精品解析：天津市第二十一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级10月份练习数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是， 故选：C. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 3. 如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：A 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 5. 已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 或 B. C. 与相交但不垂直 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系. 【详解】， 所以，所以或. 故选：A. 6. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 故选：B. 7. 设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，数形结合求出临界值，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围， 点，，点是线段（含端点）上任一点， ，， 或， 的取值范围是． 故选：A． 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 9. 已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程可以判断直线过定点，恰好为圆心，所以，且，从而得，由，换元即可得到取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】由得，所以圆心，半径 由得， 由得，所以直线过定点，即为圆心， 所以是圆的直径的两端点，所以，且， ， 因为，所以， ， 令，则， 所以当时， 取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值是______. 【答案】3或7 【解析】 【详解】圆的圆心是，半径为， 圆圆心是，半径为， ，当，时，两圆外切，当，时，两圆内切，它们都只有一个公共点． 所以或7. 11. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为， , 故点P到直线l的距离. 故答案为：. 12. 已知直线和，直线m分别与交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知，直线为平行直线，则线段的最小值为两平行直线间的距离. 【详解】由题知，，即， 故直线为平行直线，则线段的最小值为两平行直线间的距离. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线之间的距离公式，属于基础题. 13. 直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距不为0和截距为0两种情况，设出直线方程，由直线与圆相切得到方程，求出答案. 【详解】当截距不为0时，设直线，，即， 圆的圆心为，半径为， 故，解得（舍去）或4， 故直线方程为， 当截距为0时，设直线， 则，解得， 故直线方程为， 综上，直线方程为或. 故答案为：或 14. 若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求解线面角即可. 【详解】 如图，取中点，连接, 则有, 所以以为轴正方向建系如图，设, 则, 设平面的法向量为， 则有，令则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以 故答案为: . 15. 过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线l：，化为，可得直线l经过定点线段PM的中点根据可得点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上利用点到直线的距离公式可得点Q到直线的距离的最小值． 【详解】解：直线l：，化为， 联立，解得，． 直线l经过定点． 线段PM的中点． ． 点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上． 其圆的标准方程为：． 圆心G到直线点距离． 点Q到直线的距离的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知点，，直线：. （1）若经过点，求在轴上的截距； （2）若直线经过点且与垂直，求的方程，并化成一般式； （3）若为坐标原点，求中边上的中线所在直线的方程，并化成一般式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，得到，再令，求得轴上的截距即可； （2）根据垂直可设直线的方程为，再代入点即可求解； （3）先求得中点坐标，再求中线斜率得到方程即可. 【小问1详解】 （1）若经过点，则， 解得， 对于，令，得，所以在轴上的截距为. 【小问2详解】 依题意可设直线的方程为. 因为直线经过点，所以， 解得，所以的方程为. 【小问3详解】 线段的中点坐标为， 则， 所求直线的方程为， 即. 17. 如图，平面平面，，，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出平面夹角的余弦值，即可求出正弦值； （3）由点到平面的距离为计算可得. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又因为，则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知， 所以，，，，． 因为,平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以直线与平面所成角为． 【小问2详解】 设平面的法向量为，， 则，令，则，又因为 设平面与平面所成夹角为， 则，又， 所以， 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 18. 已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出所求点的坐标，利用中点坐标，代入对称轴，结合斜率之间的关系，建立方程组，可得答案； （2）设出所求点的坐标，利用题目中的等式，建立方程，结合圆的方程，可得答案； （3）根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 设，，因为点与点关于直线的对称， 则有线段的中点在直线上， 即，① 又直线直线，且直线的斜率为，则，即，② 联立①②式子解得，故点的坐标； 【小问2详解】 设，由，则， 故，化为. 化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径． 【小问3详解】 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 则，，解得. 故的取值范围为. 19. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 解：由题可知：，该方程表示圆，则， 即，解得.则实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， ，开口向下，对称轴为， 当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为， 设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长， 即，解得，则另一条切线斜率不存在。 即切线方程为，即；另一条切线方程为； 【小问3详解】 解：设， 则， 设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由（2）知， 又，则点M在圆C外面， 所以， 则. 则可知的最小值为. 20. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接,由于分别是中点， 则平面,平面, 则平面. （2）①  2；②   【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线性质，结合线面平行判定证明即可； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得； ② 分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面， 故平面，如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级10月份练习数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 5. 已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 或 B. C. 与相交但不垂直 D. 6. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值是______. 11. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 12. 已知直线和，直线m分别与交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为________. 13. 直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线的方程为______. 14. 若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______. 15. 过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知点，，直线：. （1）若经过点，求在轴上的截距； （2）若直线经过点且与垂直，求的方程，并化成一般式； （3）若为坐标原点，求中边上的中线所在直线的方程，并化成一般式. 17. 如图，平面平面，，，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 19. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 20. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $