4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 随堂。步步夯实 1.化简工的结果是 ③Wa-a+可a≤》： A.-√-x B.√ (4)W2-2xy十y7+(y-x). C.-/ D.√-x 2.下列等式成立的是 A.x=-(x≠0) B.-3)=9-3 C.√x3+y=(x+y) D.丽=3 3.根式a√一a化成分数指数幂是 4计算2}-(-9.6-3 +0.1- 5.化简与求值： (1)-5): ©温馨提污 (2)-9); 学习至此，请完成配套训练 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课程标准 素养解读 1.通过对实数指数幂a“(a>0,且a≠1，a∈R) 1.通过实数指数幂的意义提升数学抽象素养 含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2.通过实数指数幂的运算性质提升逻辑推理 2.掌握实数指数幂的运算性质 和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理 当生物体死亡后，它机体内原有的碳14 [知识点一]无理数指数幂 会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰 无理数指数幂a(a>0,a是无理数)是一个 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，据 实数 此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死 2思考1.为什么规定底数a>0? 亡年数1的关系.力= 产 ·99· 数学·必修第一册 [知识点二] 实数指数幂的运算性质(a>0, [预习自测灯 b>0,r,s∈R) 1.下列各式运算错误的是 (1)a'a'= A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8 (2)(a)= B.(-a2b)3÷(-ab2)3=a3b (3)(ab)'=a'b'. C.(-a3)2.(-b2)3=ab 思考2.指数幂是怎样从正整数指数幂推 D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a8b8 广到实数指数幂的？ 2.[9(-2)÷= A.2 B.√2 C.-√2 D.-2 3.计算：2√5×1.5×12= 课堂。互动学案 题型一 无理数指数幂的运算 规律方法 [例1]计算下列各式： 指数幂运算的解题通法 +2×2 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做 -0.010.5; 指数运算. 2)0.064-（- +[(-2)3]- (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂 的倒数 +16-0.75: (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， (W4ab可) -(a>0,b>0). 先化成分数，底数是带分数，先化成假 0.1-2(a3b3) 分数. [思路点拨]若a>0,b>0,r,s∈R,则 (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可 a'·a=a'+,(a)=a,(ab)'=a'b' 能用幂的形式表示，运用指数幂的运算 性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根式和分数指 数幂，也不能既有分母又含有负指数 幂，形式力求统一 ◇[变式训练] 1.化简求值： 10.001+27-)+}， ·100· 第四章指数函数与对数函数 2as-()八+[g+1-aom。 规律方法 条件等式求值的原则和方法技巧 1.原则：①对于条件等式的求值问题，可以 把所要求的式子先进行变形，找出与条 件等式的联系，然后求值， ②也可以先对条件加以变形，使它与所 要求的式子的联系更加明显，从整体上 把握代数式的结构特点，然后求值. 2.解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化筒代数 式，再将字母的取值代入求值.但有时字母 的取值不知道或不易求出，这时可将所求 代数式适当地变形，构造出与已知条件相 题型二】 有条件的求值问题 同或相似的结构，从而通过“整体代入法” [例2]已知a+a=√5，求下列各式的值： 巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法” (1)a十al;(2)a2+a2;(3)a2-a2。 求值常用的变形公式如下(a>0,b>0): 思路点拨]从已知条件中解出a,然后 (1)a士2ab+b=(a±b)2: 再代入求值，这种方法不可取.应考虑从整 (2)a-b=(a+b)(a-b): 体中寻求需求值的式子与已知条件的 联系 (3)a+b=(a+b)(a-ab+b); (4)a-b=(a-b)(a+ab+b). ◇[变式训练] 2.（多选)已知a+a1=4,则 A.a+a-= B.a2+a-2=14 C.a3+a3=52 D.a-a-l=2/3 题型三 实际问题中的指数运算 [例3]在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太 阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成 为当时的热门学科.可是由于当时常量数学 的局限性，天文学家们不得不花费很大的精 力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费 了若干年甚至毕生的宝贵时间.例如计算多 位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因 ·101 数学·必修第一册 此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间 A.134217728 B.268435356 乘积的方法.让我们来看看下面这个例子： C.536870912 D.513765802 567 8.1415. 27 28 29 思路点拔了分析表中的规律是求解的 163327 1342126843 53687 32 64128256… 8468 77285356 关键】 0912 规律方法 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一 指数运算在实际问题中的应用 行表示2的指数，第二行表示2的对应幂. 在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题 如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可 中，常常用到指数运算，用来计算增减的次 以通过第一行对应数字的和来实现.比如， 数、增减前后的数量等。 计算64×256的值，就可以先查第一行的对 ◇[变式训练] 应数字：64对应6,256对应8，然后再把第 3.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后 一行中的对应数字加起来6+8=14；第 加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填 行中的14，对应第二行中的16384，所以有 满，以此继续下去，则至少应倒 次 64×256=16384. 后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比 按照这样的方法计算16384×32768= 低于10%. ( 随堂。步步夯实 1.12》-1-0.5)÷ 的值为 (2)a6 a-b-T a.6 (a>0,b>o). B吉 c 7 D. 2.若m,n是方程2x2十3x一1=0的两根，则 下面各式的值等于8的有 ( A.m2+n2 C.64m ) 3.若√x2+2x+1+√Jy2+6y十9=0，则(x2026) 4已受+6=1，则9X3 √39 5.化简与求值： C温馨提 2}+a.1+e9-3+: 1.5 学习至此，请完成配套训练 ·102[例3][解]a言=a(a>0):a=a(a>0):a= a号=a2: 1 =上-a(a>0Wai-a…a-af=a(a >0). [例4][解](1)原式=[.xy2·(xy1)]片·(xy)左· (xy)1=x方·y号|x方lyl右·|x支·ly-告 =={ x>0, {-1,x<0. (2)原式=+++1-2=2-3. √2'√2 变式训练 1.解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故 8一27=一3，①错误；16的4次方根有两个，为士2，② 正确；√8T=3,③错误；√(x十y)是正数，所以 √(x十y)=|x十y|,④正确.由题意知x-2<0,故 /x-2)+√x-√2)3=|x-2引+x-V2=2-x+x √2=2-√2，⑤正确. 答案：②④⑤ 2.解：(1)/-8)+√/(3-x) =-8+π-3=x-11. (2)/(a-b)+(b-a) =a-b+b-a=0. (3)√1+2)3+1-2) =1+√2+√2-1 =2√2. 3.B[对于A选项a石=a·a=a=（a)片 。a>0.放A至确：时于B遂项，号=（仕） 方>0，款n袋接：对于c行=寸·万 (>0.y>0,故C正确：对子D.[] (/T)是=(x后)÷=x(x>0),故D正确.门 解：1原式=(3)-1+（号）8-1+号-名 221 (2)因为x>1,所以1- >0,所以原式= x (x-1)+2(z-1=x克+2x（x-1)z=x +2x)1-)） (x立+2.x言)(x-1) (3)原式=[5×(-)×(-吾)月·x子号 4★=2。 随堂步步夯实 1.A2.D3.-(-a)410 ·39 参考答案 5.解：(1)-5)下=-5. (2)-9)严=81=3=3. (3:a≤21-2a≥0， .9/4a2-4a+1=/(2a-1)F=9/1-2a) =/1-2a. (4)原式=√(x-y)+y-x=|x-y+y-x. 当x≥y时，原式=x一y十y一x=0: 当x<y时，原式=y-x十y一x=2(y一x). √2-2xy+y+y-x) = 0,(x≥y), 2(y-x),(x<y). 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、确定的 知识点二、(1)a+, (2)a” [思考] 1,提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现（一1），就 无法确定是1还是一1， 2.提示： 正整数指幂) 0次指幂了自然数指数基) 负整数指数幂】整数指数幂 分数指数播】有理数指数幂] 实数指数基 无理数指数幂】 预习自测 1.C2.B3.6 课堂互动学案 [例[解]1)原式=1+×（号）-()=1 +日品-0 2原式=0.4-1+(-2)+2=号-1+言+日 洛 (3》原式=4u是·a号·6·6=若d6 100 =25 [例2][解](1)将a立+a专=√5两边平方， 得a+a1+2=5,即a+a1=3. (2)由a十a1=3,两边平方， 得a2十a2十2=9，所以a2十a2=7; (3)设y=a-a2,两边平方， 得y2=a十a4-2=(a2+a2)2-4=72-4=45, 所以y=士3√5，即a2-a2=±3√5. [例3][解析]由已知可知，要计算16384×32768，先 查第一行的对应数字，16384对应14,32768对应15，然 后再把第一行中的对应数字加起来：14+15=29，对应 第二行中的536870912. 所以有：16384×32768=536870912.故选C. [答案]C 数学·必修第一册 变式训练 1.解析：1)原式=(0.1)+()疗-【()]十 [(号)]=0.1+3-（径）'+（传） =10+9-8+27=314 7 2)原式=0.4)-1+[（受）广] +(0.12) =0.41-1+号+0.1=3.1 2.ABC[因为a十a1=4,所以a>0,对于A,因为 (a立十a立)2=a十a1+2=6,所以a立十a立=√6，故 A正确：对于B,因为(a十a1)2=a2+a2+2=16,所以 a2+a=14,故B正确；对于C,a3+a3=(a十a1)(a +a2-1)=4×13=52,故C正确：对于D,因为(a al)2=a2+a2-2=12,所以a-a1=士2V5,故D 错误.门 3解析：由题意，第n次操作后溶液的浓度为(-之)：令 (侵)广<0验证可得m≥4 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10% 答案：4 随堂步步夯实 1.D2.B 3.1 4.3 5.解：(1)原式= ()+10+()-3+装=号 100+号-3+=10m. 48 (2)原式=a·6 =[a-·b]÷(a1-·b-1)专 =(ab)÷(a量b是)吉 =(a号·b)÷(a量b)=a号-tb品量=a青b寸. 4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 课前预习学案 情境引入 提示：第x次折叠后对应的层数y=2(x∈N"),对折后 的面积s=(合)广x∈N) 这两个函数解析式的共同特征：(1)幂的形式；(2)暴的 底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)暴的指数是一 个变量」 知识梳理 知识点一、a自变量R 知识点二、(1)N(1+p)(x∈N) [思考] 1.提示：①如果a=0,当x>0时，a恒等于0，没有研究的 必要；当x≤0时，a无意义 ·3 ②如果a<0,例如y=(-4),这时对于x=2,车 11 该函数无意义 ③如果a=1,则y=12是一个常量，没有研究的价值 为了避免上述各种情况，所以规定a>0,且a≠1. 2.提示：指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且 不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的 系数是1：③a2的系数是1. 预习自测 1.D 2.C 3.ABD 课堂互动学案 [例1][解](1)y=10符合定义，是指数函数. (2)y=10+中指数是x十1而非x,不是指数函数. (3)y=一4中系数为一1而非1，不是指数函数， (4)y=x中底数和指数均是自变量x,不符合指数函数 定义，不是指数函数 (5)y=x中底数是自变量，不是指数函数. [例2][解析](1)由指数函数的概念，得a一5a十7=1 且6一2a=0,解得a=3. （2)设f)=d(a>0a≠1.所以a=合，所以a=号， 2 所以f(x) ( [答案](1)B e图 [例3][解析]设初始覆盖面积为a,x天后的覆盖面积 为y=a·2,荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶 刚好魔盖水面面积的6时，可得。·2”·6 ·16=a·2, 26=2。,解得x=16. 故当荷叶附好爱盖水面面积的5时，奇叶已生长了 16天. [答案]C 变式训练 1.解：(1)为指数函数 (2)中底数不是常数，故不是指数函数 (3)是一1与指数函数3的乘积. (4)中底数一30，故不是指数函数. 2.(1)C[由指数函数的定义知： a-3a+3=1 {a>0且a≠1a=2(a=1舍去).] (2)解析：设f(x)=a(a>0,a≠1)，将，点(2,9)的坐标代 入，得a=9,解得a=3或a=一3（舍去），所以f(x)= 3,所以-1D=子 答案：日 3.B[2026年的耕地面积为m·[(1-10%)而]= 0.92.] 随堂步步夯实 1.ACD2.D3.①④⑦4.4