陕西榆林市2027届高三上学期第一次检测训练数学试题

● ● 2027届高三年级第一次检测训练 ● ● 数学试题 ●● 注意事项： 0 ●●● ●●● 000 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟 000000000 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上 学 校 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效， 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效， 班 级 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试卷不回收， 0 0 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 姓 名 目要求的， 1.设集合A=|x|-2<x<4|,B=|-2,2,3,4|,则A∩B= 0 A|-2| B.{2,31 C.1-2,2,31 D.|2,3,4 考 号 2.已知复数z=1-3i,则复数z的虚部为 翻 A-3 B.3 C.-3i D.3i 3.设等比数列|a.|的各项均为正数，若a1凸=4，凸2+a,=10,则a6= 座位 号 0 A.14 B.20 C.28 D.32 4.若a,beR,则a+b≤2是a2+b2≤2的 000000000 88888 000000000 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 ●)●●●● 0 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ●● ●)● ● ● ● 5.在△ABC中，若BC=a,Ci=b,A店=c,且(a-b)1c,则△ABC的形状-定是 ● ● ● ●)●●)● A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 000 高三年级数学试题第1页（共4页） 000000 000000000 000000000 000000000 6.（九章算术)第五章商功问题十七：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，未广八尺，无深， 袤七尺.问积几何？某科技兴趣小组通过3D打印制作如图所示的美除模型，其中AB∥CD∥EF, 四边形ABCD,CDEF,ABFE均为等厦梯形，且平面ABCD⊥平面CDEF,若AB=6,CD=10,EF=8, AB与CD的距离为3，CD与EF的距离为7，则该模型的体积为 【注】羡除：墓道，此处是指三面为等腰常形，其他两侧面为全等三角形的五面体。 D (第6题图) A.28 B.56 C.84 D.168 7.若曲线f八x)=xnx+1在点(1爪1))处的切线与曲线g(x)=e+m相切，则m= A.-2 B.-1 c.0 D.e 8.已知函数八x),g(x)的定义域均为Rf(x+1)是奇函数f(1-x)+g(x)=2八x)+g(1+女)=2，且 当xe[0,1]时，g(x)=a+b,g(2027)=1,则lg7)= A号 B. cs D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=√5si血2x-2cos2x+1,则下列说法正确的有 A.f八x)的最小正周期为π Bx)的增区间为石+2km,号+2m](ke2) C,x+号)为偶函数 D.八x)在[0，号]上的最大值为2 10.已知函数f(x)=x2-3x+3,则 A.x=1是八x)的极小值点 B.当0<x<1时八x2)<f(x) C.∫'(x)=f'(x) D.点(0,3)是曲线y=(x)的对称中心 高三年级数学试题第2页（共4页） 11.如图，平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是边长为2的正方形，0为AC与BD的交 点，AM,=2,∠C,CB=∠C,CD,∠C,C0=45°，则 D A.C,O⊥平面ABCD B.C,0∥平面ABD1 C.△AB,D,为等腰直角三角形 B (第11题图) D.二面角B-CC,-D的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量m=(3,1),n=(6,k),且m∥(m-n),则k= 13.已知sin(x牙)=-2cas(x+g),则cos2x= 14.某兴趣小组观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面 上某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面 光 杆 的接触点分别为A、B,它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视 为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为子米：另一根 (第14题图) 杆子的影子完全在斜面上，长度约米则斜面的底角日的正切值为 四、解答题：本题共5小题，共T刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知|a.|是公差不为0的等差数列，a=10,且a1,a,4成等比数列. (1)求数列|a,1的通项公式： (2)设b.=2,求数列{a.+b.1的前n项和S。 16.（本小题满分15分) 在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知c0sC=2bS 2a (1)求A: (2)若△MBC的外接圆半径为2万，且oC=冬，求△MBC的面积 高三年级数学试题第3页（共4页） ● 17.(本小题满分15分) 已知函数到=h(+1)8()=号(o-1). (1)比较f(x)与g(x)的大小： (2)当x>0时，g(x)>g(x),求a的取值范围. 18.（本小题满分17分) 0 如图，在四边形ABCD中，△ACD是边长为2的正三角形，△ABC是以B为顶角的等腰直角三角 形，现沿着对角线AC翻折△ACD,得到三棱锥P-ABC. 喷 (1)当翻折至平面PAC⊥平面ABC时， (i)求直线PA与BC所成角的余弦值； 喜 ● ()求三棱锥P-ABC外接球的表面积； (2)求平面ACP与平面BCP夹角余弦值的最小值 (第18题图) 世 19.(本小题满分17分) 0 已知函数f八x)=xe-ne,neN', (1)证明：曲线y=f(x)与x轴有唯一交点； (2)记曲线y=(x)与x轴的交点为(a。,0), 0 (i)证明：a.≤n; ()E明2(a-)含站≤1 2 0 您 高三年级数学试题第4页（共4页） 0 2027届高三年级第一次检测训练 数学答题卡 姓名 班级 准考 证号 条形码粘贴区域 填涂 正确填涂 考标 禁止考生填涂 (正面锡上，初☆酷出虚线方艇) 例 ■ 口 1. 答题前。考生先格自己的姓名、产级和准考正号填写清楚，认真核对条形阴上的姓名、 班级和准考证号与自己的淀考证上的信息是否一致。 2 选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用5毫米黑色畏水签字笔书写，字体工 意事 整、笔迹清楚。 3.请按国题号顺序在各题目对应的答题区嫩内作答，超出答题区域书写的答案无效，在 草稿纸、试卷上作客无效。 4.请保持卡面清洁，不得折叠、污染、穿孔、折破等： 1四田四 5四田a四 9力0J四 2知]]四 6四西四四 10刀▣0四 3四0四四 7四04四 11四0四四 4刀▣四0 8四田▣四 请在各题的答题区域内作答、超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 曾各题口的容题尽域内作答，超出想色矩形边框限定区城的答案无效 请在各题目的答题区城内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 16.（本小题满分15分) 请在各题目的答题区坡内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高三年级数学试题答题卡第1页（共2页) 请在各题目的答题区城内作答，冠出属色矩形边框限定区坡的答案无效 17.（本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，知出翼色拒形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区城内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 18.(本小题满分17分) D B (第18题图) 储在各题口的答题区域内作答，超出凰色矩形边棍限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（本小题满分17分) 请在各愿目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高三年级数学试题答题卡第2页（共2页） 请勿在此处作任何标记 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区城内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无登2027届高三年级第一次检测训练 数学试题参考答案、解析及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【命题意图】本题重点考查集合的概念及基本运算，渗透数学运算与逻辑推理核心素养 【参考答案】B 【试题解析】由题设可得A∩B={2,3.故选B. 2.【命题意图】本题重点考查了复数的基本概念，同时可以考查学生的数学抽象核心素养 【参考答案】A 【试题解析】复数z=a+bi的虚部为实数b,不是i,答案是-3，故选A. 3.【命题意图】本题以等比数列的通项公式为核心，考查学生对等比数列概念的理解和性质的灵活运用，发展逻辑 推理和数学运算核心素养」 【参考答案】D 【试题解析】由a1a3=4得a2=4, 又等比数列{an}的各项均为正数，所以a2=2, 又山+04=10，得a4=8,所以g2==8=4, a22 所以a6=a492=32.故选D. 4.【命题意图】本题考查学生对基本不等式的理解，能用充分、必要、充要条件的逻辑语言准确判断条件和结论的关 系，发展逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养 【参考答案】B 【试题解析】因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2. 若a2+b2≤2，则(a+b)2≤2(a2+b2)≤4， 所以“a+b≤2”是“a2+b2≤2”的必要条件； 取a=0,b=2,则a+b≤2，a2+b2>2, 所以“a+b≤2”是“a2+b2≤2”的必要不充分条件.故选B. 5.【命题意图】本题以三角形为背景，综合考查平面向量的基本概念、线性运算和数量积，考查学生的化归转化、运 算求解能力及数形结合思想. 【参考答案】C 【试题解析】因为B元=a,Ci=b,AB=c,所以c=-(a+b), 若(a-b)上c,则(a-b)·c=(a-b)·[-(a+b)]=b2-a2=0, 所以|b|=|a,即|BC|=|C1,△ABC是等腰三角形.故选C. 6.【命题意图】本题以中国古代数学文化为背景，考查学生对柱体体积求法的灵活运用，发展学生直观想象、数学建 模和数学运算核心素养」 【参考答案】C 【试题解析】如图，过各棱中点M、N、H的截面将该模型分割成体积相等的两部分，延长各棱组成以截面为底面， 侧棱长为8的直三棱柱， 根据对称性，增加部分的体积与截取的几何体体积相等， 故模型的体积V=】x3×7x8=84,故选C H 5 3 M B 高三年级数学试题答案第1页（共8页） 7.【命题意图】本题主要考查求导法则、导数的几何意义，考查考生灵活运用知识分析问题与解决问题的能力. 【参考答案】B 【试题解析】因为f'(x)=lnx+1,所以f(1)=1,f'(1)=1, 所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x. g'(x)=e,由题意知y=x是曲线g(x)的切线，设切点坐标为(0，x0),则e0=1,解得x=0. 因此切，点坐标为(0,0)，代入y=g(x)得0=e°+m,解得m=-1,故选B. 8.【命题意图】本题主要考查函数奇偶性、对称性、周期性等知识的灵活运用，考查考生的逻辑推理、数学抽象和直 观想象核心素养， 【参考答案】A 【试题解析】因为f(x+1)是奇函数，所以f代x)关于(1,0)对称. 因为f1-x)+g(x)=2fx)+g(1+x)=2, 所以g(x)=2-f(1-x)=2+f(x+1)=2-f(x-1)关于(0,2)和(2,2)对称， 所以g(x)=4-g(-x)=g(x+4), 故g(x)是以4为周期的周期函数， 当x∈[0,1]时，g(x)=a+b, 所以g(0)=1+b=2,b=1,g(2027)=g(3)=1,g(1)=a+1=3,a=2, 所以当xe[0,1]时，g(x)=2*+1. 所以e7刃-2e1w7)=2-eg7-3)=2-gg)-2e(-e号)ge马)-2=马1-2=7，故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分 9.【命题意图】本题重点考查了三角函数的图象与性质.从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的直观想象、数 学运算和逻辑推理的核心素养， 【参考答案】ACD 【试题解析八)=5sin2x-cos2x=2sn(2x石)，所以其最小正周期为，A正确； 由-受+2m≤2x-石≤受+26m(eZ)得-石+m≤x≤写m（keZ),所以B错误： fx+写)=2sin[2(x+写)-石]=2cas2x是偶高数，所以C正痛， 当xe[0,号1时，2石e[-若01，m(2君)[， 所以f(x)∈[-1,2]，所以D正确.故选ACD. 10.【命题意图】本题考查函数的对称性、单调性、极值，点等问题，重，点考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理核 心素养 【参考答案】ACD 【试题解析】A选项：f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0得x=-1或x=1. 当x<-1或x>1时f'(x)>0: 当-1<x<1时，f'(x)<0. 因此f八x)在(-∞，-1)，（1，+0)单调递增，在(-1,1)单调递减，因此x=1是f(x)的 极小值点.因此A选项正确； y=f(x】 B选项：解法1：因为0<x<1,所以0<x2<x<1, 又因为f(x)在(-1,1)单调递减，所以f(x2)>f(x).因此B选项错误； 解法2：当=分时s)=号)到)，周比B选项特送 C选项：因为f'(x)=3x2-3,所以∫'(-x)=3(-x)2-3=∫'(x).因此C选项正确； D选项：设g(x)=x3-3x,则g(-x)=（-x)3-3(-x)=-x3+3x=-g(x), 因此g(x)为R上的奇函数，故g(x)的图象关于原点对称. 又因为f(x)=g(x)+3,所以f(x)的图象关于点(0,3)对称. 因此D选项正确.故选ACD. 高三年级数学试题答案第2页（共8页） 11.【命题意图】本题考查线面平行、线面垂直和二面角等问题，重点考查学生的直观想象、数学运算和逻辑推理核 心素养 【参考答案】ABC 【试题解析】连接C1B,CD. 因为∠C,CB=∠C1CD,CB=CD, 所以△C,CB≌△C1CD,故C1B=C1D. 又因为O为BD的中点，所以CO1⊥BD 因为CC1cos∠C,C0=C0=√2，所以C10⊥C0. 因为BD∩C0=O,所以C1O⊥平面ABCD,A正确； 连接AC1交B1D1于O1,连接A01, 因为四边形AOC1O1为平行四边形，所以C10∥A01, 又A01C平面AB1D1,C1O￠平面AB1D1,所以C1O∥平面ABD1,B正确； 因为△C,CB和△C,CD为等边三角形， 所以AB1=AD1=2,B,D1=22,△AB1D1为等腰直角三角形，C正确； 取CC1的中点M,连接BM,DM, 则∠BMD即为二面角B-CC,-D的平面角. BM=DM=5,BD=2Z,L.BD=-3+名8=号，D错头，故选ABC 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【命题意图】本题综合考查平面向量共线与坐标运算，考查学生的运算求解能力及数学抽象素养」 【参考答案】2 【试题解析】解法1：由m=(3,1),n=(6,k),可得m-n=(-3,1-k), 由m∥(m-n)得，3(1-k)-1×(-3)=0,解之得k=2,故答案为2. 解法2：由m∥(m-n)可得m∥n,所以3k-1×6=0,解之得k=2,故答案为2. 13.【命题意图】本题重点考查了三角函数的恒等变形及计算.从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的数学运 算和逻辑推理核心素养 【参考答案】-分 【试题解折】由已知得：分血一 1 化简得：cosx三)sinx,所以tanx=√3 解法1：cos2x=cos'x-sinx=cos2x-sin2x_1-tan2x-1 sinx+cos2x tan2x+1 2 解法2：因为m=3,所以x=写6m(keZ), 2,00sts1 当k=2n(neZ)时，simx= 2,cos 2x=cos-sin=-1 当k=2n+1(neZ)时，n=-oa=—子oms2x=cm2sx=子 综上eas2x=7 14.【命题意图】本题重，点考查了三角函数的实际应用和解三角形等知识.检验学生数学建模、数学运算、直观想象 等核心素养」 【参考答案】子 【详细解析】解法1：如图，ina-3y10 10 在△CFG中，由正孩定理可得：gs。3gsnB=9V10 .2 50>tan a=3,tan B=3 高三年级数学试题答案第3页（共8页） 3、9 E 所以an0=tan(a-B)=13=3 94 1+3× 13 2x10. 9 sin 2 解法2：10.0 =3,3cos0-sin0=9 -cos 0 9 3 令as943n0=4(00),则r+=10=号em0=号 5,cos0=4 5,tan 0=3 G 10 1 解法3：设c0=,则DF=3x-2,2+(3x-22-,解得：=8或x若（合），m0=子 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【命题意图】本题考查学生对等差、等比数列的通项公式及前项和公式的运用，检验学生的逻辑推理和数学运 算核心素养 【参考答案】(1)a,=2n+2;(2)S.=n2+3n+16(4-1) 3 【试题解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a1,a3,a,成等比数列，所以a=a1a, 即(a1+2d)2=a1(a1+6d),又因为d≠0，所以a1=2d,… (3分) 又a4=10,所以a1+3d=10,即d=2,a1=4,所以an=a1+(n-1)d=2n+2. …5…… (6分) 《@得b.=229,所以=16，当n2时号=4 故{bn}是首项为16，公比为4的等比数列. ……。…………… (8分) 设等差数列{an}的前n项和为R。,等比数列{bn}的前n项和为T., 由分组求和得Sn=Rn+Tn R_a1t0n）=n（4+2nt2）=2+3, 2 (9分) 2 T=611-9）.16(1-4-16(4-1) ++…………………+… 1-q (12分) -3 3 所以S.=R.+T,=n2+3n+16(4°-1 (13分) 3 16.【命题意图】本题重，点考查了三角函数的恒等变形及正、余弦定理.从核心素养的角度来看，本题可以考查学生 的数学运算和逻辑推理核心素养 【参考答案】(1)号；(2)2,5. 【试题解析1(1)解法1：在△ABC中，由正弦定理及c08C=2b-C得， 2a 2sin Aco8 C=28in B-8in C................... (2分) 因为△ABC中A+B+C=T,A,B,C∈(0，T), 所以2 sin Acos C=2sin(A+C)-sinC, 即2 cos Asin C-sinC=0,… (4分) 因为sinC>0,所以2c08A-1=0,即cosA= 2 (6分) 叉A∈(0，T),故A=T 31 …… (7分) 解法2：在△ABC中，由余弦定理及cosC-2b-c得，0+6-C2_2b-c 2a 2ab (2分) 2a 所以a2+b2-c2=2b2-bc, 化简，得a2=b2+c2-bC,…(4分) 又a2=b2+c2-2 bccos A, 所以2c0sA=1,即c08A= 2, (6分) 高三年级数学试题答案第4页（共8页） 又A∈(0，m),故A=T …(7分）》 (2)由A=号得eos(B+C)=子， 2 (8分) 因为coBeosC=-子，所以s血BinC= 4 (10分) sin Bsin C2R得. 在△ABC中，由正弦定理，b bc sin Bsin C=4R, 所以bc=4R2 sin Bsin C=8, (13分) 所以SA4e-)bc8inA=X8X3E2Bmmm✉ Γ2 2 (15分) 17.【命题意图】本题重点考查利用导数研究函数性质的综合能力，涉及比较函数的大小、不等式恒成立求参等内 容，旨在检验学生灵活运用导数工具解决函数综合问题的核心素养，突出对逻辑推理能力与运算求解能力的重 点考查 【参考答案】见解析 【试题解折】1)设4（到=g到=h(x*1)名（公-1， (1分) x2 刻)士2》气22≥0h(在-山，+)单诩说增， (3分) 因为h(0)=0,所以当-1<x<0时，h(x)<h(0)=0,即f(x)<g(x)；… (4分) 当x=0时，h(x)=0,即f(x)=g(x)当x>0时，h(x)>h(0)=0,即f(x)>g(x).…(6分) 综上所述，当-1<x<0时，f(x)<g(x);当x=0时f(x)=g(x);当x>0时fx)>g(x).…(7分) （2)解法1：设m()=-g=h(etl)(o0). 则m(x)>0在(0，+∞)上恒成立.… (8分) 1)知当0时，a(41)2国比m)=(a-1h(x+1)+[n(41)2 x+2 (9分) 若a≥1，当x>0时，m(x)>0,显然成立；…（10分) 若a≤0，当x>0时，aln(x+1)≤0，m(x)<0,不满足题意； (11分) 若0<a<1,m'(x）=am2+4(a-l1）x+4（a-l》,. (12分) （x+1)(x+2)2 设u(x)=ax2+4(a-1)x+4(a-1）,△=16(1-a)>0.…(13分) 设u(x)=0的两根分别为，(1<，)，则6=4(0<0，因此无<0<， a 当xe(0,x2)时，u(x)<0,即m'(x)<0,因此m(x)在(0，x2)单调递减. 当xe(0,x2)时，m(x)<m(0)=0,不满足题意. 综上，a的取值范围是[1，+∞).…。 (15分) 解法2：设nm(e)=g-g=ah(x+0（o0. 则m(x)>0在(0，+0)上恒成立，且m(0)=0. (8分) 国为e)品t,片以0=a- (10分) （x+1)(x+2)2 若a≤0，当x>0时，m'(x)<0,m(x)在(0，+∞)单调递减。 x∈(0，+∞)时，m(x)<m(0)=0,不满足题意；… (11分) 若a≥1，当x>0时，m'(x)>0,m(x)在(0，+o)单调递增. xe(0,+0)时，m(x)>m(0)=0,满足题意；… (12分) 若0<a<1,m'(x)=am+4(a-I)x+4(a-1) (x+1)(x+2)2 设u(x)=ax2+4(a-1)x+4(a-1),△=16(1-a)>0.… (13分) 设u(x)=0的两根分别为1，，(x<,),则名=4(a-1<0,固此<0< 高三年级数学试题答案第5页（共8页） 当xe(0,x2)时，u(x)<0,即m'(x)<0,因此m(x)在(0，x2)单调递减. 当x∈(0，x2)时，m(x)<m(0)=0,不满足题意. 综上，a的取值范围是[1，+∞).…(15分)》 解法3：设a(e)=ge)g=ah(+1）5（0）.则m(e)少0在(0，+)上恒成立.… (8分) 因为m(0)=0,所以当m(x)在(0，+0)单调递增时，m(x)>m(0)=0,满足题意.…(9分) 当m(x)在(0，+∞)单调递增时，m'(x)≥0在(0，+0)上恒成立. -412所以a≥》在(0，+0)上位成立. 因为m'(x)=a,-4 (x+2)2 (10分) 又因为4(+1)=4 4 =1,所以a≥1.… (11分) *2(e*10+22*10x+ 当a≤0时，m'(x)<0,m(x)在(0，+∞)单调递减，当x∈(0，+0)时，m(x)<m(0)=0,不满足题意；…(12分)》 若0<a<1,m'(x)=a+4(a-1)x+4(a- (13分) （x+1)(x+2)2 设u(x)=ax2+4(a-1)x+4(a-1),△=16(1-a)>0. 设u(x)=0的两根分别为1，(x<),则-4(a1》<0,因此x<0< a 当x∈(0，x2)时，u(x)<0,即m'(x)<0,因此m(x)在(0,2)单调递减 当x∈(0，x2)时，m(x)<m(0)=0,不满足题意. 综上，a的取值范围是[1，+∞).…（15分) 解法4：设m(e)=)g幻=ah(+1（e0),则m()0在(0，+)上板成立.… (8分) m'(x)归2》2所以m(0)=a-.… (9分) 又因为m(0)=0,所以m'(0)≥0，解得a≥1.因此a≥1是原不等式成立的一个必要条件.…（11分) 下证充分性：当o≥1时，m()=ln(x+1)）2≥ln(x+1)2x>0),… (13分) 〔1)知当0时，h(x+1)>因比a(≥h(+l)号0，满足题意 综上，a的取值范围是[1，+∞). (15分) 18.【命题意图】本题重点考查异面直线所成的角、外接球的表面积和二面角等知识，旨在检验学生的直观想象、逻 辑推理和数学运算核心素养 【参考答案11)(0停：(1：(2) 【详细解析】解法1：(1)(i)取AC的中点O,则AC⊥OB,AC⊥OP,因为平面PAC1⊥平面ABC,所以OP⊥OB.… …(2分） 以0为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,3),AP=(0, 1)风配(10所以心2款直致A与c所减府的金盆位为 41 …(5分) 高三年级数学试题答案第6页（共8页） (间）设△ACP外接国的国心为M,因为M=B=MC=MP=29,所以M即为三校维P-ABC外接球的球心 (8分) 所以三战维P-BC外接球的表西叔S=4m(2)2=1 (10分) (2)设∠B0P=0,则P(3cos0,0,w3sin0), (11分) 则C2=(3cos0,-1,5sin0),Ad=(0,2,0),B元=(-1,1,0)，… (12分) 设平面ACP的法向量为n1=(x,y,z), ,=0可得0。 则由 m1·cp=0, 0s9+28in0=0.令x=in0,则n1=(sin00,-c0s0), (13分) 同理取平面BCP的法向量为n2=(3sin0,3sin0,1-√3cos0).…（14分) √3-cos0 质以co2t购y7-30nS4-25cos日V/-3(5-0s2+8w35-ems0)-8 … (15分) 1 1 1 =t,则c0s<m,n>= √5-cos0 -82+831-3√-2(2-3)2+3 产号，当且仅当s0=时取学号， 3 故面ACP与面BCP夹角余孩值的最小值为5 …(17分) 解法2：(1)(i)取AC的中点O,则AC⊥OB,AC⊥OP,因为平面PAC⊥平面ABC,所以OP⊥OB.·(2分) 延长BO至E,使得BO=OE,连接AE,CE,PE,则四棱锥P-ABCE为正四棱锥.…（3分) 设直线PA与BC所成角为a,则cos a= 绵-平，放友线H与C所成有的余我统为 4 …(5分) (i)三棱锥P-ABC外接球即为正四棱锥P-ABCE的外接球.… (6分) 设外接球的半径为R,则由射影定理可得：P1?=2R·P0,所以R=PA-2,3 2P03’ (8分) 所以三技黎P-ABC外接球的袁而叔S=4m(2):=1 (10分) (2)过A作AM⊥PC于M,AF⊥平面BCP于F,连接MF. (11分) 则PC⊥平面AMF,∠AMF即为面ACP与面BCP的夹角，… (13分) sin LAMF=AFAB_/6 AMAM 3' (15分) 所以c0s∠AMF≥，当且仅当AB1PB时取等号， (16分) 高三年级数学试题答案第7页（共8页） 故面ACP与面BCP夹角余弦值的最小值为5 (17分) 19.【命题意图】本题考查函数零点、导函数，函数不等式，数列放缩求和，侧重利用函数解决数列求和问题，重点考 查学生的数学运算和逻辑推理核心素养 【参考答案】见解析 【试题解析】证明：(1)当x≤0时，f(x)<0恒成立，所以y=f(x)在(-∞，0]上与x轴无交点.…（1分) 当x>0时，f'(x)=（x+1)e>0,所以f(x)在(0，+∞)上递增， 所以曲线y=f(x)在(0，+∞)上与x轴至多有一个交点， 因为f(1)=(1-n)e≤0，f(n)=n(e"-e)≥0， 曲线y=f(x)与x轴有唯一交点；… (3分) 所以，当neN*时，曲线y=f(x)与x轴有唯一交点.…(4分) (2）(i)由(1)知，anen-ne=0即ane“n=ne,且an>0,… (5分) 两边取自然对数，解得an+nan=lnn+1,(*)… (6分) 接下来证明：x>0时，x-1≥nx,(**) 设g(x)=x-1-ln,则g'(x)=-1, 所以当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时，等号成立。…(8分) 由(*）式知，lnn=a,+In a,-1≥2lnan,…(9分) 所以0≤√n.…（10分） (由()得a.≤n<+,,所以L2 =2（√n+1-√n),…（12分） 2 aa√n+√n+I 所以82[(vm1-)(-可)+(a-1门=2(aT-1): (13分) 在(**)式中，令x=0,得8-1≥n=lna.-lnn, n n 所以由(*)式得0=a,+lna,-lnn-1≤a,+8-2, n 所以a≥2,1≤)(1+)， (15分) n+1'a.2 n 所以龙1-1+151 ak22点2k, 当n≥2时，在(*)式中，令x="-l,得<nn-ln(n-1), n 因为4=1.所以2时含站1+站 k=2ak 1学+号含社受h2-h1)*a(a-1]-1g 2 臣n=1时，≤1+n八3 2 所以2(V+-1)<2L≤+1+l血n,得证， (17分) 台a: 2 高三年级数学试题答案第8页（共8页）