陕西渭南市富平县迤山中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

高一年级上学期第一次学情调研 （数　学） 时长：120 分钟　　　　满分：150 分 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由补集求出集合 ，再与 求交集． 【解答】因为 ，所以 ． 又 ，所以 ．故选 D． 2．已知命题 ：，，则 是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：条件不变，结论取反． 【解答】命题 ：， 是全称量词命题，其否定为 ，．故选 C． 3．已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象如图所示，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先从图象读出 ，再由表格读出 对应的函数值． 【解答】由 的图象知，当 时 ，即 ； 再由表格知 ，所以 ．故选 C． 4．函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求定义域，再由“同增异减”判断复合函数的单调性，注意所得区间必须在定义域内． 【解答】由 得 或 ，定义域为 ． 令 ，它在 上递减，在 上递增． 又 递增，所以 的单调递减区间为 ．故选 B． 5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．，（），（） 【答案】C 【分析】判断两个函数是否为同一函数，要看定义域与对应关系是否都相同． 【解答】A： 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数； B： 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数； C： 与 的定义域都是 ，对应关系也相同，是同一函数； D： 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数．故选 C． 6．函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 求 的范围，再考虑分母不为零． 【解答】要使 有意义，需 且 ， 解得 且 ，所以定义域为 ．故选 A． 7．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字． 以下是甲、乙、丙三位同学的描述．甲：此数为小于 5 的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件．则“ ”表示的数字是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】先把三个描述翻译成关于 的条件： 为正整数、 是 的真子集、 是 的真子集，再解不等式组． 【解答】由甲知 ；当 时，． 由乙知 是 的真子集，而 ，，显然成立； 由丙知 是 的真子集，即 是 的真子集， 所以 ，即 ，结合 为正整数得 或 ．故选 C． 8．若关于 的方程 至少有一个负实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分 与 讨论； 时再按两根的符号（韦达定理）讨论，注意“至少一个负根”包括有实根的前提． 【解答】当 时，方程为 ，得 ，符合题意； 当 时，两根之积 ，两根之和 ，若有两个实根则都为负，需 ，即 ； 当 时，两根之积 ，两根异号，必有一个负根，且 恒成立； 综上 ．故选 B． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．若 ，则下列不等式中，正确的不等式有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由 判断 ， 的符号与大小，再逐项判断． 【解答】由 知 ，；两边同乘 得 ． A：，正确； B：因为 ，所以 ，错误； C：由 知错误； D：， 且 ，所以 ，正确．故选 ACD． 10．已知函数 的值域是 ，则 的定义域可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】值域为 等价于 取遍 ，故定义域必须含 、含 中的至少一个，且包含于 ． 【解答】由 得 ，即 ． 要使值域恰为 ，定义域中需有 （取到最小值 ），也要有 或 （取到最大值 ），且不能超出 ． A： 符合；B： 中 使 ，不符合； C： 含 与 ，符合；D： 含 与 ，符合．故选 ACD． 11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论正确的是（　　） A．函数 在 上单调递减 B．已知 ，，则 的取值范围为 C．已知函数 在定义域 上是减函数，则实数 的取值范围为 D．若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是 【答案】BCD 【分析】逐项判断：A 看“并集上单调”的说法是否成立；B 用不等式性质；C 由分段递减与衔接处列不等式组；D 先求最小值，再解 ． 【解答】A：取 ，，则 ，但 ，不满足递减，错误； B：由 得 ，由 得 ，所以 ，正确； C： 时 递减； 时 递减需对称轴 ，即 ； 衔接处需 ，即 ，所以 ，正确； D：由 得 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 的最小值为 ； 由 得 或 ，正确．故选 BCD． 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 的定义域为集合 ，则集合 ______． 【答案】 【分析】根号内非负，分母中的根号还要大于零（分母不为零）． 【解答】需 且 ，即 且 ，所以 ． 13．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】定义域为 等价于 对一切实数 恒成立，用判别式列不等式． 【解答】由题意 对任意 恒成立， 所以 ，即 ，解得 ． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 m³ 的部分 元/m³ 超过 m³ 但不超过 m³ 的部分 元/m³ 超过 m³ 的部分 元/m³ 若某居民 9 月份交纳水费 99 元，则此居民上月用水量为 ______ m³． 【答案】 【分析】先判断用水量所在的区间： m³ 需 元， m³ 需 元，由 知用水量超过 m³，分段计算． 【解答】用水量为 m³ 时水费为 （元）；用水量为 m³ 时水费为 （元）． 因为 ，所以用水量超过 m³，超出部分的水费为 （元）， 对应水量为 （m³），故此居民用水量为 （m³）． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知集合 ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，且 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先解方程求出 ；（2）注意 可能为空集，需分类讨论． 【解答】由 得 ，所以 ． （1）． （2）由 知 ，且 恒成立． ① 当 ，即 时，，满足 ； ② 当 ，即 时，，需 ，即 ，得 ． 综上，． 16．（15 分）（1）已知 ，求 的解析式． （2）已知 为一次函数，若 ，求 的解析式． 【答案】（1）（）；（2） 或 【分析】（1）用换元法，注意新元的取值范围；（2）设 ，代入比较系数． 【解答】（1）令 ，则 ，且 ，， 所以 ，即 （）． （2）设 （），则 ， 由 得 且 ． 当 时，，；当 时，，． 所以 或 ． 17．（15 分）陕西省第 18 届运动会已于 2026 年 8 月在渭南市成功举行，省运会的成功举办也带动了当地经济的快速发展．省运会期间，某“农家乐”接待中心有客房 200 间，每间日租金为 40 元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金，如果每间客房日租金每增加 4 元，客房出租就会减少 10 间．（不考虑其他因素） （1）设每间客房日租金提高 元（，），记该中心客房的日租金总收入为 ，试用 表示 ； （2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？ 【答案】（1）（，）；（2）每间日租金为 60 元时总收入最高，最高为 9000 元 【分析】总收入＝每间日租金×出租间数，把两量都用 表示，再配方求最值（注意 取正整数）． 【解答】（1）每间日租金为 元，出租间数为 间， 所以 （，）． （2）， 因为 且 ，所以当 时 取最大值 ， 此时每间客房日租金为 （元）． 所以每间客房日租金为 60 元时，日租金总收入最高，最高为 9000 元． 18．（17 分）已知函数 ，且 ，． （1）求 的解析式； （2）判断 在 上的单调性，并用定义法证明； （3）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2）在 上单调递增，证明见解析；（3） 【分析】（1）代入两个条件解方程组；（2）用单调性定义作差；（3）利用（2）的单调性去掉函数符号，同时注意两个自变量都要在定义域内． 【解答】（1）由 得 ；由 得 ． 解得 ，，所以 ． （2） 在 上单调递增．证明： 任取 ，则 ． 因为 ，所以 ，，， 所以 ，即 在 上单调递增． （3）由（2）知 在 上递增，且 ， 所以 ，，且 ， 解得 ，. ，故 的取值范围是 ． 19．（17 分）已知关于 的二次函数 （）． ）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 、 的值； （2）若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集（答案用含有字母 的形式表示）； （3）已知 有两个正实数根 ，，，且满足 ，求 的最大值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由解集端点是方程的两根，用韦达定理；（2）因式分解为 ，按 的符号与两根大小分类；（3）用韦达定理把条件化为 的关系，再用基本不等式求最值． 【解答】（1）由解集 知 ，且 ， 是方程 的两根， 所以 ，，解得 ，． （2）由 得 ． ① 当 时，两边同除以 得 ，又 ，解集为 ； ② 当 时，，解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 ，解集为 ； ④ 当 时，，解集为 ． （3）因为方程有两个正实根，所以 ，，故 ，． 由 得 ，即 ． 又 ，结合 得 ． 令 ，则 ，． 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，即最大值为 ． 高一数学（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级上学期第一次学情调研 （数　学） 时长：120 分钟　　　　满分：150 分 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知命题 ：，，则 是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象如图所示，则 （　　） A． B． C． D． 4．函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．，（），（） 6．函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字． 以下是甲、乙、丙三位同学的描述．甲：此数为小于 5 的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件．则“ ”表示的数字是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 8．若关于 的方程 至少有一个负实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．若 ，则下列不等式中，正确的不等式有（　　） A． B． C． D． 10．已知函数 的值域是 ，则 的定义域可能是（　　） A． B． C． D． 11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论正确的是（　　） A．函数 在 上单调递减 B．已知 ，，则 的取值范围为 C．已知函数 在定义域 上是减函数，则实数 的取值范围为 D．若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 的定义域为集合 ，则集合 ______． 13．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 m³ 的部分 元/m³ 超过 m³ 但不超过 m³ 的部分 元/m³ 超过 m³ 的部分 元/m³ 若某居民 9 月份交纳水费 99 元，则此居民上月用水量为 ______ m³． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知集合 ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，且 ，求实数 的取值范围． 16．（15 分）（1）已知 ，求 的解析式． （2）已知 为一次函数，若 ，求 的解析式． 17．（15 分）陕西省第 18 届运动会已于 2026 年 8 月在渭南市成功举行，省运会的成功举办也带动了当地经济的快速发展．省运会期间，某“农家乐”接待中心有客房 200 间，每间日租金为 40 元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金，如果每间客房日租金每增加 4 元，客房出租就会减少 10 间．（不考虑其他因素） （1）设每间客房日租金提高 元（，），记该中心客房的日租金总收入为 ，试用 表示 ； （2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？ 18．（17 分）已知函数 ，且 ，． （1）求 的解析式； （2）判断 在 上的单调性，并用定义法证明； （3）若 ，求实数 的取值范围． 19．（17 分）已知关于 的二次函数 （）． （1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 、 的值； （2）若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集（答案用含有字母 的形式表示）； （3）已知 有两个正实数根 ，，，且满足 ，求 的最大值． 高一数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $