21.2.3 公式法（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，核心包括求根公式推导与根的判别式应用。课堂导入通过复习配方法解方程，让学生感受其步骤繁琐，自然引出推导通用公式的需求，搭建从特殊到一般的学习支架。 该资料亮点在于以配方法为基础严谨推导求根公式，培养推理意识，通过五步解题流程和分层练习提升运算能力，易错点辨析强化规范思维。帮助学生理解公式本质，提升解题准确率，为教师提供清晰教学逻辑和实用教学资源。

3.公式法21.2.4 公式法 教案 一、教材分析 《公式法》是解一元二次方程的通用解法，安排在配方法之后，是对配方法的归纳与升华。本节课通过配方法推导一元二次方程的求根公式，确立解一元二次方程的通用工具，适用于所有有实数根的一元二次方程。公式法不仅简化了繁琐的配方过程，规范了解题流程，还是学习根的判别式、根与系数关系的重要基础，是本章解方程体系的收官核心内容。学生掌握公式法后，能够系统完善一元二次方程的解题方法，为后续二次函数、几何计算、实际应用题求解奠定坚实的运算基础。 二、学情分析 九年级学生已经熟练掌握配方法解一元二次方程，具备完整的代数变形与推导能力，理解“降次转化”的数学思想。通过前几课时的学习，学生能够解决特殊一元二次方程，但配方法步骤繁琐、计算量大，学生解题效率低、易出错，迫切需要一种通用简便的解法，为本节课公式的推导与应用提供了良好的认知铺垫。学生学习难点主要集中在：求根公式结构复杂易记混、代入数值时符号出错、不会先利用判别式判断根的情况，容易出现盲目套公式计算的问题。 三、教学目标 1. 知识与技能：经历求根公式的推导过程，掌握一元二次方程求根公式；理解根的判别式的意义，能利用判别式判断方程根的情况；熟练运用公式法解任意一元二次方程，规范解题步骤。 2. 过程与方法：通过配方法推导通用公式，体会从特殊到一般的数学思想，感受公式生成的严谨性；通过分层练习，提升学生代数运算、归纳总结和精准计算的能力。 3. 情感态度与价值观：体会数学公式的简洁美与通用性，感受知识的递进与完善过程，培养严谨的逻辑思维和规范的解题习惯，提升学生代数运算的自信心。 四、教学重难点 重点：掌握一元二次方程求根公式，熟练运用公式法解方程；掌握根的判别式的应用。 难点：理解求根公式的推导过程；准确识别方程中a、b、c的数值（含符号），规避代入公式的计算错误。 五、教学准备 多媒体课件、公式推导板书素材、课堂分层练习题、易错点汇总清单 六、教学过程 （一）复习旧知，引入新课（5分钟） 回顾配方法解一元二次方程的完整步骤，让学生用配方法解方程 $$2x^2-4x-2=0$$。学生解题后反馈，配方法步骤繁琐、耗时较长，容易出现配方失误。教师顺势设问：能否通过配方法推导出一个通用公式，直接代入数值求解所有一元二次方程？由此引出本节课核心内容——公式法解一元二次方程。 （二）推导公式，探究新知（22分钟） 1. 推导求根公式 从一元二次方程一般形式 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ 出发，带领学生分步配方推导：方程两边同时除以a，移项、配方、整理成完全平方式，最终推导出求根公式：$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a eq0,b^2-4ac\geq0)$$。全程带领学生一步步运算，让学生理解公式并非凭空记忆，而是配方法的一般结论，加深公式理解。 2. 根的判别式探究 定义判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$，归纳三种根的情况：当 $$\Delta>0$$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $$\Delta=0$$ 时，方程有两个相等的实数根；当 $$\Delta<0$$ 时，方程无实数根。强调解题先判根，避免无效计算。 3. 公式法标准解题步骤 固化五步解题流程：①化一般形式，确定a、b、c的值；②计算判别式Δ；③判断根的情况；④代入求根公式计算；⑤化简写出方程的根。通过例题 $$x^2-3x+2=0$$ 完整示范，重点强调a、b、c包含符号，代入公式时符号不能出错。 4. 高频易错点辨析 汇总学生典型错误：未化为一般形式直接取值、a、b、c符号看错、忽略Δ＜0无实数根、公式中-b符号混淆、分母2a遗漏。通过错题对比纠错，强化学生规范解题意识，规避常见运算漏洞。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：简单一元二次方程，熟练公式代入与判别式应用；提升练习：含负系数、复杂常数项的方程，训练符号识别与精准计算；拓展练习：利用判别式判断根的情况、含简单参数的取值问题。学生独立完成后小组互评，教师针对符号错误、公式套用不规范等问题集中讲评。 （四）课堂小结，梳理体系（3分钟） 引导学生自主总结：求根公式、判别式三种情况、公式法解题步骤、易错点。教师升华：公式法是配方法的简化与通用化，适用于所有可解一元二次方程，是解方程最通用的方法，衔接前期直接开平方法、因式分解法、配方法，完善一元二次方程解题体系。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后习题，熟练运用公式法解方程；拓展作业：整理四种解方程方法的适用场景，总结判别式与求根公式的易错点，完成错题整理。 七、板书设计 21.2.4 公式法 1. 判别式：$$\Delta=b^2-4ac$$ 2. 根的情况：Δ＞0两不等根；Δ=0两相等根；Δ＜0无实根 3. 求根公式：$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a eq0,\Delta\geq0)$$ 4. 解题步骤：化一般式→求Δ→判根→代公式→化简 5. 易错点：符号、分母、先判根再计算 八、教学反思 本节课以配方法推导公式，衔接旧知自然，遵循从特殊到一般的认知规律，有效帮助学生理解公式来源，避免死记硬背。通过判别式与公式结合教学，完善了一元二次方程的解题逻辑，大部分学生能够掌握公式法解题步骤，准确判断根的情况并正确代入计算。但教学中发现，学生最突出的问题是符号处理能力薄弱，极易看错b、c的符号，导致计算出错；部分学生不养成先判断判别式的习惯，盲目计算无实数根的方程。后续教学中，需强化符号专项训练，固化“先判根、再计算”的解题习惯，通过变式练习提升学生灵活运用公式的能力，进一步提高运算准确率。 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程.(重点) 一、情景导入 如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝. 二、合作探究 探究点一：用公式法解一元二次方程 方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________． 解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝. 故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，. 方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根． 用公式法解下列方程： (1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0； (3)x2－2x＋1＝0. 解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可． 解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0. ∵a＝3，b＝5，c＝－2， ∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝－2； (2)∵a＝2，b＝3，c＝3， ∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝ －15＜0， ∴原方程没有实数根； (3)∵a＝1，b＝－2，c＝1， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x＝＝， ∴x1＝x2＝1. 方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)． 【类型二】一元二次方程解法的综合运用 三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为(　　) A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定 解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A. 方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍． 3、 板书设计 经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯 学科网（北京）股份有限公司 $