21.2 一元二次方程的解法（第4课时 公式法）教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

文本解读

本课时选自华东师大版《义务教育教科书·数学》九年级上册第21章《一元二次方程》21.2《一元二次方程的解法》第4课时——公式法。在此之前，学生已经学习了直接开平方法、因式分解法和配方法，初步体会到“降次”是解一元二次方程的基本思想。本节课在上节课配方法的基础上，对一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）实施完整的配方过程，从而推导出一元二次方程的求根公式，并学会运用公式法解方程。求根公式由配方法推得，又反过来统一了前面学过的各种解法，体现了由特殊到一般、再以一般统率特殊的数学思想，也为本单元后续内容的学习奠定基础。

教学目标

1.【数学抽象】经历用配方法对一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）求解的完整过程，抽象概括出求根公式，体会由特殊到一般的数学思想。

2.【逻辑推理】理解求根公式的推导过程，明白 b2−4ac 的值决定方程有无实数根的道理，养成严谨推理、步步有据的思维习惯。

3.【数学运算】能正确识别方程中 a、b、c 的值（注意符号），准确计算 b2−4ac 的值，熟练运用公式法解一元二次方程。

4.【数学建模】能运用公式法解决与面积有关的简单实际问题，感受数学与现实生活的联系，发展模型观念与应用意识。

重点难点

教学重点：求根公式的推导过程，以及运用公式法正确解一元二次方程。

教学难点：对含字母系数的一般形式实施配方、推导公式的完整过程；根据 b2−4ac 的值判断方程根的情况。

课时安排

1课时

教学过程

新课导入

（一）情境创设

2026年春季，学校科技节如期举行。科技小组要制作一块长方形展板展示“人工智能改变生活”主题作品，设计要求：展板的长比宽多2米，面积为15平方米。设展板的宽为 x 米，根据题意可得方程 x2+2x−15=0。

师：这个方程可以用我们学过的方法求解吗？你选择哪一种方法？

（学生抢答：因式分解法、配方法都可以。教师追问：如果系数再复杂一些呢？）

（二）问题激趣

教师出示方程 2x2−4x−1=0：这个方程的系数不是完全平方数，用配方法求解需要多次变形；还有的方程根本无法用因式分解法求解。有没有一种方法，对任何一元二次方程都适用，拿到方程“套”进去就能求出根呢？

——这就是我们今天要学习的内容：公式法。（教师板书课题）

探究新知

任务一：合作探究，推导求根公式

1. 温故知新

请同学们先用配方法解方程 x2+6x+4=0，并说出每一步的依据。

2. 一般化探究：对 ax2+bx+c=0（a≠0）配方

第一步，因为 a≠0，方程两边同除以二次项系数 a，得

第二步，移项，得

第三步，两边加上一次项系数一半的平方，配方，得

第四步：因为 a≠0，所以 4a2＞0。当 b2−4ac≥0 时，两边开平方，得

第五步，移项，就得到一元二次方程的求根公式：

【要点点拨】推导过程中 b2−4ac≥0 是保证被开方数非负的条件：当 b2−4ac＜0 时，任何实数 x 都不能使等式成立，此时方程没有实数根。求根公式对一切一元二次方程都适用，故此法叫做公式法。

任务二：例题精讲，会用公式法解方程

例1 解方程：x2−3x−1=0。

解：这里 a=1，b=−3，c=−1。则 b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13＞0。代入求根公式，得

即 x1 与 x2 分别为

例2 解方程：2x2−4x−1=0。

解：a=2，b=−4，c=−1。则 b2−4ac=(−4)2−4×2×(−1)=16+8=24＞0。代入求根公式，得

即

【方法归纳】用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值，注意符号；②计算 b2−4ac 的值，当其小于0时，方程无实数根；③当其大于或等于0时，把各值代入求根公式，求出方程的根。

三个方程用公式法求解的情况对照如下表：

文本探

任务三：学以致用，发展模型观念

例3 2026年，某市推进“口袋公园”建设。在一块空地上修建的长方形绿地中，长比宽多4