第15章·轴对称·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15章·轴对称·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 能综合运用全等三角形与轴对称知识进行几何推理 · 掌握等腰、等边三角形的性质与判定在压轴题中的应用 · 熟练进行三角形内角、外角与平行线的角度计算 · 掌握线段垂直平分线的性质与最短路径问题的转化方法 · 能解决含动点、折叠的综合压轴问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.全等三角形的综合运用 证明线段相等、角相等：构造全等三角形 SAS、SSS、ASA、AAS、HL五种判定灵活选用 旋转模型：等角+等边构造全等 综合题多次全等逐层推进 概念辨析例题：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，则∠BAD与∠CAD的大小关系是（　　）A．∠BAD>∠CAD　B．∠BAD=∠CAD　C．∠BAD<∠CAD　D．无法确定 答案：B 解析：AB=AC，AD是中线，由三线合一知AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。故选B。 ✅️ 2.等腰与等边三角形 等腰三角形：等边对等角、等角对等边、三线合一 等边三角形：三边相等、三个角都是60° 含30°角的直角三角形：30°角所对直角边是斜边的一半 通过旋转、对称构造全等 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB的长为（　　）A．4　B．6　C．8　D．16 答案：C 解析：直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，BC=4是30°角对边，所以AB=2BC=8。故选C。 ✅️ 3.角度计算与平行线 三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角之和 平行线：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 角平分线、邻补角、对顶角等基础角度关系 建立方程求未知角 概念辨析例题：如图，已知a∥b，∠1=70°，则∠2的度数为（　　）A．70°　B．90°　C．110°　D．120° 答案：A 解析：a∥b，∠1与∠2是同位角（或内错角），相等，所以∠2=70°。故选A。 ✅️ 4.垂直平分线与最短路径 垂直平分线性质：线上的点到线段两端点距离相等 垂直平分线判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上 最短路径：利用轴对称将同侧点转化到异侧，两点之间线段最短 将军饮马模型：作对称点连线段求最短距离 概念辨析例题：如图，在直线l上求一点P，使PA+PB最小（A、B在l同侧），正确作法是（　　）A．连接AB　B．作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P　C．作B关于l的对称点B'，连接AB'　D．B和C均可 答案：D 解析：作A（或B）关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与l的交点即为所求。A、B同侧时B和C做法等效。故选D。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 全等三角形 五种判定方法 按条件选方法 等腰三角形 等边对等角、三线合一 先找等边再推角 等边三角形 三个角60° 可结合旋转全等 30°直角三角形 对边=斜边一半 仅30°角成立 最短路径 对称转化两点间线段最短 同侧作对称点 📩 核心考点 【考点1】全等三角形综合（第1-16题） · 构造全等证线段角相等 · 旋转模型找等角等边 · 多种判定灵活选用 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 3．（23.2（培优课）半角模型（题型精讲精练）1（原卷版））如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；；，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线、相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段、上，且，则．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，在中，，点在上，点在上，点在上，，___________． 6．（21-22八年级下·福建漳州·期中）如图，在等腰中，，于点D，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交直线于点F，连接交于点M．若，，则__________． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图， 在中，，，平分， P，Q分别为边上一点， 且， 若当的最小值为6时， 则的长为___________________． 8．（25-26七年级下·北京·期中）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 9．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，、边上的垂直平分线、交于点，连接，点为的中点，连接．若的周长为30，，，则四边形的面积为______． 10．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图所示，，，，，，，、平分、，连接交于点，是中点．连接、、，为上一定点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、，若为等腰直角三角形，证明：； (3)如图3，连接，，垂足为点，判断、的数量关系并证明． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 12．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，，点在上，连接． (1)尺规作图：在线段的延长线上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长． 13．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，当点由点运动到点时： 的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； 求出点运动的路径长度． 理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点与中点重合时，； 当点在上运动时，， 理由如下： 如下图所示，过点作，交的延长线于点， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 14．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边中，点D、E分别在、上，，连接、交于点F． (1)求证：； (2)点P在上，连接、，，求证：平分； (3)在（2）的条件下，，，求的长． 16．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，交于点，且，为的中点，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点，猜想与的数量关系并证明． 【考点2】等腰与等边三角形（第17-26题） · 三线合一推平分 · 30°角对边斜边一半 · 等边三角形60°角 17．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长最小值的平方是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（   ） A．过点作的垂直平分线 B．作的平分线，使 C．取的中点，连接 D．作的平分线，使之经过的中点 19．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 20．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，等边和等边中，B、C、E三点共线，交于点F，交于点M，交于点N．下列结论中正确的是有_______． ①；②；③为等边三角形；④． 21．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是_____． 22．（23-24八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，，则的周长最小值是______． 23．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 24．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）【背景】某数学学习小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼了两个全等三角形的模型图（图①） (1)【模型发现】如图①，在中，，，直线l经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，，线段与的数量关系是________；线段，和之间存在的数量关系为_______． (2)【模型迁移】如图②，在中，，直线l经过点，点，分别在直线l上，如果，请问：，，之间的数量关系是_______． (3)【模型建立】如图③，，，为上的点，且，猜想：线段，和之间存在的数量关系？并给予证明． 25．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，为边下方一点，为线段的中点，为线段的垂直平分线上一点，． (1)如图1，若点在同一条直线上． ①求证：点在线段的垂直平分线上； ②请直接写出的度数． (2)如图2，若点不在同一条直线上，连接，先画出关于对称的图形，再求的度数． 26．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知等边中，D是边上的中点，E为直线上一点，F为上点，． (1)如图1，若E在的延长线上，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，连，求证： (3)点G是上一点，，求证：． 【考点3】角度计算与平行线（第27-36题） · 内角和列方程 · 平行线找等角 · 外角性质求角 27．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 31．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，等边中，分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤其中正确的说法有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 35．（25-26七年级下·河南安阳·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 36．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，四边形中，，M、N分别为线段、上的动点，连接、和，当的周长最小时，，则______． 【考点4】垂直平分线与最短路径（第37-45题） · 垂直平分线上点到两端点等距 · 将军饮马作对称点 · 两点之间线段最短 37．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，点为线段上一点，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②平分；③是等边三角形；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 38．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 40．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______． 41．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 42．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 43．（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 44．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是_________． 45．（2024·上海奉贤·三模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为______． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 压轴题先标图再找全等条件 · 等腰等边三角形三线合一优先用 · 角度计算列方程更稳 · 最短路径一定作对称点 · 动点问题先分类讨论 【作业1】（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，图1中直线l及线段上任意一点D，图2是小明同学用尺规作图保留痕迹后的图形．根据小明的作图过程，判断下列结论：①；②；③；④A，E，C三点共线．正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【作业3】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的大小为______．（用的代数式表示） 【作业4】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为____． 【作业5】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在锐角中，，于点，，，，其中，，，分别为线段，，上的点（均不与点，，重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列四个结论： ①过点向，作垂线，垂足分别为，，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③在点从点向点运动过程中，的最大值为； ④当时，点始终能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 【作业6】（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，内一点，、分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则___________． 【作业7】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：； (2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 【作业8】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【作业9】（25-26七年级下·湖南益阳·期末）在学习“5.1轴对称”一节时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕； 【操作2】点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处． 【任务】 (1)如图1，在操作2中，当点落在直线上时，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，在操作2中，当点不在线段上时，探究是否可以平分，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． (3)若，在操作2中，当点不在线段上时，探究能否刚好等于，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． 【作业10】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）新乡风筝制作技艺包括扎、糊、绘、放“四艺”，属于河南省非物质文化遗产．如图是风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，求的长． 【作业11】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且． (1)猜想度数，并写出证明过程． (2)如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：是直角三角形，求的值； (3)点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有______个． 【作业12】（25-26八年级上·北京·期中）如图1，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，过点H作直线于H，分别交直线于点N、E、M． (1)当直线l经过点C时（如图2），猜想与的数量关系并证明； (2)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系； (3)请直接写出、、之间的数量关系． 【作业13】（24-25七年级下·全国·周测）如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 【作业14】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【作业15】（2024·河北邯郸·一模）如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x． (1)如图1，连接， ①求的度数； ②求证：． (2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围． (3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值． ②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章·轴对称·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 能综合运用全等三角形与轴对称知识进行几何推理 · 掌握等腰、等边三角形的性质与判定在压轴题中的应用 · 熟练进行三角形内角、外角与平行线的角度计算 · 掌握线段垂直平分线的性质与最短路径问题的转化方法 · 能解决含动点、折叠的综合压轴问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.全等三角形的综合运用 证明线段相等、角相等：构造全等三角形 SAS、SSS、ASA、AAS、HL五种判定灵活选用 旋转模型：等角+等边构造全等 综合题多次全等逐层推进 概念辨析例题：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，则∠BAD与∠CAD的大小关系是（　　）A．∠BAD>∠CAD　B．∠BAD=∠CAD　C．∠BAD<∠CAD　D．无法确定 答案：B 解析：AB=AC，AD是中线，由三线合一知AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。故选B。 ✅️ 2.等腰与等边三角形 等腰三角形：等边对等角、等角对等边、三线合一 等边三角形：三边相等、三个角都是60° 含30°角的直角三角形：30°角所对直角边是斜边的一半 通过旋转、对称构造全等 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB的长为（　　）A．4　B．6　C．8　D．16 答案：C 解析：直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，BC=4是30°角对边，所以AB=2BC=8。故选C。 ✅️ 3.角度计算与平行线 三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角之和 平行线：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 角平分线、邻补角、对顶角等基础角度关系 建立方程求未知角 概念辨析例题：如图，已知a∥b，∠1=70°，则∠2的度数为（　　）A．70°　B．90°　C．110°　D．120° 答案：A 解析：a∥b，∠1与∠2是同位角（或内错角），相等，所以∠2=70°。故选A。 ✅️ 4.垂直平分线与最短路径 垂直平分线性质：线上的点到线段两端点距离相等 垂直平分线判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上 最短路径：利用轴对称将同侧点转化到异侧，两点之间线段最短 将军饮马模型：作对称点连线段求最短距离 概念辨析例题：如图，在直线l上求一点P，使PA+PB最小（A、B在l同侧），正确作法是（　　）A．连接AB　B．作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P　C．作B关于l的对称点B'，连接AB'　D．B和C均可 答案：D 解析：作A（或B）关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与l的交点即为所求。A、B同侧时B和C做法等效。故选D。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 全等三角形 五种判定方法 按条件选方法 等腰三角形 等边对等角、三线合一 先找等边再推角 等边三角形 三个角60° 可结合旋转全等 30°直角三角形 对边=斜边一半 仅30°角成立 最短路径 对称转化两点间线段最短 同侧作对称点 📩 核心考点 【考点1】全等三角形综合（第1-16题） · 构造全等证线段角相等 · 旋转模型找等角等边 · 多种判定灵活选用 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 2．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，，    ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 3．（23.2（培优课）半角模型（题型精讲精练）1（原卷版））如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；；，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出，，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再由等边三角的判定证明是等边三角形，得出，，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵在等腰中， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 又∵， ∴，故正确； ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，故正确； 在线段上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， 是等边三角形， ， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故正确； 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点，辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线、相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段、上，且，则．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】由“筝形”的性质可得，，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定①；证明，根据全等三角形的性质可得，然后得到然后根据三角形内角和定理和平角的概念得到，故可判定②；由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；延长到，使，连接，证明，可得，，，可得，由线段和差关系可得结论，故可判断④． 【详解】解：∵四边形是“筝形”四边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，故结论③错误； 如图所示，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，在中，，点在上，点在上，点在上，，___________． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正确构造辅助线是解题的关键．作于, 延长至使, 设通过辅助线构造，证是等边三角形，最后根据求解． 【详解】解：作于, 延长至使, 设 为等腰三角形， 在和中， 是等边三角形， 故答案为：1. 6．（21-22八年级下·福建漳州·期中）如图，在等腰中，，于点D，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交直线于点F，连接交于点M．若，，则__________． 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质得出，由直线垂直平分，求出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出，根据等腰三角形的性质得出，等量代换求出即可得到；在上截取，使，连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，，再求出，根据推出，根据全等得出，从而得到，据此求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴； 在上截取，使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图， 在中，，，平分， P，Q分别为边上一点， 且， 若当的最小值为6时， 则的长为___________________． 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为6，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为6， ∴的长为6， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：6． 8．（25-26七年级下·北京·期中）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、含30度角的直角三角形 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断每个结论即可． 【详解】解：①若第3轮甲添加， ∵，， ∴， ∴添加条件后可判定全等，甲失败，乙获胜，故①正确； ②若甲添加， ∵，， ∴点到的距离为， 此时唯一确定，可判定两个三角形全等， 添加条件后甲失败，故甲不能通过添加该条件获胜，故②错误； ③若乙修改第2轮条件为， 此时已知， 若第3轮甲添加对应边相等， 添加，可由判定全等， 添加，可由判定全等； 若甲添加对应角相等， 添加，可由判定全等， 添加可由判定全等， ∴无论甲添加任何等量条件，都可判定三角形全等，甲失败，乙获胜，故③正确． 9．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，、边上的垂直平分线、交于点，连接，点为的中点，连接．若的周长为30，，，则四边形的面积为______． 【答案】80 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，，结合的周长为30，可解得；证明，同理可得，由全等三角形的性质可得；证明为等腰三角形，进而可得，然后根据四边形的面积 ，进一步求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵、分别为、边上的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为30，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，同理可得， ∴， ∵，且点为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形的面积 ． 10．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图所示，，，，，，，、平分、，连接交于点，是中点．连接、、，为上一定点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、，若为等腰直角三角形，证明：； (3)如图3，连接，，垂足为点，判断、的数量关系并证明． 【答案】(1) 证明：设和的交点为，连接, ，, , ，, , ，, , ， ∴, , 为等边三角形, 同理可证为等边三角形, , ，, , , , ，, , , , , 和都是等腰直角三角形, , , , ； (2) 证明：如图，延长到点，使，连接、， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，，和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (3) ，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∵、平分、， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）设和的交点为，连接，先证明，得到，，再证明和为等边三角形，推出，计算出，推出，得到，和都是等腰直角三角形，从而得到，借助得到，从而得证； （2）延长到点，使，连接、，构造等腰直角，证明，得出，，得出，则，再证，从而得证； （3）过点作交的延长线于点，由、平分、，得平分，，再证，得出，，结合，得出，证明为等边三角形，利用对称性证明，再证明，得出，从而得，则，再结合平行得，则可证，得，最后证明，从而得证． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形角平分线的性质，熟练掌握这些性质与判定，并根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， 又∵， (2)； (3) 证明：延长至，使，连接，，如图： ，，， ， ，， ，， ， 又，， ， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作，交的延长线于点，先证明得到，再证明，得到，根据三角形面积公式即可求解； （3）延长至，使，连接，，证明，得到，，证明，得到，，进而得到，再求得，即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）解：过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）略 12．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，，点在上，连接． (1)尺规作图：在线段的延长线上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1) 解：如图即为点， (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图，直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）以点为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，交于点，连接，交延长线于点，点即为所求，由，再利用直角三角形两锐角互余及对顶角相等，可证； （2）过点作，证明得，再由，代入解得． 【详解】（1） 的延长线于点， ， ， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 解得． 答：． 13．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，当点由点运动到点时： 的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； 求出点运动的路径长度． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴是等边三角形， 同理得也是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 的大小会发生变化， 的大小会发生变化， 如下图所示，过点作，交于，则是的中点， 当点在上运动时，， 理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点与中点重合时，； 当点在上运动时，， 理由如下： 如下图所示，过点作，交的延长线于点， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 点P运动的路径长度为． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用“”可证结论成立； （） 如下图所示，过点作，交于，则是的中点，当点在上运动时，当点与中点重合时，；当点在上运动时，， 如下图所示，点运动的路径是从点到点，由与都是等腰直角三角形，得，当点运动到点时，点在点处，又，则，从而可得，，在同一直线上，由题意得是等腰直角三角形，然后通过即可． 【详解】（1）略 （2）解： 略 如下图所示，点运动的路径是从点到点， 当点在点时， 设交于， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， 当点运动到点时，点在点处， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，在同一直线上， 由题意得是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点运动的路径长度为． 14．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①； ② 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）略 （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形．    【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边中，点D、E分别在、上，，连接、交于点F． (1)求证：； (2)点P在上，连接、，，求证：平分； (3)在（2）的条件下，，，求的长． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中，， ； (2) 证明：设， 延长至K，使，连接，， ， ∵， ， ，， ， ， ， 作延长线于M，于N， 在四边形中， ， 又， ， ， ， ， ， 平分 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）延长至K，使，连接，，可证得，从而得到 ，，可证明，可得，作延长线于M，于N，证明，可得，从而得到，即可求证； （3）在上截取，可得是等边三角形，从而证明，可得，进而得到，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 平分， ， 由面积法可得， ， ． 【点睛】本题主要查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 16．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，交于点，且，为的中点，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点，猜想与的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质以及垂直的定义，得出相等的角，进而得出，最后可得结论； （2）根据（1）得出的结论，得出为等腰直角三角形和为等腰直角三角形，表示出相关的边长，最后进行比较可得结论． 【详解】（1）证明：，为的中点． ，即． ∴在中，． 又， ． ∴在中，． ． 在与中， ， ． （2）过点作交于点，连接，如图． ，， ． 由（1）可知，平分． ． ∴在与中，． ∴在平行四边形中，． 由（1）可得，又， ． 在与中， . ． 由（1）可得，． 又，则， ． 为等腰直角三角形． ． 又， ，即平分． 则为线段的垂直平分线． ， ， 又， ， ． 【考点2】等腰与等边三角形（第17-26题） · 三线合一推平分 · 30°角对边斜边一半 · 等边三角形60°角 17．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长最小值的平方是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 周长， 周长的最小值是的长， 周长最小值的平方是，线段的长度是， ， ， 是等边三角形， ， ． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（   ） A．过点作的垂直平分线 B．作的平分线，使 C．取的中点，连接 D．作的平分线，使之经过的中点 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形两底角相等性质的证明，根据三角形边边边判定直接选即可得到答案； 【详解】解：过线外一点不能作线的垂直平分线，说法错误，故A错误，不符合题意， 作一个角的平分线不一定垂直于角的对边，说法错误，故B错误，不符合题意， 取的中点，连接，可以得到，，，从而得到，即可得到，故C正确， 作一个角的平分线不一定经过角对边的中点，说法错误，故D错误，不符合题意， 故选：C． 19．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等， 连接，，，，，，再根据题意分别求该八边形各边长和内角，点到该八边形各顶点的距离，点到该八边形各边的距离，逐个判断即可． 【详解】解：连接，，，，，， ∵将正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 同理可得， ∴①该八边形各边长都相等，说法正确； ②该八边形各内角都相等，，说法错误； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③点到该八边形各顶点的距离都相等，说法错误； ∵点到该八边形各边的距离就是中心到正方形各边的距离， ∴④点到该八边形各边的距离都相等，说法正确； 综上所述，正确的有①④； 故选：A． 20．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，等边和等边中，B、C、E三点共线，交于点F，交于点M，交于点N．下列结论中正确的是有_______． ①；②；③为等边三角形；④． 【答案】①③④ 【知识点】三角形内角和定理的证明、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合等边三角形的性质证明，则，再结合三角形内角和性质以及对顶角相等，得出，故（大角对大边）；然后证明，运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形来证明为等边三角形；接着在上截取点使得，证明，故是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴ 则 ∴ ∴（大角对大边） 故②不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故③符合题意； 在上截取点使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故④符合题意， 故答案为：①③④ 21．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是_____． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、含的直角三角形的性质，正确画出辅助线并掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称确定最短路线问题，的长度即为的最小值，再过点作于，则当点和点重合时，为最小值；然后再根据直角三角形的性质求得的长，进而求得的长，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ，点在边上， ， 过点作于， 当点和点重合时，为最小值， ， ， ， ， 是的角平分线，点关于的对称点， ， ， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，，则的周长最小值是______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，分别作点关于，的对称点，， 连接，分别交，于点、点 ，连接、，由轴对称可得，，，，，，进而得到，，由此推导出为等边三角形，即可求解，解题的关键是根据轴对称找到最短的路线． 【详解】解：如图所示，分别作点关于，的对称点，， 连接，分别交，于点、点 ，连接、，则此时的周长最小， 连接、， ∵点关于对称， ∴，，， 同理可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长 ， 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 【答案】(1) (2)证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴ (3) 证明：由（1）得 过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图， ∵AQ⊥AM，PC⊥BM， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵CM＝AN， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵ ∴, ∴ ∴． ∴． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）根据和三角形内角和即可求出． （2）过点C作交的延长线于T，连接，证明，再证明垂直平分线段，即可证明． （3）过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，首先证明，得出再证明，得出根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， 又， （2）略 （3）略 24．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）【背景】某数学学习小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼了两个全等三角形的模型图（图①） (1)【模型发现】如图①，在中，，，直线l经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，，线段与的数量关系是________；线段，和之间存在的数量关系为_______． (2)【模型迁移】如图②，在中，，直线l经过点，点，分别在直线l上，如果，请问：，，之间的数量关系是_______． (3)【模型建立】如图③，，，为上的点，且，猜想：线段，和之间存在的数量关系？并给予证明． 【答案】(1)； (2) (3)，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）先证明，再证明即可得结论； （2）同理（1）即可得结论； （3）在上截取，连接，证明即可得结论； 【详解】（1）解：；．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）解：． 证明：如图，在上截取，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴． 25．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，为边下方一点，为线段的中点，为线段的垂直平分线上一点，． (1)如图1，若点在同一条直线上． ①求证：点在线段的垂直平分线上； ②请直接写出的度数． (2)如图2，若点不在同一条直线上，连接，先画出关于对称的图形，再求的度数． 【答案】(1) ①证明：如下图，连接，    ∵为线段的中点，， ∴，即垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； ② (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①连接，利用垂直平分线的性质证明，即可证明点在线段的垂直平分线上；②结合①可知均为等腰三角形，易得，，然后根据“四边形内角和为”可解得； （2）首先作出关于对称的图形，连接，由对称的性质可得，，，再证明，，由全等三角形的性质可得，，易得，进而确定，即可获得答案． 【详解】（1）①略 ②解：由①可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，作出关于对称的图形，连接， ∵与关于对称， ∴，，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线构造等腰三角形或全等三角形是解题关键． 26．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知等边中，D是边上的中点，E为直线上一点，F为上点，． (1)如图1，若E在的延长线上，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，连，求证： (3)点G是上一点，，求证：． 【答案】(1) 证明：取的中点P，连接， ∵在等边三角形中，，， ∵D是的中点 ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， (2) 证明：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴， (3) 证明：在上取一点，使，再在上取一点，使， ∴， ∵在等边三角形中，，，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】（1）取的中点P，连接，构造等边三角形，再证明即可解答； （2）先证明F为中点，可得，再证明，可得，由即可得出结论； （3）在上取一点，使，再在上取一点，使，构造等腰三角形和全等三角形，证明，进而可得，再证明即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质、平行线的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【考点3】角度计算与平行线（第27-36题） · 内角和列方程 · 平行线找等角 · 外角性质求角 27．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据三线合一定理可判断①；可证明，得到，由三角形外角的性质可得，，则可得到，据此可判断②；可证明，据此可判断③；可求出，则可得到，求出，则，据此可判断④． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，，，故①正确； 如图，连接， ，， ， ； ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ∵，， ， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确，； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 28．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解、全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角、三线合一 【分析】由题中作图，结合三角形全等的判定与性质得到，逐项验证各个选项即可得到答案． 【详解】解：由题中的作图可知，， ， ，则， A、题中无法确定，不一定成立； B、由于，而题中无法确定，则不一定成立； C、由等腰三角形三线合一性质得到，而题中无法确定，则不一定成立； D、由于、，则一定成立． 29．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明，根据等角对等边推出可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④． 【详解】解：是的平分线， ， ，是边上的高， ，， ，， ．故①③符合题意． ，是边上的高， ，， 是的平分线， ， ， ， ．故②符合题意． 如图，过点作于，   ，是的平分线， ， ∴， ∵， ∴ 故④符合题意． 30．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【知识点】对顶角相等、全等三角形的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，判断每个命题的逆命题是否正确．写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A、逆命题是“内错角相等，两直线平行”，成立，故A符合题意； B、逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，但绝对值相等的两个实数可能互为相反数，不成立，故B不符合题意； C、逆命题是“相等的角是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），不成立，故C不符合题意； D、逆命题是“如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等”，但对应角相等的三角形，不一定全等，不成立，故D不符合题意． 故选：A． 31．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 32．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，等边中，分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤其中正确的说法有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质，得到； 过点作于，于，于，根据角平分线的性质，得到是的角平分线，继而证明； 通过证明，得到，继而得到； 根据外角定理和等量代换，得到； 根据，得到，根据，得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确， 如图，过点作于，于，于， ∵和是、的平分线， ∴，, ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， ∴，故④正确， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵在和中，边和边上是同一条从到的高， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， 故选：． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 34．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】由题意易得，，，然后可得，，过点作，则有，设，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵，分别是的内角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 过点作， ∵，分别是的内角和外角的平分线， ∴， ∴平分， ∴， 设， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④． 35．（25-26七年级下·河南安阳·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、轴对称中的光线反射问题 【分析】对于A，由题可知，进而可得；对于B，由题可得，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断；对于C，根据平行的性质即可判断；对于D，由可得，无法判定． 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C， ， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 36．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，四边形中，，M、N分别为线段、上的动点，连接、和，当的周长最小时，，则______． 【答案】/108度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 解得， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 【考点4】垂直平分线与最短路径（第37-45题） · 垂直平分线上点到两端点等距 · 将军饮马作对称点 · 两点之间线段最短 37．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，点为线段上一点，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②平分；③是等边三角形；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，由“”可证，可得，故①正确；过点作于于，由全等的性质和面积公式可证出，再由“”证出，得出，故正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由等边三角形的性质得，可得，可证④正确． 【详解】解： 、是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 故正确； 如图，过点作于于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分，故正确； ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， 故③正确， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， 故④正确； 综上所述：正确的有共4个， 故选：． 38．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义． 根据三角形外心的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 点分别是的中点，借助网格构成的长方形的对角线可得， ， ∴是边的垂直平分线， ∴点是三角形三边垂直平分线交点， 故选：C． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 【答案】 【知识点】线段的和与差、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】过点E作的垂线，垂足记为F，因为是的角平分线，根据角平分线的性质，所以可推出，且可证明，得到．因为是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，所以，结合已得的，可证明，得到．设的长度为x，用含x的式子分别表示和的长度，结合建立方程，求解得到的长度． 【详解】连接、，过作于． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分，，， ∴，且 在和中：， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴． 设，则，是的延长线， ∴； 又， ∴， 解得， 即． 40．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形三线合一可得为的垂直平分线，即得，进而得，即可得的最小值即为垂线段的长，利用三角形面积求出即可求解，得出的最小值为垂线段的长是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值即为垂线段的长， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 41．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 【答案】①②③④⑤ 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三线合一、根据等角对等边证明边相等 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：平分，PB平分， ，， ，故①正确； ∵平分， ∴P到，的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分 (三线合一)，故③正确； ∵与的平分线相交于点P， ∴点P到，的距离相等，点P到，的距离相等， ∴点P到，的距离相等， ∴点P也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故④正确； 由④得：， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 42．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2026除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为， 如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 43．（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解： 是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又 ， ； 综上：的度数为或或. 44．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是_________． 【答案】14.4 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】连接、，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，则，，由两点之间线段最短和垂线段最短得到，当Q、P、B共线且时，的最小，最小值为的长，由勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得即可解答． 【详解】解： 如图，连接、， ∵，是的平分线， ∴垂直平分，， ∴，， ∴，当Q、P、B共线时取等号， ∵Q在上运动， ∴当时，最短，此时最小． 由勾股定理得：， ∵ ， ∴，即的最小值是． 45．（2024·上海奉贤·三模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为______． 【答案】①②③④ 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【分析】①连结，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明，从而证明是的切线，再证明、都是的切线，用切线长定理即可证明，所以①正确；②和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得 （），所以②正确；③设正方形的边长为，连接，过点作于点，于点，根据正切定义可得，用含的代数式表示和 ，它们均为 ，所以③正确；④由前面得到的结论，可得 ， ，求得 ，所以④正确． 【详解】解：①如图，连接，则． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ∵，， ∴、都是的切线， ∴， ∵， ∴．故①正确； ②∵， ∴ ， ， ∴ [] ． 故②正确； ③如图，设正方形的边长为，连接、交于点，作于点，于点，则，四边形为矩形． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ， ∴ ，整理，得 ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ，， ∴． 故③正确； ④如图，∵，， ， ∴． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设正方形的边长为，将有关线段用含的代数式表示． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 压轴题先标图再找全等条件 · 等腰等边三角形三线合一优先用 · 角度计算列方程更稳 · 最短路径一定作对称点 · 动点问题先分类讨论 【作业1】（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，图1中直线l及线段上任意一点D，图2是小明同学用尺规作图保留痕迹后的图形．根据小明的作图过程，判断下列结论：①；②；③；④A，E，C三点共线．正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，根据作图可得，则可证明，可得，进而证明，则可得，，即可判断①②；连接，由作图可得，，，证明可得，即可判断③；连接，根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和平行线的性质进行判定即可． 【详解】解：连接， 由作图可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴①②正确， 连接， 由作图可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴③正确， 连接， ∵， 又∵， ∴， 由作图可得，即是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和是“内错角”关系，且， 又∵， ∴点在直线， ∴④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、平行线的判定和性质，熟练掌握以上性质是解决本题的关键． 【作业2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称－最短路径、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质求解最短路径问题是解题的关键． 如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，则此时的值最小， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴点A的坐标为． 故选：B． 【作业3】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的大小为______．（用的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据翻折性质可得、，由、得，，进而得即可计算的大小． 【详解】解：如图， 由翻折得，，， ， ，， ， ， ， ． 【作业4】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为____． 【答案】4 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又 ，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 【作业5】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在锐角中，，于点，，，，其中，，，分别为线段，，上的点（均不与点，，重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列四个结论： ①过点向，作垂线，垂足分别为，，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③在点从点向点运动过程中，的最大值为； ④当时，点始终能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②④/④② 【知识点】两点之间线段最短、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，利用对称性可得，，则，即，再由对称性可得，，继而可得为等边三角形，则，继而逐项判断即可． 【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点， 连接交于，交于，如图： 由对称性可知，， 则, 所以当与重合，与重合时，周长取得最小值，即 过点向，作垂线，垂足分别为，， 易知，不与，同时重合，故①错误； 由对称性可知，，， ， 为等边三角形， ，即， 点从点向点运动过程中，当与重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为，故②正确； ， 点从点向点运动过程中，当与重合时，取得最大值，最大值为， 又不与，重合，即无最大值，故③错误； 当时，点能在两个不同的位置取到相同的值， 分别在点两侧且关于点对称，故④正确; 故答案为：②④． 【作业6】（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，内一点，、分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则___________． 【答案】/76度 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质得到，，再根据两点之间线段最短可知当共线时，的周长最小；连接、、，根据轴对称的性质得到，，，利用角的和差求出，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出，再通过证明得到，同理可得，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点，交于点，交于点， ∴，， ∵的周长， ∴当共线时，的周长最小； 如图，连接、、， 由轴对称的性质得，，，， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【作业7】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：； (2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴； (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）得到是等边三角形，则，由、关于对称，得到，即可等量代换； （2）可得，则，由对称可得，则，然后由定等腰三角形的性质可得，则再由求解； （3）连接并延长交延长线于点，导角证明为等边三角形，则，然后再证明，那么，故． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交延长线于点， ∴， ∵等边中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、关于对称， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 【作业8】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】(1)， ； (2)①秒， ②能，当点在上时， ∵，， ∴ 即    解得：秒   ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分 (3)为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；         （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；②根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. 【详解】（1）解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴   故答案为：， ； （2）①当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②略 （3）当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形   则 ∴ ∴ 解得： ②若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 【作业9】（25-26七年级下·湖南益阳·期末）在学习“5.1轴对称”一节时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕； 【操作2】点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处． 【任务】 (1)如图1，在操作2中，当点落在直线上时，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，在操作2中，当点不在线段上时，探究是否可以平分，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． (3)若，在操作2中，当点不在线段上时，探究能否刚好等于，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，  理由如下： 根据折叠可知，， ， ． ， ． ． (2)可以，． (3)能，或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质即可解答； （2）假设可以，根据折叠可知，由已知，求出三个角的度数，即可解答； （3）假设能，设，分点在外和点在内两种情况，分别用x表示和，根据题意列方程计算即可． 【详解】（1）略． （2）可以，设， 则根据折叠可知， 平分， ， ， ， 即， 解得， ， ． 答：存在，． （3）解：能，设，则 当点在外时，如图， ， ， 解得， 此时 ； 当点在内时，如图，， ， ， 解得， 此时． 的度数为或． 【作业10】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）新乡风筝制作技艺包括扎、糊、绘、放“四艺”，属于河南省非物质文化遗产．如图是风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质、等边三角形的判定 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理解答即可； （2）根据等边三角形的性质及垂直平分线的性质得，由平行线的性质推出，得，从而证得是等边三角形，求出，再求出，得 【详解】（1）证明：是等边三角形． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． 又． 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线 即直线垂直平分线段． （2）解：∵是等边三角形， ∴． ∴垂直平分线段． ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 【作业11】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且． (1)猜想度数，并写出证明过程． (2)如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：是直角三角形，求的值； (3)点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有______个． 【答案】(1) 解：，证明如下： 如图，取点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (2)的值为或 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）取点，连接，证明，得出是等边三角形，即可得出结论； （2）表示出，，，然后分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质列出方程求解； （3）根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论，结合（1）中的结论得出点与、重合． 【详解】（1）略 （2）解：∵、， ∴， 由题意得，，， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，如图，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； （3）解：如图， 以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，； 以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，； 作线段的垂直平分线交坐标轴于点，； 由（1）得是等边三角形， ∴点与、重合， ∴符合条件的点共有个． 【作业12】（25-26八年级上·北京·期中）如图1，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，过点H作直线于H，分别交直线于点N、E、M． (1)当直线l经过点C时（如图2），猜想与的数量关系并证明； (2)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系； (3)请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) 解：，理由如下： 连接， ∵平分， ， ∵直线于H， ， ， ， ， 是线段的中垂线， ， ， ， ， ， ， ； (2) 解：，理由如下： 过点C作交于，过点C作交直线l于点G， 由（1）可得， ， ∵， ， ， ， ∵M是中点， ， 在和中，， ， ， ， ． (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形“三线合一”性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，易证，易证，可得，即可解题； （2）过点C作交于，过点C作交直线l于点G，证出及即可； （3）分点在线段上、在的延长线上、在的延长线上三种情况进行讨论，和（2）中方法类似． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①当点在线段上时， 过点作交于，如图3所示： 由（2）得：，， ； ②当点在的延长线上时， 过点作交于，如图4所示： 由（2）得：，， ； ③当点在的延长线上时， 过点作交于，如图5所示： 由（2）得：，， ． 综上所述，当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时，． 【作业13】（24-25七年级下·全国·周测）如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：如图②，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）要证AB=PB，可通过角平分线性质 + 垂直平分线性质，证明； （2）同理，仍利用角平分线、垂直平分线的性质，证明三角形全等，进而推导． 【详解】（1）解：如图①，连接． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是通过连接，构造全等三角形，利用 “边 - 角 - 边” 证明全等，进而推导边的关系． 【作业14】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∴， 即； (3)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、折叠问题 【分析】（）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∵， ∴该种情况不存在； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴; 综上所述，的度数为或或． 【作业15】（2024·河北邯郸·一模）如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x． (1)如图1，连接， ①求的度数； ②求证：． (2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围． (3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值． ②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值． 【答案】(1)①； ②证明：， ， 又， ， ， ． (2) (3)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得，则得； ②由题意易得，从而得，即有，则可证明平行； （2）过P作．易得四边形是矩形，则，；由得，由折叠性质得；在中由勾股定理求得；在中，由勾股定理求得的长，从而确定x的范围； （3）①当点落在的延长线上时，则，过B作于G，交于H．由，得，求得，从而求得x的值； ②分当P在上与当P在上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：①， ． ， ， ． ②略； （2）解：当A'落在上时，过P作． 则， ， 四边形是矩形， ，． ， ， 由翻折得， ， ， ， ， ， ， ， 故点A'落到四边形内部时，． （3）①解：当点落在的延长线上时，则， 过B作于G，交于H． 则四边形是矩形，四边形为矩形， ，， ， ， 即， ， ． ②当P在上时，过M作于H，过M作于G． 由垂线段最短，知M、、H共线时，最短． 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， ， ， ． 当P在上时，由于点到点B的距离是定值8， 故离BD的距离越短越好， 故P与B重合时，最短，则就最小． 过M作，交延长线于Q，交于G，过作． 则得四边形、都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 由上一问知， ， ， ， ， ， 最小， ． ， ． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程等知识点，涉及的知识较多，综合性较强，注意分类讨论． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $