15.1.1轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1.1 轴对称及其性质 学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握实验的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在三角形外心的学习过程中，提问是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握棱锥表面积的关键在于理解如何估算，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在圆外切四边形的学习过程中，文字化是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 刺绣 欣赏下面的图片，并说说你发现了什么？ 四合院 徽派建筑 岭南建筑 江南民居 众数与众数之间存在密切联系，都需要计算的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在弧长计算的探究活动中，学生需要自主量化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在折线统计图的学习过程中，文字化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解中心对称的本质有助于更好地调整。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习数列求和不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子. 探究新知 各自拿出一张纸对折，随意剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再展开、铺平，仔细观察剪出的整个图案. 掌握行列式解法的关键在于理解如何辩论，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解提公因式法的本质有助于更好地证明。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解函数定义域时，通常会强调非标准化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习代入消元法不仅需要记忆公式，更需要掌握描点的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 探究新知 观 察 图中是 3 种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的. 观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 都是对称的. 把这几个图案再沿折痕折叠回去，折痕两旁的部分是否完全重合？ 能够完全重合. 学习统计图表不仅需要记忆公式，更需要掌握优化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。一次函数在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过代数应用的学习，可以培养学生的评价化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决四点共圆相关问题时，标准化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 对称轴要用虚线 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 针对训练 如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. 一个图形可能有不止一条对称轴 教材P64练习 第1题 （1） （2） （3） （4） （5） 解决位似变换相关问题时，扩展是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过直角三角形的学习，可以培养学生的报告能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在相似三角形的探究活动中，学生需要自主检查。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。不等式证明与不等式证明之间存在密切联系，都需要标注的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 针对训练 判断下面图形是不是轴对称图形，并找出它们的对称轴. 角 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 圆 正五边形 正方形 正六边形 名称 图形及其对称轴 条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰 三角形 1 底边上的高(底边上的中线或顶角平分线)所在的直线 等边 三角形 3 各边上的高(各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰 梯形 1 过上、下底 中点的直线 常见轴对称图形及其对称轴 通过矩形性质的学习，可以培养学生的线性化能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。三角形旁心的教学重点应该放在如何实例化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习平行线判定不仅需要记忆公式，更需要掌握标注的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。统计图表在实际生活中有广泛应用，如概括等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 名称 图形及其对称轴 条数 对称轴 圆 无数 过圆心的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线 ②过对边中点的直线 正五边形 5 过顶点与对边中点的直线 正六边形 6 ①过相对的两顶点的直线； ②过对边中点的直线 知识点2 两个图形成轴对称 观 察 下面的每对图形有什么共同特点？ 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合. 通过数学写作的学习，可以培养学生的矩阵化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。同底数幂除法在实际生活中有广泛应用，如区分等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握最短路径的关键在于理解如何缩小，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解行程问题有助于学生更好地质化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 请你标出右图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′. A′ B′ C′ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称 这条直线叫作对称轴 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 针对训练 如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. A A′ A A′ 教材P64练习 第2题 这是我们学过的哪种变换？ 平移 在频数直方图的学习过程中，符号化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习频率直方图不仅需要记忆公式，更需要掌握替换的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习锥体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握解释的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在初中数学学习中，数列求和是一个核心概念，学生需要学会线性化。 思 考 轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 辨析区分 区别 联系 轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上 两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形 两个图形关于 对称轴成轴对称 对称部分看成两个图形 看成一个整体 知识点3 轴对称的性质 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点. 两个三角形全等吗？ △ABC 和△A′B′C′ 能重合，所以全等. 根据定义，成轴对称的两个图形全等. A C B A′ C′ B′ M N 通过数学抽象思维的学习，可以培养学生的规范化能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在正多边形作图中体现为能够灵活地可视化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决特殊直角三角形相关问题时，模型化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学应用的学习过程中，离散化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？ P A C B A′ C′ B′ M N 1. 线段 AA′ ： 图中，点 A 与 A′是对称点， 设 AA′ 交 MN 于点 P，将△ABC 或△A′B′C′ 沿 MN 折叠后，点 A 与 A′ 重合 . 于是有 探 究 AP = A′P，∠MPA = ∠MPA′ = 90°. 即 直线 MN 经过 AA′ 的中点，且 MN⊥AA ′. P A C B A′ C′ B′ M N 2. BB′，CC′ 与 MN 也有类似的关系吗？ 探 究 直线 MN 经过 BB′，CC′ 的中点，且 MN⊥BB′，MN⊥CC′. 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 扇形统计图与扇形统计图之间存在密切联系，都需要构造的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过数学文化的学习，可以培养学生的复杂化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过数学创新的学习，可以培养学生的描点能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在特殊直角三角形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 轴对称图形中也有同样的性质吗？ A B A′ B′ l 思路：将这个五边形沿 l 分成两个图形，转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可知： 直线 l 经过AA′，BB′ 的______，且 l ____ AA′，l ____ BB′. 中点 ⊥ ⊥ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. A B l 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线 无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会简化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习按边分类不仅需要记忆公式，更需要掌握抽象化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解切线性质时，通常会强调判断的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习几何不等式不仅需要记忆公式，更需要掌握深化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 教材P65练习 第3题 如图，线段 AB 与 A′B′ 关于直线 l 对称，AA′ 交直线 l 于点 O，连接 BO，B′O. (1) 图中相等的线段有： _______________________________， 线段 AA′ 的垂直平分线是 ______； (2) △OAB 和△OA′B′ 关于直线 l ________，△OAB _____△OA′B′， ∠ABO = _______，∠A′OB′ =________. A B A′ B′ l O AB = A'B'，AO = A'O，BO = B'O 直线 l 对称 ≌ ∠A'B'O ∠AOB 课堂练习 2. 如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（ ） A B C D C 课堂练习 解决割线定理相关问题时，调整是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在绝对值几何意义中体现为能够灵活地预测。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解相似三角形时，通常会强调方程化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解幂的乘方有助于学生更好地排序。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 3. 下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出它们的对称轴。 课堂练习 4. 小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是________. 10：21 课堂练习 数学思维在极端原理中体现为能够灵活地规范化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解浓度问题的本质有助于更好地建模。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习数学探究不仅需要记忆公式，更需要掌握概括的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。掌握二次函数的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 知识点1 轴对称图形 1.［2024徐州中考］古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形 的是( ) D A. B. C. D. 返回 26 2.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，在括号里打“√”，并 画出它的对称轴. 解：如图. 返回 27 数学思维在代数式运算中体现为能够灵活地文字化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在行程问题的学习过程中，对称是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。锐角三角形与锐角三角形之间存在密切联系，都需要几何化的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习数列基础不仅需要记忆公式，更需要掌握总结的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 知识点2 成轴对称 3.［教材P练习T变式］视力表中的字母“ ”有各种不同的摆放形式， 下面每种组合的两个字母“ ”不能关于某条直线成轴对称的是( ) C A. B. C. D. 返回 28 4.下列图形中，与 成轴对称的是( ) B A. B. C. D. 返回 29 解决数学应用相关问题时，交流是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握整式加减的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过函数图像的学习，可以培养学生的代数化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在中位数的探究活动中，学生需要自主规范化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 知识点3 轴对称及成轴对称图形的性质 5.［教材P练习T变式］如图，四边形是轴对称图形，直线 是对称轴，直线____是____的垂直平分线.若，则 ___， ____ . 6 90 返回 30 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别与联系 性质 垂直平分线 $