期中专题复习一 二次函数图像与性质 期中考前复习导学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

二次函数图像与性质 期 中 复 习 01 复习目标 1．能在 30 秒内判断该用一般式、顶点式还是交点式，并把解析式求对。 2．能由一个解析式说出开口方向、对称轴、顶点、与两轴交点、增减区间与最值。 3．能由图像反推、、 的符号，并说明“左同右异”的来由。 4．会把、、 等组合式翻译成某个 处的函数值。 5．会用 统一判断、 的符号。 6．会在给定区间上求最值，并按对称轴与区间的三种位置分类讨论。 7．会处理平移与四种对称变换，会用图像法解一元二次不等式。 8．能建立利润、拱桥、喷水等实际模型，并写出自变量取值范围。 02 期中考点分布与时间分配 考点 常见题型 期中权重 建议用时 解析式求法 选择、填空、解答第（1）问 高 8 分钟 图像要素与增减性 选择、填空 高 6 分钟 、、 与组合式 选择（多为最后一题） 极高 10 分钟 顶点与区间最值 解答题 高 12 分钟 平移与对称 选择、填空 中 5 分钟 方程、不等式与应用 解答题（压轴） 高 15 分钟 时间账：以上合计约 56 分钟，整卷按 75 分钟计，留 15～20 分钟回查。回查优先看三处：解析式的常数项是否抄错、区间最值是否讨论过对称轴、实际应用是否写了自变量范围。 03 知识结构 ① 三种形式 ② 图像五要素 ·一般式（）：已知三点 ·顶点式：已知顶点或要最值 ·交点式：已知两交点 ·开口： 定方向， 定宽窄 ·对称轴： ·顶点： ·与 轴交点： ·与 轴交点个数：看 ③ a、b、c 判定 ④ 最值与区间 ·：开口方向 ·：对称轴在 轴左右（左同右异） ·：与 轴交点的正负 ·组合式：换成某点函数值 · 有最小值， 有最大值 ·区间最值看对称轴是否在区间内 ·比较函数值看“离对称轴的远近” ⑤ 平移与对称 ⑥ 方程 · 不等式 · 应用 ·平移：左加右减（对）、上加下减（对） ·关于 轴： 变号 ·关于 轴： 变号；关于原点：两者都变号 ·与 轴交点 ⇔ 一元二次方程的根 ·不等式解集 ⇔ 图像在 轴上方或下方的区间 ·实际建模：设顶点式，写范围，答最值 04 核心结论速查 这四页是期中答题的“底牌”。上考场前把 4.3 与 4.4 两张表默写一遍，、、 类选择题基本不会错。 4.1 三种形式与选用 形式 表达式 什么时候用 一般式 （） 已知图像上三个点；题目要判、、 顶点式 （） 已知顶点、对称轴、最值，或要平移 交点式 （） 已知与 轴的两个交点（或两根） 4.2 图像五要素与增减性 五要素 开口看；对称轴；顶点；与 轴交于；与 轴交点个数看（ 两个， 一个， 无）。 时最小值； 时最大值 条件 （对称轴左侧） （对称轴右侧） 开口向上 随 增大而减小 随 增大而增大 开口向下 随 增大而增大 随 增大而减小 比大小口诀： 时“离对称轴越远，函数值越大”； 时反过来。做法是算 再比，不必逐点代入。 4.3、、 与 的符号 对象 看图像哪里 结论 开口方向 向上；向下； 越大开口越小 对称轴在 轴哪一侧 左侧同号，右侧异号，过 轴（左同右异） 与 轴交点 交正半轴；过原点；交负半轴 与 轴交点个数 两交点；相切；无交点 顶点在 轴上方还是下方 与 互为相反数； 时顶点在 轴上 4.4 组合式 = 某点函数值 组合式 相当于 看图要点 图像在 处高于还是低于 轴 看 处的位置 看 处的位置 看 处的位置 看 处的位置 由对称轴反推的常用等式 ·对称轴⇔⇔；对称轴⇔；对称轴⇔；对称轴⇔ ·过⇔；过⇔；过⇔ ·顶点在 轴上 ⇔；⇔ 对称轴 4.5、 的统一判定 一个式子管到底 设对称轴，则，于是 ， 所以 的符号 = 的符号 × 的符号：它判的是“对称轴与 谁左谁右”； 判的是对称轴与。 时，对称轴在 左侧就有。 4.6、 的特殊图像 ·：对称轴是 轴，顶点在 轴上，解析式形如，图像关于 轴对称。 ·：图像过原点， 是一个根，另一根为，解析式形如。 ·：顶点在原点，解析式形如。 4.7 图像所在象限的四种典型组合 条件组合 图像位置 ， 全在 轴上方，不经过第三、四象限 ， 全在 轴下方，不经过第一、二象限 ，， 与 轴交于异号两点，顶点在 轴下方 ，， 与 轴交于异号两点，顶点在 轴上方 自检点： 且 时，图像全在 轴上方，必有。若选项给出“、、”，本身矛盾，可直接判错。 4.8 两个面积式与两个距离式 记四个式子 ·两交点距离： ·顶点到 轴的距离：（分母要带绝对值） ·抛物线与 轴两交点、顶点围成的三角形：（ 为顶点纵坐标） ·抛物线与直线 交于、，则 05 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·三种形式的选择与待定系数法 ·五要素：开口、对称轴、顶点、两轴交点 ·、、 的符号判定（左同右异） ·组合式化为某点函数值 ·顶点式求最值、区间最值讨论 ·平移与四种对称变换 ·“左同右异”为什么要看对称轴 · 与对称轴位置的换算 ·区间最值的三种情形不漏 ·含参问题里 的隐含条件 ·图像法解不等式要分段、要剔除 之外的端点处理 ·实际应用的自变量范围 06 期中易错清单 按出错率排序，考前逐条自查 ·题目说“二次函数”却不写，含参题直接丢分。 ·单独看 的正负—— 本身没有方向，必须配合对称轴。 ·把 当成与 轴的交点，实际是与 轴交于。 ·把 当成顶点纵坐标，它是 处的函数值。 ·对称轴写成，漏掉负号。 ·增减性不分段，直接说“ 时 随 增大而增大”。 ·区间最值不讨论对称轴位置，直接把端点代入。 ·平移“左加右减”用在 上时忘了 是减号形式，方向弄反。 ·关于 轴对称只改，忘了 也要变号。 · 说成“没有交点”，实际是相切、有一个公共点。 ·实际应用不写自变量范围，利润题算出负的件数。 ·由面积或距离反求参数时只写一个解，丢掉另一个。 类型一 解析式的三种设法 模型特征 题干给的条件是“三个点”“顶点（或对称轴、最值）”“两个交点”中的一种，问解析式或问某个系数。二次函数需要三个独立条件才能定形，缺一个必有多解。 通法三步 ①看条件定形式；②代入已知点求；③回写成一般式并注明。 核心结论 ·给三点 → 设，列三元方程组 ·给顶点+ 一点 → 设，只需一个方程 ·给两交点、+ 一点 → 设 ·给对称轴 + 两点 → 用 换算，或设顶点式后由对称条件补方程 易错提醒 ·顶点式写成，符号整体反了。 ·只给两点就设三个未知数，方程组欠定，解出无穷多组。 ·求出 后不回写一般式，选项对不上。 例题精讲 例．已知抛物线的顶点为，且经过点，求这条抛物线的解析式。 解析：有顶点，直接用顶点式，这是本题最快的入口。设，把 代入：，得。所以，展开为。回验：顶点横坐标✓，✓。 例题精练 1．抛物线经过、、，则它的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 B 两交点已知，设交点式，代入 得，，故。 2．抛物线 经过 与，且对称轴为，则它的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 A 对称轴 给出，即；过 给；过 给。代入得，，，故。 3．抛物线 的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 答案 D 顶点式 中、，顶点是。易错在把 直接读成，符号要取反。 4．抛物线与 轴交于、，与 轴交于，则它的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 C 设，代入：，，展开得。 5．抛物线 的对称轴为，且经过点，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 B 由对称轴 得，；由过 得。所以。注意 是题给的，不必再求。 类型二 图像要素、增减性与比大小 模型特征 题目给一个解析式或一张图，问“顶点”“对称轴”“最值”“单调区间”，或给图像上三点问函数值大小。这类题不设陷阱，但要求“一口气读完五要素”。 通法三步 ①配方成顶点式；②读出、、 与两轴交点；③按对称轴分左右两段说增减。 核心结论 ·顶点，对称轴 · 时顶点给最小值， 时顶点给最大值 ·比大小：算， 时距离越大值越大， 时越大值越小 易错提醒 ·顶点横坐标写成，负号丢了。 ·说“在 上递增”时不分 的正负。 ·比大小时直接代三点，计算量大且易错；用距离法更快。 例题精讲 例．已知抛物线。求开口方向、对称轴、顶点坐标、与两轴的交点，以及 取何值时 随 的增大而减小、 的最大值是多少。 解析：配方：。所以开口向下（），对称轴，顶点。令：， 或，与 轴交于、；令：，与 轴交于。增减：开口向下，顶点最高，故 时 随 增大而减小。最大值为 1，在 处取得。 例题精练 1．抛物线 的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 答案 C 顶点式里、，顶点即。 说明右移 3， 说明上移 1。 2．抛物线 的对称轴是（ ） A． B． C． D． 答案 A 。也可配方：，对称轴。 3．已知点、、 都在抛物线 上，则（ ） A． B． C． D． 答案 D 对称轴，，离对称轴越远值越大。、、，故 最大，、 到对称轴等距，。得。 4．若抛物线 在 时 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 B 对称轴，，增区间为。要求 全部落在增区间内，只需；取等号时区间恰好是，仍满足。 5．函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 答案 C ，顶点 是最高点，最大值 5，在 处取得。 类型三 、、 与组合式的判定 模型特征 这是期中选择题的常客，分值不高、失分率最高。题面通常只给一张图，问“下列结论正确的是”，选项里混着、、、 这类符号判断。也有反向的问法：给出若干符号条件，选对应的图像。 通法五步 ①看开口定；②看对称轴在 轴左右，配合 定（左同右异）；③看与 轴交点定；④看与 轴交点个数定；⑤把每个组合式换成“某个 处的函数值”，在图上比高低。 核心结论 ，， ，， 为对称轴横坐标 对称轴⇔；过⇔；⇔ 对称轴。 易错提醒 ·单独判，不看对称轴，必然错一半。 ·把 当成顶点纵坐标。 ·算 时漏看 的符号，或忘了“负负得正”。 ·图像过 时， 而不是。 例题精讲 例．如图，抛物线 与 轴交于、，与 轴交于，对称轴为。判断：①；②；③；④。其中正确的有几个？ 解析：按五步走。开口向下，故；对称轴 在 轴右侧，、 异号，故；与 轴交于正半轴，。于是，①正确。 ②对称轴，得，正确。 ③，而图像恰过，故，选项说“”，错误。 ④，顶点在 处，由对称性，正确。结论：正确的是①②④，共 3 个。 例题精练 1．抛物线开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，则（ ） A． B． C． D． 答案 B 开口向上；对称轴在 轴右侧说明、 异号，故；交 轴负半轴。 2．抛物线 与 轴交于、，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 C 两交点关于对称轴对称，对称轴，于是，。 3．若 且，则抛物线与 轴的交点个数为（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D．无法确定 答案 C ，即图像在 处位于 轴下方；开口向上，两端必向上延伸，故与 轴有两个交点，。这是“开口向上 + 有一点在 轴下方”就能判两交点的典型用法。 4．若抛物线 的对称轴在 轴右侧，且、，则（ ） A． B． C． D．无法确定 答案 A 对称轴在右侧：。由 得，要使商为正，必须，即。 5．抛物线与 轴交于、，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 B 对称轴，即，所以，。也可用两根之和：。 类型四 顶点与区间最值 模型特征 题干带“当 时，求最大值或最小值”，或“在 上的最值为…求参数”。只要出现区间，就不能只用顶点公式。 通法三步 ①配方求对称轴；②判断 与区间 的位置关系；③按“在内、在左、在右”三种情形取候选值比较。 核心结论 · 在区间内：顶点是最值点，另一最值在两个端点中 · 在区间左侧： 时 最小、 最大； 时 最大、 最小 · 在区间右侧： 时 最小、 最大； 时 最大、 最小 易错提醒 ·不判对称轴位置，直接把两端点代入当最值。 ·把“最大值”与“顶点的函数值”混为一谈，忘记端点可能更大。 ·分类后忘记回检参数是否落在所设情形内（求出的 必须自洽）。 例题精讲 例．求函数 在 上的最大值与最小值。 解析：，对称轴，落在 内，故最小值为顶点值。最大值只需比两端：，，取较大的 0。所以最小值，最大值。看图更直接：顶点在区间内是“谷底”，两端比较谁高谁就是最大值。 例题精练 1．函数 在 上的最小值是（ ） A． B． C． D． 答案 A ，对称轴 在 内，最小值。（最大值是，本题不问。） 2．函数 在 上的最大值是（ ） A． B． C． D．不存在 答案 B ，对称轴 正好是区间左端点，区间全在对称轴右侧， 时递减，故最大值在 处，为 4。 3．若函数 在 上的最小值为 2，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 A 对称轴，分三种情形： ①：区间在对称轴右侧，最小值，不合； ②：最小值，，只取； ③：最小值，，不合。故。分类后必须回检，这是本题的得分点。 4．函数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 答案 C 顶点式直接读出顶点， 开口向上，最小值即顶点纵坐标。 5．若函数 在 上的最大值为 3，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．任意实数 答案 B 最大值 3 恰是顶点值，说明顶点 必须落在区间内：，解得。顶点落在区间外时，最大值只会小于 3。 类型五 平移与对称变换 模型特征 题干出现“平移 个单位”“关于 轴（或 轴、原点、顶点）对称”，问变换后的解析式，或问变换前后的关系。 通法三步 ①先化成顶点式；②按“左加右减、上加下减”改、，或按对称方式改 的符号与顶点；③回写成一般式。 核心结论 ·平移只改位置不改形状， 不变 ·关于 轴：，得到的式子再解出 ·关于 轴：；关于原点：两者同时换 ·关于顶点：开口反向、顶点不动，即 易错提醒 ·“向左平移 3”写成 却代入 的位置，方向反。 ·关于 轴对称只改常数项，忘了 也要变号。 ·关于原点对称时只改 的符号，顶点位置没跟着变。 例题精讲 例．把抛物线 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，求所得抛物线的解析式；再求它关于 轴对称的抛物线的解析式。 解析：先化顶点式：，顶点。右移 2、上移 3 后顶点变为，形状不变，故，展开为。关于 轴对称：把 换成，得，即。口诀：对称看顶点，，开口方向颠倒，直接写顶点式最快。 例题精练 1．将抛物线 向左平移 1 个单位、再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 B 左移 1：；下移 2：常数减 2。故。 2．抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 C 关于 轴对称即：，所以。也可用顶点：，顶点 变为，开口反向。 3．抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 A 关于 轴对称把 换成：。顶点 变为，纵坐标不变。 4．抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 C 关于原点：、。得，故。顶点 变为，与此式一致。 5．将抛物线 向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 答案 B 右移 3 只改：顶点 变为，故。注意这里平移的是顶点，不是把括号里的数字直接加 3。 类型六 与方程、不等式、交点及实际应用 模型特征 三种面孔：①问“与 轴交点”或“几个公共点”，本质是一元二次方程；②问“ 时 的范围”，本质是图像法解不等式；③给利润、拱桥、喷水等背景，本质是建模求最值。 通法三步 ①化成 或；②算、求根，或联立直线方程；③结合开口方向写解集或最值，实际题补自变量范围。 核心结论 ·与 轴交点 ⇔ 方程 的根；交点个数由 定 · 时 的解集是“两根之外”， 是“两根之间”； 相反 ·与直线 联立得， 两交点、 相切 ·面积：（ 为直线在 轴的截距） 易错提醒 ·把不等式解集写成“ 大根或 小根”时，忘了先看开口方向。 ·联立后忘记整理成一般式， 算错。 ·实际应用不写 的取值范围（如件数、长度必须为正）。 ·求最值时用顶点公式，却没验证顶点横坐标是否在实际范围内。 例题精讲 例．已知抛物线 与直线 交于、 两点， 为原点。求交点坐标、 的面积，以及不等式 的解集。 解析：联立：，整理得，， 或。代回直线得、。面积：直线 在 轴截距为 1，故。不等式：抛物线低于直线，即图像在直线下方的那段，由图读出。 例题精练 1．抛物线 与 轴的交点坐标是（ ） A．、 B．、 C．、 D． 答案 A 令：，得 或，交点为、。 2．不等式 的解集是（ ） A． 或 B． C． D． 答案 B 两根为、，开口向上，取“两根之间”，即。 3．若抛物线 与 轴只有一个公共点，则（ ） A． B． C． D． 答案 C “只有一个公共点”⇔ 相切 ⇔，得。此时，顶点在 轴上。 4．某商品进价 20 元／件，售价 元时每天可卖 件。要使日利润最大，售价应定为（ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 答案 B 日利润。， 在 的实际范围内，最大日利润 200 元。若 落在范围外，就要按区间最值处理。 5．若抛物线 与直线 只有一个公共点，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 过：，即。联立 有等根：。代入：，得，，故。 07 方法对照总表 题型 识别关键词 首选做法 解析式 “三点”“顶点”“两交点” 按条件选一般式／顶点式／交点式 图像要素 “顶点”“对称轴”“最值” 配方成顶点式，一口气读完五要素 、、 “如图”“结论正确的是” 开口看，对称轴看，截距看 组合式 、、 换成、、 区间最值 “当 时” 对称轴与区间三种位置讨论 平移对称 “平移”“关于…对称” 顶点式改、，或改 的符号 方程不等式 “交点”“ 时” 求根 + 开口定区间 实际应用 利润、拱桥、喷水 顶点式求最值，补自变量范围 08 答案速查 类型 1 2 3 4 5 一 解析式 B A D C B 二 图像与增减 C A D B C 三 abc 判定 B C C A B 四 区间最值 A B A C B 五 平移对称 B C A C B 六 综合应用 A B C B C 表中每一行的 1～5 对应本类的五道练习，全卷共 30 题。 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数图像与性质 期 中 复 习 01 复习目标 1．能在 30 秒内判断该用一般式、顶点式还是交点式，并把解析式求对。 2．能由一个解析式说出开口方向、对称轴、顶点、与两轴交点、增减区间与最值。 3．能由图像反推、、 的符号，并说明“左同右异”的来由。 4．会把、、 等组合式翻译成某个 处的函数值。 5．会用 统一判断、 的符号。 6．会在给定区间上求最值，并按对称轴与区间的三种位置分类讨论。 7．会处理平移与四种对称变换，会用图像法解一元二次不等式。 8．能建立利润、拱桥、喷水等实际模型，并写出自变量取值范围。 02 期中考点分布与时间分配 考点 常见题型 期中权重 建议用时 解析式求法 选择、填空、解答第（1）问 高 8 分钟 图像要素与增减性 选择、填空 高 6 分钟 、、 与组合式 选择（多为最后一题） 极高 10 分钟 顶点与区间最值 解答题 高 12 分钟 平移与对称 选择、填空 中 5 分钟 方程、不等式与应用 解答题（压轴） 高 15 分钟 时间账：以上合计约 56 分钟，整卷按 75 分钟计，留 15～20 分钟回查。回查优先看三处：解析式的常数项是否抄错、区间最值是否讨论过对称轴、实际应用是否写了自变量范围。 03 知识结构 ① 三种形式 ② 图像五要素 ·一般式（）：已知三点 ·顶点式：已知顶点或要最值 ·交点式：已知两交点 ·开口： 定方向， 定宽窄 ·对称轴： ·顶点： ·与 轴交点： ·与 轴交点个数：看 ③ a、b、c 判定 ④ 最值与区间 ·：开口方向 ·：对称轴在 轴左右（左同右异） ·：与 轴交点的正负 ·组合式：换成某点函数值 · 有最小值， 有最大值 ·区间最值看对称轴是否在区间内 ·比较函数值看“离对称轴的远近” ⑤ 平移与对称 ⑥ 方程 · 不等式 · 应用 ·平移：左加右减（对）、上加下减（对） ·关于 轴： 变号 ·关于 轴： 变号；关于原点：两者都变号 ·与 轴交点 ⇔ 一元二次方程的根 ·不等式解集 ⇔ 图像在 轴上方或下方的区间 ·实际建模：设顶点式，写范围，答最值 04 核心结论速查 这四页是期中答题的“底牌”。上考场前把 4.3 与 4.4 两张表默写一遍，、、 类选择题基本不会错。 4.1 三种形式与选用 形式 表达式 什么时候用 一般式 （） 已知图像上三个点；题目要判、、 顶点式 （） 已知顶点、对称轴、最值，或要平移 交点式 （） 已知与 轴的两个交点（或两根） 4.2 图像五要素与增减性 五要素 开口看；对称轴；顶点；与 轴交于；与 轴交点个数看（ 两个， 一个， 无）。 时最小值； 时最大值 条件 （对称轴左侧） （对称轴右侧） 开口向上 随 增大而减小 随 增大而增大 开口向下 随 增大而增大 随 增大而减小 比大小口诀： 时“离对称轴越远，函数值越大”； 时反过来。做法是算 再比，不必逐点代入。 4.3、、 与 的符号 对象 看图像哪里 结论 开口方向 向上；向下； 越大开口越小 对称轴在 轴哪一侧 左侧同号，右侧异号，过 轴（左同右异） 与 轴交点 交正半轴；过原点；交负半轴 与 轴交点个数 两交点；相切；无交点 顶点在 轴上方还是下方 与 互为相反数； 时顶点在 轴上 4.4 组合式 = 某点函数值 组合式 相当于 看图要点 图像在 处高于还是低于 轴 看 处的位置 看 处的位置 看 处的位置 看 处的位置 由对称轴反推的常用等式 ·对称轴⇔⇔；对称轴⇔；对称轴⇔；对称轴⇔ ·过⇔；过⇔；过⇔ ·顶点在 轴上 ⇔；⇔ 对称轴 4.5、 的统一判定 一个式子管到底 设对称轴，则，于是 ， 所以 的符号 = 的符号 × 的符号：它判的是“对称轴与 谁左谁右”； 判的是对称轴与。 时，对称轴在 左侧就有。 4.6、 的特殊图像 ·：对称轴是 轴，顶点在 轴上，解析式形如，图像关于 轴对称。 ·：图像过原点， 是一个根，另一根为，解析式形如。 ·：顶点在原点，解析式形如。 4.7 图像所在象限的四种典型组合 条件组合 图像位置 ， 全在 轴上方，不经过第三、四象限 ， 全在 轴下方，不经过第一、二象限 ，， 与 轴交于异号两点，顶点在 轴下方 ，， 与 轴交于异号两点，顶点在 轴上方 自检点： 且 时，图像全在 轴上方，必有。若选项给出“、、”，本身矛盾，可直接判错。 4.8 两个面积式与两个距离式 记四个式子 ·两交点距离： ·顶点到 轴的距离：（分母要带绝对值） ·抛物线与 轴两交点、顶点围成的三角形：（ 为顶点纵坐标） ·抛物线与直线 交于、，则 05 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·三种形式的选择与待定系数法 ·五要素：开口、对称轴、顶点、两轴交点 ·、、 的符号判定（左同右异） ·组合式化为某点函数值 ·顶点式求最值、区间最值讨论 ·平移与四种对称变换 ·“左同右异”为什么要看对称轴 · 与对称轴位置的换算 ·区间最值的三种情形不漏 ·含参问题里 的隐含条件 ·图像法解不等式要分段、要剔除 之外的端点处理 ·实际应用的自变量范围 06 期中易错清单 按出错率排序，考前逐条自查 ·题目说“二次函数”却不写，含参题直接丢分。 ·单独看 的正负—— 本身没有方向，必须配合对称轴。 ·把 当成与 轴的交点，实际是与 轴交于。 ·把 当成顶点纵坐标，它是 处的函数值。 ·对称轴写成，漏掉负号。 ·增减性不分段，直接说“ 时 随 增大而增大”。 ·区间最值不讨论对称轴位置，直接把端点代入。 ·平移“左加右减”用在 上时忘了 是减号形式，方向弄反。 ·关于 轴对称只改，忘了 也要变号。 · 说成“没有交点”，实际是相切、有一个公共点。 ·实际应用不写自变量范围，利润题算出负的件数。 ·由面积或距离反求参数时只写一个解，丢掉另一个。 类型一 解析式的三种设法 模型特征 题干给的条件是“三个点”“顶点（或对称轴、最值）”“两个交点”中的一种，问解析式或问某个系数。二次函数需要三个独立条件才能定形，缺一个必有多解。 通法三步 ①看条件定形式；②代入已知点求；③回写成一般式并注明。 核心结论 ·给三点 → 设，列三元方程组 ·给顶点+ 一点 → 设，只需一个方程 ·给两交点、+ 一点 → 设 ·给对称轴 + 两点 → 用 换算，或设顶点式后由对称条件补方程 易错提醒 ·顶点式写成，符号整体反了。 ·只给两点就设三个未知数，方程组欠定，解出无穷多组。 ·求出 后不回写一般式，选项对不上。 例题精讲 例．已知抛物线的顶点为，且经过点，求这条抛物线的解析式。 例题精练 1．抛物线经过、、，则它的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 经过 与，且对称轴为，则它的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．抛物线 的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 4．抛物线与 轴交于、，与 轴交于，则它的解析式为（ ） A． B． C． D． 5．抛物线 的对称轴为，且经过点，则 的值为（ ） A． B． C． D． 类型二 图像要素、增减性与比大小 模型特征 题目给一个解析式或一张图，问“顶点”“对称轴”“最值”“单调区间”，或给图像上三点问函数值大小。这类题不设陷阱，但要求“一口气读完五要素”。 通法三步 ①配方成顶点式；②读出、、 与两轴交点；③按对称轴分左右两段说增减。 核心结论 ·顶点，对称轴 · 时顶点给最小值， 时顶点给最大值 ·比大小：算， 时距离越大值越大， 时越大值越小 易错提醒 ·顶点横坐标写成，负号丢了。 ·说“在 上递增”时不分 的正负。 ·比大小时直接代三点，计算量大且易错；用距离法更快。 例题精讲 例．已知抛物线。求开口方向、对称轴、顶点坐标、与两轴的交点，以及 取何值时 随 的增大而减小、 的最大值是多少。 例题精练 1．抛物线 的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 的对称轴是（ ） A． B． C． D． 3．已知点、、 都在抛物线 上，则（ ） A． B． C． D． 4．若抛物线 在 时 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 类型三 、、 与组合式的判定 模型特征 这是期中选择题的常客，分值不高、失分率最高。题面通常只给一张图，问“下列结论正确的是”，选项里混着、、、 这类符号判断。也有反向的问法：给出若干符号条件，选对应的图像。 通法五步 ①看开口定；②看对称轴在 轴左右，配合 定（左同右异）；③看与 轴交点定；④看与 轴交点个数定；⑤把每个组合式换成“某个 处的函数值”，在图上比高低。 核心结论 ，， ，， 为对称轴横坐标 对称轴⇔；过⇔；⇔ 对称轴。 易错提醒 ·单独判，不看对称轴，必然错一半。 ·把 当成顶点纵坐标。 ·算 时漏看 的符号，或忘了“负负得正”。 ·图像过 时， 而不是。 例题精讲 例．如图，抛物线 与 轴交于、，与 轴交于，对称轴为。判断：①；②；③；④。其中正确的有几个？ 例题精练 1．抛物线开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，则（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 与 轴交于、，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．若 且，则抛物线与 轴的交点个数为（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D．无法确定 4．若抛物线 的对称轴在 轴右侧，且、，则（ ） A． B． C． D．无法确定 5．抛物线与 轴交于、，则 的值为（ ） A． B． C． D． 类型四 顶点与区间最值 模型特征 题干带“当 时，求最大值或最小值”，或“在 上的最值为…求参数”。只要出现区间，就不能只用顶点公式。 通法三步 ①配方求对称轴；②判断 与区间 的位置关系；③按“在内、在左、在右”三种情形取候选值比较。 核心结论 · 在区间内：顶点是最值点，另一最值在两个端点中 · 在区间左侧： 时 最小、 最大； 时 最大、 最小 · 在区间右侧： 时 最小、 最大； 时 最大、 最小 易错提醒 ·不判对称轴位置，直接把两端点代入当最值。 ·把“最大值”与“顶点的函数值”混为一谈，忘记端点可能更大。 ·分类后忘记回检参数是否落在所设情形内（求出的 必须自洽）。 例题精讲 例．求函数 在 上的最大值与最小值。 例题精练 1．函数 在 上的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．函数 在 上的最大值是（ ） A． B． C． D．不存在 3．若函数 在 上的最小值为 2，则 的值为（ ） A． B． C． D． 4．函数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．若函数 在 上的最大值为 3，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．任意实数 类型五 平移与对称变换 模型特征 题干出现“平移 个单位”“关于 轴（或 轴、原点、顶点）对称”，问变换后的解析式，或问变换前后的关系。 通法三步 ①先化成顶点式；②按“左加右减、上加下减”改、，或按对称方式改 的符号与顶点；③回写成一般式。 核心结论 ·平移只改位置不改形状， 不变 ·关于 轴：，得到的式子再解出 ·关于 轴：；关于原点：两者同时换 ·关于顶点：开口反向、顶点不动，即 易错提醒 ·“向左平移 3”写成 却代入 的位置，方向反。 ·关于 轴对称只改常数项，忘了 也要变号。 ·关于原点对称时只改 的符号，顶点位置没跟着变。 例题精讲 例．把抛物线 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，求所得抛物线的解析式；再求它关于 轴对称的抛物线的解析式。 例题精练 1．将抛物线 向左平移 1 个单位、再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 5．将抛物线 向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 类型六 与方程、不等式、交点及实际应用 模型特征 三种面孔：①问“与 轴交点”或“几个公共点”，本质是一元二次方程；②问“ 时 的范围”，本质是图像法解不等式；③给利润、拱桥、喷水等背景，本质是建模求最值。 通法三步 ①化成 或；②算、求根，或联立直线方程；③结合开口方向写解集或最值，实际题补自变量范围。 核心结论 ·与 轴交点 ⇔ 方程 的根；交点个数由 定 · 时 的解集是“两根之外”， 是“两根之间”； 相反 ·与直线 联立得， 两交点、 相切 ·面积：（ 为直线在 轴的截距） 易错提醒 ·把不等式解集写成“ 大根或 小根”时，忘了先看开口方向。 ·联立后忘记整理成一般式， 算错。 ·实际应用不写 的取值范围（如件数、长度必须为正）。 ·求最值时用顶点公式，却没验证顶点横坐标是否在实际范围内。 例题精讲 例．已知抛物线 与直线 交于、 两点， 为原点。求交点坐标、 的面积，以及不等式 的解集。 例题精练 1．抛物线 与 轴的交点坐标是（ ） A．、 B．、 C．、 D． 2．不等式 的解集是（ ） A． 或 B． C． D． 3．若抛物线 与 轴只有一个公共点，则（ ） A． B． C． D． 4．某商品进价 20 元／件，售价 元时每天可卖 件。要使日利润最大，售价应定为（ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 5．若抛物线 与直线 只有一个公共点，则（ ） A． B． C． D． 07 方法对照总表 题型 识别关键词 首选做法 解析式 “三点”“顶点”“两交点” 按条件选一般式／顶点式／交点式 图像要素 “顶点”“对称轴”“最值” 配方成顶点式，一口气读完五要素 、、 “如图”“结论正确的是” 开口看，对称轴看，截距看 组合式 、、 换成、、 区间最值 “当 时” 对称轴与区间三种位置讨论 平移对称 “平移”“关于…对称” 顶点式改、，或改 的符号 方程不等式 “交点”“ 时” 求根 + 开口定区间 实际应用 利润、拱桥、喷水 顶点式求最值，补自变量范围 最后三句话 一、二次函数的所有判断都从五个字起手：开、轴、顶、截、判——开口看，对称轴看，顶点看最值，截距看，交点看。 二、见到、 这类组合，立刻做两件事：把它换成某个 处的函数值，或换成；换完题就做完了一半。 三、动笔前多想一步：这道题要不要分类？区间最值要分类、含参最值要分类、不等式要按开口分类。分类不漏，才是真正的稳。 学科网（北京）股份有限公司 $