指数与指数幂运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数与指数幂运算 知识梳理 1、n次方根与根式 11定义 如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x叫做a的n次方根.求a的n次方根的运算叫做 开方，它与乘方互为逆运算 当a有意义时，式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.根式本身是 一个确定的数：n为奇数时，Va表示a在实数范围内唯一的一个n次方根：n为偶数时， a只表示a的那个正的n次方根（即n次算术根），a的另一个偶次方根必须另外写成 -Va. 1.2方根的存在性、个数与符号 方根有几个、是什么符号，由n的奇偶与被开方数α的正负共同决定 被开方数 n为奇数 n为偶数 一个正的n次方根，记作 两个互为相反数的n次方根，记作 a>0 wa ±Va 一个负的n次方根，记作 a<0 Va 没有n次方根，Va无意义 a=0 0,即V0=0 0,即V0=0 使Va有意义的 a∈R a≥0 a 负数没有偶次方根：n为偶数时xn≥0对一切实数x成立，方程xn=a<0无解；而n 为奇数时y=x”在R上单调递增、值域为R,所以每个实数恰有一个奇次方根，且方根的符 号与原数相同 1.3根式的两条性质 (Va)"=a(n>1,neN*). 成立条件是Va本身有意义：n为奇数时a∈R,n为偶数时a≥0.运算是先开方、再乘 方，结果恒等于a 当a为奇数时面=a:当n为偶数时云=d=-(日之8 这一条对任意a∈R都有意义，但结果由n的奇偶决定：n为偶数且α的符号不能确定 时，结果必须保留绝对值，写成|a或分段形式，不能直接写成a 两条性质的来源不一样.第一条由n次方根的定义直接得到：记x=Va,按定义就是 xn a. 第二条中，n为偶数时an=(a)n且la≥0，而正数的n次算术根只有一个，故 a元=la:n为奇数时a"的奇次方根唯一，就是a.前者先开方再乘方、要求开方有意义， 后者先乘方再开方、对一切实数都有意义，两者的条件与结果形式都不同. 2、分数指数幂 2.1规定 a =a(a>0.m,nEN,n>1). m 1 元(a>0,m,neN,n>1). 1 a n--m 分数指数幂不能理解为"”个α相乘"，它是根式的一种新写法：在上述条件下，根式与 分数指数幂表示同一个量，只是形式不同.有了这条规定，幂αx中指数x的取值范围就从整 数扩充到了有理数 2.2底数为什么限定为正，以及0的处理 若允许a<0,a”会时有时无：（-1)=V-1=-1有意义，而（-1)=V一1在实数范 围内没有意义.指数严取遍有理数时无法保证每次都有意义，所以规定底数α>0. 0的正分数指数幂等于0：0咒=V0m=0.0的负分数指数幂没有意义：按规定0咒 1 0元， 而m∈N*使0m=0,分母为零 2.3这条规定是怎么来的 先看指数能被根指数整除的情形： 2 Va=Va2=a2=a号，Va=Vay=a3=aa>0. 可见这类根式本来就是分数指数幂，规定只是保留了这个事实 指数不能整除时，靠"新规定必须与已有运算性质相容”定下来.若希望整数指数幂的性 质(ak)n=akn对分数指数仍然成立，取k=严即得 (a”==n: 另一方面，由根式的性质(Vam)”=am.两式右端相同，因此只有定义a器=Vam,才 能让(ak)”=akn在指数为分数时继续成立.负分数指数幂则沿用负整数指数幂an=三的处 an 理方式，用倒数把负指数化为正指数， 3、实数指数幂的运算性质 3.1三条性质及其条件 a"as =arts,(ar)s ars,(ab)r a"b". 前两条的条件是a>0,r,s∈R;第三条的条件是a>0,b>0,rER.三条都要求底 数为正，是推广到实数指数后必须付的代价：整数指数下(-2)2有意义，推广后出现的 (-2)z在实数范围内却没有意义，只有限定a>0才能保证α'对一切实数r都有意义、性质 全部成立 由三条性质还可以得到两条常用推论，以及两条基本结论： ar+a-ar-i(B) a" 6(a>0,b>0), a°=1(a≠0)，a'>0(a>0) 3.2从有理数指数幂推广到实数指数幂 指数范围按Z→Q→R逐步扩充：先由根式引入分数指数幂，使指数取遍有理数：再对 无理数指数a,取a的不足近似值n与过剩近似值Bn,分别算出两列数an、an,它们从 两侧无限逼近同一个实数，就把它定义为a“(a>0).于是无理数指数幂是一个确定的实 数，上面三条性质在指数取实数时继续成立，与有理数情形的区别只在指数的取值范围 3 4、化简、互化与条件求值的常用变形 4.1去根号的两条路径 第一条是直接用Van=|a:先把被开方数化成一个式子的n次方（配方或因式分 解)，再按这个式子的符号去绝对值 a=4e1-i8M88 式子的符号由题目给的范围确定：范围没给定时，结果必须带绝对值或写成分段形式 第二条是双重根式配方：形如√m±2vm(m>0,n>0),若能找到a>b>0满足 a+b=m、ab=n,则 Vm±2vm=Va±Vb. 推导如下.设Vm±2vm=Va±Vb(a>b>0),两边平方得m±2Vm=a+b± 2Vab,比较有理部分与含根号部分，得a+b=m,ab=n,即a,b是一元二次方程t2- mt+n=0的两个根，判别式m2-4n≥0时两根存在，取a为较大的根、b为较小的根.要 求a>b>0是为了使Va-Vb>0,与Vm-2元≥0一致.所以实际做法就是"找两个 数，和等于m、积等于n",凑出m士2V元=(a±V)之后再开方. 4.2根式与分数指数幂的互化 互化按同一条规则走：根指数写在分母，被开方数的指数写在分子，即am一a” (a>0).多重根式有两套等价的写法，结果一样： 由内向外一从最里层起，每层根式先写成幂，再用(a)5=as逐层合并： 、3 aa·a2 √ai-a是 由外向内一把整条式子看成一个底数，先取最外层的指数，再逐层展开： 化简结果要同时满足三条要求：原式全是根式时结果用根式表示，否则用分数指数幂表 示：结果中不能同时出现根式与分数指数幂，也不能既有分母又含负指数：结果取最简形 式，指数要约到最简分数 4.3幂与其倒数构成的变形公式族 这类式子来自平方：x.x=x0=1,所以平方展开时中间项恒为2xx左=2，是常 数 (2+x=x+x1+2(2-x}=x+x1-2, (x+x2=2+x2+2,(2+x)(2-x）=x-x1 再往上升次用立方公式(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q),此时pq=1: (x+x-1)3=x3+x-3+3(x+x-1), x2±x是-(x2±x)x干1+x1, 成立条件是x>0.由平方值返回原式时要定符号：x+x>0恒成立，开方取正根： 而x2一x2的符号取决于x与1的大小，须先定符号再开方 题型一根式与分数指数幂的概念辨析 1、下列各式中，正确的是() A.（-2)=V4 B.0-1=0 C.V(-3)4=-3 D.a°=1(a≠0) 2、下列命题中正确的个数为() ①Va4=lal②aeR,则(a2-a-1)°=1③√x5+y2=xy④V5=9V/(-5)2 A.0 B.1 C.2 D.3 5 3、下列计算正确的是() A.V⑧=±2 B.V(-2)6=V-2)3=2 C. D.V(-2)3=2 题型二根式的化简 1、已知1<a<3,那么化简代数式Va2-2a+1+V√a2-8a+16的结果是() A.5-2a B.3 C.-3 D.2a-5 2、已知a满足√(2025-a)2+Va-2026=a,则a-20252的值为 3、若V4a2-4a+1=/(1-2a)3,则实数a的取值范围是 题型三根式的求值与双重根式化简 方法：被开方数是完全n次幂（如是=(）)→直接按n次方根定义写成m再开 出来→依据是n奇时Vaπ=a、n偶时Vaπ=|a,偶次根取算术根 易错：偶次根结果必非负，V-27)严=3：奇次根对负数才取负，V⑧≠±2. 6 方法：形如V√a±2√b的双重根式→找和为a、积为b的两数m,n,把被开方数配成 (Vm±Vm)后开方→依据是Vx2=lx与绝对值定义 易错：开出后不写绝对值，符号须比较√m与v的大小定。 例化简V7-4V3+V11-4W7. 解：两项都是Va-2石型，故各去找和为a、积为b的两个数， 第一项中4V3=2√12，而4+3=7、4×3=12，由完全平方公式得7-4V3=(V4 V3)2=(2-V32,再由√x2=x得V7-4V3=|2-V3:因22=4>3，即2>V3,故 √7-4v3=2-v3. 第二项中4V7=2W28,而7+4=11、7×4=28，同理11-4V7=(W7-2)2,由 7>4得V7>V4=2,故V11-4W7=V7-2.两式相加得原式=(2-V3)+(W7-2)= 7-3. 1、求下列各根式的值： (1)243 V32 (2)-V0.125: (3)V-2)7: (4)V(-27)2. 2、已知x5=-器 则实数x= 3、V8-215= 7 题型四根式与分数指数幂的互化 方法：根式与分数指数幂混写、或含多层根号→由VQm=a器从内向外逐层化为分数 指数幂，再用同底数幂法则合并→依据是分数指数幂定义与aman=am+n、(am)n=amn (要求底数为正)· 易错：底数为负或符号未定时y2=y错，应为y,不能约分. 1、下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是() A.V-32=-2 B.t/(a-b)8=(a-b)2 C.(Va)*.Vab5=a-bi(a>0,b>0) D.(abi号-aVb(a>0,b>0） 2、设a>0,则√a.Va4的分数指数幂形式为() A.a3 B.a c.a是 D.a 3、下列指数幂运算中，不正确的是() A.y2=yy<0) B.x=(x≠0) C.[/x)2]=x(x>0) D.ava=ai(a >0) 8 题型五指数幂的运算与化简 方法：数字底数可化为同底(4=2、81=3、号=（佾）→先统一底数，指数按 (am)n=amm相乘、再按同底数幂法则加减→依据是幂的运算法则 易错：(am)n与aman混用；负指数须先化倒数，零指数须底数不为零 方法：单项式连乘除、系数与字母混杂→系数单独相乘除，同一字母的指数相加减→ 依据是ama=am与器=am”,底数须为正 易错：作商时指数相减的符号写反，结果中的负指数未化成倒数， () +V2 1、 的值为() A. B. C.2 D.4 2、计算下列各式： (1)81-(V5-V③)°+（受）； （x是-x+2x-） ,(x>1) 3(5xy响(-x1y同(-x),其中x,y>0 9 3、化简a362a ·(a>0,b>0) 题型六指数幂运算中的条件求值 方法：已知xa+xa=t(或同型差式)求x2a+x-2a→两边平方，中间项2xaxa= 2为常数，故可直接解出→依据是完全平方公式与xaxQ=1 易错：反解开方求x“±Xa须按符号取舍，x+x左>0只取正根 方法：求x3a士x3a→用立方和差公式整体代换为(xa±xa)(x2a千1+x2a),不必 三次方→依据是立方和差公式与xaxa=1. 易错：括号内常数项是干1而非+1，符号最易写反 例已知a>0且a2-a立=2，求a+a1、a2+a2、a-a2的值 解：由a>0得a>0、a>0,且.a左=a0=1 将a-a左=2两边平方，由完全平方公式得a-2aa+a1=4,即a+a1-2- 4,故a+a1=6. 再将a+a1=6两边平方得a2+2a·a1+a2=36,即a2+a2+2=36,故a2+ a-2=34. 最后求三次式：由立方差公式u3-v3=(u-)(u2+uw+v2),取u=a、v=a克， 得a是-a2=(a2-a)(a+a2a+a1=2×(6+1)=14.所以a+a1=6,a2+a2= 34,a2-a2=14. 1、已知x2+x立=3，则+x2+3 x+x-1-2 10 2、已知a>0. (1)用分数指数幂表示：Va2.Va3: (2)若a2-3a+1=0,求下列各式的值： ①a+a-1: ②ai+a2. 1、已知a+a立=V5,求下列各式的值. (1)a+a-1: (2)a2+a-2: (3)a2+a号 11 课后作业 1小、化简（结果表示为分数指数琴的形式）：一（a≥0)-一， 2、化简4a.b+(-号a0)的结果为() A.一器 B.-8a C.sa D.-6ab b 3、已知正数，b满足V4×V⑧=2，则3a+2b的最小值为() A.10 B.12 C.18 D.24 4、求值： (1)已知2x+2x=a(常数)，求8x+8x的值； @已知+a=3,求装值 12 指数与指数幂运算 知识梳理 1、n 次方根与根式 1.1 定义 如果 （，），那么 叫做 的 次方根. 求 的 次方根的运算叫做开方，它与乘方互为逆运算. 当 有意义时，式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数. 根式本身是一个确定的数： 为奇数时， 表示 在实数范围内唯一的一个 次方根； 为偶数时， 只表示 的那个正的 次方根（即 次算术根）， 的另一个偶次方根必须另外写成 . 1.2 方根的存在性、个数与符号 方根有几个、是什么符号，由 的奇偶与被开方数 的正负共同决定. 被开方数 为奇数 为偶数 一个正的 次方根，记作 两个互为相反数的 次方根，记作 一个负的 次方根，记作 没有 次方根， 无意义 ，即 ，即 使 有意义的 负数没有偶次方根： 为偶数时 对一切实数 成立，方程 无解；而 为奇数时 在 上单调递增、值域为 ，所以每个实数恰有一个奇次方根，且方根的符号与原数相同. 1.3 根式的两条性质 成立条件是 本身有意义： 为奇数时 ， 为偶数时 . 运算是先开方、再乘方，结果恒等于 . 当 为奇数时 ；当 为偶数时 这一条对任意 都有意义，但结果由 的奇偶决定： 为偶数且 的符号不能确定时，结果必须保留绝对值，写成 或分段形式，不能直接写成 . 两条性质的来源不一样. 第一条由 次方根的定义直接得到：记 ，按定义就是 . 第二条中， 为偶数时 且 ，而正数的 次算术根只有一个，故 ； 为奇数时 的奇次方根唯一，就是 . 前者先开方再乘方、要求开方有意义，后者先乘方再开方、对一切实数都有意义，两者的条件与结果形式都不同. 2、分数指数幂 2.1 规定 分数指数幂不能理解为 " 个 相乘"，它是根式的一种新写法；在上述条件下，根式与分数指数幂表示同一个量，只是形式不同. 有了这条规定，幂 中指数 的取值范围就从整数扩充到了有理数. 2.2 底数为什么限定为正，以及 0 的处理 若允许 ， 会时有时无： 有意义，而 在实数范围内没有意义. 指数 取遍有理数时无法保证每次都有意义，所以规定底数 . 的正分数指数幂等于 ：. 的负分数指数幂没有意义：按规定 ，而 使 ，分母为零. 2.3 这条规定是怎么来的 先看指数能被根指数整除的情形： 可见这类根式本来就是分数指数幂，规定只是保留了这个事实. 指数不能整除时，靠 "新规定必须与已有运算性质相容" 定下来. 若希望整数指数幂的性质 对分数指数仍然成立，取 即得 另一方面，由根式的性质 . 两式右端相同，因此只有定义 ，才能让 在指数为分数时继续成立. 负分数指数幂则沿用负整数指数幂 的处理方式，用倒数把负指数化为正指数. 3、实数指数幂的运算性质 3.1 三条性质及其条件 前两条的条件是 ，；第三条的条件是 ，，. 三条都要求底数为正，是推广到实数指数后必须付的代价：整数指数下 有意义，推广后出现的 在实数范围内却没有意义，只有限定 才能保证 对一切实数 都有意义、性质全部成立. 由三条性质还可以得到两条常用推论，以及两条基本结论： 3.2 从有理数指数幂推广到实数指数幂 指数范围按 逐步扩充：先由根式引入分数指数幂，使指数取遍有理数；再对无理数指数 ，取 的不足近似值 与过剩近似值 ，分别算出两列数 、，它们从两侧无限逼近同一个实数，就把它定义为 （）. 于是无理数指数幂是一个确定的实数，上面三条性质在指数取实数时继续成立，与有理数情形的区别只在指数的取值范围. 4、化简、互化与条件求值的常用变形 4.1 去根号的两条路径 第一条是直接用 ：先把被开方数化成一个式子的 次方（配方或因式分解），再按这个式子的符号去绝对值. 式子的符号由题目给的范围确定；范围没给定时，结果必须带绝对值或写成分段形式. 第二条是双重根式配方：形如 （，），若能找到 满足 、，则 推导如下. 设 （），两边平方得 ，比较有理部分与含根号部分，得 ，，即 是一元二次方程 的两个根，判别式 时两根存在，取 为较大的根、 为较小的根. 要求 是为了使 ，与 一致. 所以实际做法就是 "找两个数，和等于 、积等于 "，凑出 之后再开方. 4.2 根式与分数指数幂的互化 互化按同一条规则走：根指数写在分母，被开方数的指数写在分子，即 （）. 多重根式有两套等价的写法，结果一样： 由内向外——从最里层起，每层根式先写成幂，再用 逐层合并： 由外向内——把整条式子看成一个底数，先取最外层的指数，再逐层展开： 化简结果要同时满足三条要求：原式全是根式时结果用根式表示，否则用分数指数幂表示；结果中不能同时出现根式与分数指数幂，也不能既有分母又含负指数；结果取最简形式，指数要约到最简分数. 4.3 幂与其倒数构成的变形公式族 这类式子来自平方：，所以平方展开时中间项恒为 ，是常数. 再往上升次用立方公式 ，此时 ： 成立条件是 . 由平方值返回原式时要定符号： 恒成立，开方取正根；而 的符号取决于 与 的大小，须先定符号再开方. 题型一　根式与分数指数幂的概念辨析 1. 下列各式中，正确的是( ) A． B． C． D．（） 1. 下列命题中正确的个数为( ) ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 1. 下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 题型二　根式的化简 1. 已知，那么化简代数式的结果是( ) A． B．3 C．-3 D． 1. 已知a满足，则的值为______. 1. 若，则实数的取值范围是________． 题型三　根式的求值与双重根式化简 方法：被开方数是完全 次幂（如 ）→ 直接按 次方根定义写成 再开出来 → 依据是 奇时 、 偶时 ，偶次根取算术根. 易错：偶次根结果必非负，；奇次根对负数才取负，. 方法：形如 的双重根式 → 找和为 、积为 的两数 ，把被开方数配成 后开方 → 依据是 与绝对值定义. 易错：开出后不写绝对值，符号须比较 与 的大小定. 例　化简 . 解：两项都是 型，故各去找和为 、积为 的两个数. 第一项中 ，而 、，由完全平方公式得 ，再由 得 ；因 ，即 ，故 . 第二项中 ，而 、，同理 ，由 得 ，故 .两式相加得原式 . 1. 求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 1. 已知，则实数________． 1. ________． 题型四　根式与分数指数幂的互化 方法：根式与分数指数幂混写、或含多层根号 → 由 从内向外逐层化为分数指数幂，再用同底数幂法则合并 → 依据是分数指数幂定义与 、（要求底数为正）. 易错：底数为负或符号未定时 错，应为 ，不能约分. 1. 下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是( ) A． B． C． D． 1. 设，则的分数指数幂形式为( ) A． B． C． D． 1. 下列指数幂运算中，不正确的是( ) A． B． C． D． 题型五　指数幂的运算与化简 方法：数字底数可化为同底（、、）→ 先统一底数，指数按 相乘、再按同底数幂法则加减 → 依据是幂的运算法则. 易错： 与 混用；负指数须先化倒数，零指数须底数不为零. 方法：单项式连乘除、系数与字母混杂 → 系数单独相乘除，同一字母的指数相加减 → 依据是 与 ，底数须为正. 易错：作商时指数相减的符号写反，结果中的负指数未化成倒数. 1. 的值为( ) A． B． C．2 D．4 1. 计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 1. 化简________． 题型六　指数幂运算中的条件求值 方法：已知 （或同型差式）求 → 两边平方，中间项 为常数，故可直接解出 → 依据是完全平方公式与 . 易错：反解开方求 须按符号取舍， 只取正根. 方法：求 → 用立方和差公式整体代换为 ，不必三次方 → 依据是立方和差公式与 . 易错：括号内常数项是 而非 ，符号最易写反. 例　已知 且 ，求 、、 的值. 解：由 得 、，且 . 将 两边平方，由完全平方公式得 ，即 ，故 . 再将 两边平方得 ，即 ，故 . 最后求三次式：由立方差公式 ，取 、，得 .所以 ，，. 1. 已知，则__________． 1. 已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 1. 已知，求下列各式的值． (1)a＋； (2)＋； (3) 课后作业 1. 化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 1. 化简的结果为( ) A． B． C． D． 1. 已知正数a，b满足，则的最小值为( ) A．10 B．12 C．18 D．24 1. 求值： （1）已知(常数)，求的值； （2）已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数与指数幂运算 知识梳理 1、n 次方根与根式 1.1 定义 如果 （，），那么 叫做 的 次方根. 求 的 次方根的运算叫做开方，它与乘方互为逆运算. 当 有意义时，式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数. 根式本身是一个确定的数： 为奇数时， 表示 在实数范围内唯一的一个 次方根； 为偶数时， 只表示 的那个正的 次方根（即 次算术根）， 的另一个偶次方根必须另外写成 . 1.2 方根的存在性、个数与符号 方根有几个、是什么符号，由 的奇偶与被开方数 的正负共同决定. 被开方数 为奇数 为偶数 一个正的 次方根，记作 两个互为相反数的 次方根，记作 一个负的 次方根，记作 没有 次方根， 无意义 ，即 ，即 使 有意义的 负数没有偶次方根： 为偶数时 对一切实数 成立，方程 无解；而 为奇数时 在 上单调递增、值域为 ，所以每个实数恰有一个奇次方根，且方根的符号与原数相同. 1.3 根式的两条性质 成立条件是 本身有意义： 为奇数时 ， 为偶数时 . 运算是先开方、再乘方，结果恒等于 . 当 为奇数时 ；当 为偶数时 这一条对任意 都有意义，但结果由 的奇偶决定： 为偶数且 的符号不能确定时，结果必须保留绝对值，写成 或分段形式，不能直接写成 . 两条性质的来源不一样. 第一条由 次方根的定义直接得到：记 ，按定义就是 . 第二条中， 为偶数时 且 ，而正数的 次算术根只有一个，故 ； 为奇数时 的奇次方根唯一，就是 . 前者先开方再乘方、要求开方有意义，后者先乘方再开方、对一切实数都有意义，两者的条件与结果形式都不同. 2、分数指数幂 2.1 规定 分数指数幂不能理解为 " 个 相乘"，它是根式的一种新写法；在上述条件下，根式与分数指数幂表示同一个量，只是形式不同. 有了这条规定，幂 中指数 的取值范围就从整数扩充到了有理数. 2.2 底数为什么限定为正，以及 0 的处理 若允许 ， 会时有时无： 有意义，而 在实数范围内没有意义. 指数 取遍有理数时无法保证每次都有意义，所以规定底数 . 的正分数指数幂等于 ：. 的负分数指数幂没有意义：按规定 ，而 使 ，分母为零. 2.3 这条规定是怎么来的 先看指数能被根指数整除的情形： 可见这类根式本来就是分数指数幂，规定只是保留了这个事实. 指数不能整除时，靠 "新规定必须与已有运算性质相容" 定下来. 若希望整数指数幂的性质 对分数指数仍然成立，取 即得 另一方面，由根式的性质 . 两式右端相同，因此只有定义 ，才能让 在指数为分数时继续成立. 负分数指数幂则沿用负整数指数幂 的处理方式，用倒数把负指数化为正指数. 3、实数指数幂的运算性质 3.1 三条性质及其条件 前两条的条件是 ，；第三条的条件是 ，，. 三条都要求底数为正，是推广到实数指数后必须付的代价：整数指数下 有意义，推广后出现的 在实数范围内却没有意义，只有限定 才能保证 对一切实数 都有意义、性质全部成立. 由三条性质还可以得到两条常用推论，以及两条基本结论： 3.2 从有理数指数幂推广到实数指数幂 指数范围按 逐步扩充：先由根式引入分数指数幂，使指数取遍有理数；再对无理数指数 ，取 的不足近似值 与过剩近似值 ，分别算出两列数 、，它们从两侧无限逼近同一个实数，就把它定义为 （）. 于是无理数指数幂是一个确定的实数，上面三条性质在指数取实数时继续成立，与有理数情形的区别只在指数的取值范围. 4、化简、互化与条件求值的常用变形 4.1 去根号的两条路径 第一条是直接用 ：先把被开方数化成一个式子的 次方（配方或因式分解），再按这个式子的符号去绝对值. 式子的符号由题目给的范围确定；范围没给定时，结果必须带绝对值或写成分段形式. 第二条是双重根式配方：形如 （，），若能找到 满足 、，则 推导如下. 设 （），两边平方得 ，比较有理部分与含根号部分，得 ，，即 是一元二次方程 的两个根，判别式 时两根存在，取 为较大的根、 为较小的根. 要求 是为了使 ，与 一致. 所以实际做法就是 "找两个数，和等于 、积等于 "，凑出 之后再开方. 4.2 根式与分数指数幂的互化 互化按同一条规则走：根指数写在分母，被开方数的指数写在分子，即 （）. 多重根式有两套等价的写法，结果一样： 由内向外——从最里层起，每层根式先写成幂，再用 逐层合并： 由外向内——把整条式子看成一个底数，先取最外层的指数，再逐层展开： 化简结果要同时满足三条要求：原式全是根式时结果用根式表示，否则用分数指数幂表示；结果中不能同时出现根式与分数指数幂，也不能既有分母又含负指数；结果取最简形式，指数要约到最简分数. 4.3 幂与其倒数构成的变形公式族 这类式子来自平方：，所以平方展开时中间项恒为 ，是常数. 再往上升次用立方公式 ，此时 ： 成立条件是 . 由平方值返回原式时要定符号： 恒成立，开方取正根；而 的符号取决于 与 的大小，须先定符号再开方. 题型一　根式与分数指数幂的概念辨析 1. 下列各式中，正确的是( ) A． B． C． D．（） 【答案】D 【解析】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 1. 下列命题中正确的个数为( ) ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 1. 下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，而，等号不成立，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 题型二　根式的化简 1. 已知，那么化简代数式的结果是( ) A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 1. 已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【解析】由，得， 因为，所以，故. 1. 若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】左边，右边， 所以，由绝对值的意义知， 解得. 题型三　根式的求值与双重根式化简 方法：被开方数是完全 次幂（如 ）→ 直接按 次方根定义写成 再开出来 → 依据是 奇时 、 偶时 ，偶次根取算术根. 易错：偶次根结果必非负，；奇次根对负数才取负，. 方法：形如 的双重根式 → 找和为 、积为 的两数 ，把被开方数配成 后开方 → 依据是 与绝对值定义. 易错：开出后不写绝对值，符号须比较 与 的大小定. 例　化简 . 解：两项都是 型，故各去找和为 、积为 的两个数. 第一项中 ，而 、，由完全平方公式得 ，再由 得 ；因 ，即 ，故 . 第二项中 ，而 、，同理 ，由 得 ，故 .两式相加得原式 . 1. 求下列各根式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】(1)； (2)； (3)根指数为奇数，被开方数为负，； (4)根指数为偶数，. 1. 已知，则实数________． 【答案】 【解析】因为是奇数，所以负数的五次方根只有一个负值， . 1. ________． 【答案】 【解析】把被开方数配成完全平方：， 所以. 题型四　根式与分数指数幂的互化 方法：根式与分数指数幂混写、或含多层根号 → 由 从内向外逐层化为分数指数幂，再用同底数幂法则合并 → 依据是分数指数幂定义与 、（要求底数为正）. 易错：底数为负或符号未定时 错，应为 ，不能约分. 1. 下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 1. 设，则的分数指数幂形式为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 1. 下列指数幂运算中，不正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 题型五　指数幂的运算与化简 方法：数字底数可化为同底（、、）→ 先统一底数，指数按 相乘、再按同底数幂法则加减 → 依据是幂的运算法则. 易错： 与 混用；负指数须先化倒数，零指数须底数不为零. 方法：单项式连乘除、系数与字母混杂 → 系数单独相乘除，同一字母的指数相加减 → 依据是 与 ，底数须为正. 易错：作商时指数相减的符号写反，结果中的负指数未化成倒数. 1. 的值为( ) A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】 1. 计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）. （2）因为，故原式. （3）. 1. 化简________． 【答案】 【解析】分子， 分母， 所以原式. 题型六　指数幂运算中的条件求值 方法：已知 （或同型差式）求 → 两边平方，中间项 为常数，故可直接解出 → 依据是完全平方公式与 . 易错：反解开方求 须按符号取舍， 只取正根. 方法：求 → 用立方和差公式整体代换为 ，不必三次方 → 依据是立方和差公式与 . 易错：括号内常数项是 而非 ，符号最易写反. 例　已知 且 ，求 、、 的值. 解：由 得 、，且 . 将 两边平方，由完全平方公式得 ，即 ，故 . 再将 两边平方得 ，即 ，故 . 最后求三次式：由立方差公式 ，取 、，得 .所以 ，，. 1. 已知，则__________． 【答案】10 【解析】， ，即， 所以，，即 所以， ∴﹒ 1. 已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①；②． 【答案】(1) (2)①,②. 【解析】（1）因此： . （2）①已知，且，等式两边同时除以整理得； ②设，则 ， 因，则，故 . 1. 已知，求下列各式的值． (1)a＋； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）将两边平方，可得，解得. （2）将两边平方，可得，解得. （3）. 课后作业 1. 化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【解析】. 1. 化简的结果为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式. 1. 已知正数a，b满足，则的最小值为( ) A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 1. 求值： （1）已知(常数)，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）8． 【解析】（1）令，则，所以①． 方法一（利用立方和公式展开，寻找条件和所求的关系）将①两边平方，整理得， 则 ． 方法二（整体代换） ． （2）因为， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $