复习12 平衡中的极值和临界 针对训练-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

复习12．《平衡中的极值和临界问题》针对训练 1．如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？ 2．如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）。由此可求出（ ） A．物块的质量 B．斜面的倾角 C．物块与斜面间的最大静摩擦力 D．物块对斜面的正压力 3．北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为（　　） A．1.5 m B． m C．2 m D．2 m 4．如图，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为（重力加速度为g）（　　） A．mg B．mg C．mgD．mg 6．如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？ 7．如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是（　　） A．0 B．90° C．60° D．45° 8．如图所示，质量为m（可以看成质点）的小球，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长为0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O′P刚拉直时，绳OP拉力为T1，绳OP刚松弛时，绳O′P拉力为T2，则T1∶T2为（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5 9．如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 10．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示，现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？ 11．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示，已知木楔在整个过程中始终静止。 （1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值？ （2）求在（1）的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 12．如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： （1）未拉A时，C受到B作用力的大小F？ （2）动摩擦因数的最小值μmin？ 13．如图，球A夹在竖直墙壁与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，劈倾角θ为60°，问： （1）若劈始终静止不动，当球的重力为G′时，球与劈间的弹力多大？ （2）欲使劈静止不动，球的重力不能超过多大？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习12．《平衡中的极值和临界问题》针对训练 1．如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？ 【答案】5 N 【解析】 如图所示，将重力G按效果分解为FA、FB，则有FA＝＝G，FB＝Gtan 45°＝G 当FA＝10 N时，物体重力G1＝＝5 N 当FB＝5 N时，物体重力G2＝FB＝5 N 所以悬挂物体的最大重力为Gmax＝5 N。 2．如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）。由此可求出（ ） A．物块的质量 B．斜面的倾角 C．物块与斜面间的最大静摩擦力 D．物块对斜面的正压力 【答案】C 【解析】物块在斜面上处于静止状态，先对物块进行受力分析，确定其运动趋势，列平衡方程可得Ff。物块受与斜面平行的外力F作用，而在斜面上静止，此时摩擦力的大小和方向将随F的变化而变化。设斜面倾角为θ，由平衡条件F1－mgsin θ－Ffmax＝0，F2－mgsin θ＋Ffmax＝0，解得Ffmax＝。 3．北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为（　　） A．1.5 m B． m C．2 m D．2 m 【答案】C 【解析】设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcos θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确。 4．如图，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示。 对A：FT＝mgsin 45°＋μmgcos 45° 对B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45° 整理得，μ＝，选项C正确。 5．如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为（重力加速度为g）（　　） A．mg B．mg C．mgD．mg 【答案】C 【解析】由题图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为60°，结点C受力平衡，受力分析如图所示，则CD绳对结点C的拉力FT＝mgtan 30°＝mg，D点受CD绳拉力F′T大小等于FT，方向向左。要使CD水平，D点受两绳的拉力与外界施加的力的合力为零，则CD绳对D点的拉力可分解为沿BD绳的力F1和另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小等于施加的力的大小，故最小力F＝FTsin 60°＝mg。 6．如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？ 【答案】 【解析】对O点受力分析，如图甲所示，由平衡条件得： 甲　　　　　乙 F1＝F2＝ 对任一球（如右球）受力分析如图乙所示，球发生滑动的临界条件是：F′2sin ＝μFN 又F′2cos ＋FN＝G，F′2＝F2 联立解得：F＝。 7．如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是（　　） A．0 B．90° C．60° D．45° 【答案】C 【解析】根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知β＝α＝60°，故C正确。 8．如图所示，质量为m（可以看成质点）的小球，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长为0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O′P刚拉直时，绳OP拉力为T1，绳OP刚松弛时，绳O′P拉力为T2，则T1∶T2为（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5 【答案】C 【解析】绳O′P刚拉直时，由几何关系可知此时绳OP与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲所示，则T1＝mg。绳OP刚松弛时，小球受力如图乙所示，则T2＝mg。则T1∶T2＝3∶5，选项C正确。 9．如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对光滑球体受力分析如图1所示根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图2所示根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 10．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示，现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？ 【答案】30° G 【解析】对电灯受力分析如图所示，据三力平衡特点可知：OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向，即T＝G ① 在△OTBT中，∠TOTB＝90°－α 又∠OTTB＝∠TOA＝β， 故∠OTBT＝180°－（90°－α）－β＝90°＋α－β 由正弦定理得＝② 联立①②解得TB＝因β不变，故当α＝β＝30°时，TB最小，且TB＝Gsinβ＝G。 11．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示，已知木楔在整个过程中始终静止。 （1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值？ （2）求在（1）的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）mgsin 2θ （2）mgsin 4θ 【解析】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin θ＝μmgcos θ，即μ＝tan θ （1）木楔在力F的作用下沿斜面向上匀速运动，有Fcos α＝mgsin θ＋Ff Fsin α＋FN＝mgcos θ Ff＝μFN 解得F＝＝＝ 则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin ＝mgsin 2θ。 （2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff′＝Fcos（α＋θ） 当F取最小值mgsin 2θ时，Ff′＝Fmincos 2θ＝mgsin 2θ·cos 2θ＝mgsin 4θ。 12．如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： （1）未拉A时，C受到B作用力的大小F？ （2）动摩擦因数的最小值μmin？ 【答案】（1）mg（2） 【解析】（1）对C受力分析，如图所示。根据平衡条件，有2Fcos 30°＝mg，解得F＝mg。 （2）C恰好降到地面时，B受C压力的水平分力最大，如图所示。 Fxmax＝mg，B受地面的最大静摩擦力Ff＝μ（mg＋mg）＝μmg 根据题意，B保持静止，则有Ffmin＝Fxmax， 解得μmin＝ 13．如图，球A夹在竖直墙壁与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，劈倾角θ为60°，问： （1）若劈始终静止不动，当球的重力为G′时，球与劈间的弹力多大？ （2）欲使劈静止不动，球的重力不能超过多大？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 【答案】（1）2G′ （2） 【解析】（1）A的受力如图甲所示。 则根据平衡条件，有：F1＝G′tan 60°＝G′，F2＝＝2G′ （2）将A、B视作整体，受力如图乙所示，Ff＝F1，FN＝G＋G′。 B要保持静止，则必须满足：Ff≤Ffmax，即为：F1≤μFN，即G′≤μ（G′＋G） 解得：G′≤。 - 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