专题12 函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题12 函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求具体函数的定义域 题型二、求抽象函数的定义域 题型三、利用函数的定义域求参数 题型四、直接法求函数的值域 题型五、配方法求函数的值域 题型六、换元法求函数的值域 类型七、分离常数法求函数的值域 类型八、基本不等式法求函数的值域 类型九、单调性法求函数的值域 类型十、判别式法求函数的值域 类型十一、利用函数的值域求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数定义域和值域的求法是高中数学核心重难点，所有题型均围绕求具体函数的定义域、求抽象函数的定义域、利用函数的定义域求参数、直接法求函数的值域、配方法求函数的值域、换元法求函数的值域、分离常数法求函数的值域、基本不等式法求函数的值域、单调性法求函数的值域、判别式法求函数的值域、利用函数的值域求参数十一大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域，运用整体代换处理抽象函数定义域问题；二是研究函数值域优先考虑函数定义域，运用常见技巧破解函数值域问题，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求具体函数的定义域 典例1 已知函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 注意：（1）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集；（2）定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 2.方法：（1）找条件：先把所有限制条件都考虑全面，做到不遗漏； （2）解不等式：分别求每个限制条件所确定的自变量的取值集合； （3）求交集：求这些集合的交集，即为函数的定义域。 变式1-1函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 变式1-2函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式1-3函数的定义域为 . 类型二、求抽象函数的定义域 典例2 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：抽象函数，就是没有直接给出具体解析式，而是只通过一些关系式、性质或条件来描述的函数。 2.方法：求抽象（复合）函数的定义域： 变式2-1已知函数的定义域为，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 变式2-2已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式2-3已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为______________. 题型三、利用函数的定义域求参数 典例3已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：（1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 2.方法：根据函数的定义域求参数范围分析方法： 变式3-1已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-2已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-3（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______； （2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______. 题型四、直接法求函数的值域 典例4函数的值域是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值 2.方法：(1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. 变式4-1函数的值域是（  ） （A） （B） （C） （D） 变式4-2已知函数的定义域为，值域为，则（  ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 变式4-3若的定义域为，则函数的值域为 ． 题型五、配方法求函数的值域 典例5已知函数，则的值域为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. 2.方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域。 变式5-1已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（  ） A． B． C． D． 变式5-2函数的值域为 . 变式5-3函数的定义域为，则函数的值域为 ． 题型六、换元法求函数的值域 典例6 已知函数，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值. 2.方法：换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元。 变式6-1函数的最小值为（  ） A． B． C．1 D．2 变式6-2函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 变式6-3函数的最大值为 ． 题型七、分离常数法求函数的值域 典例7若，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值 2.方法：形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是 变式7-1函数的值域为（  ） A． B． C． D． 变式7-2函数的值域为（  ） A． B． C． D． 变式7-3表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 题型八、基本不等式法求函数的值域 典例8 已知函数，则函数的值域是 . 题型模版 1.特征：形如的函数，可用基本不等式法求值域 2.方法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 变式8-1函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 变式8-2函数的值域为 变式8-3设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是为___________. 题型九、单调性法求函数的值域 典例9 已知函数，则在上的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 2.方法：求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值. 变式9-1函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 变式9-2函数的最小值为（  ） A．0 B．4 C． D． 变式9-3函数的定义域是，则其值域为 题型十、判别式法求函数的值域 典例10 函数的最大值为 ． 题型模版 1.特征：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 2.方法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数。将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值。 变式10-1若函数的最大值为，最小值为，则（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 变式10-2函数的值域为： ． 变式10-3若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为___________- 题型十一、利用函数的值域求参数 典例11若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：由函数值域（或最值）求参的问题，往往先确定函数值域表达式，转化为方程（或不等式）有解问题。 2.方法：对于由函数值域（或最值）求参的问题，往往先确定函数值域表达式，转化为方程（或不等式）有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. （1）注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 变式11-1已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 变式11-2已知函数在上的值域为，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 变式11-3高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为_____. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数的定义域是（  ） A． B． C．，且 D．，且 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 3．函数，的最大值是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．函数的值域为（  ） A． B． C． D．以上答案都不对 5．若函数的定义域为，则此函数的值域为（  ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）下列函数中，值域不是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 8．（多选）下列说法不正确的是（  ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 9．（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（  ） A． B． C． D． 