专题3 追及和相遇 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理期中专题强化（人教版必修第一册）

高一上学期期中专题强化 专题3 追及和相遇 知识强化 相遇与追及问题是运动学中较为综合且有实际意义的一类问题，它往往涉及两个及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。相遇与追及问题的基本类型如下表。 类型 图像 说明 一定能 追上 匀加速追匀速 （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间距不断增大。 （2）t＝t0时，两物体速度相等，相距最远为x0＋Δx（x0是开始追以前两物体之间的距离）。 （3）t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小，直到追上。 （4）能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速　 类型 图像 说明 不一定能追上 匀减速追匀速 （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离在不断减小。 （2）当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； ②若Δx＜x0，则不能追上，此时两物体最小距离为x0－Δx； ③若Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速　 追及与相遇问题中的“一、二、三” 典例剖析 【典例1】在水平轨道上有A和B两辆儿童遥控赛车，开始时两者相距x。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。（试用多种方法求解） 解题指导 （1）两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等。 （2）画出运动示意图，设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示。 【典例2】一辆客车从静止开始以a=1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s=20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车。 (1)判断乘客能否追上这辆客车？ (2)若不能，二者间的最小距离为多少？ 拓展　例2中若客车在乘客前s'=10 m处。 (1)乘客能否追上客车？ (2)若能追上，经过多长时间二者相遇。 【总结提升】 对于判断能否追上时，我们可以利用判别式法： (1)Δ<0，追不上 (2)Δ=0，相遇一次 (3)Δ>0，相遇两次。 针对性训练 1.（2027安徽阜阳月考） 一辆长为 的大卡车以 的速度在平直公路上匀速行驶, 时刻,卡车后方有一可视为质点的小汽车由静止开始做同向的匀加速直线运动,加速度 ,此时小汽车到大卡车车尾的距离为 ,则下列说法正确的是 A. 时,小汽车追上大卡车车尾 B. 小汽车用了 从大卡车旁经过 C. 小汽车从起点向前运动了 后追上了大卡车车尾 D. 小汽车从追上大卡车车尾到超过大卡车,共向前运动了 2. （2027安徽阜阳月考）甲、乙两只机器狗从相同位置同时出发,在同一平直跑道上运动直至停止,其速率平方()与位移()的关系如图所示,则下列说法正确的是 A. 甲做匀减速运动 B. 乙先做匀加速运动,再做匀速运动 C. 甲的加速度大小为 D. 甲、乙在 处相遇 3.（2025·黑龙江吉林模拟预测）甲、乙两物体从同一地点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间（x-t）图像如图所示，由图像可以看出在0～5 s内（　　） A.甲、乙两物体始终同向运动 B.4 s时甲、乙两物体间的距离最大 C.甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度 D.甲物体的速率始终大于乙物体的速率 4.（2025·宁夏石嘴山模拟预测）甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的x-t图像如图所示，已知甲车做初速度为零的匀变速直线运动，则（　　） A.甲车的加速度大小为1 m/s2 B.t＝6 s时，两车相距44 m C.两车相遇时，两车速率相等 D.x-t图像中t0＝7 s 5.一辆汽车在直线公路段上以 54 km/h 的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： （1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ （2）若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 6.（2025·天津市河西区质量调查）在笔直的公路上，一辆以5 m/s的速度匀速行驶的小轿车，正要以2 m/s2的加速度开始加速时，一辆卡车刚好从旁边以25 m/s的速度匀速同向驶过，如图所示。已知该路段小轿车允许的最大速度为33 m/s，不考虑两车的长度。求： （1）小轿车追上卡车前，二者之间的最大距离； （2）小轿车追上卡车所用总时间。 7 (2026·郑州市高一期中)在平直的公路上有两辆汽车同时同向做匀速直线运动，B车在前，A车在后，A车的速度大小为v1=10 m/s，B车的速度大小为v2=20 m/s。当A、B两车相距x0=20 m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为a=2 m/s2，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离。 (2)A车追上B车所用的时间。 8　一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0=13 m远处以v0=8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0=2.5 s，警车发动起来，以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动，求： (1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t。 (2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。 9.(16 分)（2027湖南名校质检）2026 年8 月26 日10 时52 分，尼泊尔境内蓝塘里堰峰北坡一条冰川在海拔约5200m 处发生冰岩崩，铲刮沟道冰碛物后演化为高位高速泥石流，仅用约6~7 分钟便沿吉隆藏布河谷高速下泄约22 km，直冲海拔约1800 m 的西藏日喀则市吉隆县吉隆口岸，冲毁G216 国道约3 km 路段，道路、通信、电力全部中断。实测该泥石流通过出山口后的流速可达50 m/s，留给下游的反应时间不足2 分钟。为研究沟口路段的避险问题，现将泥石流的运动简化为如图乙所示的模型：泥石流(可视为质点)从沟道内 点由静止开始沿斜面匀加速直线下滑，加速度大小， 点到斜面底端 点的距离 m；泥石流经过 点(出山口)时没有速度损失，随后在水平堆积区内沿公路方向做匀减速直线运动，加速度大小。一辆抢险工程车(可视为质点)正停在 点右侧40 m 处的 点执行警戒任务。当泥石流到达 点时，司机发现险情，立即由静止开始沿水平道路向右做匀加速直线运动撤离，加速度大小(车速不受限制)。求： (1)泥石流到达 点(出山口)时的速度大小； (2)车撤离过程中，泥石流距离车的最小距离. (3)若车的加速度大小可以调整，为确保安全(泥石流追不上车)，至少应为多大? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期期中专题强化 专题3 追及和相遇 知识强化 相遇与追及问题是运动学中较为综合且有实际意义的一类问题，它往往涉及两个及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。相遇与追及问题的基本类型如下表。 类型 图像 说明 一定能 追上 匀加速追匀速 （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间距不断增大。 （2）t＝t0时，两物体速度相等，相距最远为x0＋Δx（x0是开始追以前两物体之间的距离）。 （3）t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小，直到追上。 （4）能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速　 类型 图像 说明 不一定能追上 匀减速追匀速 （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离在不断减小。 （2）当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； ②若Δx＜x0，则不能追上，此时两物体最小距离为x0－Δx； ③若Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速　 追及与相遇问题中的“一、二、三” 典例剖析 【典例1】在水平轨道上有A和B两辆儿童遥控赛车，开始时两者相距x。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。（试用多种方法求解） 解题指导 （1）两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等。 （2）画出运动示意图，设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示。 答案：v0≤ 解析：方法一　物理情景分析法 利用位移公式、速度公式求解，对A车有 xA＝v0t＋·（－2a）·t2，vA＝v0＋（－2a）·t 对B车有xB＝at2，vB＝at 两车位移关系有x＝xA－xB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 方法二　极值法 利用判别式求解，由方法一可知 xA＝x＋xB，即v0t＋×（－2a）·t2＝x＋at2 整理得3at2－2v0t＋2x＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当判别式Δ＝（－2v0）2－4·3a·2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 方法三　图像法 利用v-t图像求解，先作A、B两车的v-t图像，如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车，有vA＝v'＝v0－2at 对B车，有vB＝v'＝at 以上两式联立解得t＝ 经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影部分的面积表示，由图像可知x＝v0·t＝v0·＝ 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 【典例2】一辆客车从静止开始以a=1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s=20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车。 (1)判断乘客能否追上这辆客车？ (2)若不能，二者间的最小距离为多少？ 解析　(1)方法一　由临界条件知当v车=v人时乘客如果能追上就可以追上 即at=v人 解得t=6 s x车=at2=×1×62 m=18 m x人=v人t=6×6 m=36 m 如图所示 x人<x车+s，故追不上。 方法二　由位移关系v人t=s+at2， 即6t=20+t2 Δ=36-4××20<0，无解，即追不上。 (2)最小距离Δx=x车+s-x人=(18+20-36) m=2 m。 拓展　例2中若客车在乘客前s'=10 m处。 (1)乘客能否追上客车？ (2)若能追上，经过多长时间二者相遇。 答案　(1)方法一　由临界判断，at=v人，解得t=6 s x人=v人t=6×6 m=36 m，x车=at2=18 m x人>x车+s'，故可以追上 方法二　判别式法 由位移关系v人t=s'+at2 即6t=t2+10 Δ=36-4××10>0，有两解 故相遇两次。 (2)由位移关系x人=x车+s' 即6t=t2+10 解得t1=2 s，t2=10 s 【总结提升】 对于判断能否追上时，我们可以利用判别式法： (1)Δ<0，追不上 (2)Δ=0，相遇一次 (3)Δ>0，相遇两次。 针对性训练 1.（2027安徽阜阳月考） 一辆长为 的大卡车以 的速度在平直公路上匀速行驶, 时刻,卡车后方有一可视为质点的小汽车由静止开始做同向的匀加速直线运动,加速度 ,此时小汽车到大卡车车尾的距离为 ,则下列说法正确的是 A. 时,小汽车追上大卡车车尾 B. 小汽车用了 从大卡车旁经过 C. 小汽车从起点向前运动了 后追上了大卡车车尾 D. 小汽车从追上大卡车车尾到超过大卡车,共向前运动了 答案 .BD 解析 当小汽车追上大卡车车尾时,可列 ,解得 ,此时小汽车的位移为 ,AC 错误;当小汽车从大卡车旁经过时,可列 ,解得 ,该过程中小汽车的位移为 ,BD 正确. 2. （2027安徽阜阳月考）甲、乙两只机器狗从相同位置同时出发,在同一平直跑道上运动直至停止,其速率平方()与位移()的关系如图所示,则下列说法正确的是 A. 甲做匀减速运动 B. 乙先做匀加速运动,再做匀速运动 C. 甲的加速度大小为 D. 甲、乙在 处相遇 答案 AC 解析 在 图像中,由 可知,图像的斜率 ,由图像知甲停止前做匀减速运动,乙停止前,先做匀速运动,再做匀减速运动,A 正确,B 错误;甲的加速度大小 ,C 正确;由图知,在 前,甲的速度大于乙的速度,则甲乙不可能在该处相遇,D 错误. 3.（2025·黑龙江吉林模拟预测）甲、乙两物体从同一地点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间（x-t）图像如图所示，由图像可以看出在0～5 s内（　　） A.甲、乙两物体始终同向运动 B.4 s时甲、乙两物体间的距离最大 C.甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度 D.甲物体的速率始终大于乙物体的速率 答案 D 解析：　位移—时间图像斜率表示速度，由图像可知乙物体始终沿正方向运动，甲物体0～2 s沿正向运动，2～6 s沿负向运动，故甲、乙两物体不是始终同向运动，A错误；位移—时间图像交点代表相遇，故4 s时甲、乙两物体相遇，B错误；由图像可以看出在0～5 s内乙的位移大于甲的位移，故乙的平均速度大于甲的平均速度，C错误；甲物体在0～2 s时间内的速度为v甲＝ m/s＝2 m/s，2～6 s时间内的速度为v甲'＝ m/s＝－1 m/s，乙物体速度为v乙＝ m/s＝0.5 m/s，故甲物体的速率始终大于乙物体的速率，D正确。 4.（2025·宁夏石嘴山模拟预测）甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的x-t图像如图所示，已知甲车做初速度为零的匀变速直线运动，则（　　） A.甲车的加速度大小为1 m/s2 B.t＝6 s时，两车相距44 m C.两车相遇时，两车速率相等 D.x-t图像中t0＝7 s 答案 B 解析：　甲车做初速度为零的匀变速直线运动，则有x＝at2，结合x-t图像可得甲车的加速度大小为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A错误；由x-t图像可知，t＝4 s时两车相遇，此时甲车的速度大小为v甲＝at＝8 m/s，乙车的速度大小为v乙＝ m/s＝12 m/s，故C错误；0～6 s内，甲车通过的位移大小为x甲＝at2＝×2×62 m＝36 m，乙车通过的位移大小为x乙＝v乙t＝12×6 m＝72 m，则t＝6 s时，两车相距Δx'＝72 m－（64－36）m＝44 m，故B正确；对甲车，有x甲'＝a＝64 m，解得t0＝8 s，故D错误。 5.一辆汽车在直线公路段上以 54 km/h 的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： （1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ （2）若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 答案：（1）5 m/s2　（2）1 m/s2 解析：（1）设汽车的加速度大小最小为a 初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s， 初始距离d＝14 m 在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车之间的距离为 d'＝d－（v汽－v自）t0＝10 m 从汽车刹车开始计时，设经过时间t汽车速度与自行车速度相等， 则v汽－at＝v自 自行车的位移为s自＝v自t 汽车的位移为s汽＝v汽t－ at2 假设汽车刚好能追上自行车，此时有s汽＝s自＋d' 联立解得a＝5 m/s2 即汽车的加速度大小至少为5 m/s2。 （2）设自行车加速度最小为a'，同理可得 v汽－a1t'＝v自＋a't'，s汽'＝s自'＋d' s汽'＝v汽t'－a1t'2，s自'＝v自t'＋ t'2 联立解得a'＝1 m/s2 即自行车的加速度大小至少为1 m/s2。 6.（2025·天津市河西区质量调查）在笔直的公路上，一辆以5 m/s的速度匀速行驶的小轿车，正要以2 m/s2的加速度开始加速时，一辆卡车刚好从旁边以25 m/s的速度匀速同向驶过，如图所示。已知该路段小轿车允许的最大速度为33 m/s，不考虑两车的长度。求： （1）小轿车追上卡车前，二者之间的最大距离； （2）小轿车追上卡车所用总时间。 答案：（1）100 m　（2）24.5 s 解析：（1）小轿车与卡车速度相等时，二者相距最远。设经过时间t1二者速度相等，此时轿车的速度v轿＝v0＋at1 又v轿＝v卡 此过程小轿车的位移x轿＝v0t1＋a 卡车的位移x卡＝v卡t1 二者之间的最大距离Δxm＝x卡－x轿 联立并代入数据，解得Δxm＝100 m。 （2）当小轿车从开始加速到最大速度时，需要的时间t0＝＝14 s 此过程小轿车的位移 x轿'＝v0t0＋a＝266 m 卡车的位移x卡'＝v卡t0＝350 m 由于x轿'＜x卡'，此时小轿车没追上卡车，设又经过时间t2小轿车追上卡车，位移满足 x轿'＋vmt2＝x卡'＋v卡t2 解得t2＝10.5 s 小轿车追上卡车所用总时间 t＝t0＋t2＝24.5 s。 7 (2026·郑州市高一期中)在平直的公路上有两辆汽车同时同向做匀速直线运动，B车在前，A车在后，A车的速度大小为v1=10 m/s，B车的速度大小为v2=20 m/s。当A、B两车相距x0=20 m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为a=2 m/s2，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离。 (2)A车追上B车所用的时间。 答案　(1)45 m　(2)12 s 解析　(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，则v1=v2-at0， 解得t0=5 s， 此过程中A车的位移为xA=v1t0=50 m， B车的位移为xB=t0=75 m 所以两者相距的最大距离为xmax=x0+xB-xA=45 m。 (2)B车从刹车开始到运动停止所用时间为t1==10 s， 此过程中A车的位移为xA'=v1t1=100 m B车的位移为xB'=t1=100 m 由于x0+xB'>xA'，可知A车追上B车时，B车已停止运动，所以t2==12 s。 8　一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0=13 m远处以v0=8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0=2.5 s，警车发动起来，以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动，求： (1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t。 (2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。 答案　(1)11 s　(2)49 m 解析　(1)警车开始运动时，货车在它前面 Δx=x0+v0t0=13 m+8×2.5 m=33 m 警车运动位移x1=at2 货车运动位移x2=v0t 警车要追上货车需满足x1=x2+Δx 联立并代入数据解得t=11 s(t=-3 s舍去) (2)警车与货车速度相同时，相距最远， 对警车有v0=at'，x1'=at'2 对货车有x2'=v0t' 最大距离Δxm=x2'-x1'+Δx=49 m。 9.(16 分)（2027湖南名校质检）2026 年8 月26 日10 时52 分，尼泊尔境内蓝塘里堰峰北坡一条冰川在海拔约5200m 处发生冰岩崩，铲刮沟道冰碛物后演化为高位高速泥石流，仅用约6~7 分钟便沿吉隆藏布河谷高速下泄约22 km，直冲海拔约1800 m 的西藏日喀则市吉隆县吉隆口岸，冲毁G216 国道约3 km 路段，道路、通信、电力全部中断。实测该泥石流通过出山口后的流速可达50 m/s，留给下游的反应时间不足2 分钟。为研究沟口路段的避险问题，现将泥石流的运动简化为如图乙所示的模型：泥石流(可视为质点)从沟道内 点由静止开始沿斜面匀加速直线下滑，加速度大小， 点到斜面底端 点的距离 m；泥石流经过 点(出山口)时没有速度损失，随后在水平堆积区内沿公路方向做匀减速直线运动，加速度大小。一辆抢险工程车(可视为质点)正停在 点右侧40 m 处的 点执行警戒任务。当泥石流到达 点时，司机发现险情，立即由静止开始沿水平道路向右做匀加速直线运动撤离，加速度大小(车速不受限制)。求： (1)泥石流到达 点(出山口)时的速度大小； (2)车撤离过程中，泥石流距离车的最小距离. (3)若车的加速度大小可以调整，为确保安全(泥石流追不上车)，至少应为多大? 答案．（16 分） (1) 20 m/s (2) 20 m (3) 3 m/s² 【解析】（1）泥石流到达B 时的速度大小，则有 代入数据解得 （2）车行驶过程中，泥石流与车速度相等时，距离最小，设速度相等时的时间为，则有 速度相等： 根据位移—时间公式有 解得 （3）若泥石流与车相遇，有 相遇时 为确保安全 得 即最小加速度为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $