周周练20 九上全册综合模拟检测卷：特殊平行四边形+一元二次方程+图形相似+投影视图+二次函数+概率（数学新教材北师大版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测20 期末综合模拟检测卷（二） 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．下面是某地一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（    ） A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④ 3．人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（    ） A． B． C． D．1 A a A AA Aa a aA aa 4．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 5．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 7．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知的长是_____． 12．如图所示的电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______________． 13．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程______． 14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 15．如图，在矩形中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为________． 16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测20 期末综合模拟检测卷（二） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 2．下面是某地一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（    ） A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，熟练掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 根据平行投影的定义判断即可． 【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 所以正确的是③④①②． 故选：B． 3．人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了用列举法求概率，掌握通过列表找出所有结果是解题的关键． 现根据父母的基因列表，根据表格出现的结果分析正常的概率． 【详解】解：根据题意，列表如下， A a A AA Aa a aA aa 观察表格可知，共有4种等可能的遗传结果，表现正常的占其中三种（）， 生育一个孩子，表现正常的概率为． 故选：A． 4．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 5．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 7．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 8．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①和②；根据A，C两点与对称轴的距离大小，可判断点的位置高低，即可判断③；将m，n看作抛物线与直线的交点的横坐标，即可根据图象判断． 【详解】解：对于①，由图可知抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点位于正半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， ①错误； 对于②， ， ， ， ， ， ②错误； 对于③，，且， ， ③错误； 对于④， ，n（）为方程的两个根， ，n可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ， ④正确． 9．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与直线有且只有一个公共点可得到的值，然后即可得到函数的解析式，再根据二次函数的性质和题意，即可得到的取值范围． 【详解】解：令，即， 二次函数的图象与直线有且只有一个公共点， ， 解得：， 函数， 该函数图象的对称轴为直线，顶点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，， 解得：或， 根据对称性得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一次函数的关系，解答本题的关键是求出的值，利用二次函数的性质解答． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 【答案】D 【分析】根据动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动，知，判定A正确；当在上，在上，，解方程可判断B正确；当在线段上时，，可得，当在线段上时，，解方程可判断C正确；当时，，当时，，解方程可判断D错误． 【详解】解：动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动， ，故A正确，不符合题意； 当在上，， 整理得，， 解得：， ，在范围内， ， 在上，， 解得：， ，在范围内， ； 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题意； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得或（不在线段上，舍去）， 经检验，是原分式方程的解； 当与相似时，或，故C正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ， ， 当时，， 解得：，（舍去）； 当时，， 解得（舍去）； 当为等腰三角形时，或，故D错误，符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求得，求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图所示的电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______________． 【答案】 【分析】画树状图或列表列出所有等可能的结果，找出其中符合条件的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有6种， 小灯泡发光的概率是． 13．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据道路宽与中间正方形边长的关系，结合矩形面积公式列出方程，再化为一般形式即可． 【详解】解：设道路宽为， 则中间正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得， 故答案为： ． 14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形性质和折叠性质得出，，点为中点，在中利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理求出的值，进而求出的长，结合点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴， 如图所示，连接， 在中，， 在中，点G为线段的中点，点为的中点， ∴ ． 16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________． 【答案】 【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解． 【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h， 解得：a＝， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h， 由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43， 解得：h＞； 当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0， 解得：h≥， 故h的取值范围是h≥． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题关键． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 18．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 19．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 20．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证； （2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，求出，在中用勾股定理求得，进而根据菱形的周长为，即可求得答案． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，， 又， ， 即， 故四边形为平行四边形． ， 四边形是菱形， ． ， 故四边形的周长为． 21．【综合实践】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共30个，小明通过摸球试验来估计盒子里有多少个白球；他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 b 800 1000 3000 摸到白球的次数 62 122 171 302 481 c 1806 摸到白球的频率 a (1)表格中________，________，________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到），盒子里约有白球_____个． (3)五一期间，某风景区为了吸引游客，设置了一种游戏，游客凭景区门票参加游戏，每张票限一次．其规则如下，在一个不透明纸箱中装有红、白两种球共20个，每个球除颜色外其他都相同，游客从中随机摸出一个小球，摸到红球就可获奖（免费得到一个景点的吉祥物）．据统计，五一当天，参与这种游戏的游客共有3000人，景区一共为参与游戏的游客免费发放吉祥物1200个． ①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是________； ②景区为了吸引更多的游客来景区游玩，往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，提高游客中奖的几率，若想把中奖率提高到，请你根据上面的计算结果估算x的值是________． 【答案】(1)；500，590 (2)，18 (3)①； ②10 【分析】（1）根据摸到白球的频率=摸到白球的次数除以摸球的总次数，变形计算求解即可； （2）根据试验次数最多时，摸到白球的频率稳定在，故摸到白球的概率约为，利用简单的概率公式求解即可． （3）①根据用频数除以样本容量等于频率计算即可； ②根据题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意，得，，； （2）解：根据试验次数最多时，摸到白球的频率稳定在， 故摸到白球的概率约为， 故盒子里约有白球（个）． （3）解：①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是； ②解：根据题意，得原来纸箱中红球的数量为：（个），往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，中奖率为，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故根据上面的计算结果估算x的值是10； 22．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 23．如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”） (3)将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法把，代入，解方程组即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后结合图象，根据二次函数的增减性求解即可； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）解：m的取值范围是或. 当时，图象G的最高点为，最低点为，如图1， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为，如图2， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图3， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图4， 此时，图象G的最高点与最低点在直线的同侧，不符合题意舍去； 综上所述，m的取值范围为或． 24．如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； (2) (3) 【分析】（1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测20 期末综合模拟检测卷（二） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．下面是某地一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（    ） A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④ 3．人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（    ） A． B． C． D．1 A a A AA Aa a aA aa 4．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 5．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 7．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知的长是_____． 12．如图所示的电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______________． 13．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程______． 14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 15．如图，在矩形中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为________． 16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 18．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 19．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 21．【综合实践】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共30个，小明通过摸球试验来估计盒子里有多少个白球；他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 b 800 1000 3000 摸到白球的次数 62 122 171 302 481 c 1806 摸到白球的频率 a (1)表格中________，________，________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到），盒子里约有白球_____个． (3)五一期间，某风景区为了吸引游客，设置了一种游戏，游客凭景区门票参加游戏，每张票限一次．其规则如下，在一个不透明纸箱中装有红、白两种球共20个，每个球除颜色外其他都相同，游客从中随机摸出一个小球，摸到红球就可获奖（免费得到一个景点的吉祥物）．据统计，五一当天，参与这种游戏的游客共有3000人，景区一共为参与游戏的游客免费发放吉祥物1200个． ①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是________； ②景区为了吸引更多的游客来景区游玩，往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，提高游客中奖的几率，若想把中奖率提高到，请你根据上面的计算结果估算x的值是________． 22．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 23．如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”） (3)将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围. 24．如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测20 期末综合模拟检测卷（二） 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 2．下面是某地一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（    ） A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，熟练掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 根据平行投影的定义判断即可． 【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 所以正确的是③④①②． 故选：B． 3．人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了用列举法求概率，掌握通过列表找出所有结果是解题的关键． 现根据父母的基因列表，根据表格出现的结果分析正常的概率． 【详解】解：根据题意，列表如下， A a A AA Aa a aA aa 观察表格可知，共有4种等可能的遗传结果，表现正常的占其中三种（）， 生育一个孩子，表现正常的概率为． 故选：A． 4．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 5．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 7．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 8．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①和②；根据A，C两点与对称轴的距离大小，可判断点的位置高低，即可判断③；将m，n看作抛物线与直线的交点的横坐标，即可根据图象判断． 【详解】解：对于①，由图可知抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点位于正半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， ①错误； 对于②， ， ， ， ， ， ②错误； 对于③，，且， ， ③错误； 对于④， ，n（）为方程的两个根， ，n可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ， ④正确． 9．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与直线有且只有一个公共点可得到的值，然后即可得到函数的解析式，再根据二次函数的性质和题意，即可得到的取值范围． 【详解】解：令，即， 二次函数的图象与直线有且只有一个公共点， ， 解得：， 函数， 该函数图象的对称轴为直线，顶点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，， 解得：或， 根据对称性得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一次函数的关系，解答本题的关键是求出的值，利用二次函数的性质解答． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 【答案】D 【分析】根据动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动，知，判定A正确；当在上，在上，，解方程可判断B正确；当在线段上时，，可得，当在线段上时，，解方程可判断C正确；当时，，当时，，解方程可判断D错误． 【详解】解：动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动， ，故A正确，不符合题意； 当在上，， 整理得，， 解得：， ，在范围内， ， 在上，， 解得：， ，在范围内， ； 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题意； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得或（不在线段上，舍去）， 经检验，是原分式方程的解； 当与相似时，或，故C正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ， ， 当时，， 解得：，（舍去）； 当时，， 解得（舍去）； 当为等腰三角形时，或，故D错误，符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求得，求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图所示的电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是______________． 【答案】 【分析】画树状图或列表列出所有等可能的结果，找出其中符合条件的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有6种， 小灯泡发光的概率是． 13．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据道路宽与中间正方形边长的关系，结合矩形面积公式列出方程，再化为一般形式即可． 【详解】解：设道路宽为， 则中间正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得， 故答案为： ． 14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形性质和折叠性质得出，，点为中点，在中利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理求出的值，进而求出的长，结合点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴， 如图所示，连接， 在中，， 在中，点G为线段的中点，点为的中点， ∴ ． 16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________． 【答案】 【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解． 【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h， 解得：a＝， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h， 由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43， 解得：h＞； 当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0， 解得：h≥， 故h的取值范围是h≥． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题关键． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 18．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证； （2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，求出，在中用勾股定理求得，进而根据菱形的周长为，即可求得答案． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，， 又， ， 即， 故四边形为平行四边形． ， 四边形是菱形， ． ， 故四边形的周长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $