拓展微课(二) 抛物线焦点弦的性质 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本高中数学讲义聚焦抛物线焦点弦性质这一核心知识点，从《选择性必修第一册》例题出发，构建含坐标、准线等要素的模型条件，通过典型例题推导弦长公式、坐标关系等，归纳总结5类结论，形成递进式学习支架。 资料以问题驱动引导探究，通过例题证明培养数学思维（推理能力），结论归纳体现数学语言（模型观念），结合图形强化几何直观（数学眼光）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生回顾性质、查漏补缺，提升知识应用能力。

拓展微课(二)　抛物线焦点弦的性质 [题目溯源] (《选择性必修第一册》135页例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 模型条件: 如图,AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F,准线l:x=-,准线与x轴的交点为P,作AC⊥l,BD⊥l且M,N分别为线段AB,CD的中点. 典型例题 例1 若线段AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ (θ≠0),求证:|AB|=. 例2 若线段AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求证: +=. (2)设l为抛物线的准线,作AC⊥l于C,BD⊥l于D,O为坐标原点,求证:A,O,D三点共线;B,O,C三点共线. [归纳总结] 　　尝试根据上面的证明过程完成焦点弦性质的结论.(结论1~4对应题目溯源中的图) 结论1 x1x2= 　　　  y1y2= 　　　  结论2 |AF|=x1+=　　　  |BF|=x2+=　　　  |AB|=x1+x2+p= 结论3 += 结论4 三个垂直:①CF⊥FD, ②NF⊥AB,③AN⊥BN 结论5 四个相切: ①以AB为直径的圆必与准线相切(如图a); ②以CD为直径的圆与AB相切于F(如图b); ③以BF为直径的圆与y轴相切(如图c); ④以AF为直径的圆与y轴相切(如图d) 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展微课(二)　抛物线焦点弦的性质 典型例题 例1　证明:方法一:若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k,其中k≠0,与方程y2=2px联立,得k2x2-p(k2+2)x+=0, ∴x1+x2=p,x1x2=, ∴|AB|=x1+x2+p=p+p=2p=2p=; 若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=,θ=, 易得|AB|=2p=,也满足上式. 综上,|AB|=. 方法二:当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为x=my+, 与方程y2=2px联立,得y2-2pmy-p2=0, ∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2, ∴|AB|=x1+x2+p=++p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1)=2p=. 当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,θ=,易得|AB|=2p=,满足上式. 综上,|AB|=. 例2　证明: (1)若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k,其中k≠0, 与方程y2=2px联立,得k2x2-p(k2+2)x+=0(*), ∴x1+x2=p,x1x2=, ∴+=+===. 若直线AB的斜率不存在, 则直线AB:x=,易求得|AF|=|BF|=p, ∴+=. 综上,命题得证. (2)由A(x1,y1),B(x2,y2)得C,D, 由(1)可得,当直线AB的斜率存在时,y1y2=k·k=k2=-p2, 当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2, ∴kOD========kOA, ∴A,O,D三点共线,同理可证B,O,C三点共线. 【归纳总结】 　-p2　　 学科网（北京）股份有限公司 $