湖南长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期月考（三）数学试题

高三数学三参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 9 10 11 答案 C B A D AD BCD BCD 1.C〖解析=引- (1-3i)(1-i) (1+i)(1-i) -1计3配-一名组-1-2，则复效在复平西内对应的点为 （一1，一2，则复数2-在复平面内对定的点位于第三象限 2B【解折】若m<0<子时，<，若品>4，显然0<m<宁，所以“m<号”是“>4的必要不充分条件 3.A【解析】因为4∥，所以m×2-1×(4m-3)=0,整理得2m=3,解得m=是.当m=号时，4：3x+2y-2=0, e:3z+2y-3=0,不重合.所以m=号 4.D【解析】对于A,a1=1十(-1)+1=2，a2=1+(-1)2+1=0,a=1十(-1)3+1=2，a4=1十(-1)+1=0，A可能. 对于B,a1=1-c0sπ=2，a2=1-cos2π=0，a3=1-c0s3π=2，a4=1-c0s4π=0，B可能. 对于C,4=2sir受-2X1=2,4=2sin经=2×0=0，a,=2sir要=2×(-12=2，a=2sim经=2×02=0， C可能. 对于D,41=1+(-1)11+(1-1)×(1-2)=2,a2=1+(-1)2-1+(2-1)×(2-2)=0,a=1+(-1)3-1+ (3-1)×(3-2)=4,故D不可能. 5D【解折]由题在八的定义城为1,8]，若画数2有老义，则8行03 x-3≠0， 6C【解折】由os(悟-)=一号，可得os[x-(凭+)]=-号，即-cos(悟+)=-号，os(悟+)=号， 故sin(+0)=sn[+(吾+0)]=os(晋+0)=号 1.B【解析】设g()-f2,则g)-1efE-①四>0，故高教ga在R上为增高，周为0) (e)2 =1,则g0)-0-1,于是f<g学价于1巴<1，即g<g0,由函教g)的单拥性可得0，即不等式 f(x)<e的解集为（一∞，0）. 8.D【解析】如图，设△APF1的内切圆在边PF1,AF1,AP上的切，点分别为Q,M,N, .根据切线长定理可得|AM=|AN,|FM=|FQI,|PN|=|PQI, AFI=AF, ..AM+FM=ANI+IPN+PF, ..FMI=PNI+PF2=PQ+PF2, ∴.IPQ=|FMl-|PF2|, PF+PF=FQ+PQ+PF2=FQ+FMI-PF2+PF2I=2FQ=8, 即2a=8,a=4,又b=3, .c2=a2-b=13,则c=√13， “椭圆E的离心率e=￡=√3 a 4 9.AD【解析】对于A,若随机变量X~N(2,62),且P(X≥3)=0.3， 则P(1≤X≤2)=P(X≤2)-P(X≤1)=P(X≤2)-P(X≥3)=0.5-0.3=0.2，A正确； 对于B,在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，B错误； 对于C,经验回归方程为y=0.1一0.7x时，=-0.7<0，变量x与变量y成负相关，C错误； 对于D,已知随机李件AB,若PA)=号，PCHA)-号， 由栀率的乘法公式可得P(AB)-P(A)·P(BA)-号×号-员，D正确 数学参考答案(27H)一1 10.BCD【解析】对于A,f(x)=cosx-sinx-2 sin xcos x=(cos2x-sinx)(cos2x十sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x -一V2sin(2x-T),故A错误； 对子B,由y=恒cos2x=Vsim(2z+受)向左平移答个单位长度得到y=恒sin[2(z+晋)+受] V厄sin(2x+3平)，且f()=cos2x-sin2x=2cos(2x+）=sin(2x+),B正确； 对于C,f(-受)=2cos[2(-)+]=2cos(x-), 令u=x-平，余弦函数y=cosu的单调递增区间为u∈[2kr一元，2kx],b∈乙， 解得x[2m一平，2kx十至]，k∈Z不和选项表述一致，C正确； 时于D.a）=sm(2ax+）o>0,re[0,,令=2ar+,则[，2o+], 恰有3个最位点：正弦函数最值点对应1=吾十x,k∈乙，要求第3个最值点一受落在区间内、第4个最值点一受 2 不落在区间内，即受≤2m十8下<资： 恰有4个零点：正弦函数零点对应t=kπ，k∈Z,要求第4个零，点t=4π落在区间内、第5个零，点t=5π不落在区间 内，即4≤om+F<5x, 联立两个不等式解得。∈[号号)，D正确， 11.BCD【解析】对于A,当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含1个元素的子集时，A|=1.根据“n阶完美集”的定义， {1,2,3,4}中大于等于1的数有1,2,3,4共4个，所以此时A可以是{1}，{2}，{3}，{4}； 当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含2个元素的子集时，A=2.{1,2,3,4}中大于等于2的数有2,3,4共3个，所 以此时A可以是{2,3}，{2,4}，{3,4}； 当非空数集A是1,2,3,4}子集中含3个元素的子集时，A=3.{1,2,3,4}中大于等于3的数有3,4，共2个，不满 足“n阶完美集”的定义，所以{1,2,3,4}中3个元素的子集不满足； 同理，{1,2,3,4}中含4个元素的子集也不满足. 综上，“4阶完美集”有{1}，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，所以a4=7,故A错误； 对于B,若将“n阶完美集”A中的元素全部加1，A中元素个数不变，但min(A)加1变大，符合“n十1阶完美集”的定 义，所以得到的新集合是一个“n十1阶完美集”，故B正确； 对于C,对于满足“n十2阶完美集”的所有A,n十2不属于所有A,可视为退化为“n十1阶完美集”的情况，总个数为 a+1.又因为|A>1,所以满足条件的集合A要排除掉“n十1阶完美集”中只含有1个元素的情形（排除n十1个单 元素集合)，因此满足条件的集合A的个数为a+1一(n十1)=a+1一n一1，故C正确； 对于D,若n任A,因为A二{1,2，…，n},所以实际上A二{1,2，…，n一1}. 又因为A满足定义|A≤min(A),所以A完全符合“n一1阶完美集”的定义 反之，任何一个“n一1阶完美集”都必然不含n,且也是“n阶完美集”. 因此，不含n的“n阶完美集”个数恰好为am-1个； 若n∈A,可令A=BU{n,其中B{1,2,…,n-1},此时|A=|B|+1. 我们需要分类讨论B是否为空集： 情况1：B=必，此时A={n},A|=1≤min(A)=n,满足条件，这是一个符合条件的集合； 情况2：B≠，此时min(A)=min(B), 由A是完美集可知：|A|≤min(A)→|B|+l≤min(B)→|B|≤min(B)-1. 我们来对集合B进行“平移”变换：令C={x一1|x∈B}, 此时C二{1,2，…，n-2}(注意：因为B二{1，…，n-1},减去1后最大为n-2;且因为|B|≤min(B)-1,可知 min(B)≥|B|十1≥2，所以C的最小值min(C)=min(B)-l≥1). 同时，|C=|B|,min(C)=min(B)-l. 由上面的不等式|B≤min(B)一l,可得|Cl≤min(C). 这意味着C是一个“n一2阶完美集”. 并且，每一个“n一2阶完美集”C加上1，再与n合并，都能唯一对应一个包含n的“n阶完美集”. 所以，这种情况下符合条件的集合个数恰好等于a2个。 即an=an-1十a-2十1(n≥3)，故D正确. 数学参考答案(27H)-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.24【解析】五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻， 甲和乙相邻，捆绑在一起有A经=2种， 再与丙和丁外的1人排列有A=2种， 再排丙和丁有A号=6种， 故共有2X2X6=24种排法. 13.-5【解析】因为f(x)=e+2x-b,g(x)=x十2lnx, 所以f()=e+2,g(x)=1+2 设直线y=3x十a与f(x)=e+2x-b,g(x)=x十2lnx的切，点坐标分别为(m,n),(p,q), 因为直线y=3x十a是曲线f(x)和g(x)的公切线， 所以gp)=1+号=3，解得=1，则g=1+2h1=1, 把(1,1)代入直线y=3x十a中可得a=-2. 又f(m)=em+2=3,解得m=0, 把m=0代入直线y=3x一2中，可得n=y=-2, 再把(0，-2)代入f(x)=e十2x一b中，可得1-b=-2,解得b=3, 所以a-b=-2-3=-5. 14.32红【解析】取SC的中点0，连接0A,0B,如图所示. 3 ,SA=AC,SB=BC,且SA⊥AC,SB⊥BC, “△SAC,△SBC均为等腰直角三角形，且∠SAC-∠SBC-受， ∴OA=OB=号SC=OC=0S,∴SC为三棱锥S-ABC外接球的直径. 设SC=2r,可得OA=OB=r,设∠AOB=0, .SA=AC,O为SC的中点，则OA⊥SC,同理可得OB⊥SC, .OA∩OB=O,OA,OBC平面OAB,∴.SC⊥平面OAB, Va=V,s+Veou=号s0·Sa+号0c.Sa-3sc·Sau=号×2 sin9-专rs血0-=9 3 .'.sin 0=43 3 在△0AB中，向余孩定理可得AB=0A+0B-20A,0Bms,即2r-2rcas0=12,可得cas0=9, 由r0叶cos0=1,可得栏+(，)°=1，化简可得r-3-4=0, 即(2+1)(2-4)=0， .r>0,解得r=2, 因比，三棱维S-ABC外接球的体积为V=号=号xX2-3, 31 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)∵等差数列{an》中，a3=4,a2十ag=12, 、a十2d=4,解得11. l2a1+8d=12, .an=2+(n-1)X1=n十1.… (3分) 等比数列{bn》中，b2=9,公比q=3, ∴.b2=b1q=3b1=9,.b1=3, .bn=3X3m-1=3m.… (6分) (2)由(1)可知an=n十1，bn=3”, ..c=a,X0=(n+1)X3", ∴.Sn=2×31+3×32+4×33+…+(n+1)×3",① 可得3Sn=2X32+3×33+…+n×3"+(n十1)×3+1，② 由①-②得：-2Sn=2×3十32+33+…+3m-(n+1)×3+1 -3+31-3）-(m+1D×3+1 1-3 =2-(+号)x3, ∴5=-+（受+）×3 (13分) 数学参考答案(27H)一3 16.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1BC中，四边形AACC是边长为4的正方形，AB=3,BC=5. 所以AC十AB=BC,所以AC⊥AB, 又AA1⊥平面ABC, 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则A1(0,0,4),B(0,3,0),C(4,0,4),A(0,0,0), 所以AC=(4,0,4),BA1=(0,-3,4), 设直线AB与直线AC1所成角为0， 所以o50=AC·B=16=22 IACI BA 42X55 即直线AB与直线AC,所成角的余接值为识 C …(7分) (2)依题意BD=tBC,t∈[0,1]， 因为BC=(4,-3,4),A1B=(0,3,-4),AB=(0,3,0), 所以AD=AB+BD=AB+tBC1=(0,3,0)+t(4,-3,4)=(4t,3-3t,4t), 因为AD⊥A1B,所以AD·A1B=4tX0+3(3-3t)-4×4t=0, 解得=号， 所以t的值为5： 9 (15分) 2 2 17.【解析】(1)若n=2,p=3,则比赛为3局2胜制，每局比赛甲获胜的概率为3， 所以X=2,3, 又P(X=2)=(号)°+(G)°-8 所以P(X=3)=1-P(X=2)=9, 所以X的分布列为： X 2 3 P 5 4 所以B00=2X名+3×告-器 (7分) (2)P2=p2+C2p2(1-)=+2(1-)=32-2p, P3=p3+C8p(1-)+C(1-)2=p3+3p(1-p)+6p(1-p)2=6p-15p4+10p.…(11分) 因为P3>P2,所以6p5-15p+10p>32-2p, 即2p-5水十4幼-1>0，即(-1)(2p-1)>0,解得p>7, 所以（合，1. (15分) 18.【解析】1)因为准线方程为y=-1,所以一号=-1， 所以p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.… (3分) (2)当m=1时，由题知，D(-2,1),E(2,1), 对于抛物线=4，即y=子d,=x, 所以，过抛物线上一点M的切线山的斜率为=受，即直线BC的斜率为k=受， 过D,E分别作抛物线的切线l1,2的斜率分别为=一1，k=1, 所以直线BC的方程为：y-受x季，4,4的方程分别为y=-x一1，=x一1， 联-受草餐释6一品， 2 y=一x一1， 联立受云解得 y=x-1, 数学参考答案(27H)-4 所以|AB|=√2|xB-0|=√2|B|,|AC=√2|xc|, 因为·，=一1，所以☑，l2互相垂直，即直线AB,AC互相垂直， 所以5c=号1ABAC=l= ≤1，当且仅当=0时等号成立， 所以△ABC面积的最大值为1.…(8分) (3)(1)联立直线l:y=m与抛物线x2=4y,得x2=4m,解得x=士2√m. 故D(-2√m,m),E(2√m,m), 对抛物线y=子女求导得y=方， 过，点D的切线l1的斜率=一√m,方程为：y一m=一√m(x十2√m),即y=一√mx一m 过点E的切线l2的斜率2=√m,方程为：y一m=√m(x一2Vm),即y=√mx一m. 联立l与l2可得交点A(0,一m). 又点M(),别%-至，过M的切线的斜率为号，方程为：y-受：一至， 联主么与4，得（受十Vm)k=草m,解得x=受-√m, 代入4得=-（受-m)m=受， 所以B(-m,-要人 同理，联立与，得（受-m)z=草-m,解得=受十m, 代入6得光=（停+@）一m=罗， 所以c受+m,)小 (13分) (i)根据(1)，设AF与BC交于点N,得N(O,一)， 所以BN-V1+受-m,CN-+受+，FN-孚+1AN-+m, 所以BN·CN=FN·AN=(1+)川至-m, 所以，根据相交弦定理逆定理得A,B,F,C四点共圆.… (17分) 19.【解析】(1)(i)当a=1,b=0时，f(x)=xsin x,定义域为R, .'f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x), 由偶函数的定义可得f(x)是偶函数， 对f求导可得广)=nx十omsx,re[-吾登]， 当x[-受0时，fw)<0,当x∈[0，受]时，f(x≥0， x)在[一受0)上单调递减，在[0，受]上单调递增， 故八)在[一受，受]的板小值为f0=0,无板大位 (4分) (i)证明：由(i)得f(x)=sinx十ccos x,令f(x)=sinx十ccos x=0, 对满足方程的x有cosx≠0，∴.x=一tanx, 设x是f(x)=0的任意正实根，则x=-tan o, 作出y=x与y=一tanx的图象如图， tan 数学参考答案(27H)-5 则存在一个非负整数，使x∈（受十元，π十x),即为第二或第四象限角， .'f'(x)=sin x+xcos x=cos z(tan x+x), 在第二或第四象限x变化时，f(x)变化如下， (受+k西》 Co (xo,r十kr) f(x)(k为奇数) 一 0 + f(x)(k为偶数) + 0 .满足f(x)=0的正根xo都为函数f(x)的极值点， 由题可知a1,a2,…,an,…为方程x=一tanx的全部正实根， 且满足a1<a2<…<am<…(n=l,2,…), a+-a=-(tan an+-tan an)=-(1+tan atitan an)tan(at-a)>0, :受+(n-1)x<a,<x+(n-1x,受+m<at1<x+nmm=l,2,… 则登<a1-a.<受，由1ma1tana>0,可得ma1-a)0, 故7<a+1一Q<元，得证， (11分) (2)证明：根据题目：当a=0,b=1时，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”， 记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1,k2,·,n, 若k1>k2>k(i=3,4,5,…,n), 当a=0,b=1时，f(x)=cosx, 设k1对应的切点为(1，Cosx),(x,cosx),<x, 2对应的切，点为(x2,cosx2),(x2,cosx2),x2<x2, 由于f(x)=-sinx,∴.k=-sin1=-sin x,k2=-sinx2=-sinx2, 由余弦函教的周期性，只要考虑一<，<<一受的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑x十x=π，x2十x=3π情形， 则k-coscos五=os（西）-c0s五=-2c0s4， x一 (π-x）一x 元-2知1 6,=cos0s边=0os（3r-a）c0s2= -2cos x2 r2-x2 (3π一x2)-x2 3π-2x2 其中一<<受，得到二0s之 - 又k=2o五=-sin4k-3x2号 π-2x1 -2cos xz=-sin 2' 即c0s4=(受-a)sin4,0osa=(经-a)sn, 当-<<-受时，sinx<0,cosz<0, 令F()=+x-(-<x<-), sin x 剥r-0,Fr)=+1=器2<0， sin'x “)在(-，一受）上单河递减，又F(一）-5-语-吾<0-Ka<。 ∴-<a<-晋，此时-1K0s<c0s<0,则0<8<1， COS T2 受-（对 故·之2∠ …(17分) 登-4晋-a登-(-) 数学参考答案(27H)一6高三数学三 命题人：赵志会 审题人：陈朝阳黄文辉 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6 页.时量120分钟，满分150分. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数x在复平面内对应的点位于 部 A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 2“m<是品4的 m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 证 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 毅 3.已知直线1：mx十y-1=0,2:(4m-3)x+2y一3=0，若1∥l2, 则实数m= A是 B.1 c D.0 4.若数列的前四项为2,0,2,0，则此数列的通项公式不可能是 妙 A.an=1+(-1)t1 端 B.an=1-cosnπ C.a,=2sin受 D.an=1+(-1)-1+(n-1)(n-2) 5,若函数f()的定义域为[1,8]，则函数f②)的定义域为 x一3 A.(0,3) B.[1,3)U(3,8] C.[1,3) D.[0,3) 数 6.已知cas(管-9=-号，则m等+) A士写 B号 c号 D±号 7.已知函数f(x)在R上可导，导函数为f(x),满足f(x)>f(x), f(0)=1,则不等式f(x)<e的解集为 A.(0,+∞) B.(-c∞，0)》 C.(-∞，5) D.(10,+∞） 数学试题(27H)第1页（共6页） 8如图，焦点在x轴上的椭圆E:三+苦=1 (a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆 E上位于第一象限内的一点，且直线F2P与 y轴的正半轴交于点A,△APF1的内切圆在 边PF1上的切点为Q,若|FQ=4,则该椭 圆的离心率为 A R司 c贤 D.③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是 A.若随机变量X~N(2,o2),且P(X≥3)=0.3，则P(1≤X≤2) =0.2 B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度 越窄表示回归效果越差 C.经验回归方程为y=0.1一0.7x时，变量x与变量y成正相关 D.已知随机事件A,B,若P(A)-号，P(BA)-号，则P(AB) =景 10.设函数f(x)=cosx一2 sin xcos x一sin‘x,则下列结论正确的是 A.f(x)=/2sin(2-) B.f(x)的图象可由y=√2cos2x的图象向左平移个单位长度 得到 C.函数f(-受)的单调递增区间为[2kr一还，2x+](∈z) D.若f(wx)(w>0)在区间[0，π]上恰有3个最值点和4个零 点，则∈[号》 11.已知n∈N·,记|A|为集合A中元素的个数，min(A)为集合A 中的最小元素.若非空数集A二{1,2，…，n),且满足IA|≤ min(A),则称集合A为“n阶完美集”.记am为全部“n阶完美 集”的个数，下列说法正确的是 A.a4=1 B.将“阶完美集”A中的元素全部加1，得到的新集合是“n十1 阶完美集” C.若A为“n+2阶完美集”，|A|>1且n十2∈A,满足条件的集 合A的个数为an*1-n一1 D.a满足递推关系an=an-1十am-2十1(n>3) 数学试题(27H)第2页（共6页） 选择题答题卡 题号 1 7 9 9 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5名同学排成一排照相，若甲、乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的 排法有 种 13.已知a,b∈R,若直线y=3x十a是曲线f(x)=e+2x-b与曲 线g(x)=x十2nx的公切线，则a一b= 14.在三棱锥A-SBC中，AB=2√/3，SA⊥AC,SB⊥BC,且SA= AC,SB=BC,若该三棱锥的体积为智，则三棱锥S-ABC外 接球的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分) 在等差数列{an}中，aa=4,a2十ag=12.在等比数列(b)中，b2= 9,公比q=3. (1)求数列(an)和{bn}的通项公式； (2)若cn=an·b,求数列{cn)的前n项和S。 数学试题(27H)第3页（共6页） Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效「 16.（本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B:C,中，四边形AA1CC是边长为 4的正方形，AB=3,BC=5. (1)求直线A,B与直线AC,所成角的余弦值； (2)若线段BG上存在-点D,且肥-1，当ADLABE时，求L 的值 17.(本小题满分15分) 甲、乙两名选手进行的每一场体育竞技比赛，都采用2n一1局n 胜制(n∈N·)的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜.已知 每局比赛甲获胜的概率为(0<p<1),乙获胜的概率为1一p, 比赛结束时，甲最终获胜的概率为Pn(n∈N). (1若n=2,p=号，设比赛结束时比赛的局数为X,求X的分布 列与数学期望； (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即P> P2,求p的取值范圈， 数学试题(27H)第4页（共6页） 18.（本小题满分17分) 如图，已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线方程为 y=一1，直线1：y=m与抛物线交于D,E两点，过D,E分别作 抛物线的切线l1,2,,2交于点A.过抛物线上一点M(xo,y%) (在1下方)作切线ls,分别交4,2于点B,C. (1)求抛物线的方程： (2)当m=1时，求△ABC面积的最大值； (3)(ⅰ)求点B,C的坐标（用m,x表示）； （I)证明：A,B,F,C四点共圆. (注：以下方法可以证明四点共圆：对角互补，外角等于内对 角，同弦所对圆周角相等，共斜边的直角三角形，到同一点距 离相等，相交弦定理逆定理等) 数学试题(27H)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 定义：若函数f(x)的图象上恰好存在相异的两点P,Q,满足曲 线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P,Q为曲线y=f(x) 的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”.已知函 数f(x)=axsin x十bcos x. (1)当a=1,b=0时. (1)判断f(x)的奇偶性，并求f(x)在区间[-受，]上的 极值； (Ⅱ)设f(x)在(0，十∞)内的全部极值点按从小到大的顺序 排列为a1,a2,,an,…,求证：受<a+1一a,<π； (2)当a=0,b=1时，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”，记 直线PQ的斜率所有可能的取值为k1,k2,…,k,若k1>2> 6=3,45…m,证明念<号 数学试题(27H)第6页（共6页） ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效