期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题 专项训练-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 考点目录 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 竖直上抛运动的规律及应用 例1．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以的速度竖直向上抛出，重力加速度取，不计空气阻力，求物体： (1)经过多长时间到达最高点？ (2)经过多长时间落到地面？ (3)经过多长时间离抛出点？ 例2．（26-27高一上·湖北黄冈·阶段检测）某人从井底处以15m/s的初速度将一小石子（可视为质点）竖直向上抛出，石子冲出井口上升一段距离后再次落回井底，已知石子两次经过井口的时间间隔为1s，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，求 (1)石子运动的最高点距井口的距离为多少； (2)井的深度为多少； (3)石子在井里运动的时间。 例3．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）随着低空经济的快速发展，某款电动垂直起降飞行器（eVTOL）在城市商务区上空进行载客试飞。飞行器从地面由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，经过速度达到时关闭动力系统，此后飞行器只受重力作用（重力加速度取），继续运动直至落回地面。求： (1)飞行器匀加速上升阶段的加速度大小和上升的高度； (2)飞行器从关闭动力到落回地面所经历的时间。（，结果保留两位小数） (3)关闭动力后，飞行器需要经过多长时间才能到达距离关闭动力位置的地方？ 变式1．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）一个下方悬挂重物的气球以10m/s 的速度由距离地面25m高处匀速竖直上升，经过5s后，气球上悬挂重物的绳子断开。若忽略绳子的质量和空气对重物的阻力，g取10m/s2，求： (1)重物从绳子断开到落地所用的时间； (2)重物运动全程的平均速度大小。 变式2．（26-27高一上·上海浦东·阶段检测）在科技运动节上，某物理兴趣小组自制了一个如图所示的水火箭。在发射过程中，将参数理想化处理如下：水火箭由静止开始做匀加速直线运动，从地面以的加速度竖直向上运动，当到达离地高处时，水火箭突然失去动力，之后做竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度取，取竖直向上为正方向。求： (1)水火箭突然失去动力时的速度大小； (2)水火箭上升的最大高度； (3)水火箭从最高点落回到地面的时间。 变式3．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）我国的无人机技术近年来发展迅速，某科技社团在一次无人机飞行测试中，操作无人机从地面由静止开始以的加速度匀加速竖直向上飞起，经过10s关闭电源。在无人机达到最高点后的下落过程中，某时刻启动电源，使无人机开始做加速度大小为的匀减速直线运动，直到落地。不计空气阻力，g取。求： (1)无人机上升离地面的最大高度； (2)无人机在下落过程中，在距离地面多高处启动电源，落地时速度恰为零。 考点二 自由落体和竖直上抛相遇类问题 例1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）如图所示，一圆管放在水平地面上，长为，圆管的上端离天花板的距离，在圆管的正上方紧靠天花板放一小球，小球直径小于圆管内径（可看成质点），让小球由静止释放，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球由静止释放，求小球到达管子上端的时间； (2)若小球由静止释放，求小球通过管子的时间； (3)若小球由静止释放，同时给圆管一竖直向上的初速度，求小球第一次穿过管子所花的时间。 例2．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）如图所示，长为的空心圆柱形金属管沿竖直方向，金属管的下侧的点有一可视为质点的小球，小球到金属管下端的距离为，小球距离地面足够高。假设在下列运动过程中小球和金属管不会发生碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球不动，金属管由静止释放，小球通过金属管的时间； (2)若金属管不动，小球以初速度竖直向上抛出，小球向上通过金属管的时间； (3)若金属管自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，欲使小球在下落过程中（回到抛出点前）与金属管的下端相遇，则需满足的条件。 例3．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在同一竖直线上有一个小球和一管子，小球可以穿过管子而不受影响，不计空气阻力。已知：，，。 (1)若将管子固定，小球由静止释放，求小球通过管子的平均速度大小； (2)若当小球由静止释放时，管子以初速度竖直上抛，要求在管子第1次上升过程中小球能够穿过管子，求大小的取值范围； (3)若时刻，同时将管子和小球由静止释放，管子和小球与地面碰撞后均能立即原速率向上反弹，求小球第10次恰好穿过管子时，小球与管子的速率之比。 变式1．（26-27高一上·重庆北碚·阶段检测）在距水平地面高处先后由静止释放A、B两个小球，两小球释放位置接近但不重合，运动过程中小球之间不会发生碰撞。小球可视为质点，两小球释放的时间间隔为，且。小球每次与地面碰撞后均以原速率反弹，忽略碰撞时间。已知A、B两球第一次出现在同一高度时离地面的高度为，重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)A球第一次落地的时间和落地速度的大小； (2)两球释放的时间间隔； (3)A、B两球第二次出现在同一高度时距地面的高度。 变式2．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）如图所示，一圆管放在水平地面上，长为L=1.6m，圆管的上端离天花板的距离h=8m，在圆管的正上方紧靠天花板放一小球，小球直径小于圆管内径（可看成质点），让小球由静止释放，同时给圆管一竖直向上的初速度v0=10m/s，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球与圆管上端相遇时，圆管的速度v； (2)改变圆管的初速度v0的大小，要求小球穿过圆管下端瞬间，圆管正处于下降阶段，求v0的范围。 变式3．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）在距水平地面高处先后依次由静止释放A、B、C三个小球，三小球释放位置接近但不重合，运动过程中小球之间不会发生碰撞。小球可视为质点，相邻两小球释放的时间间隔相同，且。所有小球每次与地面碰撞后均以原速率反弹，忽略碰撞时间。已知A、B两球第一次出现在同一高度时离地面的高度为，重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)A球第一次落地的时间和速度的大小； (2)相邻两球释放的时间间隔； (3)A、B两球第5次出现在同一高度时，C球与A、B两球之间的距离。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 考点目录 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 竖直上抛运动的规律及应用 例1．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以的速度竖直向上抛出，重力加速度取，不计空气阻力，求物体： (1)经过多长时间到达最高点？ (2)经过多长时间落到地面？ (3)经过多长时间离抛出点？ 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）运动到最高点时速度为0，由匀变速运动规律可得 解得 （2）根据匀变速运动规律 解得 离地高度为 下落时间为 解得 总时间为 （3）当物体在抛出点上方时，即，根据匀变速运动规律有 解得或 当物体在抛出点下方时，即，根据匀变速运动规律有 解得 例2．（26-27高一上·湖北黄冈·阶段检测）某人从井底处以15m/s的初速度将一小石子（可视为质点）竖直向上抛出，石子冲出井口上升一段距离后再次落回井底，已知石子两次经过井口的时间间隔为1s，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，求 (1)石子运动的最高点距井口的距离为多少； (2)井的深度为多少； (3)石子在井里运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不计空气阻力，石子做竖直上抛运动。取竖直向上为正方向，加速度竖直向下、大小为。设石子上升经过井口时的速度为，两次经过井口的时间间隔为，这段时间内的位移为零，由匀变速直线运动的位移公式得 解得 设最高点距井口的距离为，最高点的速度为零，对从井口上升到最高点的过程，由速度与位移的关系得 因此 （2）设井深为，石子抛出时的初速度为。从井底上升到井口的位移为，由速度与位移的关系得 代入第（1）问求得的，解得 （3）设石子从抛出到落回井底的总时间为，该过程的位移为零，由位移与时间的关系得 取非零的运动时间，解得 石子在井内运动的总时间包括上升至井口和从井口下落至井底两段时间，从总时间中扣除井口以上的运动时间可得 例3．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）随着低空经济的快速发展，某款电动垂直起降飞行器（eVTOL）在城市商务区上空进行载客试飞。飞行器从地面由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，经过速度达到时关闭动力系统，此后飞行器只受重力作用（重力加速度取），继续运动直至落回地面。求： (1)飞行器匀加速上升阶段的加速度大小和上升的高度； (2)飞行器从关闭动力到落回地面所经历的时间。（，结果保留两位小数） (3)关闭动力后，飞行器需要经过多长时间才能到达距离关闭动力位置的地方？ 【答案】(1)5m/s2，40m (2)5.46s (3)1s，3s，4.65s 【详解】（1）飞行器由静止开始匀加速上升，初速度，由速度公式 解得 由位移公式 解得。 （2）关闭动力时，飞行器位于高度处，速度（方向竖直向上），取竖直向上为正方向，从关闭动力到落回地面，由位移公式 解得 （3）关闭动力后，位移大小为15m，分两种情况：关闭动力位置上方15m和下方15m 情况一：关闭动力位置上方15m，，由位移公式 解得或 情况二：关闭动力位置下方15m，，由位移公式 解得 由于，在落地前到达要求位置，解有效。 综上所述，关闭动力后，飞行器到达距离关闭动力位置的地方需要经过或或。 变式1．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）一个下方悬挂重物的气球以10m/s 的速度由距离地面25m高处匀速竖直上升，经过5s后，气球上悬挂重物的绳子断开。若忽略绳子的质量和空气对重物的阻力，g取10m/s2，求： (1)重物从绳子断开到落地所用的时间； (2)重物运动全程的平均速度大小。 【答案】(1)5s (2)2.5m/s 【详解】（1）气球匀速上升，绳子断开时重物的高度由匀速直线运动得 绳断后重物做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，由匀变速直线运动的位移公式得 代入解得（另一根舍去）。 （2）平均速度为总位移与总时间的比值，重物全程的初位置为距地面25m处，末位置为地面，总位移大小为 全程总时间为 因此平均速度大小为 变式2．（26-27高一上·上海浦东·阶段检测）在科技运动节上，某物理兴趣小组自制了一个如图所示的水火箭。在发射过程中，将参数理想化处理如下：水火箭由静止开始做匀加速直线运动，从地面以的加速度竖直向上运动，当到达离地高处时，水火箭突然失去动力，之后做竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度取，取竖直向上为正方向。求： (1)水火箭突然失去动力时的速度大小； (2)水火箭上升的最大高度； (3)水火箭从最高点落回到地面的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取竖直向上为正方向。水火箭从静止开始做匀加速直线运动，到失去动力时上升的位移为，根据匀变速直线运动的速度与位移关系有 取向上的速度为正，解得 （2）失去动力的瞬间，水火箭的速度仍为第（1）问求得的。此后只受重力，加速度取值为，设继续上升的高度为。到达最高点时速度为零，由速度与位移关系得 解得继续上升的高度为 因此水火箭离地的最大高度为 （3）从最高点开始计时，设落回地面所需的时间为。水火箭从最高点下落时初速度为零，只受重力，做自由落体运动。仍取竖直向上为正方向，落回地面的位移为，加速度取值为，由匀变速直线运动的位移与时间关系得 取时间的正值，解得 变式3．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）我国的无人机技术近年来发展迅速，某科技社团在一次无人机飞行测试中，操作无人机从地面由静止开始以的加速度匀加速竖直向上飞起，经过10s关闭电源。在无人机达到最高点后的下落过程中，某时刻启动电源，使无人机开始做加速度大小为的匀减速直线运动，直到落地。不计空气阻力，g取。求： (1)无人机上升离地面的最大高度； (2)无人机在下落过程中，在距离地面多高处启动电源，落地时速度恰为零。 【答案】(1)55m (2) 【详解】（1）无人机匀加速上升阶段，由匀变速直线运动位移公式得 由匀变速直线运动速度公式得 关闭电源竖直上抛阶段，由匀变速直线运动速度与位移的关系得 解得 最大高度 （2）设自由下落过程最大速度为，由匀变速直线运动速度与位移的关系得 减速下落过程，由匀变速直线运动速度与位移的关系得 其中 联立解得 考点二 自由落体和竖直上抛相遇类问题 例1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）如图所示，一圆管放在水平地面上，长为，圆管的上端离天花板的距离，在圆管的正上方紧靠天花板放一小球，小球直径小于圆管内径（可看成质点），让小球由静止释放，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球由静止释放，求小球到达管子上端的时间； (2)若小球由静止释放，求小球通过管子的时间； (3)若小球由静止释放，同时给圆管一竖直向上的初速度，求小球第一次穿过管子所花的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由自由落体运动规律知到达管子上端有 解得 （2）由自由落体运动规律知到达管子下端有 解得 小球通过管子所需时间 （3）设经，小球与管子上端相遇，则有 解得 管子上升至落地总时间设为，对管子有 解得（舍去）或 说明小球与管子同时落地，则小球第一次穿过管子所花的时间 例2．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）如图所示，长为的空心圆柱形金属管沿竖直方向，金属管的下侧的点有一可视为质点的小球，小球到金属管下端的距离为，小球距离地面足够高。假设在下列运动过程中小球和金属管不会发生碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球不动，金属管由静止释放，小球通过金属管的时间； (2)若金属管不动，小球以初速度竖直向上抛出，小球向上通过金属管的时间； (3)若金属管自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，欲使小球在下落过程中（回到抛出点前）与金属管的下端相遇，则需满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设从静止释放到金属管B端到达C点，用时，根据 从静止释放到金属管A端到达C点，用时，根据 解得， 则小球通过金属管的时间 （2）设小球到达B端时速度为，根据运动学公式可得 小球到达A端时速度为，根据运动学公式可得 解得， 则小球从B端运动至A端过程中，平均速度 根据 可得 （3）规定向下为正方向，设从释放到相遇用时，则 金属管的位移 小球的位移 相对运动位移 小球与金属管下端相遇时，小球的速度 解得 例3．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在同一竖直线上有一个小球和一管子，小球可以穿过管子而不受影响，不计空气阻力。已知：，，。 (1)若将管子固定，小球由静止释放，求小球通过管子的平均速度大小； (2)若当小球由静止释放时，管子以初速度竖直上抛，要求在管子第1次上升过程中小球能够穿过管子，求大小的取值范围； (3)若时刻，同时将管子和小球由静止释放，管子和小球与地面碰撞后均能立即原速率向上反弹，求小球第10次恰好穿过管子时，小球与管子的速率之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由自由落体运动规律得，小球到达管子上端所需时间 小球到达管子下端所需时间 小球通过管子的平均速度 代入数据得 （2）第一次上升过程中能够穿过管子，要求管子速度减小为0之前穿过管子，分析临界状态管子速度恰好减小为0时穿过，则有 所需要时间 联立解得 若第一次上升过程中穿过，应满足 （3）小球下落总时间 管子下落总时间 球和管子同时开始由静止释放且触地后原速反弹，易得小球落地及返回原位置时，管子均恰好返回原位置，可见，每经，球和管子恢复至初始状态。 分析球和管子的运动易得，首次穿过必出现在管子首次触地上升过程中，二次穿过必出现在小球触地上升过程中。 小球触地反弹的速度 此时管子从初始位置开始自由落体，设再经小球第二次穿过管子，有 解得 此时小球与管子速率之比为 小球第10次恰好穿过管子出现在第五个内，考虑重复性，易知所求。 变式1．（26-27高一上·重庆北碚·阶段检测）在距水平地面高处先后由静止释放A、B两个小球，两小球释放位置接近但不重合，运动过程中小球之间不会发生碰撞。小球可视为质点，两小球释放的时间间隔为，且。小球每次与地面碰撞后均以原速率反弹，忽略碰撞时间。已知A、B两球第一次出现在同一高度时离地面的高度为，重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)A球第一次落地的时间和落地速度的大小； (2)两球释放的时间间隔； (3)A、B两球第二次出现在同一高度时距地面的高度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球A做自由落体，满足， 解得， （2）A、B两球第一次出现在同一高度时，对B球有 解得 A球做竖直上抛运动与B球等高时，对A满足 解得 故两球释放的时间间隔满足 （3）第二次两球相遇时小球A处于下落过程中，小球B处于上升过程中，设A从最高点下落时间为，小球B从地面上升的时间为，则A满足 B满足 且和满足 联立解得，， 变式2．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）如图所示，一圆管放在水平地面上，长为L=1.6m，圆管的上端离天花板的距离h=8m，在圆管的正上方紧靠天花板放一小球，小球直径小于圆管内径（可看成质点），让小球由静止释放，同时给圆管一竖直向上的初速度v0=10m/s，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球与圆管上端相遇时，圆管的速度v； (2)改变圆管的初速度v0的大小，要求小球穿过圆管下端瞬间，圆管正处于下降阶段，求v0的范围。 【答案】(1)2m/s；方向：竖直向上 (2) 【详解】（1）取竖直向上为正方向。小球由静止释放做自由落体运动 圆管上端做竖直上抛运动，圆管速度 两者加速度均为，相对运动为匀速直线运动。小球相对圆管上端的位移为，相对速度大小为，相遇时间 由、得 再代入 得，方向竖直向上。 （2）取竖直向上为正方向。小球穿过圆管下端时，小球与圆管下端相遇，有 要求圆管处于下降阶段，则圆管速度 联立得 圆管下端在时刻不能已落地，即其位移 代入得，故。 综上，的范围为。 变式3．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）在距水平地面高处先后依次由静止释放A、B、C三个小球，三小球释放位置接近但不重合，运动过程中小球之间不会发生碰撞。小球可视为质点，相邻两小球释放的时间间隔相同，且。所有小球每次与地面碰撞后均以原速率反弹，忽略碰撞时间。已知A、B两球第一次出现在同一高度时离地面的高度为，重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)A球第一次落地的时间和速度的大小； (2)相邻两球释放的时间间隔； (3)A、B两球第5次出现在同一高度时，C球与A、B两球之间的距离。 【答案】(1)0.4s，4m/s (2)0.2s (3)0.4m 【详解】（1）根据题意下落高度，由自由落体运动规律可知 解得 此时A球速度为 （2）A、B两球第一次出现在同一高度时，对B球有 解得 A球做竖直上抛运动至与B球等高时，有 解得 相邻两球释放的时间间隔为 （3）根据分析可知、第二次出现在同一高度时，球向下运动，球向上运动，设第一次相遇后再经过时间再次相遇，则根据对称性可知 解得 离地高度 设第二次相遇后再经过时间再次相遇，根据对称性，第三次相遇时 解得 离地高度 则根据运动的周期性，可知A、B球在奇数次相遇时距离地面高度为处，A、B两球第5次出现在同一高度时，球下落的高度为 球与A、B两球之间的距离为 2 学科网（北京）股份有限公司 $