第15章·轴对称·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15章·轴对称·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解轴对称图形与成轴对称的概念，会识别轴对称图形 · 掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 · 掌握线段垂直平分线的性质与判定 · 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定方法 · 理解折叠问题的本质，能利用轴对称性质解决折叠与最短路径问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.轴对称与轴对称图形 轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 成轴对称：两个图形沿一条直线折叠能完全重合，对应点连线被对称轴垂直平分 轴对称性质：对应线段相等、对应角相等 常见轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、正方形、圆等 概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A．平行四边形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．一般梯形 答案：C 解析：等边三角形沿任意一条中线所在直线折叠，两边完全重合，是轴对称图形；平行四边形、一般直角三角形、一般梯形一般不是轴对称图形。故选C。 ✅️ 2.坐标与轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（x，y）→（x，-y） 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（x，y）→（-x，y） 关于原点对称：横纵坐标都互为相反数（x，y）→（-x，-y） 画轴对称图形：先找关键点的对称点，再顺次连接 概念辨析例题：点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）A．（2，3）　B．（-2，-3）　C．（-2，3）　D．（2，-3） 答案：A 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号：（2，-3）→（2，3）。故选A。 ✅️ 3.线段垂直平分线与角平分线 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等 最短路径：利用对称转化，两点之间线段最短 概念辨析例题：如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，若PA=PB，则点P在（　　）A．线段AB上　B．CD上　C．三角形内部　D．任意位置 答案：B 解析：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。PA=PB，所以点P在CD上。故选B。 ✅️ 4.等腰三角形与等边三角形 等腰三角形性质：等边对等角；顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一 等腰三角形判定：等角对等边 等边三角形：三边相等、三角都是60° 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对称轴 概念辨析例题：等边三角形每个内角的度数为（　　）A．45°　B．60°　C．90°　D．120° 答案：B 解析：等边三角形三个内角相等，内角和180°，每个内角60°。故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/规律 注意事项 轴对称图形 沿对称轴折叠完全重合 对应点连线被对称轴垂直平分 坐标对称 x轴对称y变号，y轴对称x变号 原点对称都变号 垂直平分线 线上的点到两端点等距 判定需证PA=PB 角平分线 线上的点到两边等距 距离指垂直距离 等边三角形 三角都60° 三线合一在等腰中成立 📩 核心考点 【考点1】轴对称图形与坐标对称（第1-14题） · 识别轴对称找对称轴 · 坐标对称按变号规则 · 画轴对称图形找关键点 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为、．作关于某直线的对称图形．若的坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）冬日暖阳照在身上，温暖了身体，更温暖了心里，下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·模拟预测）“国士无双”是人民对隐姓埋名30年，一身忠骨铸丰碑的“中国核潜艇之父”黄旭华院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如果点在第三象限，则点关于x轴对称的点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）    A．1.5 B．3 C．2 D．2.5 8．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，，P是内的一点，且，C、D分别是P关于的对称点，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24七年级下·全国·暑假作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是________． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则a的值是______． 13．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）点关于x轴的对称点的坐标为_____． 14．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）若点与点关于轴对称，则___________；若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【考点2】等腰三角形的性质与判定（第15-28题） · 等边对等角求角 · 三线合一灵活用 · 等角对等边判定 15．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 18．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）等腰三角形的顶角是，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（　　） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，过点作，连结，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则______． 20．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，，，则的度数为________． 21．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，于点D，若点P是高上一动点，点E是边上一动点，连接，则的最小值是______． 22．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______． 23．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，连接，交于点D，连接，则的度数为_____． 24．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是________． 26．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 27．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是________（请填入正确的序号）． 28．（24-25九年级上·陕西西安·期末）为的直径，点、在上，若，______． 【考点3】垂直平分线与角平分线（第29-40题） · 垂直平分线上点到两端点等距 · 角平分线上点到两边等距 · 最短路径对称转化 29．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，是边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 30．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，周长为，则长为______． 31．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，为直线上一点，为直角，以射线为折痕对折，若射线与射线（不是的平分线）重合，则图中相等角共有___________对． 32．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为_______． 33．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是________．    34．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，点D在上，垂直平分，垂足为点E，垂直平分，垂足为点F．求证：． 35．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的； (2)请在轴上标出点的位置，使得的值最小（不要求写作法，保留作图痕迹）． 36．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，写出的各顶点坐标，并画出关于轴对称的，写出关于轴对称的的各点坐标． 37．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，D是边上的一点，过点D作边的平行线，分别交的角平分线、的外角的角平分线于M、N两点．求证：． 38．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）尺规作图：（不写作图过程，保留作图痕迹，图中需要画的线一律画实线） 已知，在边上的高所在的直线上求作一点，使得点到的两边的距离相等． ∴点即为所求． 39．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上． (1)求的度数； (2)当时，求的值． 40．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 【考点4】折叠与等边三角形综合（第41-52题） · 折叠对应边角相等 · 折痕是对称轴 · 等边三角形三角60° 41．（22-23八年级下·河南郑州·阶段检测）以下命题的逆命题为真命题的是（      ） A．若，则 B．对顶角相等 C．对应角相等的三角形全等 D．若，则 42．（23-24七年级下·四川泸州·期中）如图，把长方形纸向沿折叠后，点D、C分别在点M、N的位置上．与的交点为点G，若，则 (  ) A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 44．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（    ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级上·全国·随堂练习）若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为_____． 48．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为_____． 49．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则____________________ ．（用α的代数式表示） 50．（24-25七年级下·上海·期末）将按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点，点B的对应点是点，为折痕．若，则的度数为________． 51．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，之间的距离的取值范围是_______． 52．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，线段上取点B，在其同一侧作两个等边三角形和，连接与， 下列结论：①在图中现有字母下有两对全等三角形，②，③连接，则平分，④是等边三角形，⑤连接，则；其中正确的结论是______．（填写序号） 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 识别轴对称先找对称轴 · 坐标对称记变号规则 · 垂直平分线与角平分线性质区分 · 等腰三角形三线合一是重点 · 折叠问题找对应关系 【作业1】（2026·山东临沂·三模）如图，已知，直线与直线，分别交于点，．按如下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是________． 【作业2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，等腰中，， ， ，点为中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当与全等时，点的运动速度为________． 【作业3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，四边形中，已知，，所以该四边形是筝形．结合图形，下列结论正确的有________（填序号）． ①；②、互相平分；③平分和；④；⑤；⑥筝形的面积为 【作业4】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有_____（填写正确的序号）． 【作业5】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图，在图中画出关于轴对称的，通过观察对称点的坐标特征，归纳规律：点关于轴对称的点的坐标是______； （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，并直接写出三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是______； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是______． 【作业6】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，求的度数． 【作业7】（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 【作业8】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的图形； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 【作业9】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边三角形中，是边上的中线， (1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求． 【作业10】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）证明：在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边是斜边的一半，那么这个锐角等于． 已知：如图，___________． 求证：___________． 证明： 【作业11】（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 【作业12】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，________； (2)当时，求证：； 【作业13】（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，，点P从点A出发沿边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示： ， ； (2)在点P，Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； (3)若P、Q两点分别从A、C两点同时出发，并且都按逆时针方向沿的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置． 【作业14】（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，为等边三角形，交于点，点为边中点，连接．求证：是等边三角形． 【作业15】（24-25九年级下·甘肃天水·阶段检测）中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连． 如图，已知射线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心，以长为半径画弧，与前面所画的弧交于点D；以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点；连接． (1)请你只用直尺和圆规，根据上述步骤完成作图；（保留作图痕迹） (2)求证：． 【作业16】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，点为边上一点，连接，在右侧作，且，分别连接．猜想的形状，并说明理由． 【作业17】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数； (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 【作业18】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章·轴对称·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解轴对称图形与成轴对称的概念，会识别轴对称图形 · 掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 · 掌握线段垂直平分线的性质与判定 · 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定方法 · 理解折叠问题的本质，能利用轴对称性质解决折叠与最短路径问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.轴对称与轴对称图形 轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 成轴对称：两个图形沿一条直线折叠能完全重合，对应点连线被对称轴垂直平分 轴对称性质：对应线段相等、对应角相等 常见轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、正方形、圆等 概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A．平行四边形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．一般梯形 答案：C 解析：等边三角形沿任意一条中线所在直线折叠，两边完全重合，是轴对称图形；平行四边形、一般直角三角形、一般梯形一般不是轴对称图形。故选C。 ✅️ 2.坐标与轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（x，y）→（x，-y） 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（x，y）→（-x，y） 关于原点对称：横纵坐标都互为相反数（x，y）→（-x，-y） 画轴对称图形：先找关键点的对称点，再顺次连接 概念辨析例题：点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）A．（2，3）　B．（-2，-3）　C．（-2，3）　D．（2，-3） 答案：A 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号：（2，-3）→（2，3）。故选A。 ✅️ 3.线段垂直平分线与角平分线 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等 最短路径：利用对称转化，两点之间线段最短 概念辨析例题：如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，若PA=PB，则点P在（　　）A．线段AB上　B．CD上　C．三角形内部　D．任意位置 答案：B 解析：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。PA=PB，所以点P在CD上。故选B。 ✅️ 4.等腰三角形与等边三角形 等腰三角形性质：等边对等角；顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一 等腰三角形判定：等角对等边 等边三角形：三边相等、三角都是60° 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对称轴 概念辨析例题：等边三角形每个内角的度数为（　　）A．45°　B．60°　C．90°　D．120° 答案：B 解析：等边三角形三个内角相等，内角和180°，每个内角60°。故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/规律 注意事项 轴对称图形 沿对称轴折叠完全重合 对应点连线被对称轴垂直平分 坐标对称 x轴对称y变号，y轴对称x变号 原点对称都变号 垂直平分线 线上的点到两端点等距 判定需证PA=PB 角平分线 线上的点到两边等距 距离指垂直距离 等边三角形 三角都60° 三线合一在等腰中成立 📩 核心考点 【考点1】轴对称图形与坐标对称（第1-14题） · 识别轴对称找对称轴 · 坐标对称按变号规则 · 画轴对称图形找关键点 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形”逐项判断解题即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为、．作关于某直线的对称图形．若的坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据B点和的坐标可知，线段与线段关于y轴对称，由此可得的坐标． 本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的特征；关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数． 熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵和的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴线段与线段关于y轴对称， ∴的对称点的坐标为． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）冬日暖阳照在身上，温暖了身体，更温暖了心里，下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 5．（2025·云南·模拟预测）“国士无双”是人民对隐姓埋名30年，一身忠骨铸丰碑的“中国核潜艇之父”黄旭华院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如果点在第三象限，则点关于x轴对称的点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是象限内点的坐标特点，关于轴对称的点的坐标特点，由点在第三象限，可得，点关于轴的对称点为，结合的范围即可判断出其对称点的象限 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴，， ∴点在第一象限； 故选：A． 7．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）    A．1.5 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，当四点共线时的周长最小，    连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 8．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短线段问题，将的最小值转化为线段的长是解题关键．由等边三角形的性质可得垂直平分，则，当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再结合三角形面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，， ∴， ∴垂直平分，， ∵点P是AD上一个动点， ∴， ∴， 即当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是8． 故选：B． 9．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，，P是内的一点，且，C、D分别是P关于的对称点，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，连接，根据轴对称的性质证得是等边三角形是解题的关键． 连接，先根据轴对称的性质得出，，进一步即可判定是等边三角形，从而可得，确定当点C、M、N、D四点共线时，的长就是的周长，于是问题得解． 【详解】解：如图，连接， ∵C、D分别是点P关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴的周长． 故选：A． 10．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】 解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形． 故①正确． 由轴对称可知，，， ． 故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ，． ． 平分． 故③正确． ，， ． ， ． ． 故④正确． 故选：D． 11．（23-24七年级下·全国·暑假作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是________． 【答案】直角梯形 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可； 【详解】解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 所以不是轴对称图形的是直角梯形， 故答案为：直角梯形． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则a的值是______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，注意区分且准确记忆． 根据关于y轴的对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点即可得答案． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）点关于x轴的对称点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 14．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）若点与点关于轴对称，则___________；若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，两点连线与坐标轴平行时坐标的特点，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，关于轴的对称点的坐标是；两点连线与轴平行时相等，与轴平行时相等． 对于点P和点Q关于轴对称，利用对称性质横坐标相等、纵坐标互为相反数求解和；对于点A和点B的连线与轴平行，利用平行于轴的直线横坐标相同求解点坐标． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ， ∴． ∵点与点的连线与y轴平行， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：；． 【考点2】等腰三角形的性质与判定（第15-28题） · 等边对等角求角 · 三线合一灵活用 · 等角对等边判定 15．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，得到，由得到，设，利用三角形内角和定理列出方程求出的值，即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 的度数为． 故选：B． 16．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】延长交于，先利用“”证明，得出，可判断①正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②错误；由，得出，得出，可判断③正确；由，可证明垂直平分，得出，可判断④正确；进而可以解决问题． 【详解】解：如图，延长交于， 分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等边三角形的判定与性质．连接，利用等腰三角形的性质得出，再由翻折的性质得出垂直平分，推导出是等边三角形，进而证明是等边三角形，再利用三角形内角和定理求得，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵点B关于直线的对称点为点， ∴垂直平分，则，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 18．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）等腰三角形的顶角是，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】分两种情况：当高在等腰三角形内时；当高在等腰三角形外时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当高在等腰三角形内时，如图：    在中，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当高在等腰三角形外时，如图：    在中，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：若等腰三角形的顶角为，则它一腰上的高与底边的夹角等于， 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，分两种情况讨论是解题的关键． 19．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，过点作，连结，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．利用等边对等角依次可求得的大小，证明，，进而得出，从而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 20．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，，，则的度数为________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，根据三角形的内角和定理，可求出，再根据垂直平分线的性质可得，进而得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，于点D，若点P是高上一动点，点E是边上一动点，连接，则的最小值是______． 【答案】4 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积公式．根据等腰三角形的性质，得到点B与点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接, ∵，于点D， ∴点B，点C关于直线对称， ∴ ∴当点C、P、E三点共线时，最小 当时，最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 22．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______． 【答案】54 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角是． 故答案为：54 23．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，连接，交于点D，连接，则的度数为_____． 【答案】/36度 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 【答案】/20度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，该等腰三角形一个底角为， 该等腰三角形的另一个底角也为， 顶角的度数为：． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．由、分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可． 【详解】解： 、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为， 故答案为：． 26．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 27．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是________（请填入正确的序号）． 【答案】①③⑤ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析思想是解题的关键． 根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长交于点，过C作，则，可证，得到，则有，再证，则，，可判定③；由，可得不全等于，可判定④；根据，得到为等腰直角三角形，则，由是等腰直角三角形，得到，由因为，所以得到，可判定⑤；由此即可求解． 【详解】解：∵直线m是的垂直平分线， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵在中，， ∴，故②不正确，符合题意； 如图所示，延长交于点，过C作，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设直线m交于点O，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故③正确，符合题意； ∵， ∴不全等于，故④错误，不符合题意； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上，①③⑤正确， 故答案为：①③⑤． 28．（24-25九年级上·陕西西安·期末）为的直径，点、在上，若，______． 【答案】/104度 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据圆的概念、等边对等角可得，，根据三角形内角和定理可得，，根据角的和差关系可求出，然后根据求出的度数即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点3】垂直平分线与角平分线（第29-40题） · 垂直平分线上点到两端点等距 · 角平分线上点到两边等距 · 最短路径对称转化 29．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，是边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为． 故选：C． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，周长为，则长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，，，那么可知，即，从而求得答案． 【详解】解： 垂直平分， ， 周长为13， ， ， ， ， 故答案为：． 31．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，为直线上一点，为直角，以射线为折痕对折，若射线与射线（不是的平分线）重合，则图中相等角共有___________对． 【答案】4 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与余角、补角有关的计算、折叠问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查垂直定义、折叠性质、互余等知识，数形结合，由垂直定义、折叠性质、互余等知识找准角度之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ， 以射线为折痕对折，若射线与射线（不是的平分线）重合， ， 则， ， 综上所述，图中相等角有；②；③；④；共4对， 故答案为：4． 32．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为_______． 【答案】或 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，然后根据题意分两种情况讨论，当点D在点时，由角平分线的性质得到，证明出，得到，进而求解即可；当点D在点时，利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，当点D在点时， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点D在点时， ∵ ∴ 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 33．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是________．    【答案】3 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】延长至F使，，可证，可得，则点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时，最小，求出即可． 【详解】解：延长至F使，    ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时，最小； ∵， ∴， 当时，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹． 34．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，点D在上，垂直平分，垂足为点E，垂直平分，垂足为点F．求证：． 【答案】 证明： 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，即可得到． 【详解】略 35．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的； (2)请在轴上标出点的位置，使得的值最小（不要求写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图，点即为所求． 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）连接，根据对称性得到，进而得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，即与轴的交点即为点． 【详解】（1）略 （2）略 36．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，写出的各顶点坐标，并画出关于轴对称的，写出关于轴对称的的各点坐标． 【答案】 解：如图， ， ，． 如图， 即为所求； 如图， 的各点坐标为，，． 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，然后再连接即可画出关于y轴的对称图形；根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得的各点坐标． 【详解】略 37．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，D是边上的一点，过点D作边的平行线，分别交的角平分线、的外角的角平分线于M、N两点．求证：． 【答案】 证明：∵分别平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，先根据角平分线的定义可得，再由平行线的性质得到，则，进而得到，同理可证，． 【详解】略 38．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）尺规作图：（不写作图过程，保留作图痕迹，图中需要画的线一律画实线） 已知，在边上的高所在的直线上求作一点，使得点到的两边的距离相等． 【答案】 如图， ∴点即为所求． 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，作角平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． 以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点；以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；连接，交延长线于点，则是边上的高；以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；连接，延长，交于点，则点即为所求． 【详解】略 39．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上． (1)求的度数； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查角平分线、垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据题意，可得，又平分，则，进而得到，结合内角和即可得到； （2）由30度直角三角形的性质，得，结合，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 【答案】(1) 证明：过点作，交于点G， ∵ ， ∴， ∴即， ∵即， ∴即， ∴， ∴； (2)①；②或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，交于点G，证明，得到，结合，推出，再推出，即可得出结论； （2）①分别过点作的垂线，垂足分别为，过点A作，交于点N，设，则，，由等腰三角形三线合一求出，证明，利用三角形相似的性质求出，，由勾股定理求出，再证明，推出，求出，，进而求出，由勾股定理求出，即可得到的值；②根据已知求出，分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况讨论，同理①即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①分别过点作的垂线，垂足分别为，过点A作，交于点N， 设，则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当点E在的延长线上时， ∵，， ∴， 同理①可得：当时，，即； ∴当时，； 点E在线上时，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，过点E作，交于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，计算量较大，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 【考点4】折叠与等边三角形综合（第41-52题） · 折叠对应边角相等 · 折痕是对称轴 · 等边三角形三角60° 41．（22-23八年级下·河南郑州·阶段检测）以下命题的逆命题为真命题的是（      ） A．若，则 B．对顶角相等 C．对应角相等的三角形全等 D．若，则 【答案】C 【知识点】判断命题真假、不等式的性质、写出命题的逆命题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了逆命题，真假命题判断，写出各个命题的逆命题，再依次判断即可． 【详解】解：A、逆命题为若，则，为假命题，不符合题意； B、逆命题为相等的角是对顶角，为假命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形对应角相等，是真命题，符合题意； D、逆命题为若，则，为假命题，不符合题意； 故选：C． 42．（23-24七年级下·四川泸州·期中）如图，把长方形纸向沿折叠后，点D、C分别在点M、N的位置上．与的交点为点G，若，则 (  ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查折叠，平行线的性质，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，求出的度数，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵长方形纸向沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 43．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，根据关于y轴对称的点横坐互为相反数，纵坐标相同得到，据此求出，再代值计算即可． 【详解】解：∵E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选B． 44．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 45．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由全等三角形的性质可得出相等的角，可得，又由平行线的性质可得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：A． 46．（24-25八年级上·全国·随堂练习）若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是，因而就得到关于，的方程组，从而求出，，得出点的坐标． 【详解】解：点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是， 根据题意得：， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 47．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为_____． 【答案】54 【知识点】等边三角形的判定和性质、折叠问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，折叠的性质，正六边形的性质， 作于点，作于点，易得，再根据折叠的性质得都是等边三角形，然后由阴影部分为正六边形的一半，且周长为30，可得，进而得出，即可得出答案． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点， ∴. ∴， ∴； 根据题意可知，， ∴， ∴． ∴； 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形. ∵阴影部分为正六边形的一半，且周长为30， ∴， ∴，则的周长为． 故答案为：54． 48．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为_____． 【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法． 一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果后面是条件，那么后面是结论． 【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 49．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则____________________ ．（用α的代数式表示） 【答案】 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据平行线的性质，折叠的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 50．（24-25七年级下·上海·期末）将按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点，点B的对应点是点，为折痕．若，则的度数为________． 【答案】/度 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子． 【详解】解：设交于点，交于点， 由折叠得：，， ∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 51．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，之间的距离的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解本题的关键熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短． 由对称得，，再根据两点之间，线段最短，即可得出结果． 【详解】解：连接，，， 点关于直线，的对称点分别是点，， ，， ∵， ∴， 故答案为：． 52．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，线段上取点B，在其同一侧作两个等边三角形和，连接与， 下列结论：①在图中现有字母下有两对全等三角形，②，③连接，则平分，④是等边三角形，⑤连接，则；其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】②④⑤ 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形的外角性质等．根据等边三角形的性质得到，则可根据判定，和，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到，则可得到，则可对②进行判断；利用 得到和边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理，可对③进行判断；根据等边三角形的判定定理，可对④进行判断；在上截取，证明，从而可对⑤进行判断． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，所以②正确； ∵， ∴， 同理，所以①错误； ∵， ∴和边上的高相等， 即B点到和的距离相等， ∴平分，不能判断平分，所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形，所以④正确； 如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 识别轴对称先找对称轴 · 坐标对称记变号规则 · 垂直平分线与角平分线性质区分 · 等腰三角形三线合一是重点 · 折叠问题找对应关系 【作业1】（2026·山东临沂·三模）如图，已知，直线与直线，分别交于点，．按如下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，先证明，则，结合等角对等边证明，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴. 【作业2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，等腰中，， ， ，点为中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】或 【知识点】等边对等角、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：或． 【作业3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，四边形中，已知，，所以该四边形是筝形．结合图形，下列结论正确的有________（填序号）． ①；②、互相平分；③平分和；④；⑤；⑥筝形的面积为 【答案】 ①③⑤⑥ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定 【分析】运用线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：设、交点为O，如图， ∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴，故结论①正确． ∵在中，， ∴平分． 同理平分，故结论③正确． ∵，， ∴，． ∴，即，故结论⑤正确． ，故结论⑥正确． 是的垂直平分线，但不一定是的垂直平分线，故结论②错误； 不一定成立，故结论④错误； 综上所述，结论正确的有①③⑤⑥． 【作业4】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有_____（填写正确的序号）． 【答案】①③④⑤ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明可判断①与②；进而得，证明，得，即可判断③；由及可判断④；由及可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 【作业5】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图，在图中画出关于轴对称的，通过观察对称点的坐标特征，归纳规律：点关于轴对称的点的坐标是______； （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，并直接写出三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是______； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是______． 【答案】（1）如图，即为所求， ； （2）如图，即为所求， ；； （3） 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了轴对称的作图和轴对称的规律，准确作图是关键． （1）作出关于轴对称的对称点，顺次连接即可得到，再归纳规律即可； （2）作出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点，顺次连接即可得到，再归纳规律即可； （3）根据（1）（2）得到规律即可． 【详解】（1）解：点关于轴对称的点的坐标是； 故答案为：； （2）解：三点的坐标分别为， 归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是； 故答案为： （3）解：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是． 故答案为： 【作业6】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，求的度数． 【答案】 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解： 沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 【作业7】（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 【答案】 图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形； 图（2）（5）（7）（9）成轴对称． 【知识点】轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称图形的概念与轴对称的概念；根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可作答．轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】略 【作业8】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的图形； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【知识点】坐标与图形综合、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出； （2）根据轴，可得点P的纵坐标为，根据题意列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ，点与点关于y轴对称， ． ，轴， 点的纵坐标为， ， ， ， 点的坐标为． 【作业9】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边三角形中，是边上的中线， (1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1) 如图所示，点E即为所求； (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的方法作图即可； （2）先利用等边三角形的性质和已知条件得到的长和的度数，再证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）解；略． （2）解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【作业10】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）证明：在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边是斜边的一半，那么这个锐角等于． 已知：如图，___________． 求证：___________． 证明： 【答案】 解：已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：延长到D，使得， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴平分， ∴． 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 添加辅助线，构造等边，运用等边三角形的性质,即求解即可． 【详解】略 【作业11】（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 【答案】[问题背景]； [变式运用]证明：如图，沿折痕翻折，点C的对应点为点， ∵， ∴点落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】折叠问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是： [问题背景]问题①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论； [变式运用]利用①的方法，将沿折痕翻折，点C的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证． 【详解】解：[问题背景]∵沿折痕翻折，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； [变式运用]略 【作业12】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，________； (2)当时，求证：； 【答案】(1) (2) 证明：，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握角度的转化和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中利用三角形内角和定理计算的度数，即为的值． （2）先根据等腰直角三角形性质得到，再通过角度关系推出，结合已知和得到，最后用证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， 故答案为：； （2）略 【作业13】（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，，点P从点A出发沿边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示： ， ； (2)在点P，Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； (3)若P、Q两点分别从A、C两点同时出发，并且都按逆时针方向沿的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置． 【答案】(1)； (2)存在，当运动时间t为3秒时， (3)经过9秒点P与点Q第一次在点B处相遇 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定，路程、速度、时间的关系等知识． （1）根据路程=速度×时间，解决问题即可； （2）根据全等三角形的判定，利用，构建方程求解即可； （3）根据点Q比点P多运动个单位，构建方程求解即可． 【详解】（1）在等边中，， ∴， ∵点P从点A出发沿边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CA边向点A以每秒4个单位的速度移动，P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒， ∴，， ∴， 故答案为：；； （2）存在． 在与中，    ∵， 若，则， 此时， 解得：， ∴当运动时间t为3秒时，； （3）∵点Q的速度大于点P的速度， ∴当点Q比点P多运动个单位时，两点第一次相遇， 即， ∴， ∵， ∴点P、Q在点B处相遇， 即经过9秒点P与点Q第一次在点B处相遇． 【作业14】（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，为等边三角形，交于点，点为边中点，连接．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：是等边三角形， ， 于点， 是边中线， ， 为中点， ， ， 在中，， 是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，由为等边三角形可得，由得出是的中线，从而得出，再由，得出，即可得证，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 【作业15】（24-25九年级下·甘肃天水·阶段检测）中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连． 如图，已知射线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心，以长为半径画弧，与前面所画的弧交于点D；以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点；连接． (1)请你只用直尺和圆规，根据上述步骤完成作图；（保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1) 完成作图如图． (2) 证明：如图，连接， 由作图得，， ∴， ∴． 【知识点】等边对等角、作线段(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意正确作出图形是解题的关键． （1）按题干直接画图即可． （2）连接，由作图得，，可得 再求得可得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【作业16】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，点为边上一点，连接，在右侧作，且，分别连接．猜想的形状，并说明理由． 【答案】 是等边三角形． 理由如下： ∵为等边三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质，证明，得到，，即可得出结论．解题的关键是证明． 【详解】略 【作业17】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数； (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴． 【作业18】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ． ， 点、点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)的长为4 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定、根据等角对等边求边长 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得到解答． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $