专题05 圆（单元培优讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（苏教版）
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内容正文：
单元培优讲义
专题05 圆（单元培优讲义）
考点一：圆的认识
【知识要点】
1. 圆是平面上的曲线图形，由一条曲线围成；圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2. 圆心（O）：画圆时固定的点叫圆心，用字母 O 表示；半径（r）：连接圆心到圆上任意一点的线段；直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段。直径是圆内最长的线段。
3. 同圆（或等圆）内：半径有无数条，直径有无数条；直径的长度是半径的 2 倍，即 、。
4. 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
5. 圆是轴对称图形，有无数条对称轴（每条直径所在的直线都是对称轴）。
6. 画圆用圆规：两脚距离为半径，针尖定圆心，旋转一周成圆。
【典型例题】
用圆规画一个半径是 2 厘米的圆，并标出圆心、半径和直径；它的直径是多少厘米？
解：圆规两脚间的距离是 2 厘米，针尖固定为圆心 O，旋转一周画出圆。直径 （厘米）。
答：画出的圆直径是 4 厘米。
【易错提醒】
1. 误认为圆有 1 条或 4 条对称轴；圆有无数条对称轴，是直径所在的直线。
2. 混淆半径和直径的关系，计算时用错 还是 。
3. 画圆时圆规两脚距离不是半径，或针尖移动导致圆心不固定。
考点二：圆的周长
【知识要点】
1. 围成圆的曲线的长叫圆的周长，用字母 C 表示。
2. 圆周率（π）：圆的周长与直径的比值，是一个固定的数，π ≈ 3.14。π 是一个无限不循环小数。
3. 周长公式： 或 ；由周长求直径、半径：、。
4. 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 。
【典型例题】
一个圆形花坛的直径是 10 米，绕花坛走一圈是多少米？（π 取 3.14）
解：C = πd = 3.14 × 10 = 31.4（米）
答：绕花坛走一圈是 31.4 米。
【易错提醒】
1. 计算半圆周长时忘记加上直径，只算了圆周长的一半。
2. 圆周率"π"不是固定的 3.14，只是计算时取近似值 3.14。
3. 题目给直径却用 导致算错，先判断给的是直径还是半径。
考点三：圆的面积
【知识要点】
1. 圆所占平面的大小叫圆的面积，用字母 S 表示。
2. 面积公式：；已知直径求面积：先求半径再代入。
3. 推导方法（转化思想）：把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，长方形长 = πr（圆周长的一半），宽 = r（圆的半径），所以圆的面积 = 长 × 宽 = 。
4. 常用计算技巧：熟记常见平方数，如 、、……方便快速求 。
【典型例题】
一个圆形花坛的半径是 3 米，它的占地面积是多少平方米？（π 取 3.14）
解：（平方米）
答：这个花坛占地 28.26 平方米。
【易错提醒】
1. 求面积时错用直径直接平方： 忘了先除以 2，写成 。
2. 半径是平方不是乘 2，如 ，不是 6。
3. 把周长公式和面积公式混用。
考点四：环形与组合图形的面积
【知识要点】
1. 环形面积 = 大圆面积 − 小圆面积，即 （R 是大圆半径，r 是小圆半径）。
2. 求组合图形面积时，用"整体 − 空白"或"分块相加"的方法，把图形分解成已学的基本图形。
3. 遇到"外方内圆""外圆内方"等图形，先确定半径与边长的关系再计算。
【典型例题】
一个环形铁片，外圆半径 5 厘米，内圆半径 3 厘米，这个铁片的面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
解：（平方厘米）
答：这个环形铁片的面积是 50.24 平方厘米。
【易错提醒】
1. 环形面积误算成 ，必须是 。
2. 不知道大圆半径和小圆半径分别对应哪个，代入错位。
3. 组合图形中，把直径当半径或把边长当直径。
考点五：扇形的认识
【知识要点】
1. 扇形由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成；顶点在圆心的角叫圆心角。
2. 圆心角越大，扇形越大；当圆心角是 360° 时，扇形就是一个完整的圆。
3. 扇形面积占所在圆面积的比例 = 圆心角占 360° 的比例：扇形面积 = （n 为圆心角度数）。
【典型例题】
一个圆的半径是 6 厘米，其中圆心角为 90° 的扇形面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
解：90° 占 360° 的 ，扇形面积 （平方厘米）
答：这个扇形的面积是 28.26 平方厘米。
【易错提醒】
1. 分不清扇形与三角形：扇形有弧，是曲线围成。
2. 求扇形面积时忘记乘圆心角所占比例，直接算整圆面积。
考点六：圆的实际应用（本单元综合）
【知识要点】
1. 生活中的圆：车轮滚动问题，车轮转一圈前进的路程 = 车轮的周长。
2. 求"某圆若干圈走的距离"，先求一圈的周长再乘圈数。
3. 铺路、抹水泥等求面积问题，直接求相应圆的面积；求栏杆、篱笆等围成问题，求圆的周长。
【典型例题】
一辆自行车车轮的直径是 0.7 米，车轮平均每分钟转 100 圈，这辆自行车 1 分钟前进多少米？（π 取 3.14）
解：车轮周长 C = πd = 3.14 × 0.7 = 2.198（米）；每分钟前进：2.198 × 100 = 219.8（米）
答：这辆自行车 1 分钟前进 219.8 米。
【易错提醒】
1. 车轮转一圈是求周长，不是求面积，审题不清容易用错公式。
2. 计算"总路程 = 周长 × 圈数"时漏乘圈数，或圈数看错。
3. 单位换算遗漏，如直径用厘米、路程用米时忘记统一单位。
一、填空题
1．在探究圆的周长公式时，在圆的周围绕一圈绳子，通过测量绳子的长度得到圆的周长，这种方法体现了化曲为直的数学思想。发现圆的( )和它的( )的比值是一个固定的数，这个比值就叫( )用字母( )表示。
【答案】 周长 直径 圆周率 π
【分析】任意圆的周长与直径的比值都是一个固定的数，这个固定比值叫做圆周率，用希腊字母π表示，据此解答。
【详解】在探究圆的周长公式时，在圆的周围绕一圈绳子，通过测量绳子的长度得到圆的周长，这种方法体现了化曲为直的数学思想。发现圆的周长和它的直径的比值是一个固定的数，这个比值就叫圆周率用字母π表示。
2．看图，在括号里填合适的数。（图中单位：厘米）
圆的直径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米，长方形的长是( )厘米。
【答案】 12 12 30
【分析】由题可得，圆的半径是6厘米，那么直径是半径的两倍；
长方形的宽是圆的直径，长方形的长是由2个直径加1个半径组成，据此解答；
【详解】r＝6厘米，d＝6×2＝12（厘米）
2×12＋6＝24＋6＝30（厘米）
即圆的直径是（12）厘米，长方形的宽是（12）厘米，长方形的长是（30） 厘米。
3．一个圆周长的一半是15.7厘米，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。
【答案】
【分析】用15.7乘2可算得圆的周长，利用算出半径，再利用算出圆的面积。
【详解】（厘米）
圆的半径：（厘米）
圆的面积：（平方厘米）
4．惠安科山的小天坛是个圆形建筑，该建筑高48米，底面直径大约是8米。沿着它走一圈，至少要走( )米，这个圆形天坛占地大约是( )平方米。
【答案】 25.12 50.24
【分析】沿着它走一圈，即为天坛的底面周长，圆的周长＝圆周率×直径；这个圆形天坛的占地面积即为圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方。
【详解】天坛的底面周长：（米），沿着它走一圈，至少要走米；
圆形天坛的占地面积：
（平方米）
这个圆形天坛占地大约是平方米。
5．英国著名的大本钟，分针长度是4米，从12：30—13：30，分针针尖所走过的路程约是( )米，分针针尖扫过的面积约是( )平方米。
【答案】 25.12 50.24
【分析】①先确定从12：30到13：30分针转动的总时长，用终止时间13：30减去起始时间12：30求得时长，1小时分针转1整圈，依此判断分针转动的圈数；计算分针针尖走过的路程：分针针尖走过的轨迹是圆，半径为分针长度4米，所以用圆的周长公式：，结合转动的圈数，即可得到总路程；
②计算分针扫过的面积：分针扫过的区域是圆形，半径为分针长度4米，所以用圆的面积公式：，结合转动的圈数，即可得到总面积。（取）
【详解】①＝（时），小时分针转整圈，分针针尖走过的路程：
（米）
②分针扫过的面积：
（平方米）
6．位于茂名市电白区上河古荔园内的“岭南荔母”是广东最古老的荔枝树，树龄约1800年。一根长10.048m的麻绳刚好可以在这棵荔枝树的树干上绕4圈。这棵荔枝树的树干横截面的半径是( )m，横截面的面积是( )。
【答案】
0.4
0.5024
【分析】树干一圈的长（即圆的周长）＝麻绳总长÷4；然后根据“圆的周长＝2πr”计算圆的半径；根据“圆的面积＝πr2”计算横截面的面积。
【详解】
7．圆的半径扩大到原来的5倍，直径就扩大到原来的( )倍，面积就扩大到原来的( )倍，圆的周长缩小到原来的，半径就缩小到原来的( )。
【答案】 5 25
【分析】圆的周长公式C＝πd＝2πr，面积公式S＝πr2；圆的半径扩大到原来的几倍，直径、周长就扩大到原来的几倍，面积扩大到原来的平方倍。反过来圆的周长缩小到原来的几分之几，圆的半径就缩小到原来的几分之几。
【详解】圆的半径扩大到原来的5倍，直径就扩大到原来的5倍；面积就扩大到原来的5×5＝25倍，圆的周长缩小到原来的，半径就缩小到原来的。
8．有一口井，井口直径是0.8米。现准备给它加上木井盖，要求直径比井口直径大20厘米。如果在木井盖的边沿钉一圈铝条进行包边，铝条至少长( )米，木井盖的面积是( )平方米，比井口的面积大( )平方米。
【答案】 3.14 0.785 0.2826
【分析】①先统一单位，根据直径比井口直径大20厘米求出木井盖的直径，铝条长度就是井盖的周长，用圆周长公式计算。
②用木井盖直径除以2求木井盖半径，井盖面积用圆面积公式计算。
③用井口直径除以2求井口半径，井口面积用圆面积公式计算。最后用井盖面积减去井口面积，得到面积差。
【详解】①（米）
（米）
（米）
②（米）
(平方米)
③（米）
（平方米）
（平方米）
所以，铝条至少长3.14米，木井盖的面积是0.785平方米，比井口的面积大0.2826平方米。
9．体育课上，李老师组织学生在篮球场的半圆形区域进行定点投篮练习（篮框位于半圆的圆心处），4位同学分别站在如图所示的四个位置。
(1)4位同学在四个点投篮( )（填“公平”或“不公平”）；
(2)( )和( )的投篮距离相等，理由是：( )。
【答案】(1)不公平
(2) 乐乐 小深 同一个圆里，所有半径的长度都相等，乐乐和小深都在半圆的弧上，到圆心（篮框）的距离都是这个半圆的半径。
【分析】篮框在半圆的圆心，在半圆曲线上的点到圆心的距离都是半径，长度一样；在曲线外面的点到圆心的距离会比半径长。
乐乐、小深站在半圆的弧上，奇奇、小宝在圆弧外面，四个人到篮筐的距离不全部相等。
【详解】（1）四个人到篮筐的距离不全部相等，所以投篮不公平。
（2）同一个圆里，所有半径的长度都相等，乐乐和小深到圆心（篮框）的距离都是这个半圆的半径。所以乐乐和小深的投篮距离相等。
10．已知图中圆的半径长度正好与正方形的边长相等，如果正方形的面积是6平方厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】14.13
【分析】由图可知，正方形的边长和圆的半径相等，根据正方形的面积S＝a2， 可得r2＝6平方厘米。再根据圆的面积＝πr2求出圆的面积；阴影部分的面积等于圆面积的，据此解答。
【详解】3.14×6×
＝18.84×
＝14.13（平方厘米）
二、选择题
11．下面涂色部分不是扇形的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形的顶点必须在圆心。
【详解】A．涂色部分的顶点都在圆心，两条边是半径，属于扇形；
B．涂色部分角的顶点不在圆心，所以不是扇形。
C．涂色部分的顶点都在圆心，两条边是半径，属于扇形；
D．涂色部分的顶点都在圆心，两条边是半径，属于扇形。
12．下面图形中，对称轴最多的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】轴对称图形是沿一条直线对折后直线两侧部分能够完全重合的图形，这条直线就是对称轴，分别数出四个图形各自的对称轴条数，再比较大小，选出对称轴数量最多的那一个。
【详解】
A．，有3条对称轴；
B．，有4条对称轴；
C．，有4条对称轴；
D．，有无数条对称轴。
无数＞4＞3
所以对称轴最多的是。
13．有一个周长为62.8m的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，以下四种射程的装置，你认为最合适的是（ ）。
A．10m B．15m C．20m D．62.8m
【答案】A
【分析】要喷灌到整个圆形草坪，自动旋转喷灌装置的射程就是圆形草坪的半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，计算出半径即可。
【详解】圆的半径：
（m）
最合适的是射程是10m。
14．下面说法中正确的有（ ）个。
①在同一个圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的。
②两个圆的大小不同，圆周率也不相同。
③圆周率是一个无限不循环小数。
④一个半径是2cm的圆，它的面积和周长相等。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①同圆中直径和半径存在固定数量关系，直接依据该关系判断即可。
②和③圆周率是固定的数，其数值是固定的，结合圆周率的定义和数值特征判断。
④因为周长和面积是不同类的量，单位不统一，依据量的可比性要求判断。
【详解】①同一个圆中，直径，因此直径是半径的2倍，半径是直径的，说法正确。
②圆周率是圆的周长与直径的固定比值，和圆的大小无关，说法错误。
③圆周率是无限不循环小数，说法正确。
④周长的单位是长度单位，面积的单位是面积单位，单位类型不同无法比较大小，说法错误。
综上，正确的说法共2个。
15．小区步道从A入口到B出口有两条绕行路线，路线①是一个大半圆弧，路线②是三个相连的小半圆弧（三个小半圆直径相加等于大半圆的直径）。两条路线的长度相比，（ ）。
A．①<② B．①＞② C．①＝② D．无法比较
【答案】C
【分析】圆的周长＝2×圆周率×半径，半圆弧的周长＝圆的周长÷2＝2×圆周率×半径÷2＝圆周率×半径；可以设大圆的半径为R，小圆的半径分别为r1、r2、r3，且R＝r1＋r2＋r3，分别计算出路线①和路线②的长度再比较长度。
【详解】路线①的长度：；路线②的长度：；，所以路线①和路线②的长度相等，即①＝②。
16．从一张长7厘米，宽6厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，剩下部分的面积是（ ）平方厘米。
A．13.74 B．20.74 C．7.74 D．28.26
【答案】A
【分析】从长方形内剪下最大圆的直径相当于长方形的宽，也就是6厘米；长方形的面积计算公式为长×宽，圆的面积计算公式为，代入数据分别计算出长方形和圆的面积；剩下部分的面积用长方形的面积减去圆的面积即可。
【详解】长方形面积：7×6＝42（平方厘米）
圆的面积：3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
剩下部分的面积：42－28.26＝13.74（平方厘米）
17．一个圆分成若干等份后拼成近似的平行四边形，平行四边形的底为12.56cm，原来圆的面积是（ ）cm2。
A．62.8 B．50.24 C．25.12 D．12.56
【答案】B
【分析】将圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底等于圆的周长的一半。根据圆的周长＝2πr，可知平行四边形的底是πr，可求得圆的半径，再根据圆的面积＝πr2，即可求得圆的面积。
【详解】（cm）
（cm2）
18．从古至今，中式房屋门窗多用方圆组合的设计。图中正方形内部镶嵌了一个最大的圆，已知正方形周长是80分米，这个圆的周长是（ ）分米。
A．251.2 B．25.6 C．62.8 D．50.24
【答案】C
【分析】已知正方形的周长是80分米，根据正方形的边长＝周长÷4，先求出正方形的边长。在正方形内部镶嵌一个最大的圆，圆的直径的长度等于正方形的边长，则求出的正方形的边长就等于内部最大圆的直径的长度。最后利用求出这个圆的周长。
【详解】求正方形的边长，也就是圆的直径的长度：
（分米）
求圆的周长：
（分米）
三、计算题
19．计算下面各图形的周长和面积。
【答案】周长：31.4cm；面积：78.5cm2；
周长：0.628m；面积：0.0314m2
【分析】圆的周长公式：C＝πd＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。
【详解】（1）周长：2×3.14×5
＝6.28×5
＝31.4（cm）
面积：3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（cm2）
（2）周长：3.14×0.2＝0.628（m）
面积：3.14×（0.2÷2）2
＝3.14×0.12
＝3.14×0.01
＝0.0314（m2）
20．计算出下图阴影部分的面积。（单位：cm）
【答案】251.2cm2
【分析】阴影部分为圆环，圆环的面积＝π×（外圆半径2－内圆半径2）。
【详解】根据题图，外圆半径＝12cm，内圆半径＝8cm，
阴影部分的面积：π×（122－82）
＝3.14×（144－64）
＝3.14×80
＝251.2（cm2）
21．计算下图中阴影部分的面积。
【答案】
【分析】观察可知，图中阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。圆的直径等于正方形的对角线长度。正方形的对角线将正方形平均分成了4个直角三角形，每个直角三角形的底和高均等于圆的半径。
【详解】
＝
＝50.24－16÷2×4
＝50.24－8×4
＝50.24－32
＝18.24（cm2）
22．求出下面图形涂色部分的面积。
【答案】57cm2；21.5m2
【分析】（1）用割补法，把半圆里涂色部分移到右边，涂色部分拼成梯形。梯形上底9cm，下底10cm，高6cm，梯形面积公式：S＝（a＋b）×h÷2。
（2）涂色面积＝正方形面积－2个半圆的面积（即1个整圆的面积）。圆半径5m，正方形边长＝5×2＝10m；正方形面积S＝a2，圆面积S＝πr2（π取3.14）。
【详解】（1）（9＋10）×6÷2
＝19×6÷2
＝114÷2
＝57（cm2）
（2）正方形边长：5×2＝10（m）
正方形面积：10×10＝100（m2）
圆面积：3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（m2）
涂色面积：100－78.5＝21.5（m2）
四、作图题
23．在下面画一个圆，使圆规两脚间的距离是1.6厘米，并画出一条半径、一条直径，再用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径。
【答案】
【分析】圆规两脚之间的距离就是圆的半径，以点O为圆心，圆规两脚之间的距离1.6厘米为半径画圆；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，用字母d表示。
【详解】图略
五、解答题
24．花萼楼是广东第一圆楼，历经400多年风雨不倒，见证中原文化南迁、岭南山地化的建筑智慧。花萼楼的半径是33米，小新沿着花萼楼走2圈，每分钟走80米，5分钟能走完吗？
【答案】不能
【分析】根据题意，圆的周长＝2πr，花萼楼的半径是33米，代入计算出走1圈的米数。再乘2，算出走2圈需要走的米数。根据速度×时间＝路程，算出5分钟走的米数。最后比较2圈的米数和5分钟走的米数即可。
【详解】2×3.14×33
＝6.28×33
＝207.24（米）
207.24×2＝414.48（米）
80×5＝400（米）
414.48＞400
答：5分钟不能走完。
25．幸福小区的水管正在维修，如下图，工人师傅需要把4根PVC管道（每根管道外圈直径为8厘米）用铁丝捆扎在一起，为了确保牢固，前后各捆扎1圈，则捆扎一个这样的造型至少需要准备多少厘米长的铁丝？（结头处长度忽略不计）
【答案】114.24厘米
【分析】先计算捆1圈铁丝的长度，再乘2得到总长度。捆1圈的长度由4段直边和4段圆弧组成：4段圆弧恰好能拼成1个完整的圆（），4段直边的长度均等于管道的直径。
【详解】4段圆弧的总长度（即1个圆的周长）：（厘米）
4段直边的总长度：（厘米）
1圈铁丝的长度：（厘米）
前后2圈的总长度：（厘米）
答：捆扎一个这样的造型至少需要准备114.24厘米长的铁丝。
26．爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，为了节约成本，把其中一面靠墙，另一面用篱笆围起来，需要多少米长的篱笆？
【答案】15.7米
【分析】由题意可知：篱笆的长度为圆周长的一半，将数据代入圆的周长公式：C＝πd求出圆的周长，再除以2即可。
【详解】3.14×10÷2
＝31.4÷2
＝15.7（米）
答：需要15.7米长的篱笆。
27．明明想买一个直径20厘米的披萨，店老板说“直径20厘米的披萨没有了，给你一张直径12厘米和8厘米的披萨吧，价钱一样。”如果明明答应老板，划算吗？请说明理由。
【答案】不划算。两个小披萨的总面积是163.28平方厘米，小于直径20厘米的披萨面积314平方厘米，价钱相同的情况下，得到的披萨更少，因此不划算。
【分析】要判断换披萨是否划算，只需比较原大披萨和两个小披萨的总面积，价钱相同时，面积越大越划算，因此分别计算三个披萨的面积，再比较大小即可，其中圆的面积＝。
【详解】
（平方厘米）
（平方厘米）
答：不划算。两个小披萨的总面积是163.28平方厘米，小于直径20厘米的披萨面积314平方厘米，价钱相同的情况下，得到的披萨更少，因此不划算。
28．如图，在边长为8厘米的正方形铁皮上按照如下方法剪一个叶片状的零件，你能求出涂色部分的面积吗？如果能，请写出解答过程。如果不能，写出你遇到了什么困难。
【答案】36.48平方厘米
【分析】用两个半径是8厘米，圆心角是90°的扇形面积的和减去边长是8厘米正方形的面积可算得阴影部分的面积。扇形面积公式是（是圆心角度数），正方形面积公式是，代入数据计算即可。
【详解】
（平方厘米）
答：涂色部分的面积是36.48平方厘米。
29．六（1）班的黑板报是以“抗战胜利”为主题的，如图，将黑板报分为铭记历史、缅怀先烈和抗战精神三个版块。
(1)铭记历史版块的周长是多少分米？
(2)缅怀先烈和抗战精神版块的总面积是多少平方分米？
【答案】(1)62.84分米
(2)248.52平方分米
【分析】（1）由图可知，铭记历史版块的周长由四个部分组成，其中三部分分别为12分米、16分米、16分米长的线段，第四部分是以12分米为直径的圆的周长的一半，根据圆的周长计算公式代入数据计算出圆的周长，再将四个部分相加即可；
（2）由图可知，三个版块的面积总和是一个长为32分米，宽为12分米的长方形面积，缅怀先烈版块可根据圆的面积计算公式代入数据计算即可；
因为32－16＝16（分米），所以铭记历史版块与抗战精神版块的面积是相等的，可以根据长乘宽求出长方形面积后，再减去中间缅怀先烈版块的面积得到这两个版块的和，再除以2即可求出抗战精神版块的面积，最后将缅怀先烈和抗战精神版块的面积相加即可。
【详解】（1）圆的周长：3.14×12＝37.68（分米）
37.68÷2＝18.84（分米）
18.84＋16＋16＋12
＝34.84＋16＋12
＝50.84＋12
＝62.84（分米）
答：铭记历史版块的周长是62.84分米。
（2）缅怀先烈版块的面积：
3.14×（12÷2）2
＝3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方分米）
三个版块的面积：32×12＝384（平方分米）
抗战精神版块的面积：（384－113.04）÷2
＝270.96÷2
＝135.48（平方分米）
113.04＋135.48＝248.52（平方分米）
答：缅怀先烈和抗战精神版块的总面积是248.52平方分米。
30．体育公园里有一条环形健身跑道，笑笑每天早上都在这里跑步。跑道由一个长方形和两个半圆组成（如图）。已知长方形的长是80米，两个半圆的直径都是20米。
(1)沿跑道最内边缘跑一圈，大约是多少米？
(2)跑道围成的区域内全部铺上草皮，每平方米造价8元，一共需要多少元？
(3)如果在跑道最内边缘的外侧再加一条宽1米的塑胶跑道，这条塑胶跑道的面积是多少平方米？
【答案】(1)
222.8米
(2)
15312元
(3)
225.94平方米
【分析】（1）因为跑道周长等于长方形两条长的长度加上两个半圆拼接成的整圆的周长，题目已知长方形的长是80米，两个半圆的直径都是20米；所以先利用圆的周长公式：计算整圆周长，再加两条长的长度，求和即可；
（2）草皮总面积等于长方形的面积加上两个半圆拼接成的整圆的面积，圆的半径等于20米除以2，所以先分别用长方形面积公式：、圆的面积公式：，计算两部分面积，求和得到总面积后，再乘以每平方米造价8元，得到总费用；
（3）因为塑胶跑道的面积等于直道部分的长方形面积加上弯道部分的圆环面积，所以先根据长方形的面积公式：长方形的面积等于长×宽，计算直道部分的面积（是上下相同的长方形），再用圆环面积公式：，（内圆的半径：20米除以2，外圆的半径等于内圆的半径加1米）计算弯道部分的面积，两者求和即可。（π取3.14计算）
【详解】（1）（米）
（米）
答：沿跑道最内边缘跑一圈，大约是米。
（2）（平方米）
（平方米）
（平方米）
（元）
答：一共需要元。
（3）（米）
（米）
（平方米）
（平方米）
（平方米）
答：这条塑胶跑道的面积是平方米。
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单元培优讲义
专题05 圆（单元培优讲义）
考点一：圆的认识
【知识要点】
1. 圆是平面上的曲线图形，由一条曲线围成；圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2. 圆心（O）：画圆时固定的点叫圆心，用字母 O 表示；半径（r）：连接圆心到圆上任意一点的线段；直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段。直径是圆内最长的线段。
3. 同圆（或等圆）内：半径有无数条，直径有无数条；直径的长度是半径的 2 倍，即 、。
4. 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
5. 圆是轴对称图形，有无数条对称轴（每条直径所在的直线都是对称轴）。
6. 画圆用圆规：两脚距离为半径，针尖定圆心，旋转一周成圆。
【典型例题】
用圆规画一个半径是 2 厘米的圆，并标出圆心、半径和直径；它的直径是多少厘米？
解：圆规两脚间的距离是 2 厘米，针尖固定为圆心 O，旋转一周画出圆。直径 （厘米）。
答：画出的圆直径是 4 厘米。
【易错提醒】
1. 误认为圆有 1 条或 4 条对称轴；圆有无数条对称轴，是直径所在的直线。
2. 混淆半径和直径的关系，计算时用错 还是 。
3. 画圆时圆规两脚距离不是半径，或针尖移动导致圆心不固定。
考点二：圆的周长
【知识要点】
1. 围成圆的曲线的长叫圆的周长，用字母 C 表示。
2. 圆周率（π）：圆的周长与直径的比值，是一个固定的数，π ≈ 3.14。π 是一个无限不循环小数。
3. 周长公式： 或 ；由周长求直径、半径：、。
4. 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 。
【典型例题】
一个圆形花坛的直径是 10 米，绕花坛走一圈是多少米？（π 取 3.14）
解：C = πd = 3.14 × 10 = 31.4（米）
答：绕花坛走一圈是 31.4 米。
【易错提醒】
1. 计算半圆周长时忘记加上直径，只算了圆周长的一半。
2. 圆周率"π"不是固定的 3.14，只是计算时取近似值 3.14。
3. 题目给直径却用 导致算错，先判断给的是直径还是半径。
考点三：圆的面积
【知识要点】
1. 圆所占平面的大小叫圆的面积，用字母 S 表示。
2. 面积公式：；已知直径求面积：先求半径再代入。
3. 推导方法（转化思想）：把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，长方形长 = πr（圆周长的一半），宽 = r（圆的半径），所以圆的面积 = 长 × 宽 = 。
4. 常用计算技巧：熟记常见平方数，如 、、……方便快速求 。
【典型例题】
一个圆形花坛的半径是 3 米，它的占地面积是多少平方米？（π 取 3.14）
解：（平方米）
答：这个花坛占地 28.26 平方米。
【易错提醒】
1. 求面积时错用直径直接平方： 忘了先除以 2，写成 。
2. 半径是平方不是乘 2，如 ，不是 6。
3. 把周长公式和面积公式混用。
考点四：环形与组合图形的面积
【知识要点】
1. 环形面积 = 大圆面积 − 小圆面积，即 （R 是大圆半径，r 是小圆半径）。
2. 求组合图形面积时，用"整体 − 空白"或"分块相加"的方法，把图形分解成已学的基本图形。
3. 遇到"外方内圆""外圆内方"等图形，先确定半径与边长的关系再计算。
【典型例题】
一个环形铁片，外圆半径 5 厘米，内圆半径 3 厘米，这个铁片的面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
解：（平方厘米）
答：这个环形铁片的面积是 50.24 平方厘米。
【易错提醒】
1. 环形面积误算成 ，必须是 。
2. 不知道大圆半径和小圆半径分别对应哪个，代入错位。
3. 组合图形中，把直径当半径或把边长当直径。
考点五：扇形的认识
【知识要点】
1. 扇形由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成；顶点在圆心的角叫圆心角。
2. 圆心角越大，扇形越大；当圆心角是 360° 时，扇形就是一个完整的圆。
3. 扇形面积占所在圆面积的比例 = 圆心角占 360° 的比例：扇形面积 = （n 为圆心角度数）。
【典型例题】
一个圆的半径是 6 厘米，其中圆心角为 90° 的扇形面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
解：90° 占 360° 的 ，扇形面积 （平方厘米）
答：这个扇形的面积是 28.26 平方厘米。
【易错提醒】
1. 分不清扇形与三角形：扇形有弧，是曲线围成。
2. 求扇形面积时忘记乘圆心角所占比例，直接算整圆面积。
考点六：圆的实际应用（本单元综合）
【知识要点】
1. 生活中的圆：车轮滚动问题，车轮转一圈前进的路程 = 车轮的周长。
2. 求"某圆若干圈走的距离"，先求一圈的周长再乘圈数。
3. 铺路、抹水泥等求面积问题，直接求相应圆的面积；求栏杆、篱笆等围成问题，求圆的周长。
【典型例题】
一辆自行车车轮的直径是 0.7 米，车轮平均每分钟转 100 圈，这辆自行车 1 分钟前进多少米？（π 取 3.14）
解：车轮周长 C = πd = 3.14 × 0.7 = 2.198（米）；每分钟前进：2.198 × 100 = 219.8（米）
答：这辆自行车 1 分钟前进 219.8 米。
【易错提醒】
1. 车轮转一圈是求周长，不是求面积，审题不清容易用错公式。
2. 计算"总路程 = 周长 × 圈数"时漏乘圈数，或圈数看错。
3. 单位换算遗漏，如直径用厘米、路程用米时忘记统一单位。
一、填空题
1．在探究圆的周长公式时，在圆的周围绕一圈绳子，通过测量绳子的长度得到圆的周长，这种方法体现了化曲为直的数学思想。发现圆的( )和它的( )的比值是一个固定的数，这个比值就叫( )用字母( )表示。
2．看图，在括号里填合适的数。（图中单位：厘米）
圆的直径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米，长方形的长是( )厘米。
3．一个圆周长的一半是15.7厘米，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。
4．惠安科山的小天坛是个圆形建筑，该建筑高48米，底面直径大约是8米。沿着它走一圈，至少要走( )米，这个圆形天坛占地大约是( )平方米。
5．英国著名的大本钟，分针长度是4米，从12：30—13：30，分针针尖所走过的路程约是( )米，分针针尖扫过的面积约是( )平方米。
6．位于茂名市电白区上河古荔园内的“岭南荔母”是广东最古老的荔枝树，树龄约1800年。一根长10.048m的麻绳刚好可以在这棵荔枝树的树干上绕4圈。这棵荔枝树的树干横截面的半径是( )m，横截面的面积是( )。
7．圆的半径扩大到原来的5倍，直径就扩大到原来的( )倍，面积就扩大到原来的( )倍，圆的周长缩小到原来的，半径就缩小到原来的( )。
8．有一口井，井口直径是0.8米。现准备给它加上木井盖，要求直径比井口直径大20厘米。如果在木井盖的边沿钉一圈铝条进行包边，铝条至少长( )米，木井盖的面积是( )平方米，比井口的面积大( )平方米。
9．体育课上，李老师组织学生在篮球场的半圆形区域进行定点投篮练习（篮框位于半圆的圆心处），4位同学分别站在如图所示的四个位置。
(1)4位同学在四个点投篮( )（填“公平”或“不公平”）；
(2)( )和( )的投篮距离相等，理由是：( )。
10．已知图中圆的半径长度正好与正方形的边长相等，如果正方形的面积是6平方厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。
二、选择题
11．下面涂色部分不是扇形的是（ ）。
A． B． C． D．
12．下面图形中，对称轴最多的是（ ）。
A． B． C． D．
13．有一个周长为62.8m的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，以下四种射程的装置，你认为最合适的是（ ）。
A．10m B．15m C．20m D．62.8m
14．下面说法中正确的有（ ）个。
①在同一个圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的。
②两个圆的大小不同，圆周率也不相同。
③圆周率是一个无限不循环小数。
④一个半径是2cm的圆，它的面积和周长相等。
A．1 B．2 C．3 D．4
15．小区步道从A入口到B出口有两条绕行路线，路线①是一个大半圆弧，路线②是三个相连的小半圆弧（三个小半圆直径相加等于大半圆的直径）。两条路线的长度相比，（ ）。
A．①<② B．①＞② C．①＝② D．无法比较
16．从一张长7厘米，宽6厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，剩下部分的面积是（ ）平方厘米。
A．13.74 B．20.74 C．7.74 D．28.26
17．一个圆分成若干等份后拼成近似的平行四边形，平行四边形的底为12.56cm，原来圆的面积是（ ）cm2。
A．62.8 B．50.24 C．25.12 D．12.56
18．从古至今，中式房屋门窗多用方圆组合的设计。图中正方形内部镶嵌了一个最大的圆，已知正方形周长是80分米，这个圆的周长是（ ）分米。
A．251.2 B．25.6 C．62.8 D．50.24
三、计算题
19．计算下面各图形的周长和面积。
20．计算出下图阴影部分的面积。（单位：cm）
21．计算下图中阴影部分的面积。
22．求出下面图形涂色部分的面积。
四、作图题
23．在下面画一个圆，使圆规两脚间的距离是1.6厘米，并画出一条半径、一条直径，再用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径。
五、解答题
24．花萼楼是广东第一圆楼，历经400多年风雨不倒，见证中原文化南迁、岭南山地化的建筑智慧。花萼楼的半径是33米，小新沿着花萼楼走2圈，每分钟走80米，5分钟能走完吗？
25．幸福小区的水管正在维修，如下图，工人师傅需要把4根PVC管道（每根管道外圈直径为8厘米）用铁丝捆扎在一起，为了确保牢固，前后各捆扎1圈，则捆扎一个这样的造型至少需要准备多少厘米长的铁丝？（结头处长度忽略不计）
26．爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，为了节约成本，把其中一面靠墙，另一面用篱笆围起来，需要多少米长的篱笆？
27．明明想买一个直径20厘米的披萨，店老板说“直径20厘米的披萨没有了，给你一张直径12厘米和8厘米的披萨吧，价钱一样。”如果明明答应老板，划算吗？请说明理由。
28．如图，在边长为8厘米的正方形铁皮上按照如下方法剪一个叶片状的零件，你能求出涂色部分的面积吗？如果能，请写出解答过程。如果不能，写出你遇到了什么困难。
29．六（1）班的黑板报是以“抗战胜利”为主题的，如图，将黑板报分为铭记历史、缅怀先烈和抗战精神三个版块。
(1)铭记历史版块的周长是多少分米？
(2)缅怀先烈和抗战精神版块的总面积是多少平方分米？
30．体育公园里有一条环形健身跑道，笑笑每天早上都在这里跑步。跑道由一个长方形和两个半圆组成（如图）。已知长方形的长是80米，两个半圆的直径都是20米。
(1)沿跑道最内边缘跑一圈，大约是多少米？
(2)跑道围成的区域内全部铺上草皮，每平方米造价8元，一共需要多少元？
(3)如果在跑道最内边缘的外侧再加一条宽1米的塑胶跑道，这条塑胶跑道的面积是多少平方米？
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