10．设函数的定义域是，则函数的定义域为__________． 11．若函数的取值范围是 . 12．已知函数的值域为，则常数 ． 13.已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 14.已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求具体函数的定义域 题型二、求抽象函数的定义域 题型三、利用函数的定义域求参数 题型四、直接法求函数的值域 题型五、配方法求函数的值域 题型六、换元法求函数的值域 类型七、分离常数法求函数的值域 类型八、基本不等式法求函数的值域 类型九、单调性法求函数的值域 类型十、判别式法求函数的值域 类型十一、利用函数的值域求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数定义域和值域的求法是高中数学核心重难点，所有题型均围绕求具体函数的定义域、求抽象函数的定义域、利用函数的定义域求参数、直接法求函数的值域、配方法求函数的值域、换元法求函数的值域、分离常数法求函数的值域、基本不等式法求函数的值域、单调性法求函数的值域、判别式法求函数的值域、利用函数的值域求参数十一大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域，运用整体代换处理抽象函数定义域问题；二是研究函数值域优先考虑函数定义域，运用常见技巧破解函数值域问题，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求具体函数的定义域 典例1 已知函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列式求解定义域即可. 【解析】由题意得：，所以， 所以的定义域为. 故选：D 题型模版 1.特征：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 注意：（1）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集；（2）定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 2.方法：（1）找条件：先把所有限制条件都考虑全面，做到不遗漏； （2）解不等式：分别求每个限制条件所确定的自变量的取值集合； （3）求交集：求这些集合的交集，即为函数的定义域。 变式1-1函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解. 【解析】由， 得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 变式1-2函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C 变式1-3函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可. 【解析】由题可得，解得且； 的定义域为：． 故答案为： 类型二、求抽象函数的定义域 典例2 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【解析】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 题型模版 1.特征：抽象函数，就是没有直接给出具体解析式，而是只通过一些关系式、性质或条件来描述的函数。 2.方法：求抽象（复合）函数的定义域： 变式2-1已知函数的定义域为，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【解析】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 变式2-2已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可. 【解析】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故答案为：B. 变式2-3已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为______________. 【答案】 【解析】因为的定义域为，则，即，所以的定义域为， 又，所以函数的定义域为. 故答案为： 题型三、利用函数的定义域求参数 典例3已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解析】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A. 题型模版 1.特征：（1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 2.方法：根据函数的定义域求参数范围分析方法： 变式3-1已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【解析】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 变式3-2已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得，综上，实数的取值范围是． 故选：D. 变式3-3（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______； （2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】（1）转化为不等式的解集为，然后分与分别讨论即可. （2）转化为关于x的不等式在恒成立，然后分与分别讨论即可. 【解析】（1）根据题意，知关于x的不等式的解集为. 当时，不符合题意； 当时，关于x的不等式的解集为，故，所以. 综上，. （2）根据题意，知当时，关于x的不等式恒成立. 当a＝0时，符合题意； 当a≠0时，设，根据一次函数的性质，得解得. 综上，. 故答案为：-1； 题型四、直接法求函数的值域 典例4函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【解析】因为，所以，因此，函数的值域是. 故选：B. 题型模版 1.特征：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值 2.方法：(1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. 变式4-1函数的值域是（  ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【分析】根据二次函数结合偶次根式求解即可. 【解析】因为，所以，所以，所以 故选：B 变式4-2已知函数的定义域为，值域为，则（  ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果. 【解析】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 变式4-3若的定义域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的值域解析式求解即可. 【解析】因为的定义域为，所以；；；所以函数值域为. 故答案为：. 题型五、配方法求函数的值域 典例5已知函数，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解 【解析】，， 故，故函数值域为. 故选：B 题型模版 1.特征：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. 2.方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域。 变式5-1已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】得，故， ，故， 故 故选：A 变式5-2函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【解析】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为： 变式5-3函数的定义域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，要有意义，则需，即， 即函数定义域为， 又，对称轴方程为， 所以当时，，当时，， 所以函数值域为， 故答案为： 题型六、换元法求函数的值域 典例6 已知函数，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 题型模版 1.特征：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值. 2.方法：换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元。 变式6-1函数的最小值为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用换元法，令，然后将原函数转化为自变量为的函数，再结合二次函数的性质可求出其最小值. 【解析】令，则， 所以 所以当时，取得最小值， 所以函数的最小值为， 故选：A. 变式6-2函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令，则， 则函数变为， 在上单调递减， 其中，， 故值域为. 故选：D 变式6-3函数的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值. 【解析】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值2. 故答案为：2. 题型七、分离常数法求函数的值域 典例7若，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【解析】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 题型模版 1.特征：适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值 2.方法：形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是 变式7-1函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 变式7-2函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【解析】， 当时，. 则. 故选：B. 变式7-3表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数后求得，再判断的值域. 【解析】∵， 又，故， 则， 故答案为： 题型八、基本不等式法求函数的值域 典例8 已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为： 题型模版 1.特征：形如的函数，可用基本不等式法求值域 2.方法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 变式8-1函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果. 【解析】当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）； 综上所述：的值域为. 故选：C. 变式8-2函数的值域为 【答案】 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. 故答案为： 变式8-3设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是为___________. 【答案】 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【解析】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故答案为： 题型九、单调性法求函数的值域 典例9 已知函数，则在上的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 题型模版 1.特征：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 2.方法：求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值. 变式9-1函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 变式9-2函数的最小值为（  ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 变式9-3函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【解析】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 题型十、判别式法求函数的值域 典例10 函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为： 题型模版 1.特征：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 2.方法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数。将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值。 变式10-1若函数的最大值为，最小值为，则（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【解析】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 变式10-2函数的值域为： ． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【解析】显然恒成立，即原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 变式10-3若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为___________- 【答案】 【解析】不妨设是中的最小值，则由得， 由已知，， 所以是方程的两根， 所以，又，所以，，从而， 故答案为： 题型十一、利用函数的值域求参数 典例11若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解析】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 题型模版 1.特征：由函数值域（或最值）求参的问题，往往先确定函数值域表达式，转化为方程（或不等式）有解问题。 2.方法：对于由函数值域（或最值）求参的问题，往往先确定函数值域表达式，转化为方程（或不等式）有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. （1）注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 变式11-1已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 变式11-2已知函数在上的值域为，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解析】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 变式11-3高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意求出，再求出函数值域，根据的值域为建立不等式即可得解. 【解析】由的解为，可知，即， ， 当时，， 所以的值域为，又的值域为， 所以且，解得， 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数的定义域是（  ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D 3．函数，的最大值是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 4．函数的值域为（  ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【解析】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 5．若函数的定义域为，则此函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 故选：B 6．若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用求解含参函数的定义域的方法即可. 【解析】因为函数的定义域为， 所以，对任意的，恒成立. ①当时，则有，合乎题意； ②当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 7．（多选）下列函数中，值域不是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【解析】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABC． 8．（多选）下列说法不正确的是（  ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】运用相等函数概念，复合函数定义域，结合不等式恒成立计算即可. 【解析】对于A，函数的定义域为的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B：因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为，B正确 对于C，不等式， 则解集为，C不正确 对于D，当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 9．（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，“有界函数”的值域需有界，求每个选项函数的值域进行判断即可. 【解析】对于A，，由于，所以，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”； 对于B，令，则，，当时，取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立， 是“有界函数”； 对于C，令+1，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立， 是“有界函数”； 对于D，令，则，，则，易得，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”． 故选：BC 10．设函数的定义域是，则函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可. 【解析】∵函数的定义域是， ∴要使函数有意义， 则，解得. 故函数的定义域为 故答案为： 11．若函数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求值域即可. 【解析】, 而，， ， ， 即， 故答案为： 12．已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【解析】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 13.已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解析】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 14.已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用判别式法求值域； （2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值. 【解析】（1）时，，即，整理得， 当时，， 当时，由，得， 解得，且， 综上，，则的值域是. （2）且， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，此时； 当时，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时，综上所述： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $