28.4 位似多边形 讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

28.4 位似多边形（原卷版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P72–75 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 10 分钟 · 复习相似多边形 本部分共 3 题，限时 10 分钟，复习上一讲的相似多边形与相似比。 第 1 题 四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 第 2 题 如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的宽为______． 第 3 题 已知五边形五边形，若，，则的值为________． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能判断两个图形是否位似 ★★★★ 2 掌握位似图形的性质：对应点连线过位似中心、对应边平行、位似比等于相似比 ★★★★ 3 会在平面直角坐标系中以原点为位似中心求对应点坐标（含 k 与 −k） ★★★★ 4 能按给定的位似比画位似图形，会判断放大还是缩小 ★★★★ 5 会由对应点（或对应边）确定位似中心的位置 ★★★ ⭐ 学习重点 位似与相似的区别；坐标系中位似比为 k 时坐标乘 k（含负值）。 🔥 学习难点 位似比为负值时图形落在位似中心的另一侧；由位似比反求面积比要平方。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、位似的概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比。 位似是特殊的相似：位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似图形。位似比就是相似比。 🔑 二、位似图形的性质 对应点的连线都经过位似中心，且被位似中心分成两段，两段之比等于位似比； 对应边互相平行（或在同一条直线上），因此对应角相等； 位似比＝相似比，所以周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 位似中心的位置不固定：可以在两个图形之间，也可以在图形内部或外部，由题目给出的对应点决定。 🔑 三、坐标系中的位似（以原点为位似中心） 以原点 O 为位似中心、位似比为 k 时，点 P(x，y) 的对应点为 P′(kx，ky)。 k＞0 时对应图形与原图形在位似中心的同侧；k＜0 时在异侧，此时相当于先关于原点中心对称，再放大。 🔑 四、画位似图形 步骤：选定位似中心 O；连接 O 与各顶点；在射线（或反向延长线）上按位似比截取对应点；依次连接各对应点。 位似比大于 1 是放大，小于 1 是缩小；k＜0 时对应点在位似中心的另一侧。 🔑 五、确定位似中心 两组对应点连线的交点就是位似中心；网格题中常通过延长对应边、连接对应格点来找。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图把位似的概念、性质与坐标规律串起来，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 位似的概念与识别 ✏ 题型模版 第1 步 先看两个图形是否相似； 第2 步 再看对应点连线是否交于一点、对应边是否平行（或共线）； 第3 步 两条都满足才是位似，缺一条就只是相似。 典例 1 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 变式 1-1 下列命题是真命题的是（　　） A．五边形有五条对角线 B．相似图形一定是位似图形 C．矩形的对角线互相垂直且相等 D．中位数一定是这组数据中的某一个数 变式 1-2 下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 变式 1-3 如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 变式 1-4 指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 📌 题型二 位似比、周长比与面积比 ✏ 题型模版 第1 步 先由对应线段（或对应点连线）求出位似比 k； 第2 步 周长比等于 k，面积比等于 k²； 第3 步 已知面积比求位似比时先开方，注意取正值。 典例 2 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 变式 2-1 如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（     ） A． B． C．2 D． 变式 2-2 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 变式 2-3 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 📌 题型三 求对应点的坐标（原点位似） ✏ 题型模版 第1 步 确认位似中心是不是原点、位似比 k 是正是负； 第2 步 把原坐标乘 k：(x，y) → (kx，ky)； 第3 步 k＜0 时结果落在原点的另一侧，注意符号别丢。 典例 3 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 变式 3-1 如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式 3-2 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画的位似图形，使它与的位似比为，则点B的对应点的坐标是__________． 变式 3-3 在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 📌 题型四 画位似图形 ✏ 题型模版 第1 步 定中心、连顶点：把位似中心与各顶点连起来； 第2 步 定比例、截点：按位似比在射线（或反向延长线）上取对应点； 第3 步 顺次连接，标出坐标或相似比，检查放大还是缩小。 典例 4 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 变式 4-1 如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 变式 4-2 如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 变式 4-3 在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 📌 题型五 确定位似中心 ✏ 题型模版 第1 步 连接两组对应点，交点即为位似中心； 第2 步 网格中用“延长对应边找交点”更快捷； 第3 步 若给出坐标，可用对应点坐标差的比求出中心坐标。 典例 5 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式 5-1 如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 变式 5-2 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式 5-3 如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合坐标与位似关系，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 挑战 2 如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P； (2)求点P的坐标及与的相似比． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固位似的判定与坐标规律。 第 1 题 下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 第 2 题 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 第 3 题 如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 第 2 题 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 第 3 题 如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 第 4 题 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.4 位似多边形（解析版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P72–75 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 10 分钟 · 复习相似多边形 本部分共 3 题，限时 10 分钟，复习上一讲的相似多边形与相似比。 第 1 题 四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.85 【来源】专题22.1 相似多边形（举一反三讲义）数学新教材沪科版九年级上册 【知识点】比例的性质、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，取两个四边形的最长边作为一组对应边，化简比值即可． 【详解】解：四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是. 第 2 题 如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的宽为______． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.85 【来源】湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年九年级上学期10月考试数学试题 【知识点】相似多边形的性质、 图形的放大与缩小 【分析】利用相似多边形的对应边成比例，列比例式即可求放大后的宽． 【详解】解：设放大后的宽为， 放大前后的两个矩形相似， ， 解得：， 放大后的宽是． 第 3 题 已知五边形五边形，若，，则的值为________． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.85 【来源】陕西渭南市临渭区2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，利用已知对应边求出相似比，即可得到所求对应边的比值． 【详解】解：∵ 五边形五边形， ∴ 对应边成比例，可得， 将，代入得：． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能判断两个图形是否位似 ★★★★ 2 掌握位似图形的性质：对应点连线过位似中心、对应边平行、位似比等于相似比 ★★★★ 3 会在平面直角坐标系中以原点为位似中心求对应点坐标（含 k 与 −k） ★★★★ 4 能按给定的位似比画位似图形，会判断放大还是缩小 ★★★★ 5 会由对应点（或对应边）确定位似中心的位置 ★★★ ⭐ 学习重点 位似与相似的区别；坐标系中位似比为 k 时坐标乘 k（含负值）。 🔥 学习难点 位似比为负值时图形落在位似中心的另一侧；由位似比反求面积比要平方。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、位似的概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比。 位似是特殊的相似：位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似图形。位似比就是相似比。 （答案：判断时要同时看两条：对应点连线是否交于一点、对应边是否平行（或共线）。只有“长得像”不够。 🔑 二、位似图形的性质 对应点的连线都经过位似中心，且被位似中心分成两段，两段之比等于位似比； 对应边互相平行（或在同一条直线上），因此对应角相等； 位似比＝相似比，所以周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 位似中心的位置不固定：可以在两个图形之间，也可以在图形内部或外部，由题目给出的对应点决定。 🔑 三、坐标系中的位似（以原点为位似中心） 以原点 O 为位似中心、位似比为 k 时，点 P(x，y) 的对应点为 P′(kx，ky)。 k＞0 时对应图形与原图形在位似中心的同侧；k＜0 时在异侧，此时相当于先关于原点中心对称，再放大。 （答案：题目说“位似比为 −1/2”，就是把每个顶点的横、纵坐标都乘 −1/2，别只乘一个。 🔑 四、画位似图形 步骤：选定位似中心 O；连接 O 与各顶点；在射线（或反向延长线）上按位似比截取对应点；依次连接各对应点。 位似比大于 1 是放大，小于 1 是缩小；k＜0 时对应点在位似中心的另一侧。 🔑 五、确定位似中心 两组对应点连线的交点就是位似中心；网格题中常通过延长对应边、连接对应格点来找。 （答案：若已知一对对应点的坐标，也可用“位似中心分对应点连线成定比”来求中心坐标。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图把位似的概念、性质与坐标规律串起来，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 位似的概念与识别 ✏ 题型模版 第1 步 先看两个图形是否相似； 第2 步 再看对应点连线是否交于一点、对应边是否平行（或共线）； 第3 步 两条都满足才是位似，缺一条就只是相似。 典例 1 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【难度】0.85 【来源】专题04 位似多边形（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 变式 1-1 下列命题是真命题的是（　　） A．五边形有五条对角线 B．相似图形一定是位似图形 C．矩形的对角线互相垂直且相等 D．中位数一定是这组数据中的某一个数 【答案与解析】 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2026年四川省广安市岳池县初中学业水平模拟测试卷 数 学 【知识点】位似图形相关概念辨析、多边形对角线的条数问题、矩形性质理解、求中位数 【详解】解：A 、∵边形对角线条数公式为，将代入公式，得，∴五边形有五条对角线，A是真命题. B 、∵相似图形仅要求形状相同，位似图形要求对应点连线交于一点 ，因此相似图形不一定满足位似图形的条件，∴相似图形不一定是位似图形，B是假命题. C 、∵矩形的对角线相等但不垂直（正方形除外），∴C是假命题. D 、∵当一组数据的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是原数据中的某一个数 例如数据的中位数为 不在原数据中，∴D是假命题. 综上：真命题为A 变式 1-2 下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】B 【难度】0.85 【来源】专题07 相似（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期 【知识点】位似图形的识别 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 变式 1-3 如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 【答案与解析】 【答案】C 【难度】0.7 【来源】第三十一章 相似 31.4 位似 第1课时 位似图形 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比、位似图形的识别、判断位似中心、利用平行判定相似 【分析】根据位似图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，故A、B正确，不符合题意； 或或是相似比，故C错误，符合题意； 点B和点D，点C和点E是对应点，故D正确，不符合题意． 变式 1-4 指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案与解析】 【答案】①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q 【难度】0.85 【来源】第三章 图形的相似 5 图形的位似 第1课时 图形的位似 【知识点】位似图形相关概念辨析、位似图形的识别、判断位似中心 【分析】根据位似图形的定义，结合题目图形和条件即可判断①、②、③、④的图形是否为位似图形，再根据位似中心的定义即可指出位似图形的位似中心． 【详解】解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 📌 题型二 位似比、周长比与面积比 ✏ 题型模版 第1 步 先由对应线段（或对应点连线）求出位似比 k； 第2 步 周长比等于 k，面积比等于 k²； 第3 步 已知面积比求位似比时先开方，注意取正值。 典例 2 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案与解析】 【答案】B 【难度】0.85 【来源】辽宁沈阳市第一二六中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式 2-1 如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案与解析】 【答案】B 【难度】0.85 【来源】重庆市第一中学校2026-2027学年九年级上学期阶段性消化作业一数学试卷 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：∵与位似，且， ∴与的面积比为. 变式 2-2 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.7 【来源】吉林大学附属中学2026-2027学年九年级上学期10月数学大练习 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即；结合图形可知、、共线且在上，利用求出的值，根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形 ，且相似比等于 与的周长之比等于 设，（） 与的周长之比是． 变式 2-3 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.7 【来源】专题07 相似（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 📌 题型三 求对应点的坐标（原点位似） ✏ 题型模版 第1 步 确认位似中心是不是原点、位似比 k 是正是负； 第2 步 把原坐标乘 k：(x，y) → (kx，ky)； 第3 步 k＜0 时结果落在原点的另一侧，注意符号别丢。 典例 3 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 【答案与解析】 【答案】或 【难度】0.85 【来源】陕西省西安高新第一中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】以原点为位似中心的位似变换，位似图形与原图形的相似比为时，原图形上一点的对应点坐标为或，分两种情况计算即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形可在原点同侧或异侧． ∴ 当与在原点同侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． ∴ 当与在原点异侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． 因此点的坐标为或． 变式 3-1 如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【难度】0.85 【来源】福建莆田市城厢区南门学校2026-2027学年九年级上学期阶段学情诊断数学学科 【知识点】判断点所在的象限、求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，点 ∴点的对应点为的坐标为， 则点的坐标为． 变式 3-2 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画的位似图形，使它与的位似比为，则点B的对应点的坐标是__________． 【答案与解析】 【答案】或 【难度】0.7 【来源】四川达州市渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期第七周学情自测数学试题 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】把的坐标分别乘以2或，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且与的位似比为， 当与在位似中心的同侧时，； 当与在位似中心的两侧时，． 变式 3-3 在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【难度】0.7 【来源】吉林长春市榆树市慧望初级中学2026-2027学年九年级上学期10月不情自测数学试题 【知识点】求位似图形的对应坐标 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 📌 题型四 画位似图形 ✏ 题型模版 第1 步 定中心、连顶点：把位似中心与各顶点连起来； 第2 步 定比例、截点：按位似比在射线（或反向延长线）上取对应点； 第3 步 顺次连接，标出坐标或相似比，检查放大还是缩小。 典例 4 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 【答案与解析】 【答案】(1)如图，为求作的图形， (2)， 【难度】0.75 【来源】陕西咸阳启迪中学2026-2027学年上学期 九年级数学学情自测卷 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）连接并延长，使，连接并延长，使，在轴上取点，即为点，连接，得，图略； （2）由图得点的坐标，根据位似中对应点的坐标的变化规律可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：点坐标为；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标为：． 变式 4-1 如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.7 【来源】河北张家口市第二十中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【详解】略 变式 4-2 如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 【答案与解析】 【答案】如图：六边形即为所求(答案不唯一) 【难度】0.85 【来源】【课本原题】第25章 图形的相似 25.8 位似图形 例题 练习 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】连接、、、，再分别取、、、、、的中点，然后依次连接各中点即可． 【详解】解：六边形上的点、、、、、和六边形上的点、、、、、分别对应，并且它们的连线、、、、、都经过同一点，且， 故六边形与六边形是位似图形，位似比为． 变式 4-3 在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案与解析】 【答案】 解：如图1，如图2所示，即为所求作． 【难度】0.85 【来源】浙江省宁波市海曙区2025学年第一学期九年级期末调研数学试题卷 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】略 📌 题型五 确定位似中心 ✏ 题型模版 第1 步 连接两组对应点，交点即为位似中心； 第2 步 网格中用“延长对应边找交点”更快捷； 第3 步 若给出坐标，可用对应点坐标差的比求出中心坐标。 典例 5 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【难度】0.85 【来源】第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 数学 九年级BS版 上册【江西铭文�支点】2025-2026学年九年级上学期同步练 【知识点】判断位似中心 【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接并延长，交轴于点， ， 是由经过位似变换得到的， 相似比为， 则，即， 解得． 故位似中心P的坐标为． 故选：A. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 变式 5-1 如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案与解析】 【答案】C 【难度】0.85 【来源】福建省宁德市2024-2025学年上学期试九年级数学试题 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 变式 5-2 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案与解析】 【答案】D 【难度】0.65 【来源】第01讲 比例线段与简单的位似图形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 变式 5-3 如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【答案与解析】 【答案】(1) 如图所示，点即为所求， (2) 如图所示，即为所求 【难度】0.65 【来源】山东省菏泽市曹县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、判断位似中心 【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． （1）连接交于点； （2）根据位似比为1∶2，分两种情况画出； 【详解】（1）略 （2）略 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合坐标与位似关系，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案与解析】 【答案】D 【难度】0.7 【来源】第三十一章 相似 31.4 位似 第2课时 平面直角坐标系中的位似 【知识点】位似图形的识别、求位似图形的对应坐标 【详解】解：以原点为位似中心的位似图形，对应点的横、纵坐标均乘以同一个常数． A、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； B、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； C、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； D、与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘；与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘，符合题意． 挑战 2 如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P； (2)求点P的坐标及与的相似比． 【答案与解析】 【答案】(1)如答图所示，点P即为位似中心． (2)，相似比为 【难度】0.75 【来源】期中综合 测试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、求两个位似图形的相似比、已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）连接，交点即为点； （2）由网格作图可直接写出点P的坐标，再由两点之间距离公式求解对应边，即可求解相似比． 【详解】（1）略 （2）解：由答图可得，点P的坐标为． ，，，． ， ， 与的相似比为． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固位似的判定与坐标规律。 第 1 题 下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】D 【难度】0.95 【来源】27.3位似随堂检测 【知识点】位似图形的识别 【分析】注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形． 第 2 题 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.85 【来源】上海交通大学附属第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情检测数学试卷 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 第 3 题 如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 【答案与解析】 【答案】2 【难度】0.85 【来源】数学（全国通用01）学易金卷：2026年中考考前预测卷 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、勾股定理与网格问题 【分析】根据点O是位似中心，则连接并延长经过点，然后利用网格和勾股定理求出和，进而得到位似比，即可解答． 【详解】解：根据题意，连接并延长经过点，如下图所示： ∵点，， ∴，， ∴位似比为， 即是由的边扩大为原来的倍得到的． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案与解析】 【答案】C 【难度】0.7 【来源】吉林省实验中学2026-2027学年度吉林省实验 九年级上学期第一次学情自测 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入已知线段长即可求出． 【详解】解：与的周长比为， 与的位似比为， ， ， ． 第 2 题 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 【答案与解析】 【答案】 【难度】0.85 【来源】黑龙江哈尔滨市第四十九中学2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测试卷 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求位似图形的对应坐标 【详解】解： 与位似，原点是位似中心，且， 相似比为， 又 ， 点的坐标是，即． 第 3 题 如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 【答案与解析】 【答案】或 【难度】0.85 【来源】【课本原题】第25章 图形的相似 25.8 位似图形 例题 练习 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】根据位似比确定原顶点的对应点，然后顺次连接对应点，即可得到所求三角形． 【详解】解∶如图：在线段上取点，满足．在线段上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 如图：在线段的反向延长线上取点，满足．在线段的反向延长线上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 第 4 题 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案与解析】 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【难度】0.65 【来源】山东省聊城市东昌府区部分校2024——2025学年第一学期期中考试九年级 数学试题 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、位似图形的识别、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $