17.1 用提公因式法分解因式 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

17.1 用提公因式法分解因式（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十七章“因式分解”第 1 课时）

教材分析

本节是第十七章“因式分解”的起始课。教材的编排分四步：第一步，从整数分解33=3×11、42=2×3×7 引入，提出“多项式能不能也写成几个因式的积”；第二步，由乘法分配律 p(a+b+c)=pa+pb+pc 反过来得到 pa+pb+pc=p(a+b+c)，给出因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式），并指出它与整式乘法是方向相反的变形；第三步，给出公因式与提公因式法的定义，通过例 1（mx2+my2、3x2−4xy2+x）学习“公因式是单项式”的情形，通过例 2（8a3b2+12ab3c）总结“系数取最大公约数、字母取相同字母、指数取最低次幂”的确定方法；第四步，通过例 3 学习“公因式是多项式”的情形（2a(b+c)−3(b+c)、4(a−b)3+8(b−a)2），并处理 (b−a) 与 (a−b) 的符号关系。

从地位看，因式分解是整式乘法的逆变形，是本章与第十六章的连接点：第十六章把“积”展开成“和”，本章把“和”还原成“积”。提公因式法是最基本、最常用的分解方法，也是后续公式法、分组分解的基础。

从后续看，解一元二次方程、分式的约分与通分、二次根式的化简、函数式的变形，都要先“分解因式”；而“提公因式”几乎是每一步变形的第一步，教材也反复强调“先看有没有公因式”。

从学段衔接看，小学的“分解质因数”与乘法的分配律是本节的生长点，本节要把“数的分解”提升为“式的分解”，实现从数到式的类比迁移。

核心素养目标

1. 运算能力：能准确确定公因式，并用提公因式法把多项式分解因式。

2. 推理能力：能由乘法分配律逆向得到提公因式法，能说明因式分解与整式乘法是互逆变形。

3. 结构意识：能整体观察多项式的项，从系数、字母、指数三个角度找出公因式；能把一个多项式（如 b+c）看成整体作为公因式。

4. 应用意识：能用因式分解进行简便计算，体会“分解”带来的计算价值。

5. 数学抽象：能用自己的语言概括因式分解的定义，并据此判断一个变形是不是因式分解。

教学重点

因式分解的概念；提公因式法；确定公因式的方法。

教学难点

公因式的准确确定（系数、字母、最低次幂）；提公因式后剩下“1”的处理；公因式为多项式时符号的转化，如 (b−a)2=(a−b)2。

学情分析

（1）已有基础：学生熟练掌握乘法分配律与整式乘法，小学学过分解质因数，对“分解”有直观经验；上一章刚学完乘法公式，具备“逆向看式子”的初步体验。

（2）可能困难：①把“因式分解”与“整式乘法”混为一谈，认为 x(x+1)=x2+x 也是分解；②提公因式后漏写“1”，如 3x2−4xy2+x 写成 x(3x−4y2)；③公因式找不全，如 8a3b2+12ab3c 只提 2ab；④公因式是多项式时看不出整体，或不知道 (b−a)2=(a−b)2；⑤分解后不检查“是否还能继续分解”。

（3）教学对策：用“数的分解”类比，用箭头图表示“整式乘法 ↔ 因式分解”的互逆关系；用“三看”（看系数、看字母、看指数）把找公因式的过程程序化；用“提完回头乘一遍”检验；用对比题集中训练 (b−a) 与 (a−b) 的符号。

教学方法

教法：类比法、探究发现法、程序化训练法、辨析纠错法。

学法：类比—发现—概括—练习—反思。

手段：多媒体课件、整数分解卡片、彩色粉笔、当堂检测单、分层作业单。

课时安排

1 课时（45 分钟）：情境导入 3 分钟；探究与定义 6 分钟；辨析互逆 5 分钟；公因式与例 1 示范 7 分钟；确定公因式与例 2 示范 6 分钟；例 3 示范 6 分钟；符号处理与变式 5 分钟；简便计算 3 分钟；当堂检测 2 分钟；小结与作业 2 分钟。

教学资源

人教版八年级上册教材、多媒体课件、整数分解卡片、彩色粉笔、当堂检测单、分层作业单。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境导入

由数到式

1. 把下列整数分解质因数：33，42。

2. 想一想：多项式 pa+pb+pc 能不能也写成几个因式的积？

先让学生说 33 = 3×11、42 = 2×3×7，追问“分解质因数”的含义；再出示 pa+pb+pc，引导用乘法分配律的逆运算。

口答整数分解；观察 pa+pb+pc 发现各项都有 p，提出“把 p 提出来”。

能否说出“分解”的含义；能否发现各项的公共因式 p。

设计意图：用“数的分解”作类比，让“式的分解”有直观依托。

环节二

探究发现

给出定义

由 p(a+b+c)=pa+pb+pc 反过来，得

pa+pb+pc=p(a+b+c)。

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解。

面积解释：长为 a+b+c、宽为 p 的长方形，面积既可写成 p(a+b+c)，也可写成 pa+pb+pc。

板书“整式乘法”与“因式分解”两个方向的箭头；用面积图说明两边表示同一块面积。

跟着说出“左边是和，右边是积”；在图上指出 pa、pb、pc 三块。

能否指出因式分解的结果必须是“积”的形式。

设计意图：定义要在“互逆”与“面积”两个支撑下建立，而不是背句子。

环节三

辨析互逆

澄清概念

下列从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）x2+x=x(x+1)；（2）x2−1=(x+1)(x−1)；

（3）x2+2x+1=(x+1)2；（4）x(x+1)=x2+x。

引导学生用“结果是不是积”这把尺子判断，并指出（4）方向相反，是整式乘法。

判断：（1）（2）（3）是；（4）不是，它是整式乘法。

能否用定义判断；能否说清（4）为什么不是。

设计意图：正反例对照，把“方向相反”这一关键点坐实。

环节四

公因式

提公因式法

公因式：一个多项式的各项都含有的公共因式。

提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把它提取出来，写成公因式与另一个因式的积的形式。

例如 pa+pb+pc 的公因式是 p；3x2−4xy2+x 的公因式是 x。

以 3x2−4xy2+x 为例，逐项写出 3x2 = x·3x、−4xy2 = x·(−4y2)、x = x·1，把“剩下的因式”一并写出。

逐项找公共因式；发现最后一项提走 x 后剩下 1。

能否说出公因式；能否注意到“剩下 1”。

设计意图：把“提”的过程拆成“逐项除”的动作，降低出错率。

环节五

例 1 示范

单项式公因式

例 1　分解因式：

（1）mx2+my2；（2）3x2−4xy2+x。

解：（1）mx2+my2=m(x2+y2)；

（2）3x2−4xy2+x=x(3x−4y2+1)。

示范“提公因式后，括号内每一项都是原项除以公因式”；第（2）题重点强调最后一项 x÷x = 1，不能漏写。

独立完成，并用“乘回去”检验：x(3x−4y2+1) = 3x2−4xy2+x。

括号内是否漏项或漏 1；能否主动检验。

设计意图：例 1 是提公因式法的最基本形态，必须把“剩 1”讲透。