18.1 比例线段教学设计 2026-2027学年北京版数学九年级上册

文本解读

文本解读

本课时内容选自北京版《义务教育教科书·数学》九年级上册第十八章“相似形”的第一节“18.1 比例线段”。比例线段是学习相似三角形的起点和基石：小学阶段学生已经接触过“比”与“按比分配”，七年级学习了一元一次方程，但把“比”的概念迁移到“线段”这一几何对象上，并系统学习成比例线段及其性质，在本册是第一次。教材从测量、地图比例尺等实际情境出发，引出两条线段的比，再由“比值相等”过渡到成比例线段，并通过比例的基本性质、合比性质与等比性质，为后续“平行线分线段成比例”“相似三角形的判定与性质”提供运算与推理工具。本课时地位承前启后，是“数”与“形”结合的典范，对发展学生的数学抽象、逻辑推理与几何直观素养具有重要作用。

教学目标

教学目标

1. 【数学抽象】 理解两条线段的比的概念，知道线段的比与所选单位无关，会计算两条线段的比。

2. 【逻辑推理】 理解成比例线段的概念，能准确说出比例的内项、外项与第四比例项，掌握比例的基本性质并会简单运用。

3. 【运算能力】 经历合比性质、等比性质的推导过程，能运用比例性质进行简单的计算与证明。

4. 【应用意识】 能在地图比例尺等实际情境中识别并运用比例线段，感受数学与生活的联系。

重点难点

重点难点

教学重点：两条线段的比与成比例线段的概念，比例的基本性质及其运用。 教学难点：理解“线段的比与单位无关”的本质，合比性质与等比性质的推导及灵活运用。

课时安排

课时安排

1课时

教学过程

教学过程

新课导入

（一）情境创设

同学们，2026年北京城市副中心的建设如火如荼。工程队绘制了一幅比例尺为1:5000的规划图，图上的一段道路仅长3厘米，实际却长达150米。图上的长度和实际的长度之间，隐藏着怎样的数量关系？又该怎样用数学语言来刻画？

（二）问题激趣

（教师大屏幕展示规划图与实景图对比）

师：如果把图上距离和实际距离看作两条线段，求它们的比之前，必须先做什么？

生：统一单位！3厘米要换算成0.03米，再相比。

师：很好。0.03米比150米，化简后正好是1:5000，这正是比例尺的含义。可见两条线段的比，就是它们长度的比。今天我们就从“数”的比走向“形”的比，学习第十八章相似形的第一节——18.1 比例线段。

（学生齐读课题，教师板书课题）

探究新知

任务一：探究两条线段的比

1. 概念建构

请同学们完成下面的活动：线段 AB = 2 cm，线段 CD = 3 cm，求 AB 与 CD 的比。

若改用毫米作单位，AB = 20 mm，CD = 30 mm，比值还是2:3吗？

【要点点拨】两条线段的比就是两条线段长度的比。比与所选的单位无关，但求比之前必须把两条线段的长度单位统一。线段的比是一个没有单位的正数，前项与后项不可随意交换。

2. 巩固练习1

练习1：等腰直角三角形的两条直角边长分别为 a 与 b，求 a:b 的值。

答案：a:b = 1:1。

练习2：线段 MN = 8 cm，线段 PQ = 2 dm，求 MN:PQ。

答案：统一为厘米后 MN:PQ = 8:20 = 2:5。

任务二：探究成比例线段

1. 概念建构

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段。四条线段 a、b、c、d 成比例，记作 a:b = c:d，读作“a比b等于c比d”，其中 b、c 叫做比例内项，a、d 叫做比例外项，d 叫做第四比例项。

【要点点拨】判断四条线段是否成比例，必须先把四条线段的长度按从小到大（或从大到小）排序，再检验“第一、第四条线段的乘积是否等于第二、第三条线段的乘积”，即用 ad = bc 来判断，顺序不可乱。

2. 巩固练习2

练习3：判断线段 1 cm、2 cm、3 cm、6 cm 是否成比例。

答案：排序后 1×6 = 2×3，故 1:2 = 3:6，成比例。

练习4：线段 a = 5 cm，b = 10 cm，c = 15 cm，d = 3 cm，判断这四条线段是否成比例。

答案：排序为 3、5、10、15，3×15 = 5×10 = 45，故成比例，即 3:5 = 10:15。