 考点七　椭圆与双曲线共焦点的离心率问题 25．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（   ）    A． B．4 C．8 D． 26．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 28．（2026·广东深圳·二模）已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． 考点八　圆锥曲线与圆交汇的离心率问题 29．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 30．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 考点九　利用点差法求离心率或范围 33．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 34．（25-26高二上·重庆·阶段检测）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·河北·模拟预测）已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线上，则的离心率为______. 36．（25-26高二下·安徽宣城·阶段检测）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 考点十　与内切圆相关的离心率问题 37．（2026·江西·一模）设分别为椭圆的上，下焦点.点为上一点（点位于第一象限），且，直线与轴交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为__________. 38．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且的外接圆与内切圆半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过其右焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，设的内切圆半径为，外接圆半径为，若，则双曲线的离心率为________． 40．（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，与，所围成的四边形面积为4，该四边形的内切圆半径为，则双曲线的离心率为__________． 考点十一　与角平分线相关的离心率问题 41．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知双曲线经过点，的角平分线与轴交于，则双曲的离心率（    ） A． B． C． D．2 42．（2026·全国·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．2 43．（25-26高二上·福建三明·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 44．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于角平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 考点十二　与三角形四心有关的离心率问题 45．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 46．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为________． 47．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 48．（2026·黑龙江大庆·二模）已知，分别为椭圆的左､右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为___________. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $