5.4 抛体运动的规律 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第二册

必修二 第五章 抛体运动 5.4 抛体运动的规律 学习目标 1.知道抛体运动的定义与条件：以一定的初速度抛出、只受重力（忽略空气阻力），是匀变速曲线运动， 2.掌握运用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析，会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题。 3.认识平抛运动研究中等效替代的思想和化繁为简的思想。 4．理解斜上抛运动的分解与对称性：会用正交分解分析斜抛运动， 夯实基础 素养奠基 知识点1：平抛运动的理解 1.平抛运动的性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 2.研究方法：化曲为直 将平抛运动分解为：水平方向做匀速直线运动；竖直方向做自由落体运动。 3．基本规律（如图所示） （1）速度规律 ①任意时刻的水平分速度、竖直分速度分别为：vx＝v0 vy＝gt ②合速度的大小与方向满足： v＝ tan θ＝＝ ③速度变化特点：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向为竖直向下；但是速率的变化不相等。 （2）位移规律 ①水平分位移、竖直分位移分别为：x＝v0t y＝gt2 ②合位移的大小与方向满足： 大小：s＝ tan α＝＝ ③位移变化特点：相等时间ΔT内的水平位移相等：Δx＝v0ΔT；连续相等时间ΔT内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔT2。 （3）运动时间和水平射程 ①由 可知，运动时间只由下落高度决定，与初速度无关 ②由x＝v0t＝v0可知，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 4.平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ（如图所示）。 （2）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 知识点2：斜抛运动的理解 1.概念及性质：将物体以一定初速度沿斜上方（或斜下方）抛出，只受重力作用，这样的运动叫斜抛运动。斜抛运动是以初速度为v0，加速度为g的匀变速曲线运动. 2.研究方法：化曲为直 ①将斜抛运动分解为：沿水平方向的分运动匀速直线运动和沿竖直方向的分运动竖直上抛运动。 ②利用斜抛运动具有对称性：在最高点一分为二，逆向处理斜抛运动变为两个平抛运动处理。 3.基本规律（如图所示）： （1）速度规律：将初速度v0分解为：水平分速度，v0x＝v0cosθ，竖直分速度，vy＝v0sinθ－gt （2）位移规律： ①水平分位移、竖直分位移分别为：x＝v0cosθ·t y＝v0sinθ·t－gt2 ②竖直方向上的射高：Y＝＝， ③水平方向上的射程：X＝v0cos θ·t＝＝， 射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关；当θ＝45°时，射程达到最大值，最大射程为Xmax＝。 （3） 飞行时间：t＝＝。 知识点3：类平抛运动的理解 1.类平抛的特点：做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝ 2.类平抛的规律：平抛运动的处理方法和结论都适用。 名师点拨 素养提升 1.解决平抛运动问题的一般思路 (1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。 (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再通过合成各分速度、分位移得到平抛运动的速度、位移等。 这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使复杂问题的解决过程得到简化。 2.从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。 (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。 (2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。 (3)运动的时间与初速度成正比 (4)位移与初速度的二次方成正比 。 (5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 巩固提高 题组训练 ▌题组01 平抛运动基本规律应用题型 处理平抛运动的实质：结合物体运动过程中的速度和受力特点。化曲线运动为两个直线运动，化曲为直的思想是处理在恒力作用下曲线运动的通用规律。 1.三个速度构成的矢量三角形运用： 2.三个位移构成的矢量三角形运用： 3.两个重要的结论运用。 【题组训练1】(多选)如图所示，在高空水平方向匀速飞行的轰炸机，每隔1 s投下一颗炸弹，若不计空气阻力，则(　　) A．这些炸弹落地前排列在同一条竖直线上 B．这些炸弹落地前排列在同一条抛物线上 C．这些炸弹落地时速度大小和方向都相同 D．这些炸弹都落于地面上同一点 【答案】AC 【解析】这些炸弹都是做平抛运动，水平方向的速度不变，相同时间内，水平方向上位移相同，所以这些炸弹落地前排在同一条竖直线上，故A正确，B错误。由于这些炸弹下落的高度相同，初速度也相同，这些炸弹落地时速度大小和方向都相同，故C正确。这些炸弹抛出的时刻不同，落地的时刻也不一样，不可能落于地面上的同一点，故D错误。 【题组训练2】以水平初速度抛出一小球，用速度传感器分别测得小球在0.2s末、0.4s末和0.6s末的速度和，在方格纸内画出如图所示的速度矢量图，忽略空气阻力，水平初速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】0.2s末小球的竖直速度为 由速度矢量图可得，解得 故选B。 【题组训练3】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点. 质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线. M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点. 已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是 A．QM的长度为10m B．质点从O到P的运动时间为1s C．质点在P点的速度v大小为40m/s D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45° 【答案】D 【解析】AB．根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有： 可得t=2s；质点在水平方向的位移为： 根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM=20m，故A错误，B错误； C．质点在P点的竖直速度： 所以在P点的速度为：，故C错误； D．因为：，所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确. 【题组训练4】如图所示，从同一位置以不同的初速度水平抛出两个小球A、B，它们先后与竖直墙壁碰撞，碰撞的瞬间小球A、B的速度方向与竖直墙壁之间的夹角分别为α、β。已知α＝53°，β＝37°，两小球与墙壁的接触点之间的距离为d，求抛出点与竖直墙壁的距离x。(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 【答案】d 【解析】方法一：设小球A、B抛出时的初速度分别为vA0、vB0，抛出后它们分别运动了tA、tB时间之后与墙壁碰撞，这一过程中小球A下落的竖直位移为hA，根据平抛运动的规律有 x＝vA0tA＝vB0tB，hA＝gtA2，hA＋d＝gtB2， tanα＝，tanβ＝，联立解得x＝d。 方法二：推论1：如图所示，在平抛运动中，物体的速度与水平方向的夹角θ2的正切值tanθ2＝为位移与水平方向的夹角θ1的正切值tanθ1＝的2倍，即tan θ2＝2tanθ1或＝。 推论2：如图所示，在平抛运动中，某时刻物体的速度v的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点，有tanθ2＝＝。 设小球A从抛出到与墙壁碰撞的过程中下落的竖直位移为hA，利用推论1或推论2结合题意有 tan(90°－α)＝，tan(90°－β)＝ 联立解得x＝d。 ▌题组02 平抛运动中多体的比较题型 对多物体平抛问题的比较题型的规律 (1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。 (2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 (3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 (4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 【题组训练5】如图所示，“套圈”活动中，某同学将两个套圈分别以、的速度（方向相同）从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号奖品，若套圈在空中运动的时间分别为、，套圈可近似视为质点，不计空气阻力，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由平抛运动有，且可知 由，且可知 故选C。 【题组训练6】高一新生军训模拟投弹演练中，在陡峭山头上的同一位置，小明先后两次沿水平方向向山下同一目标投掷出甲、乙两颗仿真手榴弹（可视为质点），轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙的飞行时间比甲的长 B．甲的飞行时间比乙的长 C．甲的水平速度比乙小 D．甲落地时的速度比乙大 【答案】D 【解析】AB．仿真手榴弹在空中做平抛运动，竖直方向有：得 甲、乙下落的高度相同，则它们飞行时间相等，故AB错误； C．甲、乙飞行时间相等，甲的水平位移比乙的大，由知甲的水平速度比乙大，故C错误； D．落地时速度大小为 甲、乙下落的高度相同，甲的水平速度比乙大，则甲落地时的速度比乙大，故D正确。 故选D。 【题组训练7】如图所示，先将小球甲水平抛出，甲抛出后1.5秒将小球乙水平抛出，小球甲、乙将会在空中的点相遇，已知小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（     ） A．小球乙在相遇前运动的时间为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．甲、乙相遇时两小球的速度方向相互垂直 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【答案】C 【解析】A．设小球乙在相遇前运动的时间为，则小球甲运动的时间为，其中，两小球在水平方向均做匀速直线运动，根据位移公式有，代入数据解得，可知小球乙在相遇前运动的时间为，故A错误； B． 相遇时小球甲、乙的竖直分速度大小分别有，， 代入数据解得， C． 设小球甲、乙在相遇时的速度偏转角分别为和，分别有， 代入数据解得， 由于两小球速度偏转角正切值不同，故相遇时速度偏转角不相同，故B错误； C．根据B选项中求出的速度偏转角正切值有 甲、乙两球水平速度方向相反，若两速度方向垂直，则速度矢量与水平方向夹角之和应为，即要求两速度偏转角的正切值乘积为，由上述等式成立可知两小球的速度方向相互垂直，故C正确； D．相遇时小球甲、乙下落的高度分别有， 小球甲、乙抛出点的高度差为 联立解得，可知高度差不是，故D错误。 故选C。 【题组训练8】运动员将质量为m的网球（网球视为质点）从高度为1.8m处以3m/s的速度水平向右击出，假设网球与地面碰撞前后瞬间水平速度不变，反弹后，小球刚好沿水平方向击中距地面高度为0.8m中间隔离网某位置。取重力加速度，设小球和地面碰撞时间极短。求： (1)网球落地时的速度大小和方向； (2)运动员击球处距隔离网的水平距离。 【答案】D 【解析】（1）网球做平抛运动，竖直方向由 解得落地时间 竖直分速度 方向与水平方向夹角的正切值 （2）反弹后竖直上抛至高度，由 解得 总时间 水平距离 ▌题组03 平抛运动与斜面关联的题型 1.与斜面关联的平抛运动 情景图示 处理方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 vx＝v0 vy＝gt v合＝ tanθ＝ tanθ＝＝ t＝ tanθ＝＝ t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 x合＝ tanθ ＝＝ 在运动起点同时分解v0、g 0＝v1－a1t， 0－v12＝－2a1d t＝， d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 2.巧解斜面上的平抛运动 (1)物体的抛出点和落点都在斜面上时，首先考虑位移的分解。 (2)物体垂直于斜面或与斜面成某一角度落到斜面上时，首先考虑速度的分解。 【题组训练9】如图所示，小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，重力加速度为g，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（　　） A．小球在空中运动的时间为 B．小球的水平位移大小为 C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 D．小球的竖直位移大小为 【答案】B 【解析】如图所示，过抛出点A作斜面的垂线，当小球落在斜面上的B点时，位移最小。 设运动的时间为t，则在水平方向上有 在竖直方向上有 根据几何关系知 联立解得 小球的水平位移大小为 竖直位移大小为 由水平位移和竖直位移的合成可求出小球位移的大小，故B正确，ACD错误。 故选B。 【题组训练10】某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝10 m/s的速度沿水平方向匀速飞行，某时刻自由释放一个小球，小球正好垂直斜坡击中目标，斜坡的倾角θ＝45°，如图所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。关于小球，下列说法正确的是（　　） A．在空中的飞行时间为1 s B．竖直方向下落的高度为10 m C．竖直方向下落的高度与水平方向通过的距离之比为1:2 D．若只增大v0，则小球落到斜面的速度方向不变 【答案】AC 【解析】A．小球垂直击中倾角的斜坡，有，得飞行时间，故A正确； B．竖直方向自由下落，下落高度，故B错误； C．水平位移，竖直下落高度h＝5 m，因此比值，故C正确； D．抛出点位置不变、斜面固定，只增大v0时，小球击中斜面的时间t会减小，速度偏角满足，由几何关系可推得：v0增大后会减小，因此速度方向改变，故D错误。 故选AC。 【题组训练11】如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(  ) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 【答案】D 【解析】小球A做平抛运动，根据分位移公式，有：x=v1t，竖直位移：， 又有：，联立可得： 小球B恰好垂直打到斜面上，则有：，可得： 所以有：v1：v2=3：2． 故选D。 【题组训练12】如图所示，以10 m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3 m，sin37°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 （1）物体在空中飞行的时间； （2）物体撞击斜面时的速度大小； （3）抛出点距斜面底端A的水平距离。 【答案】（1）0.75s （2）12.5m （3）3.5m 【解析】（1）将B点速度进行分解，由几何关系得速度方向与水平方向夹角θ＝37° 由三角函数得竖直方向速度为 由平抛运动竖直方向为自由落体运动则有，解得 （2）设物体撞击斜面时的速度大小为v 由勾股定理得 （3）从抛出点到B点的距离，解得 B点到斜面底端A的水平距离根据几何关系得 抛出点距斜面底端A的水平距离 d 等于从抛出点到B点的水平位移减去B点到A点的水平距离 ▌题组04 平抛运动与圆弧关联的题型 1.与圆弧关联的平抛运动 关联种类 情景图形 解题策略 ①从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向，此时v⊥R方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 ②从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，已知速度的方向垂直于圆弧面。 ③小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 ；vy＝gt 。 tanθ＝＝ t＝ 分解速度，构建速度三角形 tanθ＝＝ ④从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，落到半圆内的不同位置，半径和几何关系制约时间t。 利用几何关系求解位移关系 x＝v0t ，y＝gt2 R2＝（x－R）2＋y2 2.有约束条件的平抛运动 做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 【题组训练13】几位同学利用课余时间测一干涸的半球形蓄水池的直径。身高为1.80m的小张同学站在池边从头顶高处水平向池中投掷小石子，石子刚好落到池底的正中央，小李同学用手机的秒表记录的小石子运动时间为1.6s。不计空气阻力，重力加速度取10m/s2。可知水池的直径为（  ） A．3.6m B．11m C．12.8m D．22m 【答案】D 【解析】设水池的半径为R，人身高为h，根据平抛运动的规律，在竖直方向，有 代入数据解得R=11m，则直径为22m，故ABC错误，D正确。 故选D。 【题组训练14】如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 (　　) A．tan α B．cos α C．tan α D．cos α 【答案】C 【解析】设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2. 对球1：Rsin α＝v1t1，， 对球2：Rcos α＝v2t2 ， 解四式可得：，故C正确． 【题组训练15】某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以O点为圆心、R为半径的四分之一圆弧，圆弧最高点与O点等高。救援队需向该山沟投掷救援物资，可以直接在O点以水平速度v₀开始投递，也可沿竖直面下降h后至P点，再从P点以v₀水平方向向圆弧面投递，物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资垂直落到圆弧上。其中g是重力加速度大小。则物资（　　） A．在O点调整v₀大小可以完成投递任务 B．当h=3/4R时，可以以合适v₀完成投递任务 C．从P点出发，物资在空中飞行时间为 D．从P点出发，物资的初速度v₀= 【答案】D 【解析】A、垂直落至圆弧面上，把速度反向延长线过O，同时交于平抛运动水平位移的中点，从O点抛出，h＝0；不可能垂直撞圆弧，故A错误。 BCD、如图所示的虚线构成两个全等三角形，由此可知平抛下落高度也为h，要落至圆弧面上，2h＜R，所以h＜R/2；并且由h=½gt²，所以平抛运动时间为t=， 初速度v₀=x/t=(2)/t=，故BC错误，D正确。 故选：D 【题组训练16】如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道．O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做自由落体运动.速度与水平方向的夹角为，则： 位移与竖直方向的夹角为，则： 所以： 所以选C. 【题组训练17】如图所示，AB为建筑工地上的四分之一圆弧轨道，圆心为O，半径OB竖直，M、N点将OB分成3等份。工件甲、乙分别从M、N点水平向右抛出，不计空气阻力，则能垂直击中AB轨道的是（　　） A．仅甲能 B．仅乙能 C．甲、乙都能 D．甲、乙都不能 【答案】A 【解析】设工件在OB上某点C水平抛出正好垂直落于圆弧上D点，可知速度反向延长线交于水平位移中点，如图所示： 根据几何关系可知OC＝ED，所以OB中点下方水平抛出的小球，都不可能垂直落于AB圆弧轨道上，即工件乙不能垂直击中AB轨道； 工件甲从M点水平抛出，竖直位移为，水平位移为 解得水平速度为，可知工件甲能垂直击中AB轨道。 综上，工件甲能垂直击中AB轨道，工件乙不能垂直击中AB轨道，故A正确，BCD错误。 故选：A。 ▌题组05求解类平抛运动问题的题型 1.类平抛的特点：做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，利用牛顿第二定律求得加速度a＝，加速度在运动过程中为恒定值。 2.求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，判断是否恒定，正确求出加速度。 (2)应用运动的合成与分解的方法求解。 【题组训练18】（多选）如图，光滑固定斜面的倾角为θ，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 【答案】ABC 【解析】AB．由牛顿第二定律可知小球的加速度为，方向沿斜面向下，小球初速度与加速度方向垂直且加速度不变，因此小球的运动轨迹为抛物线，故AB正确； C．小球垂直于初速度方向的在斜面上运动的位移，解得，故C正确； D．小球到达B处的速度大小，故D错误。 故选ABC 【题组训练19】（多选）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m的小球在O点以水平初速度抛出，恰好能沿水平方向运动到P点，O、P间的距离为L，将风力调大，小球仍由O点以水平初速度抛出，结果恰好经过P点正上方的Q点，P，Q间的距离为，重力加速度为g，求（ ） A．调节前的风力大小为0 B．调节前的风力大小为mg C．调节后的风力大小为 D．调节后的风力大小为 【答案】BC 【解析】AB．调节风力之前，小球恰好能沿水平方向运动到P点，表明小球做匀速直线运动，则调节前的风力大小为mg，故A错误，B正确； CD．调节风力之后，小球恰好能沿水平方向运动到Q点，表明小球做类平抛运动，则有 ， 根据牛顿第二定律有 解得 ，故C正确，D错误。 故选BC。 【题组训练20】如图所示，在风洞实验室中，t＝0时刻从空中的O点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小为小球重力的，一段时间后运动到O点正下方的P点，已知重力加速度大小为g，则小球经过P点速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】小球在水平向右的恒定风力的作用下，在水平方向先向左做匀减速直线运动再向右做匀加速直线运动。当运动到P点时，水平方向的速度vx＝﹣v0 设小球在水平方向的加速度为ax，根据牛顿第二定律有，解得 设小球从O点运动到P点的时间为t，则在水平方向根据运动学公式有vx＝v0﹣axt，解得 设运动到P点时竖直方向的速度为vy，小球在竖直方向做自由落体运动，则 所以小球经过P点时速度的大小为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 ▌题组06斜抛运动的应用题型 关于斜上抛运动问题的分析技巧： (1)斜上抛运动的对称性 ①时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。 ②速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。 ③轨迹对称：斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。 (2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定。 (3)逆向思维：由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 【题组训练21】如图所示，在一次体育成绩测试过程中某同学将A、B两篮球从相同高度抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同且都斜向下，下列说法正确的是（　　） A．A球在空中的运动时间小于B球在空中的运动时间 B．A、B上升的最大高度相同 C．A在最高点的速度比B在最高点的速度大 D．A、B两球的初速度大小相等 【答案】C 【解析】逆过程相当于从篮筐位置以相同的方向做斜抛运动，由图可知A球的水平位移位移大于B球的水平位移，则经过篮筐时A球的速度大于B球的速度，可知A的初速度大于B球的初速度，A的最大高度大于B上升的最大高度，A球在空中的运动时间大于B球在空中的运动时间，A在最高点的速度比B在最高点的速度大； 故选C。 【题组训练22】在2022年世界田径锦标赛男子跳远决赛中，26岁的中国选手王嘉男凭借最后一跳8米36的成绩逆风翻盘，夺得中国田径史上首枚世锦赛跳远金牌。这不仅是中国男子田赛项目的历史性突破，也是亚洲运动员第一次登上世锦赛跳远冠军的宝座。某同学在校运会上参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度1.5L，成绩为5L，该同学落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为，将该同学视为质点，不计空气阻力，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据平抛运动的推论，速度的反向延长线过水平位移的中点，则有 故选D。 【题组训练23】某高楼发生火灾时，消防员在救火过程中调整水枪出水角度，使水流恰能水平射入着火位置，如图所示。已知着火位置距地面高度h1＝60m，水枪竖直且喷口距地面高度h2＝15m，AB=BC=30m，∠ABC＝60°，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s²，水流连续，则（　　） A．水枪喷口处水流的速度大小为20m/s B．喷口处水流的速度方向与水平方向的夹角为30° C．水枪喷口处与着火位置间水柱的总体积可求 D．水柱在空中各处的粗细程度相同 【答案】A 【解析】AB、对喷出的水在空中的运动过程进行分析，水在空中做斜上抛运动，末速度水平，作出水在空中的运动轨迹，如图所示： 可将水在空中的运动看成反向的平抛运动， 竖直方向上有h₁-h₂=½gt²，水平方向上有AC＝v₀t，解得v₀=10m/s， 竖直方向上的初速度大小v1＝gt，解得v1＝30m/s。 则水枪喷口处水流的速度大小v=，解得v=20m/s， 方向与水平方向夹角的正切值tanθ=v₁/v₀，解得tanθ=，可得θ＝60°，故A正确，B错误； D、水柱在空中做减速运动，水流连续，相同时间通过不同截面的水流量相同，则越向上，水流的横截面越大，故D错误； C、水柱在空中的时间t、喷口处水流的速度v均已知，要求空中水的总体积V，还需要知道喷口的横截面积S，故C错误。 故选：A 【题组训练24】实验小组利用风洞研究抛体运动。某次风洞实验的示意图如图所示：一条足够长的虚线与水平方向成角，将一质量为m的小球以速率从虚线上的O点沿与虚线成的方向斜向右上方抛出。已知风洞产生的恒力大小与小球重力大小相等，方向与重力方向相同，重力加速度大小为g。小球从抛出到落回虚线的过程，求： (1)小球落回虚线时的落点与O点之间的距离； (2)小球轨迹最高点与O点的高度差。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律可得，解得 建立如图所示的直角坐标系 x轴则有vx=v0cos30°， y轴则有vy=v0sin30°， ay=2gcos30° 则小球落回到x轴的时间 在x移动的距离 联立解得 （2）沿水平和竖直方向建立直角坐标系如图所示 y轴则有vy1=v0sin60° 根据匀变速直线运动规律可得，小球轨迹最高点与O点的高度差为 ▌题组07平抛运动中的临界问题的题型 处理平抛运动中的临界问题的关键 处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。 【题组训练25】如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【答案】C 【解析】A．玻璃珠在竖直方向做自由落体运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的竖直位移之比为，则，故A错误； B．玻璃珠在水平方向做匀速直线运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的水平位移之比为，则，故B错误； C．由得，故C正确； D．玻璃珠落在点时的速度大小，可得，故D错误。 故选C。 【题组训练26】如图所示，排球场地长l=18 m，中间球网的高度h=2 m。某次比赛中，一同学在右侧球场距中间球网3 m处竖直向上跳起，在距地面高h1=2.45 m处将球水平击出，球的初速度与球网所在的平面垂直。若排球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，要保证排球落在对方场地内，则水平击出的球的初速度大小范围是（　 　） A．10 m/s<v< m/s B．5 m/s<v< m/s C．v>10 m/s D．v< m/s 【答案】A 【解析】若球刚好不出左侧边界，则水平方向有 竖直方向有，解得 若球刚好能过球网，则水平方向有 竖直方向有，解得 所以水平击出的球的初速度大小范围是。 故选A 【题组训练27】如图所示，小车静止于水平地面上（小车最左端位于地面上A点），可视为质点的小球从B点以大小为3v0的初速度水平向右抛出，同时小车从A点以大小为v0的速度水平向左匀速运动。小球和小车轨迹在同一竖直平面内，经过一段时间小球落到小车上。若不计空气阻力，AB水平距离为l，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球相对于小车的速度一直为4v0 B．以小车为参考系，小球的运动轨迹为直线 C．小球运动的最短时间为 D．A、B两点高度差最小值为 【答案】C 【解析】AB．水平方向小球相对于小车的速度一直为4v0，竖直方向小车速度为0，小球的速度一直变化，则小球相对于小车的速度变化，以小车为参考系，小球的运动轨迹为曲线，AB错误； C．小球与小车在水平方向均做匀速直线运动，当小球恰好落到小车最左端时有最短时间，则当小球落在小车最左端时，在水平方向小球的位移大小x1＝3v0tmin，小车的位移大小x2＝v0tmin 依题意有，解得，C正确； D．小球做平抛，根据前面分析可得A、B两点间最小的高度差，D错误。 故选C。 【题组训练28】如图甲所示，投篮游戏是小朋友们最喜欢的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入篮筐且不擦到篮筐就能获得一枚小红旗。如图乙所示，篮筐的半径为R，皮球的半径为r，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为h1和h2，两中心在水平地面上的投影点O1、O2之间的距离为d、忽略空气的阻力，已知重力加速度为g。设出手速度为v，要使皮球能入筐，则下列说法中正确的是（　　） A．出手速度大的皮球进筐前运动的时间也长 B．速度v只能沿与O1O2连线平行的方向 C．速度v的最大值为 D．速度v的最小值为 【答案】C 【解析】A．平抛运动的时间由下落的高度决定，则进筐的皮球运动时间相同。故A错误； B．与O1O2连线方向成一个合适的角度投出的皮球也可能进筐。故B错误； CD．皮球沿与O1O2连线平行的方向投出，下落的高度为h2-h1，水平射程临界分别为d＋R-r和d＋r-R，则投射的最大速度为： 最小速度为： 故C正确；D错误。 故选C。 精选精练 自我检测 1、 单选题 1.飞机水平飞行时向下投弹，不计空气阻力，下列四幅图中正确表示炮弹加速度方向的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】不计空气阻力，炮弹投出后做平抛运动，只受重力作用，所以加速度为重力加速度，方向竖直向下。故选C。 2.运输机参加抗震救灾，在沿水平向右做匀速直线运动过程中，间隔相同时间从飞机上静止释放四个相同的物资。下图能正确表示物资着地位置的是（地面水平，空气阻力不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】飞机沿水平向右做匀速直线运动过程中，间隔相同时间从飞机上静止释放四个相同的物资，物资由于惯性，物资水平方向上保持原来的运动状态不变，继续向前飞行，投掷四件救灾物资在下落过程中，都是以原来的速度向前运动，因此落在地面上后间隔的距离也相等，按照落地先后顺序排列是①②③④，故C正确，ABD错误。 故选C。 3.做平抛运动的物体，在连续相等的时间间隔内速度增量总是（　　） A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向不同 C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向相同 【答案】A 【解析】平抛运动加速度恒为重力加速度g，由Δv＝gΔt，相等时间间隔内速度增量大小相等、方向竖直向下，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4.喷灌是借助水泵和管道系统或利用自然水源的落差，把具有一定压力的水喷到空中，散成小水滴或形成弥雾降落到植物上和地面上的灌溉方式，具有省水、省工的特点，便于实现机械化、自动化。如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地面0.8m，假定水从喷嘴中水平喷出，喷灌半径为2m，不计空气阻力，忽略喷嘴大小，重力加速度g取10m/s²。则水从喷嘴中喷出的速率为（　　） A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s 【答案】A 【解析】水从喷嘴水平喷出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h=½gt²可得水在空中的运动时间t=，代入数据解得t＝0.4s；水平方向做匀速直线运动，根据x＝v₀t可得水喷出的速率v₀=x/t，代入数据解得v₀＝5m/s。 5.如图，两只海鸥甲和乙均叼着鸟蛤（贝类动物，可视为质点），分别以v甲和v乙的水平速度在同一竖直平面内飞行，飞行到同一竖直线上的h甲和h乙高度时，同时松开嘴巴，鸟蛤恰好落在沙滩上的同一位置M。不计空气阻力，若v甲：v乙=1：，则h甲：h乙为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【答案】B 【解析】鸟蛤松开嘴巴后均做平抛运动，设甲、乙两鸟蛤的初速度分别为v1、v2，飞行时间分别为t1、t2，下落高度分别为h1、h2。由于抛出点在同一竖直线上且落点相同，两者的水平位移x相等。在水平方向上做匀速直线运动，由x＝vt可知，飞行时间之比t₁：t₂=v₂：v₁=：1。在竖直方向上做自由落体运动，根据h=½gt²，解得高度之比h₁：h₂=t₁²：t₂²=2：1，故ACD错误，B正确。 故选：B 6.如图所示，某同学正在进行投篮训练。已知篮球出手点到地面的距离为，篮筐到地面的距离为，出手点到篮筐的水平距离为。若出手时篮球的速度方向与水平方向的夹角为，且能直接进入篮筐，则出手时篮球的速度大小约为（，）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】球抛出时，水平方向 竖直方向 联立解得 v0=8m/s 故选C。 7.一把玩具枪水平射出的子弹正好能打在竖直墙角的A点， 如图所示，枪口离水平地面的高度为h，离竖直墙壁的水平距离为x。若让以相同速度射出的子弹打在离地高度为 的B点，需让枪口和墙壁间距离变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平抛运动的规律可知， ， 解得 又因为 ，所以 故选B。 8.如图将飞镖从同一高度，以不同的速度水平抛出。飞镖落至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的速度方向。量出前后两次飞镖落地后与水平面的夹角分别为30°和60°。则前后两次落地点距抛出点水平距离的比为（不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设飞镖从高度h处平抛，飞镖落地后速度与水平面的夹角，根据速度夹角正切值等于位移夹角正切值的两倍，则有 解得： 因高度h相同，则两次水平位移之比为： 故选B。 9.如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　) A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【解析】鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝gt2，由于hM<hN，可知tM<tN，则在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；在水平方向有x＝v0t，如图所示，过M点作一水平面，由图可知，鸟食下落相同高度时，O点到M点的水平位移大，则在M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 10.如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 【答案】C 【解析】青蛙做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此青蛙应跳到荷叶c上面。故选C。 11.小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于篮球从抛出到撞击篮板前，下列说法正确的是(　　) A．两次在空中的时间可能相等 B．两次抛出的初速度大小可能相等 C．两次抛出的初速度水平分量可能相等 D．两次抛出的初速度竖直分量可能相等 【答案】B 【解析】篮球的运动可以看成平抛运动的逆过程，由题图可知，第二次运动过程上升的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；篮球的运动可以看成平抛运动的逆过程，在竖直方向上做自由落体运动，由题图可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小；在水平方向做匀速直线运动，水平射程相等，但第二次用的时间较短，故第二次抛出时的水平分速度较大，根据速度的合成可知，抛出时的初速度大小关系不能确定，有可能相等，故B正确，C、D错误。 12.如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，重力加速度为g，则(　　) A．钢球平抛初速度为x B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【解析】根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为t＝ ，钢球平抛初速度为v0＝＝x，故A错误，B正确；钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角θ满足tan θ＝＝，则增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，故C错误；根据x＝v0可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，故D错误。 13.2022年冬奥会由北京和张家口承办，崇礼县承办雪上项目的比赛，滑雪是冬奥会的比赛项目之一，如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，经过落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小取，，，则运动员离开A点时的速度大小为（　　） A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s 【答案】B 【解析】运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离为，则有 解得 设运动员离开A点时的速度为，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，则有， 解得，B正确，ACD错误。 故选B。 14.如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度为，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】根据平抛运动的推论，做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则 由上述关系式结合题图中的几何关系可得 此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角仅与有关，而与初速度无关，因此 即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。 故选C。 15.如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h。棋子质量为m，重力加速度为g。则此跳跃过程（　　） A．所用时间 B．水平位移大小 C．初速度的竖直分量大小为 D．末速度大小为 【答案】B 【解析】A．竖直方向由，可得 该斜抛运动等效为两个完全相同的平抛运动，时间是2倍，故A错误； B．水平位移，故B正确； C．初速度的竖直分量大小为，故C错误； D．根据速度的合成得，初速度大小为，故D错误。 故选B。 16.将小球以水平速度v₀从某高度抛出，不计空气阻力。若初速度变为2v₀，高度不变，则小球落地时（　　） A．飞行时间变为原来的2倍 B．水平射程变为原来的2倍 C．落地速度大小变为原来的2倍 D．速度偏角的正切值变为原来的2倍 【答案】B 【解析】A．平抛运动可分解为水平方向匀速直线运动、竖直方向自由落体运动，平抛运动的物体在空中的运动时间是由其所在的高度决定的，根据自由落体运动规律有h=½gt²，整理得t=，因为小球的高度不变，所以小球在空中运动的时间不变，故A错误； B．小球在水平方向上做的是匀速直线运动，则在水平方向上有x＝v₀t，因为t不变，初速度变为2v₀时，x'＝2v₀t＝2x，即小球的水平射程变为原来的2倍，故B正确； C．小球落地时竖直方向上的速度大小为vy=gt=，即竖直方向速度大小仅由下落高度h决定，高度不变则竖直方向速度大小不变，又有落地合速度v=，初速度变为2v₀时，v′=≠2v，故C错误； D．速度偏角正切值tanθ=vy/v₀，由C选项可知vy不变，又初速度变为2v₀，则tanθ′=vy/2v₀=½tanθ，则速度偏转角的正切值变为原来的½，故D错误。故选：B 17.如图所示，小钢球从斜槽轨道末端以v₀的水平速度飞出，经过时间t落在斜靠的挡板AB中点。若钢球以2v₀的速度水平飞出，则（　　） A．下落时间仍为t B．下落时间为t C．落在AB间某点 D．落在挡板底端B点 【答案】B 【解析】设挡板AB与水平方向的夹角为θ，钢球以初速度v₀做平抛运动，经过时间t落在AB中点，设此时水平位移为x，竖直下落高度为y；根据平抛运动规律有x＝v₀t，y=½gt²；由于该落点为AB的中点，由几何关系可知，挡板A点到底端B点的总竖直高度为H＝2y＝gt²；若钢球以2v₀飞出，假设其仍落在挡板上，平抛时间t′=(2(2v₀)tanθ)/g=2t；此时所需下落的高度h′=½g(2t)²=4y，该高度显然大于挡板的总高度2y；由此可知，当钢球以2v₀的速度飞出时，会越过挡板最终直接落到水平地面上。 AB、既然钢球直接落到地面，其下落的实际总高度即为前面求得的H＝gt²；根据平抛运动竖直方向的自由落体规律H=½gt₂²，代入总高度进行计算；解得实际下落时间t₂===t，故A错误，B正确； CD、由上述分析可知，钢球必定越过挡板落到地面上，不可能落在AB间；实际水平位移x₂=2v₀t₂=2v₀t=2x，大于B点的水平坐标2x；说明钢球既不在挡板AB间，也没有落在底端B点，故CD错误。 故选：B 18.如图所示，射水鱼发现前方的昆虫，斜向上射出的水柱恰好水平击中昆虫。若鱼嘴与昆虫的直线距离为1 m，两者连线与水平方向的夹角为53°，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g＝10 m/s2，忽略空气阻力，下列说法正确的是 A．水柱的初速度方向与水平方向的夹角为53° B．水柱在空中运动的时间为 C．击中昆虫的速度大小为1.5 m/s D．水柱的初速度大小为2.5 m/s 【答案】C 【解析】B．根据逆向思维，将水柱的运动反向看作平抛运动分析，由水柱竖直方向的运动可得，解得水柱从发射到击中昆虫的时间为t＝0.4 s，故B错误； C．由水柱水平方向上为匀速直线运动，可得dcos53°＝v0xt 解得初速度的水平分速度v0x＝1.5 m/s，故C正确； D．由水柱竖直方向的运动可得初速度的竖直分速度v0y＝gt＝4 m/s 根据速度的合成可得，斜向上射出的水柱的初速度大小为，故D错误； A．设斜向上射出的水柱，初速度方向与水平方向夹角为α，则 又因为，斜向上射出的水柱，初速度与水平方向夹角不等于53°，故A错误。 故选C。 19.在第20届亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（    ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 【答案】C 【解析】AB．排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为，如图所示 显然 所以排球在左、右场地运动的时间之比为1∶2，设排球做平抛运动的时间为3t，有 ，，解得，，故AB错误； C．排球击出时的速度大小，故C正确； D．排球着地时的速度大小，故D错误。 故选C。 2、 多选题 20.某次演习中，救援飞机水平匀速飞行，朝前方落水者释放救生设备，该设备越过了落水者。再次释放时，设释放点与落水者间的水平距离不变，忽略空气阻力，为了使救生设备准确落到落水者处，则飞机可采取的措施有(　　) A．高度不变，适当降低飞行速度 B．高度不变，适当增加飞行速度 C．速度不变，适当降低飞行高度 D．速度不变，适当增加飞行高度 【答案】AC 【解析】根据题意可知，设备越过了落水者，由于x＝v0t，则为了使救生设备准确落到落水者处，可以减小设备的初速度，或减小设备的飞行时间。若高度不变，由h＝gt2可知，飞行时间不变，则需减小设备的初速度，即适当降低飞行速度，故A正确，B错误；若速度不变，则应减小飞行时间，由h＝gt2可知，要减小飞行时间，需适当降低飞行高度，故C正确，D错误。 21.如图，光滑固定斜面的倾角为θ，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 【答案】ABC 【解析】AB．由牛顿第二定律可知小球的加速度为，方向沿斜面向下，小球初速度与加速度方向垂直且加速度不变，因此小球的运动轨迹为抛物线，故AB正确； C．小球垂直于初速度方向的在斜面上运动的位移，解得，故C正确； D．小球到达B处的速度大小，故D错误。 故选ABC。 22.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某一次球与球拍碰撞后，经过一段时间后球恰好垂直打在墙壁上的A点，已知球与球拍的作用点为B，A、B两点高度差为0.8 m，B点和墙面之间的距离为1.2 m，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A．球到达A点时的速度大小为5 m/s B．球在B点离开球拍时的速度大小为5 m/s C．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为4 m/s D．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为2 m/s 【答案】BC 【解析】球从A到B可看成平抛运动，根据球在竖直方向上的运动规律，由h＝gt2，解得t＝＝0.4 s，球到达A点时的速度大小为vA＝＝3 m/s，故A错误；竖直分速度vy＝gt＝4 m/s，球在B点离开球拍时的速度大小为vB＝＝5 m/s，故B正确；球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为Δv＝gt＝4 m/s，故C正确，D错误。 23.如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击出，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点，N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．排球两次飞行过程中加速度相同 B．排球两次飞行落地时与水平方向的夹角的正切值相等 C．排球两次飞行时间相等 D．排球离开M点的速率比经过Q点的速率大 【答案】AD 【解析】A．排球两次飞行过程中，加速度均为重力加速度，故A正确； C．排球从M点到P点与排球从Q点到N点，均做平抛运动，下落高度相同，则下落时间相等，根据对称性可知，P到Q的时间与Q到N的时间相等，所以排球从P运动到N的时间等于M运动到P的时间的两倍，故C错误； D．排球从M到P与排球从Q到N时间相等，但由于从M到P的水平位移等于从Q到N的水平位移的两倍，则排球离开M点的速率比经过Q的速率大，故D正确； B．由、可知，故B错误。 故选AD。 24.如图甲所示，小朋友们经常玩一项有意思的游戏——打水漂，打水漂的石片能弹跳的次数由石片初速度、转速、入水时石片和水面的夹角，以及石片材质决定。其他条件相同的情况下，石片接触水面时速度方向与水面的夹角越小，水漂效果越完美。某次投掷时，如图乙，石片在距离水面高h0处，以速度v0水平抛出，为了观察到更完美的“水漂”效果，可以（　　） A．适当增加h0 B．适当减小h0 C．适当增加v0 D．适当减小v0 【答案】BC 【解析】AB．令石片接触水面时速度方向与水面的夹角为θ，石片水平抛出的速度为v0，石片竖直方向做自由落体运动，则有h0＝gt2，石片接触水面时，根据速度分解有，解得。可知出手高度越大，石片接触水面时速度方向与水面的夹角越大，根据题意可知，为了观察到明显的“水漂”效果，则应适当减小出手的高度，A错误，B正确； CD．石片出手速度越大，石片接触水面时速度方向与水面的夹角越小，可知，为了观察到明显的“水漂”效果，则应适当增加出手的速度，C正确，D错误。 故选BC。 25.如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把初速度变为2v0，则以下说法正确的是（　　） A．小球在空中的运动时间变为原来的2倍 B．夹角α将变大 C．P、Q间距一定变为原来间距的4倍 D．夹角α与初速度大小有关 【答案】AC 【解析】A．根据，解得 初速度变为原来的2倍，则小球在空中运动的时间变为原来的2倍，A正确； BD．速度方向与水平方向夹角的正切值 ，又 故速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，因为位移与水平方向的夹角不变，则速度与水平方向的夹角不变，所以两个角度之差即α不变，与初速度无关，BD错误； C．根据可知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，P、Q间距变为原来的4倍，C正确。 故选AC。 26.如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．两球抛出的速率之比为1：3 B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中 【答案】ABD 【解析】A．根据几何关系如图： 知，Q到O点的水平方向的距离等于Rcos60°＝0.5R，所以M的水平位移：xM＝R﹣05R＝0.5R N的水平位移为：xN＝R+0.5R＝1.5R 则落在Q点的水平位移之比为1：3， 由匀变速直线运动的公式：h， 两个运动竖直方向的位移相等，运动时间相等，根据水平方向是匀速直线运动：x＝vt 位移之比等于初速度之比为1：3，故A正确； B．若只增大v1，而v2不变，从水平运动看相遇的时间会变短，而竖直方向的位移会变小，故还没有落到圆弧上，两球可在空中相遇，故B正确； C．要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，则（v1+v2）t＝2R 落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以v1+v2也不是一个定值，故C错误； D．根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，假设小球垂直落在半球型坑中，速度反向延长线过球心O并不是水平位移的中点，两者矛盾，所以假设错误，不可能使小球沿半径方向落在圆弧轨道内，故D正确。 故选：ABD。 三、解答题 27.如图所示，在某中学科技小组的一次理论模拟探究中，假设运动员由A点（斜坡的顶点）以速度＝20m/s垂直于斜坡向上起跳，落在倾角θ＝37°的斜坡上的B点。（重力加速度g取10，忽略空气阻力，运动员可看成质点。）求该运动员： （1）起跳后到离斜坡最远所经历的时间t； （2）离斜坡的最远距离d。 【答案】（1）起跳后到离斜坡最远所经历的时间为2.5s； （2）离斜坡的最远距离25m。 【解析】（1）将重力加速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，则沿斜面方向的分量 垂直斜面方向的分量 垂直斜面方向，起跳后到离斜坡最远所经历的时间 （2）离斜坡最远距离 解得 ＝25m。 28.跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得较高速度后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度为v＝20m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：（1）运动员在空中的飞行时间；（2）落到斜面上时的位移大小。（3）运动员在飞行过程中距离斜坡的最远距离。 【答案】（1）运动员在空中的飞行时间是3s；（2）落到斜面上时的位移大小是75m。（3）运动员在飞行过程中距离斜坡的最远距离是9m。 【解析】（1）运动员做平抛运动，则tan37°=y/x=½gt²/vt=gt/2v 解得运动员在空中的飞行时间t=2vtan37°/g=2×20×0.75/10s=3s （2）落到斜面上时的位移大小x=vt/cos37°=20×3/0.8m=75m （3）当运动员速度方向与斜坡平行时，运动员距离斜坡的距离最远，如图 由平抛运动知识可得，设运动员经过时间t′时速度与斜坡平行，有tan37°=vy/v=gt′/v 代入数据可得t′＝1.5s 此时水平位移为x′＝vt′＝20×1.5m＝30m 根据平抛运动结论，此时速度方向的反向延长线交此时水平位移的中点，故运动员在飞行过程中距离斜坡的最远距离为d=x′/2sin37° 代入数据可得d＝9m 29.如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v₀大小为20m/s，与水平方向的夹角为45°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为45°，g取10m/s²，忽略空气阻力。求：（1）重物在最高点速度大小v；（2）重物在空中的运动时间t；（3）P、Q两点的高度差h。 【答案】（1）重物在最高点速度大小为10m/s；（2）重物在空中的运动时间为4s；（3）P、Q两点的高度差为80m。 【解析】（1）重物做斜抛运动，在最高点时竖直分速度为零，只具有水平分速度；根据运动的分解可知，其速度大小公式为v＝v₀cos45°； 将已知数据代入公式，解得重物在最高点的速度大小为v=20m/s×()/2=10m/s。 （2）重物从P点抛出到落至Q点的过程中，水平方向位移为x＝v₀cos45°t，竖直方向位移大小为h=½gt²-v₀sin45°t； 由几何关系可知，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为45°，故存在关系h＝xtan45°＝x； 联立上述公式解得重物在空中运动时间的表达式为t=(2v₀(sin45°+cos45°))/g； 将已知数据代入上述表达式，解得重物在空中的运动时间为t=(2×20m/s×(()/2+()/2))/(10m/s²)=4s。 （3）根据（2）中的分析可知，P、Q两点的高度差等于其水平位移大小，即满足公式h＝x＝v₀cos45°t； 将已知数据代入公式，解得P、Q两点的高度差为h=20m/s×()/2×4s=80m / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修二 第五章 抛体运动 5.4 抛体运动的规律 学习目标 1.知道抛体运动的定义与条件：以一定的初速度抛出、只受重力（忽略空气阻力），是匀变速曲线运动， 2.掌握运用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析，会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题。 3.认识平抛运动研究中等效替代的思想和化繁为简的思想。 4．理解斜上抛运动的分解与对称性：会用正交分解分析斜抛运动， 夯实基础 素养奠基 知识点1：平抛运动的理解 1.平抛运动的性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 2.研究方法：化曲为直 将平抛运动分解为：水平方向做匀速直线运动；竖直方向做自由落体运动。 3．基本规律（如图所示） （1）速度规律 ①任意时刻的水平分速度、竖直分速度分别为：vx＝v0 vy＝gt ②合速度的大小与方向满足： v＝ tan θ＝＝ ③速度变化特点：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向为竖直向下；但是速率的变化不相等。 （2）位移规律 ①水平分位移、竖直分位移分别为：x＝v0t y＝gt2 ②合位移的大小与方向满足： 大小：s＝ tan α＝＝ ③位移变化特点：相等时间ΔT内的水平位移相等：Δx＝v0ΔT；连续相等时间ΔT内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔT2。 （3）运动时间和水平射程 ①由 可知，运动时间只由下落高度决定，与初速度无关 ②由x＝v0t＝v0可知，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 4.平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ（如图所示）。 （2）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 知识点2：斜抛运动的理解 1.概念及性质：将物体以一定初速度沿斜上方（或斜下方）抛出，只受重力作用，这样的运动叫斜抛运动。斜抛运动是以初速度为v0，加速度为g的匀变速曲线运动. 2.研究方法：化曲为直 ①将斜抛运动分解为：沿水平方向的分运动匀速直线运动和沿竖直方向的分运动竖直上抛运动。 ②利用斜抛运动具有对称性：在最高点一分为二，逆向处理斜抛运动变为两个平抛运动处理。 3.基本规律（如图所示）： （1）速度规律：将初速度v0分解为：水平分速度，v0x＝v0cosθ，竖直分速度，vy＝v0sinθ－gt （2）位移规律： ①水平分位移、竖直分位移分别为：x＝v0cosθ·t y＝v0sinθ·t－gt2 ②竖直方向上的射高：Y＝＝， ③水平方向上的射程：X＝v0cos θ·t＝＝， 射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关；当θ＝45°时，射程达到最大值，最大射程为Xmax＝。 （3） 飞行时间：t＝＝。 知识点3：类平抛运动的理解 1.类平抛的特点：做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝ 2.类平抛的规律：平抛运动的处理方法和结论都适用。 名师点拨 素养提升 1.解决平抛运动问题的一般思路 (1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。 (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再通过合成各分速度、分位移得到平抛运动的速度、位移等。 这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使复杂问题的解决过程得到简化。 2.从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。 (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。 (2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。 (3)运动的时间与初速度成正比 (4)位移与初速度的二次方成正比 。 (5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 巩固提高 题组训练 ▌题组01 平抛运动基本规律应用题型 处理平抛运动的实质：结合物体运动过程中的速度和受力特点。化曲线运动为两个直线运动，化曲为直的思想是处理在恒力作用下曲线运动的通用规律。 1.三个速度构成的矢量三角形运用： 2.三个位移构成的矢量三角形运用： 3.两个重要的结论运用。 【题组训练1】(多选)如图所示，在高空水平方向匀速飞行的轰炸机，每隔1 s投下一颗炸弹，若不计空气阻力，则(　　) A．这些炸弹落地前排列在同一条竖直线上 B．这些炸弹落地前排列在同一条抛物线上 C．这些炸弹落地时速度大小和方向都相同 D．这些炸弹都落于地面上同一点 【题组训练2】以水平初速度抛出一小球，用速度传感器分别测得小球在0.2s末、0.4s末和0.6s末的速度和，在方格纸内画出如图所示的速度矢量图，忽略空气阻力，水平初速度为（　　） A． B． C． D． 【题组训练3】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点. 质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线. M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点. 已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是 A．QM的长度为10m B．质点从O到P的运动时间为1s C．质点在P点的速度v大小为40m/s D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45° 【题组训练4】如图所示，从同一位置以不同的初速度水平抛出两个小球A、B，它们先后与竖直墙壁碰撞，碰撞的瞬间小球A、B的速度方向与竖直墙壁之间的夹角分别为α、β。已知α＝53°，β＝37°，两小球与墙壁的接触点之间的距离为d，求抛出点与竖直墙壁的距离x。(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) ▌题组02 平抛运动中多体的比较题型 对多物体平抛问题的比较题型的规律 (1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。 (2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 (3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 (4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 【题组训练5】如图所示，“套圈”活动中，某同学将两个套圈分别以、的速度（方向相同）从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号奖品，若套圈在空中运动的时间分别为、，套圈可近似视为质点，不计空气阻力，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【题组训练6】高一新生军训模拟投弹演练中，在陡峭山头上的同一位置，小明先后两次沿水平方向向山下同一目标投掷出甲、乙两颗仿真手榴弹（可视为质点），轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙的飞行时间比甲的长 B．甲的飞行时间比乙的长 C．甲的水平速度比乙小 D．甲落地时的速度比乙大 【题组训练7】如图所示，先将小球甲水平抛出，甲抛出后1.5秒将小球乙水平抛出，小球甲、乙将会在空中的点相遇，已知小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（     ） A．小球乙在相遇前运动的时间为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．甲、乙相遇时两小球的速度方向相互垂直 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【题组训练8】运动员将质量为m的网球（网球视为质点）从高度为1.8m处以3m/s的速度水平向右击出，假设网球与地面碰撞前后瞬间水平速度不变，反弹后，小球刚好沿水平方向击中距地面高度为0.8m中间隔离网某位置。取重力加速度，设小球和地面碰撞时间极短。求： (1)网球落地时的速度大小和方向； (2)运动员击球处距隔离网的水平距离。 ▌题组03 平抛运动与斜面关联的题型 1.与斜面关联的平抛运动 情景图示 处理方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 vx＝v0 vy＝gt v合＝ tanθ＝ tanθ＝＝ t＝ tanθ＝＝ t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 x合＝ tanθ ＝＝ 在运动起点同时分解v0、g 0＝v1－a1t， 0－v12＝－2a1d t＝， d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 2.巧解斜面上的平抛运动 (1)物体的抛出点和落点都在斜面上时，首先考虑位移的分解。 (2)物体垂直于斜面或与斜面成某一角度落到斜面上时，首先考虑速度的分解。 【题组训练9】如图所示，小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，重力加速度为g，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（　　） A．小球在空中运动的时间为 B．小球的水平位移大小为 C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 D．小球的竖直位移大小为 【题组训练10】某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝10 m/s的速度沿水平方向匀速飞行，某时刻自由释放一个小球，小球正好垂直斜坡击中目标，斜坡的倾角θ＝45°，如图所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。关于小球，下列说法正确的是（　　） A．在空中的飞行时间为1 s B．竖直方向下落的高度为10 m C．竖直方向下落的高度与水平方向通过的距离之比为1:2 D．若只增大v0，则小球落到斜面的速度方向不变 【题组训练11】如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(  ) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 【题组训练12】如图所示，以10 m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3 m，sin37°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 （1）物体在空中飞行的时间； （2）物体撞击斜面时的速度大小； （3）抛出点距斜面底端A的水平距离。 ▌题组04 平抛运动与圆弧关联的题型 1.与圆弧关联的平抛运动 关联种类 情景图形 解题策略 ①从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向，此时v⊥R方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 ②从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，已知速度的方向垂直于圆弧面。 ③小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 ；vy＝gt 。 tanθ＝＝ t＝ 分解速度，构建速度三角形 tanθ＝＝ ④从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，落到半圆内的不同位置，半径和几何关系制约时间t。 利用几何关系求解位移关系 x＝v0t ，y＝gt2 R2＝（x－R）2＋y2 2.有约束条件的平抛运动 做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 【题组训练13】几位同学利用课余时间测一干涸的半球形蓄水池的直径。身高为1.80m的小张同学站在池边从头顶高处水平向池中投掷小石子，石子刚好落到池底的正中央，小李同学用手机的秒表记录的小石子运动时间为1.6s。不计空气阻力，重力加速度取10m/s2。可知水池的直径为（  ） A．3.6m B．11m C．12.8m D．22m 【题组训练14】如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 (　　) A．tan α B．cos α C．tan α D．cos α 【题组训练15】某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以O点为圆心、R为半径的四分之一圆弧，圆弧最高点与O点等高。救援队需向该山沟投掷救援物资，可以直接在O点以水平速度v₀开始投递，也可沿竖直面下降h后至P点，再从P点以v₀水平方向向圆弧面投递，物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资垂直落到圆弧上。其中g是重力加速度大小。则物资（　　） A．在O点调整v₀大小可以完成投递任务 B．当h=3/4R时，可以以合适v₀完成投递任务 C．从P点出发，物资在空中飞行时间为 D．从P点出发，物资的初速度v₀= 【题组训练16】如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道．O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则 A． B． C． D． 【题组训练17】如图所示，AB为建筑工地上的四分之一圆弧轨道，圆心为O，半径OB竖直，M、N点将OB分成3等份。工件甲、乙分别从M、N点水平向右抛出，不计空气阻力，则能垂直击中AB轨道的是（　　） A．仅甲能 B．仅乙能 C．甲、乙都能 D．甲、乙都不能 ▌题组05求解类平抛运动问题的题型 1.类平抛的特点：做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，利用牛顿第二定律求得加速度a＝，加速度在运动过程中为恒定值。 2.求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，判断是否恒定，正确求出加速度。 (2)应用运动的合成与分解的方法求解。 【题组训练18】（多选）如图，光滑固定斜面的倾角为θ，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 【题组训练19】（多选）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m的小球在O点以水平初速度抛出，恰好能沿水平方向运动到P点，O、P间的距离为L，将风力调大，小球仍由O点以水平初速度抛出，结果恰好经过P点正上方的Q点，P，Q间的距离为，重力加速度为g，求（ ） A．调节前的风力大小为0 B．调节前的风力大小为mg C．调节后的风力大小为 D．调节后的风力大小为 【题组训练20】如图所示，在风洞实验室中，t＝0时刻从空中的O点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小为小球重力的，一段时间后运动到O点正下方的P点，已知重力加速度大小为g，则小球经过P点速度的大小为（　　） A． B． C． D． ▌题组06斜抛运动的应用题型 关于斜上抛运动问题的分析技巧： (1)斜上抛运动的对称性 ①时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。 ②速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。 ③轨迹对称：斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。 (2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定。 (3)逆向思维：由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 【题组训练21】如图所示，在一次体育成绩测试过程中某同学将A、B两篮球从相同高度抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同且都斜向下，下列说法正确的是（　　） A．A球在空中的运动时间小于B球在空中的运动时间 B．A、B上升的最大高度相同 C．A在最高点的速度比B在最高点的速度大 D．A、B两球的初速度大小相等 【题组训练22】在2022年世界田径锦标赛男子跳远决赛中，26岁的中国选手王嘉男凭借最后一跳8米36的成绩逆风翻盘，夺得中国田径史上首枚世锦赛跳远金牌。这不仅是中国男子田赛项目的历史性突破，也是亚洲运动员第一次登上世锦赛跳远冠军的宝座。某同学在校运会上参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度1.5L，成绩为5L，该同学落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为，将该同学视为质点，不计空气阻力，则有（　　） A． B． C． D． 【题组训练23】某高楼发生火灾时，消防员在救火过程中调整水枪出水角度，使水流恰能水平射入着火位置，如图所示。已知着火位置距地面高度h1＝60m，水枪竖直且喷口距地面高度h2＝15m，AB=BC=30m，∠ABC＝60°，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s²，水流连续，则（　　） A．水枪喷口处水流的速度大小为20m/s B．喷口处水流的速度方向与水平方向的夹角为30° C．水枪喷口处与着火位置间水柱的总体积可求 D．水柱在空中各处的粗细程度相同 【题组训练24】实验小组利用风洞研究抛体运动。某次风洞实验的示意图如图所示：一条足够长的虚线与水平方向成角，将一质量为m的小球以速率从虚线上的O点沿与虚线成的方向斜向右上方抛出。已知风洞产生的恒力大小与小球重力大小相等，方向与重力方向相同，重力加速度大小为g。小球从抛出到落回虚线的过程，求： (1)小球落回虚线时的落点与O点之间的距离； (2)小球轨迹最高点与O点的高度差。 ▌题组07平抛运动中的临界问题的题型 处理平抛运动中的临界问题的关键 处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。 【题组训练25】如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【题组训练26】如图所示，排球场地长l=18 m，中间球网的高度h=2 m。某次比赛中，一同学在右侧球场距中间球网3 m处竖直向上跳起，在距地面高h1=2.45 m处将球水平击出，球的初速度与球网所在的平面垂直。若排球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，要保证排球落在对方场地内，则水平击出的球的初速度大小范围是（　 　） A．10 m/s<v< m/s B．5 m/s<v< m/s C．v>10 m/s D．v< m/s 【题组训练27】如图所示，小车静止于水平地面上（小车最左端位于地面上A点），可视为质点的小球从B点以大小为3v0的初速度水平向右抛出，同时小车从A点以大小为v0的速度水平向左匀速运动。小球和小车轨迹在同一竖直平面内，经过一段时间小球落到小车上。若不计空气阻力，AB水平距离为l，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球相对于小车的速度一直为4v0 B．以小车为参考系，小球的运动轨迹为直线 C．小球运动的最短时间为 D．A、B两点高度差最小值为 【题组训练28】如图甲所示，投篮游戏是小朋友们最喜欢的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入篮筐且不擦到篮筐就能获得一枚小红旗。如图乙所示，篮筐的半径为R，皮球的半径为r，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为h1和h2，两中心在水平地面上的投影点O1、O2之间的距离为d、忽略空气的阻力，已知重力加速度为g。设出手速度为v，要使皮球能入筐，则下列说法中正确的是（　　） A．出手速度大的皮球进筐前运动的时间也长 B．速度v只能沿与O1O2连线平行的方向 C．速度v的最大值为 D．速度v的最小值为 精选精练 自我检测 1、 单选题 1.飞机水平飞行时向下投弹，不计空气阻力，下列四幅图中正确表示炮弹加速度方向的是（　　） A．B．C．D． 2.运输机参加抗震救灾，在沿水平向右做匀速直线运动过程中，间隔相同时间从飞机上静止释放四个相同的物资。下图能正确表示物资着地位置的是（地面水平，空气阻力不计）（　　） A． B． C． D． 3.做平抛运动的物体，在连续相等的时间间隔内速度增量总是（　　） A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向不同 C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向相同 4.喷灌是借助水泵和管道系统或利用自然水源的落差，把具有一定压力的水喷到空中，散成小水滴或形成弥雾降落到植物上和地面上的灌溉方式，具有省水、省工的特点，便于实现机械化、自动化。如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地面0.8m，假定水从喷嘴中水平喷出，喷灌半径为2m，不计空气阻力，忽略喷嘴大小，重力加速度g取10m/s²。则水从喷嘴中喷出的速率为（　　） A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s 5.如图，两只海鸥甲和乙均叼着鸟蛤（贝类动物，可视为质点），分别以v甲和v乙的水平速度在同一竖直平面内飞行，飞行到同一竖直线上的h甲和h乙高度时，同时松开嘴巴，鸟蛤恰好落在沙滩上的同一位置M。不计空气阻力，若v甲：v乙=1：，则h甲：h乙为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 6.如图所示，某同学正在进行投篮训练。已知篮球出手点到地面的距离为，篮筐到地面的距离为，出手点到篮筐的水平距离为。若出手时篮球的速度方向与水平方向的夹角为，且能直接进入篮筐，则出手时篮球的速度大小约为（，）（　　） A． B． C． D． 7.一把玩具枪水平射出的子弹正好能打在竖直墙角的A点， 如图所示，枪口离水平地面的高度为h，离竖直墙壁的水平距离为x。若让以相同速度射出的子弹打在离地高度为 的B点，需让枪口和墙壁间距离变为（　　） A． B． C． D． 8.如图将飞镖从同一高度，以不同的速度水平抛出。飞镖落至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的速度方向。量出前后两次飞镖落地后与水平面的夹角分别为30°和60°。则前后两次落地点距抛出点水平距离的比为（不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 9.如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　) A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 10.如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 11.小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于篮球从抛出到撞击篮板前，下列说法正确的是(　　) A．两次在空中的时间可能相等 B．两次抛出的初速度大小可能相等 C．两次抛出的初速度水平分量可能相等 D．两次抛出的初速度竖直分量可能相等 12.如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，重力加速度为g，则(　　) A．钢球平抛初速度为x B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 13.2022年冬奥会由北京和张家口承办，崇礼县承办雪上项目的比赛，滑雪是冬奥会的比赛项目之一，如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，经过落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小取，，，则运动员离开A点时的速度大小为（　　） A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s 14.如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度为，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 15.如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h。棋子质量为m，重力加速度为g。则此跳跃过程（　　） A．所用时间 B．水平位移大小 C．初速度的竖直分量大小为 D．末速度大小为 16.将小球以水平速度v₀从某高度抛出，不计空气阻力。若初速度变为2v₀，高度不变，则小球落地时（　　） A．飞行时间变为原来的2倍 B．水平射程变为原来的2倍 C．落地速度大小变为原来的2倍 D．速度偏角的正切值变为原来的2倍 17.如图所示，小钢球从斜槽轨道末端以v₀的水平速度飞出，经过时间t落在斜靠的挡板AB中点。若钢球以2v₀的速度水平飞出，则（　　） A．下落时间仍为t B．下落时间为t C．落在AB间某点 D．落在挡板底端B点 18.如图所示，射水鱼发现前方的昆虫，斜向上射出的水柱恰好水平击中昆虫。若鱼嘴与昆虫的直线距离为1 m，两者连线与水平方向的夹角为53°，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g＝10 m/s2，忽略空气阻力，下列说法正确的是 A．水柱的初速度方向与水平方向的夹角为53° B．水柱在空中运动的时间为 C．击中昆虫的速度大小为1.5 m/s D．水柱的初速度大小为2.5 m/s 19.在第20届亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（    ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 2、 多选题 20.某次演习中，救援飞机水平匀速飞行，朝前方落水者释放救生设备，该设备越过了落水者。再次释放时，设释放点与落水者间的水平距离不变，忽略空气阻力，为了使救生设备准确落到落水者处，则飞机可采取的措施有(　　) A．高度不变，适当降低飞行速度 B．高度不变，适当增加飞行速度 C．速度不变，适当降低飞行高度 D．速度不变，适当增加飞行高度 21.如图，光滑固定斜面的倾角为θ，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 22.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某一次球与球拍碰撞后，经过一段时间后球恰好垂直打在墙壁上的A点，已知球与球拍的作用点为B，A、B两点高度差为0.8 m，B点和墙面之间的距离为1.2 m，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A．球到达A点时的速度大小为5 m/s B．球在B点离开球拍时的速度大小为5 m/s C．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为4 m/s D．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为2 m/s 23.如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击出，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点，N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．排球两次飞行过程中加速度相同 B．排球两次飞行落地时与水平方向的夹角的正切值相等 C．排球两次飞行时间相等 D．排球离开M点的速率比经过Q点的速率大 24.如图甲所示，小朋友们经常玩一项有意思的游戏——打水漂，打水漂的石片能弹跳的次数由石片初速度、转速、入水时石片和水面的夹角，以及石片材质决定。其他条件相同的情况下，石片接触水面时速度方向与水面的夹角越小，水漂效果越完美。某次投掷时，如图乙，石片在距离水面高h0处，以速度v0水平抛出，为了观察到更完美的“水漂”效果，可以（　　） A．适当增加h0 B．适当减小h0 C．适当增加v0 D．适当减小v0 25.如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把初速度变为2v0，则以下说法正确的是（　　） A．小球在空中的运动时间变为原来的2倍 B．夹角α将变大 C．P、Q间距一定变为原来间距的4倍 D．夹角α与初速度大小有关 26.如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．两球抛出的速率之比为1：3 B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中 三、解答题 27.如图所示，在某中学科技小组的一次理论模拟探究中，假设运动员由A点（斜坡的顶点）以速度＝20m/s垂直于斜坡向上起跳，落在倾角θ＝37°的斜坡上的B点。（重力加速度g取10，忽略空气阻力，运动员可看成质点。）求该运动员： （1）起跳后到离斜坡最远所经历的时间t； （2）离斜坡的最远距离d。 28.跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得较高速度后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度为v＝20m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：（1）运动员在空中的飞行时间；（2）落到斜面上时的位移大小。（3）运动员在飞行过程中距离斜坡的最远距离。 29.如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v₀大小为20m/s，与水平方向的夹角为45°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为45°，g取10m/s²，忽略空气阻力。求：（1）重物在最高点速度大小v；（2）重物在空中的运动时间t；（3）P、Q两点的高度差h。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $