第十五章·轴对称·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册
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精品
内容正文：
第十五章·轴对称·期中复习·满分压轴讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解轴对称与轴对称图形的概念，能识别图形并画出对称轴
· 掌握线段垂直平分线的性质与判定及其应用
· 掌握等腰三角形的性质与判定，会用三线合一解决问题
· 掌握等边三角形的性质与判定，会解含30°角的直角三角形
· 会用轴对称、折叠、平移等变换解决综合与压轴问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.轴对称与轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这条直线叫对称轴
轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形成轴对称
性质：成轴对称的两个图形全等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分
画轴对称图形：先找出关键点的对称点（关于对称轴的垂线等距点），再顺次连接
概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A．平行四边形 B．等边三角形 C．平行四边形（非特殊） D．直角梯形
答案：B
解析：等边三角形沿任意一条高所在的直线折叠，两侧能完全重合，是轴对称图形；一般平行四边形、直角梯形沿任何直线折叠都不能完全重合，不是轴对称图形
✅️ 2.线段垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
尺规作垂直平分线：分别以两端点为圆心、大于一半长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线
应用：垂直平分线常用来转移线段，把分散的线段集中到同一条直线上
概念辨析例题：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P在MN上，若PA=5，则PB=____。
答案：5
解析：由线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故PB=PA=5
✅️ 3.等腰三角形
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等
性质2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
判定（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即它是等腰三角形
常用辅助线：作底边上的中线或高，利用三线合一构造直角与相等线段
概念辨析例题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为____。
答案：70°
解析：由等边对等角，AB=AC得∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，故∠B=(180°-40°)÷2=70°
✅️ 4.等边三角形与含30°角的直角三角形
等边三角形：三条边都相等的三角形，三个内角都等于60°
等边三角形的判定：三边都相等；或三个角都相等；或有一个角是60°的等腰三角形
含30°角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
应用：由30°角求边长或由边长关系推出30°角，常结合勾股定理
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=3，则AB=____。
答案：6
解析：∠A=30°，BC是30°角所对的直角边，由含30°角的直角三角形性质，BC=AB，故AB=2BC=6
🧀 知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
轴对称
沿直线折叠两侧完全重合
对应点连线被对称轴垂直平分
垂直平分线
到线段两端点距离相等
判定：距离相等→点在垂直平分线上
等腰三角形
等边对等角；三线合一
判定：等角对等边
等边三角形
三边相等，三角均60°
含30°角：所对直角边=斜边一半
📩 核心考点
【考点1】轴对称与线段垂直平分线（第1-8题）
· 成轴对称图形的对应点连线被对称轴垂直平分，据此求坐标、长度
· 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可转移线段
· 将军饮马模型：作对称点后用两点之间线段最短求最值
1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（ ）．
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
如图：作于交于，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，点C关于的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为即可解答．
【详解】解：如图：作于交于，连接，
∵在中，，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，，
∴点C关于的对称点为点B，
，
，
∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为，
∴的最小值是6．
故选：B．
2．（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示：
根据轴对称的性质可知：，由平移可知：，
∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当取最小值时，的度数为；
故选D．
3．（2026·河北廊坊·二模）如图，锐角三角形中，，点为边上一点（不含端点），点关于，所在直线的对称点分别为点，，连接．若，，到直线的距离为，则的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质
【分析】由对称的性质，可知，，，从而得到是等边三角形，进而推出，转化为求的取值范围，根据图上的数据判断即可．
【详解】解：如图，连接，，
由对称的性质，可知，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由题意，可知，即，只有B选项满足这个取值范围．
4．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 __________．
【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键．
作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可．
【详解】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接，
∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为，
作于F，于H，
∵，
∴，
∵点O是矩形的对称中心，经过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是______．
【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】在上取点N，使，连接、，结合等边三角形性质、全等三角形的判定定理证明，再由全等三角形的性质推出，等边对等角可得，根据三线合一定理证得点一定在的垂直平分线上，即找到点的运动轨迹；作点关于的对称点，连接、，由对称性质得，则当、、三点共线时，最小，即最小，综合等边三角形的判定与性质、三线合一、等腰三角形的判定与性质即可求出最小时，的度数．
【详解】解：在上取点N，使，连接、，
、是等边三角形，
，，，
中，，
又点在上，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，即，
，
，
即点一定在的角平分线上，
延长交于点，
由三线合一定理可得，点一定在的垂直平分线上，
作点关于的对称点，连接、，
由对称性质可知，垂直平分，
，
则当、、三点共线时，最小，即最小，
，，
，
，
是等边三角形，
，
又是的中点，
是中点，
等边中，即，
，
，垂直平分，
等腰三角形中，，
．
综上，当最小时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三线合一、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂直平分线的性质、垂线段最短，解题关键是结合一线三等角模型找出点的运动轨迹．
6．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格图中，点，，均在格点上，现要另外添加一个格点，使、、、这个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点，并简要描述你是如何找到的．
【答案】满足条件的点D如图所示：（图中的）
对于，连接，取中点O，作直线，交格点为，连接，则都是轴对称图形，符合题意；
对于，延长交网格于格点，延长交网格于格点，则即为所求作.
【知识点】线段垂直平分线的性质、画轴对称图形
【分析】对于，连接，取中点O，作直线，交格点为，连接，根据可证，得到，进而可得，可得直线垂直平分，则都是轴对称图形；对于，延长交网格于格点，延长交网格于格点，同理可得垂直平分，垂直平分，则都是等腰三角形，符合题意.
【详解】略.
7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）已知是边长为12的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）．
(1)如图（1），当为边的中点时，求证：；
(2)如图（2），连接，求证：；
(3)若为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长．
【答案】(1)
证明： 是等边三角形，为边的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
；
(2)证明： 和是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
；
(3)6
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论；
（2）根据“”证明，得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论；
（3）根据可知：点在过点与平行的射线上运动，如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，根据全等三角形的性质和判定即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：为边的中点，，
，
由（2）知：，
点在过点与平行的射线上运动，
，
，
如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，
垂直平分，
，，
，，
，，
，
．
即线段的长为6．
8．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，是内一点，，求证：．
【答案】
证明：如图，作关于对称，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴由对称性质可知，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
在，中，，
∴，
∴，即是的角平分线，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质
【分析】此题考查了轴对称，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作关于对称，连接，由对称性质可知，，从而可证是等边三角形，则有，即有垂直平分，从而求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】略
【考点2】等腰三角形（第9-17题）
· 等边对等角、等角对等边互相转化，求角或证等腰
· 三线合一：已知等腰底边中线、高、顶角平分线之一，推另两条
· 等腰与全等结合：先证全等再得等腰，或由等腰推线段相等
9．（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，，，的平分线交于点F，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及全等三角形的判定与性质，①根据同角的余角相等求出；②无法找出的条件；先证明，再分别证明，和，运用全等三角形的性质可判断③和④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵平分，
∴；
若，则，
但题目中没有给出与的数量关系，无法推出该结论，故②错误，不符合题意；
③∵平分，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，；
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③④正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个
故选：B．
10．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．
可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于点F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确．
【详解】解：，
，
，
又，
．
，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
．
在和中，
，
，
，故②正确，
．
，
且，
，故③正确；
如图，过点作于点F，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
．
由②得是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，故④正确；
故选：D．
11．（13-14七年级下·福建漳州·阶段检测）如图，将一个底角大于的等腰三角形沿对称轴对折后，再沿剪掉一个的角，展开后得到如图所示的四边形．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据等边对等角和三角形内角和定理可得，再根据，即可得．
【详解】解：∵是等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
12．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ．
【答案】
【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，，周长转化为，当，，三点共线时，周长取得最小值，从而解得，即可求解的面积．
【详解】解：连接，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵点为的中点，
∴，
周长，
当，，三点共线时，周长取得最小值，
此时，周长最小值，
解得，
的面积．
13．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，为内一点，连接，，，已知，，，则________．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．
先根据角的和差和三角形内角和定理求出，，以为底作等边三角形，过作的垂直平分线交于，可知在上，根据三角形三线合一求出，证明，得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求出的值．
【详解】解：∵，，，
∴，．
如图，以为底作等边三角形，过作的垂直平分线交于．
∵，
∴在的垂直平分线上，即在上．
根据等边三角形三线合一可知，
∵，，
∴，
即，，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（24-25七年级下·上海虹口·期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”．
(1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由．
(2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点．
小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下：
如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明：
①求证：；
②在线段上取点F使，连接，
求证：点P是的费马点．
【答案】(1)
结论：点D不是的费马点．
理由：如图，作于点E，连接，
∴．
∵，
∴E、D不重合．
在中，，
∴，
∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和，
∴点D不是的费马点；
(2)
①证明：∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴；
②证明：如图，连接．
由①知，，
∴，
∴．
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
由，得，
∴点P是的费马点．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）作于点E，连接，由等腰三角形的性质可知，结合可知E、D不重合．再根据在三角形中大角对大边，即得出，即，从而得出点D不是的费马点；
（2）①由等边三角形的性质易证，即得出；
②连接．由①知，，结合三角形外角的性质即得出，从而可求．易证为等边三角形，得出，，即可证，从而可证，得出，即点P是的费马点．
【详解】（1）略
（2）①略
②略
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，理解“费马点”的定义是解题关键．
15．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，于点D，E为下方一点，且．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，作出线段的垂直平分线．
(2)在图②中，作出的中线．
【答案】(1)
直线即为所求：
(2)
线段即为所求：
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）连接交于点，直线即为所求；
（2）作直线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接即可．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）【综合与探究】
(1)在和中，，，，连接，．
①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由；
②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数；
(2)【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论．
【答案】(1)①解： ，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②
(2)公园的规划能实现，证明如下：
由题意得，
同理可证明，
∴，，
∵M，N分别为，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴公园的规划能实现．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）①根据证明即可得；
②设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得；
（2）根据证明，则可得，，进而可得，则可得，即为等腰直角三角形．
【详解】（1）①略；
②∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）略
17．（2026八年级上·全国·专题练习）在中，平分，是上一点，， 交于点，交的延长线于， 交的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)猜想与的大小有什么关系？并说明理由．
【答案】(1)证明：如图所示：
平分，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
(2)，理由如下：
交的延长线于点，
，，
，
，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，，等量代换可得，得出，即可得证；
（2）根据平行线的性质可得，，结合，等量代换可得，得出，进而可得，证明，得出，再根据，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
【考点3】等边三角形与含30°角的直角三角形（第18-29题）
· 等边三角形三线合一、三个角60°，用于角度与线段计算
· 含30°角的直角三角形：30°角所对直角边等于斜边的一半
· 等边判定：一角60°的等腰三角形或三边相等
18．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，平分为的中点，交于点．若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、等边对等角、线段垂直平分线的性质
【分析】作于点，连接，根据角平分线的性质和定义可得，，根据线段垂直平分线的性质得到，则，进而得到，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作于点，连接，
∵平分，，，
∴，，
∵，E为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②；
③连接，则有是等边三角形；
④连接，则有垂直平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】①根据证明即可；
②证明，得出，即可证明；
③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；
④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴不可能是等边三角形，故③错误；
④∵，
∴，，
∴点M、B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个．
20．（25-26八年级上·重庆·期中）已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意易得，则，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
过点P作于点E，如图所示：则，
∴，
∴当取最小时，即为最小，
∴当点B、P、E三点共线时最小，此时，如图所示：
∴，
∴，，
∵，
∴；
故选：C．
21．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（ ）
A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】分别作点D关于的对称点G，H，连接，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，由垂线段最短求出的最小值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别作点D关于的对称点G，H，连接，
由轴对称的性质可得，，
，
∴
，
∴是等边三角形，
∴；
∵的周长，
∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值，
∵点C到的距离为2千米，
∴的最小值为2千米，
∴的周长的最小值为2千米．
22．（12-13七年级下·江西·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连结，以下四个结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．①② B．③ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．
本题是三角形全等的综合题，利用三角形全等逐个解决就可以．
【详解】解：①和均是等边三角形，点在同一条直线上，
∴
∴，
，
又 ∵，
，
∴，又
为等边三角形，
∴，
，故本选项正确；
②∵
，
∵，
∴，故本选项正确；
③已知、为正三角形，故，
又因为，
故不等于，故本选项错误；
④∵、为正三角形，
∴，
∴，
∴，
（），
∴，
∴，
∵，
故本选项正确．
综上所述，错误的是③
故选：B．
23．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上的动点，点、是边上的动点（点可与端点重合），且点在点的左侧，连接、，若，是等边三角形，则周长的最大值为______．
【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质
【分析】利用等边三角形外角性质，算出，证得；结合等边，等量代换得，推出；周长，故最大时周长最大； F最右到时，算出，求得最大周长18．
【详解】解：为等边三角形，
，，
是外角，
，
，
，
，
（等角对等边），
，
，
，
，，
越大，越长，周长越大，
、F在线段上，在左侧，向右最远可与重合，
当与重合时，，此时，点在线段内部，动点位置符合题意
，
，
．
24．（2026·河南商丘·中考真题）如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________．
【答案】6或12
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、利用平移的性质求解、线段中点的有关计算
【分析】先由平移得出，，，，当为直角三角形时，需分情况讨论：当时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算即可；当时，先根据平行线的性质得出，进一步得出，再利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质，进行计算即可．
【详解】解：①当时，如图1．
等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，
，．
，点为的中点，
．
点是线段的中点，
，
．
②当时，如图2．
等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，
，，，．
，
，
．
点为的中点，，
．
在中，，，
．
点是线段的中点，
，
．
综上所述，当为直角三角形时，的长为6或12．
25．（24-25八年级上·山西大同·期中）已知点是等边三角形的边上的点，，连接，过点作，与的平分线交于点，过点作，与的延长线交于点．则的长为________．
【答案】/
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质．本题中首先过点作交于点，根据等边三角形的性质可证、、，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得：．
【详解】解：如下图所示，过点作交于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
平分，
，
，
是的外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
．
故答案为： ．
26．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，当是直角三角形时，求运动时间t．
【答案】或
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可．
【详解】解：依题意得
是边长的等边三角形
，
，
当时，
，即得，
当时，
，即得，
故当或时，是直角三角形．
27．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）已知在等腰中，．如图1，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且与交于点．
(1)求证：，
(2)若是等腰三角形，求的度数（请用含的代数式表示）．
(3)如图2，当时，将沿着翻折，得到，连接，交于点，交于点．当时，________．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)的度数为或
(3)3
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，等边三角形的证明及性质，含的直角三角形，等腰三角形的证明及性质，熟练掌握基本性质是解题关键；
（1）通过证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由（1）得出，设，则，， ，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可；
（3）过点F作于点I，根据折叠的性质得出，，，利用证明得，根据等腰三角形的性质求出，，证明四边形是长方形得，证明得，再利用含的直角三角性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：若是等腰三角形，设，
①若时，
∴，
∴，
，
∴，
解得，
∴，
②若时，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
③∵，，
∴，
又∵，
，
∴；
综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或；
（3）解：过点F作于点I，过点F作于点O，
由折叠的性质得，，，，
∴四边形是长方形，
∴．
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究．
如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点．
(1)【动手操作】
如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________；
(2)【问题探究】
在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由：
如图：延长至H，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴.，
∴．
∴．
(3)
当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，
理由如下：
当点P在上时，由（2）可知： ，
∴，
∴；
如图2：当点P在线段的延长线上时，在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴°，
∴，
∴，
∴．
综上，当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质进行推理即可解答；
（2）如图：延长至H，使，连接，然后证明是等边三角形，，再运用“”可证可得；
(3) 当点P在上和延长线上两种，分别运用“”可证，可得，然后根据线段的和差和等量代换即可解答．
【详解】（1）解：∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）略
（3）略
29．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，点D在上，延长至点E，连接交于F．
(1)如图1，连接，当，时，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图2，点G为线段上一点，当，时，探究、的数量关系，并证明；
(3)如图3，当，时，点M、N分别为射线、上的动点，始终满足，连接，将沿翻折，点C的对应点为P，连接、、、，当取得最小值时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
，证明：
过E作，截取，
连接，，过G作于M，
∵，
∴，
∵且，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）先用表示，再用表示，最后根据得出结果；
（2）过E作，截取，连接，，过G作于M，先证，再证四边形为平行四边形，最后根据等腰三角形性质及含的直角三角形的三边数量关系得出结果；
（3）过E作且，连接，，与交于点K，证明，，得出结论当点M位于中点处，取得最小值，再运用算出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）略
（3）如图1，过E作且，连接，，与交于点K，
∵，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当点M与点K重合时，
取得最小值，
在和中，
∵，
∴，
∴，
即当点M位于中点处，取得最小值，
如图2，当A、M、H共线时，
∵，，
∴，
∵点M位于中点处，
∴，
∵，
∴，
∵将沿翻折，点C的对应点为P，
∴．
如图3，连接交于点R，过点B作，过点M作，
∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解特殊的直角三角形以及动点最值问题，综合难度大，巧妙构造全等三角形是解题的关键．
【考点4】轴对称综合、折叠与模型探究（第30-44题）
· 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，找对称轴与对应关系
· 坐标与图形结合：由轴对称特征求点坐标、面积
· 遇线段和差、倍长等问题，构造全等或轴对称模型转化
30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，，．D在上，连接，的平分线交于点E，若，则的面积为（）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、根据三角形中线求长度、三线合一、等边三角形的判定和性质
【分析】根据直角三角形两内角相等求出，再证明是等边三角形，是等腰三角形，进而可得、是、的中点，由三角形的中线平分三角形面积即可得出结论.
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
31．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】折叠问题、等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】延长交于点，连接，利用等腰三角形的性质求得，，由，点D恰好是的中点，求得，再求得，由折叠的性质即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴是线段的垂直平分线，，，
∴，
∵，点D恰好是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质，得，
∴，
∴．
32．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三线合一、邻补角的定义理解、全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角
【分析】由题中作图，结合三角形全等的判定与性质得到，逐项验证各个选项即可得到答案．
【详解】解：由题中的作图可知，，
，
，则，
A、题中无法确定，不一定成立；
B、由于，而题中无法确定，则不一定成立；
C、由等腰三角形三线合一性质得到，而题中无法确定，则不一定成立；
D、由于、，则一定成立．
33．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，D为内一点，，平分，且．如果，，则的长是_______．
【答案】
10
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
的长为10．
34．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，其中，，，则的值为_____（用含，的代数式表示）．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一的性质并结合已知可得出，则可求出，结合，可求出，然后根据可证明，得出，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，
∵，
∴，
∴，即
又，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，即，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
35．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点，下列结论：①；②；③；④若连接，则；⑤．其中正确的结论序号是______．
【答案】①③④⑤
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
根据角平分线定义得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，故①正确；连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，故②错误；根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，故③正确；连接，得到四边形为菱形，则可得，故④正确；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，即可解答．故⑤正确．
【详解】解：平分交于点，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，连接，
，，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，故②错误；
垂直平分，
，
，
，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故③正确；
如图，连接，
根据线段垂直平分线的性质可得，
，
，，
平分，
，
，故④正确；
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，
．故⑤正确；
综上所述：正确的是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
36．（23-24八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有______写出所有正确结论的序号
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①符合题意；
，
，
，
，故②不符合题意；
，，
，
，故③符合题意；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故④符合题意．
故答案为：．
37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是交于G，再将四边形沿折叠，点的落点分别是，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是________ （填写序号）．
【答案】①②③
【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】由折叠的性质得，故①正确；根据平行线的性质得到，故②正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出，即可得到，计算可判断③正确；设，则，根据平行线的性质结合折叠的性质得到．得到等式，计算可判断④正确．
【详解】解：由折叠的性质得，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵在线段上，，，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，即，
∵，，则，
∴，
解得，
∴，
∴，故③正确；
设，则，
当在线段上时，．
∵，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
解得，
∴；
当在线段上时，．
∵，
∴．
由折叠的性质得，
∴，
∴，解得，
∴；
综上，或，故④错误．
综上，①②③正确；
故答案为：①②③．
38．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____．
【答案】
【知识点】折叠问题、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】作，设，交于点，根据三角形的中线平分面积得到，折叠得到，推出，再根据，以及斜边大于直角边，得到当重合时，最大，进行求解即可．
【详解】解：作，设，交于点，
∵为的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当重合时，最大，
此时最大．
39．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设．
（1）连接交于点，则_____ （填表示相等或大小关系的符号）；
（2）若，，，则的最小值是 ___________________ ．
【答案】
【知识点】三线合一、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，垂直平分，则，因此；
（2）结合（1）的结论和垂线段最短可知，当，且、、三点共线时，取得最小值，使用面积法求出的值即可．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）可知，，
又∵垂线段最短，
∴当，且、、三点共线时，取得最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
40．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质
【分析】连接，设交于，由题可知垂直平分，则，，进而得到，再证，得到，再由求解即可．
【详解】解：连接，设交于，
由题可知垂直平分，则，，
又，
，
，
，又，
，，
在和中，
，
，
．
41．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图1，在中，，，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，求证：点为中点；
(3)如图3，点为平面上一点，点为上一点，连接，，．且，点为中点．连接，，求的度数．
【答案】(1)
证明：∵，，
∴，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
(2)
证明：过点作，交于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即M为中点；
(3)
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出结果；
（2）过点作，交于点，则，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可得证；
（3）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，，最后证明出为等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：延长至，使，连接，如图：
∵N为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由得，，
∵，
∴，
∴，即，
延长、交于点，
∵，，
∴，即，
∵，
∴点、、、共圆，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
42．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
【答案】(1)
(2)
证明：延长至点，使，连接、，如图2：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
(3)，
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
（2）略
（3）解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3，
同（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
，
即，．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
43．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，过A作y轴的垂线l，点B在第一象限，且在直线l上，以为腰作等腰，延长交y轴于点D．
(1)尺规作图：在l上求作一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，交x轴于F，
①求证：点F在线段的垂直平分线上；
②若，，求点E的坐标．
【答案】(1)
如图所示，点E即为所求；
(2)
①证明：∵是以为腰的等腰直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵直线l与y轴垂直，
∴直线l与x轴平行，
∴，
∴，
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上；
②
【知识点】坐标与图形综合、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）由可知点E在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交直线l于E，则点E即为所求；
（2）①可证明垂直平分，则由三线合一定理得到，证明直线l与x轴平行，则可证明，得到，进而推出，据此可证明结论；
②如图所示，过点C作轴于，证明，得到；根据点A的坐标可得，即，即可求出；设交于G，过点G作轴于H，延长交直线l于I，同理可证明，则；可证明，设，则，则可得到，解方程可得；可求出，；设，根据，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：①略
②如图所示，过点C作轴于，
∵点B在第一象限，且，
∴点C在第四象限，
∵，
∴；
∵直线l与y轴垂直，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，设交于G，过点G作轴于H，延长交直线l于I，
∵垂直平分，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可证明，
∴；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
，
，
∴，
∵，
∴；
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
44．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）综合与实践——折纸中的数学
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
【初步感知】
(1)如图1，将中的沿直线翻折，使点的对应点落在直线上，则与的位置关系为_______________．
(2)如图2，将中的沿过点的直线翻折，使点的对应点落在直线上，若，，则_______________°．
(3)【实践应用】问题：如图3，点是内一点，如何折出过点且与边平行的折痕？
操作：小明思考后，完成了操作，他是这样做的，第1次过点折叠使点落在边上的点处，折痕为，第2次折叠使点落在射线上的点处，展开压平得到折痕，则．
证明：请你帮小明完成证明，求证：．
(4)【深入探究】过点能折一个角等于已知角吗？如图4，如何过点折出一条折痕分别交、于点、，使得？请简要描述折叠过程并画出示意图，无需证明．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明：第一次折叠得，垂直平分，
∴，
第二次折叠得垂直平分，
∴，
∴，即；
(4)解：如图所示，将中的沿过点的直线翻折，使点的对应点落在直线上；过点P折叠，使点落在边上的点处，折痕为直线；再折叠，使点落在射线上，展开并压平，得到折痕，则．
【知识点】折叠问题、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）由折叠的性质即可得解；
（2）由三角形内角和求得的度数，由折叠的性质得，再由三角形外角的性质即可求解；
（3）根据两次折叠，利用“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”即可证明；
（4）先按照图2的方法翻折，再按照图3的方法折叠即可完成．
【详解】（1）解：由折叠知，垂直平分，
∴；
（2）解：在中，，则；
由折叠知，
∵，
∴；
（3）解：略；
（4）解：略．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 轴对称性质「对应点连线被对称轴垂直平分」是解决折叠、对称问题的钥匙
· 垂直平分线性质把「到两端点距离相等」转化为线段相等，注意判定反向使用
· 等腰三角形牢记等边对等角、三线合一，证明时灵活选择工具
· 等边三角形结合含30°角的直角三角形：30°角所对直角边等于斜边一半
· 折叠、将军饮马等模型，抓住对称与全等实现转化
【作业1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定定理，灵活运用平行线的性质定理是解题的关键．先根据角平分线定义和两直线平行内错角相等可证和为等腰三角形，然后求的周长时，结合等腰三角形的性质将所求三角形的周长转化为求即可．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长．
故选：．
【作业2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中线的性质和三角形面积的计算，利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系是解题的关键．
首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和，再利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系即可得到的面积．
【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴C为线段的中点，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故选B
【作业3】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【知识点】根据三角形中线求长度、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，恰当作辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
延长，使得，连接，先证，得到，，进而可得，则，再由即可求解．
【详解】延长，使得，连接，
是的边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【作业4】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，且，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．当在上方时，延长，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当在下方时，延长，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可．
【详解】解：当在上方时，
延长，二线交于点Q，
∵长方形纸片，
∴，，
∴，
根据折叠的性质，得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在下方时，
延长，二线交于点T，
∵长方形纸片，
∴，，
∴，
根据折叠的性质，得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D．
【作业5】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、点坐标规律探索
【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标．
【详解】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，点纵坐标是4，
以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，点的纵坐标是2，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点的纵坐标是，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即，
故选：C．
【作业6】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点P在内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若，则的度数是________．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题需要利用轴对称的性质，得出相关线段和角的关系，再结合已知，推导出的度数．
【详解】连接
∵点P关于的对称点分别为
∴
∴
∵
∴，则是等边三角形
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定与性质，掌握轴对称的性质以及等边三角形的判定是解题的关键．
【作业7】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是_____．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决此题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论；因为三角形的三条边中只要两条边相等就是等腰三角形，所以分三种情况讨论，得到答案即可；
【详解】解：点 为边 上一点，当 为等腰三角形时，如图，
① 当 时， ，
② 当 时， ，
③当时，点P在的延长线上，此种情况舍去；
故答案为： 或 ．
【作业8】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形．
【答案】或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解．
【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时，
，
即，
解得；
②当点在的延长线上，是等腰三角形时，
，
是等边三角形，
，
即，
解得，
综上所述，t的值为或．
【作业9】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形中，，点分别是边上的动点，连接．当的周长最小时，_________．
【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了最短路线问题以及角的计算，掌握利用轴对称性质确定使三角形周长最小的点，再结合角的关系计算角度是解题的关键．
要使的周长最小，根据轴对称的性质，作出点关于和的对称点，连接，与的交点即为，再利用角的关系求出的度数．
【详解】解： 作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，交于，此时的周长最小，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【作业10】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是_____．
【答案】8或
【知识点】折叠问题、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，注意分情况讨论．先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案．
【详解】解：点、表示的数分别是，20，
，
由折叠可知，
当点在的右侧时，
，
，
，
点表示的数为；
当点在的左侧时，
，
，
，
点表示的数为；
故答案为：8或．
【作业11】（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______．
模型应用
（2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明；
模型迁移
（3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长．
【答案】（1），
（2）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
即，
，，
∴
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论；
（2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证；
（3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）略
（3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，即，
，，
．
【作业12】（25-26九年级上·全国·期末）已知：在中，，，过点作于点，点是边上一动点（不含端点、，连接，过点作的垂线交直线于点，交直线于点（如图①．
(1)求证：；
(2)若点运动到线段上时（如图②，试猜想、的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；
(3)过点作垂直于直线，垂足为点，并交的延长线于点（如图③，找出图中与相等的线段，并证明．
【答案】(1)
，
．
，
，．
，
，
，
在中，，，
．
在和中
，
，
；
(2)不变．
(3)，证明：
，
．
，
，．
，
，
，
．
在中，，，
．
在和中
，
，
．
【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出，由就可以得出，就可以得出结论；
（2）如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出，由就可以得出，就可以得出结论；
（3）如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出，由就可以得出，就可以得出结论；
【详解】（1） 略
（2）解：不变．．
理由：，
．
，
，．
，
，
，
在中，，，
．
在和中
，
，
；
（3） 略
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【作业13】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是上一点，是外一点，．求证：平分．
【答案】证明：，
，
即，
在和中：
，
，
，
，
，
平分．
【知识点】等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算
【分析】先证明，再证明，得到，由等腰三角形的性质得到，则可证明，即平分．
【详解】略
【作业14】（25-26七年级下·全国·单元复习）取一张长、宽的纸条，将它每一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来（如图）．在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去．拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边？在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系？
【答案】得到一个以“小花”为基本图案的花边，相邻两朵“小花”成轴对称
【知识点】折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合题意，即可得出结论．
【详解】略
【作业15】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
(1)如图1，在等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：__________；
(2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，则的长度为__________（用含a，b的代数式表示）．
(3)如图3，在中，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①求证：；
②在点D、E运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解；
（2）证明，得，，从而即可得解；
（3）①如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用三角形的外角性质求出，再根据等角对等边得出，从而可得结论；
②由，得当时，最小，过点作于点，利用等腰直角三角形的判定和性质求出，从而即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）①略
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
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第十五章·轴对称·期中复习·满分压轴讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解轴对称与轴对称图形的概念，能识别图形并画出对称轴
· 掌握线段垂直平分线的性质与判定及其应用
· 掌握等腰三角形的性质与判定，会用三线合一解决问题
· 掌握等边三角形的性质与判定，会解含30°角的直角三角形
· 会用轴对称、折叠、平移等变换解决综合与压轴问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.轴对称与轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这条直线叫对称轴
轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形成轴对称
性质：成轴对称的两个图形全等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分
画轴对称图形：先找出关键点的对称点（关于对称轴的垂线等距点），再顺次连接
概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A．平行四边形 B．等边三角形 C．平行四边形（非特殊） D．直角梯形
答案：B
解析：等边三角形沿任意一条高所在的直线折叠，两侧能完全重合，是轴对称图形；一般平行四边形、直角梯形沿任何直线折叠都不能完全重合，不是轴对称图形
✅️ 2.线段垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
尺规作垂直平分线：分别以两端点为圆心、大于一半长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线
应用：垂直平分线常用来转移线段，把分散的线段集中到同一条直线上
概念辨析例题：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P在MN上，若PA=5，则PB=____。
答案：5
解析：由线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故PB=PA=5
✅️ 3.等腰三角形
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等
性质2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
判定（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即它是等腰三角形
常用辅助线：作底边上的中线或高，利用三线合一构造直角与相等线段
概念辨析例题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为____。
答案：70°
解析：由等边对等角，AB=AC得∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，故∠B=(180°-40°)÷2=70°
✅️ 4.等边三角形与含30°角的直角三角形
等边三角形：三条边都相等的三角形，三个内角都等于60°
等边三角形的判定：三边都相等；或三个角都相等；或有一个角是60°的等腰三角形
含30°角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
应用：由30°角求边长或由边长关系推出30°角，常结合勾股定理
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=3，则AB=____。
答案：6
解析：∠A=30°，BC是30°角所对的直角边，由含30°角的直角三角形性质，BC=AB，故AB=2BC=6
🧀 知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
轴对称
沿直线折叠两侧完全重合
对应点连线被对称轴垂直平分
垂直平分线
到线段两端点距离相等
判定：距离相等→点在垂直平分线上
等腰三角形
等边对等角；三线合一
判定：等角对等边
等边三角形
三边相等，三角均60°
含30°角：所对直角边=斜边一半
📩 核心考点
【考点1】轴对称与线段垂直平分线（第1-8题）
· 成轴对称图形的对应点连线被对称轴垂直平分，据此求坐标、长度
· 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可转移线段
· 将军饮马模型：作对称点后用两点之间线段最短求最值
1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（ ）．
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河北廊坊·二模）如图，锐角三角形中，，点为边上一点（不含端点），点关于，所在直线的对称点分别为点，，连接．若，，到直线的距离为，则的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 __________．
5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是______．
6．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格图中，点，，均在格点上，现要另外添加一个格点，使、、、这个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点，并简要描述你是如何找到的．
7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）已知是边长为12的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）．
(1)如图（1），当为边的中点时，求证：；
(2)如图（2），连接，求证：；
(3)若为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长．
8．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，是内一点，，求证：．
【考点2】等腰三角形（第9-17题）
· 等边对等角、等角对等边互相转化，求角或证等腰
· 三线合一：已知等腰底边中线、高、顶角平分线之一，推另两条
· 等腰与全等结合：先证全等再得等腰，或由等腰推线段相等
9．（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，，，的平分线交于点F，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
11．（13-14七年级下·福建漳州·阶段检测）如图，将一个底角大于的等腰三角形沿对称轴对折后，再沿剪掉一个的角，展开后得到如图所示的四边形．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ．
13．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，为内一点，连接，，，已知，，，则________．
14．（24-25七年级下·上海虹口·期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”．
(1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由．
(2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点．
小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下：
如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明：
①求证：；
②在线段上取点F使，连接，
求证：点P是的费马点．
15．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，于点D，E为下方一点，且．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，作出线段的垂直平分线．
(2)在图②中，作出的中线．
16．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）【综合与探究】
(1)在和中，，，，连接，．
①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由；
②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数；
(2)【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论．
17．（2026八年级上·全国·专题练习）在中，平分，是上一点，， 交于点，交的延长线于， 交的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)猜想与的大小有什么关系？并说明理由．
【考点3】等边三角形与含30°角的直角三角形（第18-29题）
· 等边三角形三线合一、三个角60°，用于角度与线段计算
· 含30°角的直角三角形：30°角所对直角边等于斜边的一半
· 等边判定：一角60°的等腰三角形或三边相等
18．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，平分为的中点，交于点．若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
19．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②；
③连接，则有是等边三角形；
④连接，则有垂直平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（25-26八年级上·重庆·期中）已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
21．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（ ）
A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米
22．（12-13七年级下·江西·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连结，以下四个结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．①② B．③ C．①③ D．③④
23．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上的动点，点、是边上的动点（点可与端点重合），且点在点的左侧，连接、，若，是等边三角形，则周长的最大值为______．
24．（2026·河南商丘·中考真题）如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________．
25．（24-25八年级上·山西大同·期中）已知点是等边三角形的边上的点，，连接，过点作，与的平分线交于点，过点作，与的延长线交于点．则的长为________．
26．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，当是直角三角形时，求运动时间t．
27．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）已知在等腰中，．如图1，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且与交于点．
(1)求证：，
(2)若是等腰三角形，求的度数（请用含的代数式表示）．
(3)如图2，当时，将沿着翻折，得到，连接，交于点，交于点．当时，________．
①若时，
∴，
∴，
，
∴，
解得，
∴，
②若时，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
③∵，，
∴，
又∵，
，
∴；
综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或；
由折叠的性质得，，，，
∴四边形是长方形，
∴．
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究．
如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点．
(1)【动手操作】
如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________；
(2)【问题探究】
在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
29．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，点D在上，延长至点E，连接交于F．
(1)如图1，连接，当，时，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图2，点G为线段上一点，当，时，探究、的数量关系，并证明；
(3)如图3，当，时，点M、N分别为射线、上的动点，始终满足，连接，将沿翻折，点C的对应点为P，连接、、、，当取得最小值时，直接写出的面积．
【考点4】轴对称综合、折叠与模型探究（第30-44题）
· 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，找对称轴与对应关系
· 坐标与图形结合：由轴对称特征求点坐标、面积
· 遇线段和差、倍长等问题，构造全等或轴对称模型转化
30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，，．D在上，连接，的平分线交于点E，若，则的面积为（）
A． B． C．1 D．
31．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，D为内一点，，平分，且．如果，，则的长是_______．
34．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，其中，，，则的值为_____（用含，的代数式表示）．
35．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点，下列结论：①；②；③；④若连接，则；⑤．其中正确的结论序号是______．
36．（23-24八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有______写出所有正确结论的序号
37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是交于G，再将四边形沿折叠，点的落点分别是，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是________ （填写序号）．
38．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____．
39．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设．
（1）连接交于点，则_____ （填表示相等或大小关系的符号）；
（2）若，，，则的最小值是 ___________________ ．
40．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______．
41．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图1，在中，，，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，求证：点为中点；
(3)如图3，点为平面上一点，点为上一点，连接，，．且，点为中点．连接，，求的度数．
42．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
43．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，过A作y轴的垂线l，点B在第一象限，且在直线l上，以为腰作等腰，延长交y轴于点D．
(1)尺规作图：在l上求作一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，交x轴于F，
①求证：点F在线段的垂直平分线上；
②若，，求点E的坐标．
44．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）综合与实践——折纸中的数学
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
【初步感知】
(1)如图1，将中的沿直线翻折，使点的对应点落在直线上，则与的位置关系为_______________．
(2)如图2，将中的沿过点的直线翻折，使点的对应点落在直线上，若，，则_______________°．
(3)【实践应用】问题：如图3，点是内一点，如何折出过点且与边平行的折痕？
操作：小明思考后，完成了操作，他是这样做的，第1次过点折叠使点落在边上的点处，折痕为，第2次折叠使点落在射线上的点处，展开压平得到折痕，则．
证明：请你帮小明完成证明，求证：．
(4)【深入探究】过点能折一个角等于已知角吗？如图4，如何过点折出一条折痕分别交、于点、，使得？请简要描述折叠过程并画出示意图，无需证明．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 轴对称性质「对应点连线被对称轴垂直平分」是解决折叠、对称问题的钥匙
· 垂直平分线性质把「到两端点距离相等」转化为线段相等，注意判定反向使用
· 等腰三角形牢记等边对等角、三线合一，证明时灵活选择工具
· 等边三角形结合含30°角的直角三角形：30°角所对直角边等于斜边一半
· 折叠、将军饮马等模型，抓住对称与全等实现转化
【作业1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【作业2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【作业3】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【作业4】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，且，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【作业5】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【作业6】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点P在内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若，则的度数是________．
【作业7】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是_____．
【作业8】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形．
【作业9】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形中，，点分别是边上的动点，连接．当的周长最小时，_________．
【作业10】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是_____．
【作业11】（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______．
模型应用
（2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明；
模型迁移
（3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长．
【作业12】（25-26九年级上·全国·期末）已知：在中，，，过点作于点，点是边上一动点（不含端点、，连接，过点作的垂线交直线于点，交直线于点（如图①．
(1)求证：；
(2)若点运动到线段上时（如图②，试猜想、的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；
(3)过点作垂直于直线，垂足为点，并交的延长线于点（如图③，找出图中与相等的线段，并证明．
【作业13】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是上一点，是外一点，．求证：平分．
【作业14】（25-26七年级下·全国·单元复习）取一张长、宽的纸条，将它每一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来（如图）．在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去．拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边？在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系？
【作业15】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
(1)如图1，在等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：__________；
(2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，则的长度为__________（用含a，b的代数式表示）．
(3)如图3，在中，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①求证：；
②在点D、E运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．
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