精品解析:安徽省亳州市2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
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内容正文:
2026九年级第二次学业水平检测
数学试题
(分值:150分 时间120分钟)
一、单选题(本大题共10小题,每题4分,满分40分)
1. 下列函数表达式中,一定属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据二次函数的定义,从表达式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数非零三方面判断.
【详解】解:A.未说明,当时函数不是二次函数,不符合要求.
B.表达式左边为,不符合关于的二次函数形式,不符合要求.
C.展开得,满足二次函数的所有特征,符合要求.
D.表达式中含,不是整式,不符合要求.
2. 已知,则下列各式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解:∵(),
∴等式两边同时除以6,得
.
3. 如图,在菱形中,是边上一点,若,则为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
【详解】解:∵菱形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴.
4. 已知点,,在函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出、、,再比较大小即可.
【详解】解:将各点横坐标代入,得,,,
∴.
5. 如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边,再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例.
故选B.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
6. 二次函数和一次函数(a是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的图象,分别根据选项中二次函数的开口方向判断a的正负,然后根据a的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案.
【详解】解:A:根据图象可得二次函数开口向上,则,此时一次函数的图象经过一三四象限,而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限,故选项A不符合题意;
B:根据图象可得二次函数开口向上,则,对称轴,对称轴在y轴的右边,故选项B不符合题意;
C:根据图象可得二次函数开口向上,则,对称轴,对称轴在y轴的左边,图象符合要求,此时此时一次函数的图象经过一三四象限,图中所给符合要求,故选项C符合题意;
D:根据图象可得二次函数开口向下,则,当时,一次函数的图象经过一二四象限,图中所给是经过一三四象限,故选项D不符合题意;
故选:C.
7. 如图,在正五边形中,连接它们的对角线,其中点C是对角线与对角线的交点,已知点为的黄金分割点,,则的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.根据点C为线段的黄金分割点,设,则,得到,解得,根据,即可得到答案.
【详解】解:∵五边形为正五边形
∴,,,
∴,,
∴,
∴
∴
∴
∵点C为线段的黄金分割点,
设,
则
∴
化简得,,
∴,
∵
∴
故选:B.
8. 如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点下列说法:①;②;③;④为任意实数;⑤若,是抛物线上两点,则其中说法正确的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向判断的符号,根据对称轴判断与的关系,根据抛物线与轴交点判断的符号,从而判断①②;利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点,结合开口方向判断时的函数值符号,从而判断③;根据抛物线在处取得最小值判断④;根据点离对称轴的远近判断函数值的大小,从而判断⑤.
【详解】解:抛物线开口向上,
,
抛物线对称轴为直线,
,
抛物线与轴的交点在轴下方,
,
,所以①正确;
,
,所以②正确;
对称轴为,且经过点,
抛物线与轴的另一个交点为,
抛物线开口向上,
当时,,
当时,,所以③错误;
抛物线开口向上,对称轴为,
当时,有最小值,
对于任意实数,都有,
,
,所以④正确;
点到对称轴的距离为,
点到对称轴的距离为,
,且抛物线开口向上,
,所以⑤正确;
综上所述,说法正确的有①②④⑤,共4个.
9. 如图,为等腰直角三角形,,,为线段上任意一动点,以为斜边作等腰,连接,下列说法:①;②;③;④;⑤四边形的面积有最大值,且最大值为.正确的结论是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由与都为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到,,且四个锐角为,利用等式的性质得到,故结论①正确;由,,若,则或与重合,当时和无交点,这和为上任意一动点相矛盾,故结论②不一定正确;由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到,故结论③正确;利用相似三角形对应角相等得,结合得到,利用内错角相等两直线平行得到,故结论④正确;先依托面积为定值,将梯形面积最值转化为面积最值,结合确定的高固定,得最长时面积最大,再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长,由题意得当、重合时最长,即可求出最大值,最后代入梯形面积公式算出最大面积,故结论⑤正确.
【详解】解:∵、都是等腰直角三角形,
∴,,
,
①∵,
∴,
即,故①正确;
②∵,
∴,
若,则或与重合,
当时和无交点,这和为上任意一动点相矛盾,故②不完全正确;
③∵,,
∴,故③正确;
④∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,故④正确;
⑤∵为等腰直角三角形且,
∴的面积为定值,
∵,
∴当的面积最大时,梯形的面积最大,
如图,过点作于点,则为等腰直角斜边上的中线,
∴,
∵,
∴中边上的高为定值(即为),
当的面积最大时最长,
∵,
∴,
∴当最长时,也最长,
∵为线段上任意一动点,
∴当、重合时最长,
此时,则,
,
即四边形的面积最大值为,故⑤正确;
综上,正确的结论是.
10. 已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点,则 的取值范围为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据两种情况,①当△时由求得,将的两个值分别代入方程中,求得方程的两个根检验即可;
②当△时,在范围内有一个根,则与时的两个函数值异号或有一值为0,另一个根在范围内,分别求出的取值范围.
【详解】解:与直线在范围内有唯一公共点,
令,即,
(1)当△时,则,
解得,
当时,原方程为,
解得,不合题意,舍;
当时,原方程为,
解得满足要求,
;
(2)当△时,与直线在范围内有一个根,
即与x轴在范围内有一个交点,
①若与时的两个函数值异号,
当时,,
当时,,
,
时,或,
∵开口向上,则的解为,
②若与时的两个函数值中有一个为0,即为方程的根,
当是方程的根时,则,另一个根为,在范围内,
当是方程的根时,则,另一个根为,不在范围内,
综上所述:或.
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,一次函数的图象和系数的关系以及一元二次方程根的判别式,灵活运用所学知识是解决问题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分)
11. 若抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0),则此抛物线的对称轴是直线_____.
【答案】x=2.
【解析】
【详解】∵点A(1,0),B(3,0)的纵坐标相等,
∴A、B两点是抛物线上的两个对称点,
∴对称轴是直线x==2.故答案为x=2.
12. 如图,在中,,,则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】过点作的平行线,交于点,设,由平行可判定,则,计算得,同理,因此.
【详解】解:如图,过点作的平行线,交于点,设,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
13. 如图,在平面直角坐标系中,,反比例函数的图象经过点A,反比例函数的图象经过点,则的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的解析式的求法,解答本题的关键是用三角形相似的判定,确定边的对应比值,采用设参数的方法进行讲解,整体思想求解方程是解题的关键.
根据题意,作轴, 轴,证明,有,令,则,代入反比例函数,得,得,得,得,可求得m的值.
【详解】解:作轴,垂足为H,轴,垂足为M,
则,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
令,
则,
代入反比例函数,
得 ,
∴,
∴,
,
∴,
又∵,
∴.
故答案为:1.
14. 如图,正方形中,点是边上一点,连接,以为对角线作正方形,边与正方形的对角线相交于点,连接.
(1)若,则____________;
(2)若,则____________.
【答案】 ①.
②.
##
【解析】
【分析】(1)利用正方形性质得出,根据正方形以为对角线得出,结合角度和差关系计算即可;
(2)设,表示出,,,的长度,证明,利用相似三角形对应边成比例求解.
【详解】解:(1)∵四边形是正方形,
∴,
四边形是以为对角线的正方形,
是等腰直角三角形,
,
;
(2)设,
,
,,
四边形是正方形,
,,,
在中,,
在中,,
四边形是以为对角线的正方形,
,
点在上,
,
,
又,
,
,
.
三、解答题(本大题共2小题,每题8分,满分16分)
15. 已知线段,,满足,且.
(1)求,,的值;
(2)若线段是线段,的比例中项,求.
【答案】(1),,;
(2).
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质,比例线段,熟记比例中项的概念是解决问题的关键,同时利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便.
设,可得:,,,根据可得关于的方程,解方程求出的值,再根据的值求出、、的值.
因为线段是线段,的比例中项,可得:,两边直接开平方求出的值,因为表示线段的长度,所以要把负值舍去.
【小问1详解】
解:设,
则,,,
,
,
整理得:,
解得:,
,,;
【小问2详解】
解:线段是线段,的比例中项,
,
两边同时开平方,可得:,
是线段的长度,
舍去负值,
.
16. 如图、在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(2,3),C(4,1).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为,并写出点B2的坐标.
【答案】(1)如图,为所作.
(2)
如图,为所作,点B2的坐标为(-4,-6).
【解析】
【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标,然后描点连线得到△A1B1C1.
(2)把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标,然后描点连线即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换,解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴.
四、解答题(本大题共2小题,每题8分,满分16分)
17. 如图,用长的护栏全部用于建造一个靠墙(墙的长度不限)的长方形养牛场,已知此长方形养牛场的面积为,且与墙平行的边长为.
(1)求与之间的函数解析式;
(2)当边长为何值时,该长方形面积最大?并求出其最大值.
【答案】(1);
(2)当时,面积取最大值为
【解析】
【分析】(1)先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来,由矩形面积公式直接列出函数解析式即可;
(2)利用二次函数性质即可得到答案.
【小问1详解】
解:根据已知条件,与墙平行的边长为,
则垂直于墙的边长为:,
∴.
【小问2详解】
解:∵,
∴当时,面积取最大值为.
18. 如图1,在锐角中,是边上的高,,,动点沿线段从点向点运动,过点作,交于,交于,以为边向下作正方形.
(1)设长为,利用相似三角形的性质,可用含的代数式表示正方形的边长为____________;如图2,当恰好落在边上,此时长为____________;
(2)如图3,当在外部,且正方形与公共部分的面积为6时,求的值.
【答案】(1);
(2)2
【解析】
【分析】(1)证明,可得,从而得到;证明四边形为矩形,可得,从而得到,即可求解;
(2)由(1)同理得:,根据正方形与公共部分的面积为6,可得四边形的面积为6,即可求解.
【小问1详解】
解:,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
∵四边形是正方形,
∴,
∵,
∴四边形为矩形,
∴,
∵,
∴,
解得:,
∴;
【小问2详解】
解:设,
由(1)同理得:,
∵在的外部,
∴,
∵正方形与公共部分的面积为6,
∴四边形的面积为6,
∴,
解得:,
即的值为2.
五、解答题(本大题共2小题,每题10分,满分20分)
19. 如图,一次函数与反比例函数的图象相交于点、.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)请直接写出关于的不等式的解集;
(3)若点是轴上的一点,的面积是9,求点的坐标.
【答案】(1);
(2)或;
(3)或.
【解析】
【分析】(1)根据一次函数解析式确定点,点的坐标,由此确定反比例函数的表达式;
(2)根据点,点的坐标,观察图象即直线在双曲线上方的部分;
(3)设,确定直线与轴的交点,则的面积等于与的面积之和,据此列式计算.
【小问1详解】
解:把点、代入一次函数解析式得
,,
,,
把代入得,
反比例函数的表达式为;
【小问2详解】
解:观察图象可知当或时,;
【小问3详解】
解:把代入得,
直线与轴的交点为,
设,则,
的面积是9,
,
,
,
或,
或,
或.
20. 如图,厘米,厘米,动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动,其中点从点出发沿边一直移动到点为止,点从点出发沿边一直移动到点为止.经过多长时间后,与相似?
【答案】或
【解析】
【分析】分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解:设两动点运动时间为,则,,.
当时,则有,
即,
解得:.
当时,则有,
即,
解得:.
故答案为:或
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解决三角形相似问题时,一定要注意确立好对应关系,题目没有明确说明的前提下,则需要进行分类讨论,三角形比例关系不确定,且有相等夹角时,实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可.
六、解答题(本题满分12分)
21. 定义:若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点,则称该点为这个函数图像上的“亮点”.例如:点是正比例函数的图像上的“亮点”.
(1)一次函数的图像上的“亮点”是______;
(2)若点M是反比例函数图像的“亮点”,一次函数的图像经过点M,求b的值;
(3)若二次函数的图像经过点,试说明无论a取何值,该二次函数的图像上一定存在“亮点”.
【答案】(1);
(2)或;
(3)
解:二次函数的图像经过点,
,
,
,
,
,
无论a取何值,当时,,,此时;
当时,,,此时;
无论a取何值,一定过和,
,
该二次函数的图像上一定存在“亮点”,亮点坐标为.
【解析】
【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”,一次函数图像上点坐标的特征,反比例函数图像上点坐标的特征,二次函数图像上点坐标的特征,熟练掌握以上知识点是解题的关键.
(1)不妨设点在一次函数上,代入求值即可得到答案;
(2)不妨设在反比例函数图像上,求得点,然后再将点代入一次函数,求得即可;
(3)由二次函数的图像经过点,得到,推出,由,推导出无论a取何值,当时,,,此时;当时,,,此时;其中是该函数的亮点,得证.
【小问1详解】
解:不妨设点在一次函数上,
,
,
,
一次函数的图像上的“亮点”是;
故答案为:;
【小问2详解】
解:设在反比例函数图像上,
,
,,
反比例函数图像的“亮点”有:,,
一次函数的图像经过点M,
代入,有,;
代入,有,;
或;
【小问3详解】
略
七、解答题(本题满分12分)
22. 综合与实践
问题情境:数学活动课上,张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究,下面是他们的探究过程.
(1)【数学思考】
如图1,在矩形中,,,,分别是,上的两点,连接,,于点,求的值;
(2)【深入探究】
如图2,在矩形中,,分别交,于点,,分别交,于点,.求证:;
(3)【拓展延伸】
如图3,在中,,点在边上,连接,过点作于点,且的延长线交于点.若,,请求出的长.
【答案】(1)
(2)证明:过点作交于点,过点作交于点,
,
,
由(1)同理可得,
,
在矩形中,,,
,
在矩形中,,,
,,
四边形是平行四边形,
,
同理可得,
,
;
(3)
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质证明即可;
(2)过点作交于点,过点作交于点,由(1)同理证明,根据相似比即可证明;
(3)把补成矩形,根据(1)中的结论利用相似三角形解答即可.
【小问1详解】
解:在矩形中,,,
,
,
,
,
,
,
,
;
【小问2详解】
略;
【小问3详解】
解:过点作且,连接,延长交于点,
,,
四边形是平行四边形,
,
是矩形,
,
由(1)同理可得,
,
在中,,,,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
.
八、解答题(本题满分14分)
23. 在平面直角坐标系中,抛物线经过点,顶点为;抛物线,顶点为.
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标;
(2)如图1,连接,点是拋物线对称轴右侧图象上一点,点是拋物线上一点,若四边形是面积为12的平行四边形,求的值;
(3)如图2,连接,点是抛物线对称轴左侧图像上的动点(不与点重合),过点作交轴于点,连接,求面积的最小值.
【答案】(1),
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求解出抛物线的解析式,再转化为顶点式,即可得到顶点坐标;
(2)连接,过点作轴,交延长线于点,过点作,垂足为,与轴交于,设点的横坐标为.设直线的表达式为,解方程组得到直线的表达式为,则,求得,求得于是得到,解方程得到,根据平移的性质得到,将代入,解方程即可;
(3)过作轴,垂足为,过点作轴,过点作轴,与交于点,设且,求得抛物线的顶点,得到,推出,解方程得到当时,,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【小问1详解】
解:抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点;
【小问2详解】
解:如图,连接,过点作轴,交延长线于点,过点作,垂足为,与轴交于,设点的横坐标为.
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
,
,
解得(舍)
点先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点
将代入
得
解得.
【小问3详解】
解:如图,过作轴,垂足为,过点作轴,过点作轴,与交于点,设且
抛物线的顶点
,
易得
当时,
点横坐标最小值为,此时点到直线距离最近,的面积最小
最近距离即边上的高,高为:
面积的最小值为.
【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数的解析式,平行四边形的性质,平移的性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积的计算,正确地找出辅助线是解题的关键.
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2026九年级第二次学业水平检测
数学试题
(分值:150分 时间120分钟)
一、单选题(本大题共10小题,每题4分,满分40分)
1. 下列函数表达式中,一定属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
2. 已知,则下列各式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图,在菱形中,是边上一点,若,则为( )
A. B. C. D.
4. 已知点,,在函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5. 如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
6. 二次函数和一次函数(a是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7. 如图,在正五边形中,连接它们的对角线,其中点C是对角线与对角线的交点,已知点为的黄金分割点,,则的长度为( )
A. B. C. D.
8. 如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点下列说法:①;②;③;④为任意实数;⑤若,是抛物线上两点,则其中说法正确的个数是( )
A. B. C. D.
9. 如图,为等腰直角三角形,,,为线段上任意一动点,以为斜边作等腰,连接,下列说法:①;②;③;④;⑤四边形的面积有最大值,且最大值为.正确的结论是( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点,则 的取值范围为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分)
11. 若抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0),则此抛物线的对称轴是直线_____.
12. 如图,在中,,,则的值为______.
13. 如图,在平面直角坐标系中,,反比例函数的图象经过点A,反比例函数的图象经过点,则的值为__________.
14. 如图,正方形中,点是边上一点,连接,以为对角线作正方形,边与正方形的对角线相交于点,连接.
(1)若,则____________;
(2)若,则____________.
三、解答题(本大题共2小题,每题8分,满分16分)
15. 已知线段,,满足,且.
(1)求,,的值;
(2)若线段是线段,的比例中项,求.
16. 如图、在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(2,3),C(4,1).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为,并写出点B2的坐标.
四、解答题(本大题共2小题,每题8分,满分16分)
17. 如图,用长的护栏全部用于建造一个靠墙(墙的长度不限)的长方形养牛场,已知此长方形养牛场的面积为,且与墙平行的边长为.
(1)求与之间的函数解析式;
(2)当边长为何值时,该长方形面积最大?并求出其最大值.
18. 如图1,在锐角中,是边上的高,,,动点沿线段从点向点运动,过点作,交于,交于,以为边向下作正方形.
(1)设长为,利用相似三角形的性质,可用含的代数式表示正方形的边长为____________;如图2,当恰好落在边上,此时长为____________;
(2)如图3,当在外部,且正方形与公共部分的面积为6时,求的值.
五、解答题(本大题共2小题,每题10分,满分20分)
19. 如图,一次函数与反比例函数的图象相交于点、.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)请直接写出关于的不等式的解集;
(3)若点是轴上的一点,的面积是9,求点的坐标.
20. 如图,厘米,厘米,动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动,其中点从点出发沿边一直移动到点为止,点从点出发沿边一直移动到点为止.经过多长时间后,与相似?
六、解答题(本题满分12分)
21. 定义:若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点,则称该点为这个函数图像上的“亮点”.例如:点是正比例函数的图像上的“亮点”.
(1)一次函数的图像上的“亮点”是______;
(2)若点M是反比例函数图像的“亮点”,一次函数的图像经过点M,求b的值;
(3)若二次函数的图像经过点,试说明无论a取何值,该二次函数的图像上一定存在“亮点”.
七、解答题(本题满分12分)
22. 综合与实践
问题情境:数学活动课上,张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究,下面是他们的探究过程.
(1)【数学思考】
如图1,在矩形中,,,,分别是,上的两点,连接,,于点,求的值;
(2)【深入探究】
如图2,在矩形中,,分别交,于点,,分别交,于点,.求证:;
(3)【拓展延伸】
如图3,在中,,点在边上,连接,过点作于点,且的延长线交于点.若,,请求出的长.
八、解答题(本题满分14分)
23. 在平面直角坐标系中,抛物线经过点,顶点为;抛物线,顶点为.
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标;
(2)如图1,连接,点是拋物线对称轴右侧图象上一点,点是拋物线上一点,若四边形是面积为12的平行四边形,求的值;
(3)如图2,连接,点是抛物线对称轴左侧图像上的动点(不与点重合),过点作交轴于点,连接,求面积的最小值.
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