第13章 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 课件 2026-2027学年人教版八年级 上册数学

综合与实践　确定匀质薄板的重心位置 第十三章　三角形（综合实践） 学科：数学（人教版·八年级上册） 主讲人：____________ 学校：____________ 这是一节课题学习课，融合物理与数学。重点是用'悬挂法'和'分割加权平均'确定平面图形（尤其组合图形）的重心。 学习目标 1. 了解重心的含义，知道匀质薄板重心与形状有关； 2. 会用悬挂法确定简单平面图形的重心； 3. 掌握用分割 + 面积加权平均确定组合图形重心，体会数学应用。 跨学科（物理：重力等效作用点），通过实验与计算两条路径确定重心。 一 情境引入 为什么起重机的臂要这样设计？ 物体重心的位置，对保持平衡、运动与稳定至关重要。 工程中大量使用匀质型材（工字钢、角钢、槽钢等）。 能否用数学方法确定匀质薄板、薄壳的重心？ ——这正是本节课要探究的问题。 从工程实物（厦门随处可见的钢结构、幕墙）引入，激发兴趣，体现数学价值。 二 探究1：认识重心 什么是平面图形的重心？ 物理：地球吸引物体每一部分，但对整个物体，重力作用可看成集中在一点—— 重心。它是重力作用的等效作用点。 几何：把平面图形放在支撑物上，慢慢移动直到平衡，支撑点即其重心。 匀质薄板的重心位置只与形状有关，位于其几何中心。 先建立物理概念，再与几何中心建立联系，为后续探究铺路。 实验：用悬挂法找重心 步骤： ① 选一点用细绳悬挂，静止后过悬点画一条竖直线； ② 另选一点再悬挂，再画一条竖直线； ③ 两条竖直线的交点即重心。 三角形匀质薄板的重心 = 三角形的重心 （三条中线交点）。 强调：等物体静止后再画线、画准。两条竖直线的交点就是平衡支点。 常见简单图形的重心 · 圆：重心在圆心（几何中心）； · 正方形、长方形、平行四边形：重心在几何中心（对角线交点）； · 三角形：重心在三条中线的交点（也是几何中心）； 结论：这些图形的重心都位于其几何中心。 把物理实验结论几何化：这些图形的重心就是几何中心，可直接确定。 三 探究2：组合图形 例1：正方形分割为两个长方形 把边长为 6 的正方形竖直分割为 与 两个长方形。 N1(1,3)，N2(4,3)；整体 N(3,3)。 面积比 ， 。 建立平面直角坐标系，用坐标研究重心。分割后的重心是其各自几何中心。 例1 续：换一种分割，关系一致 第二种分割：分成 与 两个长方形（面积比 1:5）。 M1(3,0.5)，M2(3,3.5)；整体 N(3,3)。 —— 仍满足同一规律。 猜想：组合图形重心 = 各部分重心按面积加权的平均。 两次不同分割都得到相同整体重心，引导学生归纳出加权公式。 组合图形重心公式（猜想） 设两部分面积分别为 S1、S2，重心坐标为 (x1,y1)、(x2,y2)，则整体重心： 横坐标： 纵坐标： 即：整体重心 = 各部分重心按面积加权平均。 这就是质心（面积加权）公式。可换其他分割方式验证，结论恒成立。 工程实例：确定 L 形角钢横截面的重心 把 L 形分割为两个长方形： N1(6,60)，； N2(46,6)，。 横坐标： 纵坐标： 即重心 N 约在 (20.47, 40.47)。 把工程工件抽象为组合图形，用分割+加权公式算出重心坐标，体现数学建模。 选做：为什么跳高采用“背越式”？ 背越式过杆时，运动员身体呈弓形，重心最低； 重心越低，越容易越过横杆，所以成绩往往优于跨越式、滚式。 ——重心知识在体育中的巧妙应用。 联系体育实际，拓展视野；可让学生查资料、讨论几种过杆姿势的重心差异。 方法总结 方法一（实验）：悬挂法——两次悬挂的竖直线交于重心； 方法二（计算）：分割法——把组合图形分成已知重心部分， 　再用面积加权公式求整体重心坐标。 适用：实验法适合实物，计算法适合图纸/抽象图形。 两条路径互补：实验重直观，计算重严谨，都是确定重心的有效手段。 易错辨析 错1：认为任意组合图形的重心都在几何中心。 　　正：只有匀质且规则的简单图形才在几何中心。 错2：加权时用“长度”或“个数”而非“面积”加权。 　　正：平面图形用面积 S 加权（）。 错3：悬挂法只画一条线就定重心。 　　正：须两条不同悬点的竖直线相交才得重心。 易错点多来自概念混淆，课堂上要结合实例辨析。 课堂检测 1. 圆的重心在（　）。（答案：圆心） 2. 三角形的重心是（　）的交点。（答案：三条中线） 3. 组合图形重心用（　）加权平均。（答案：面积） 4. 悬挂法确定重心需画（　）条竖直线。（答案：两） 基础检测，巩固核心概念与方法。 四 课堂小结 这节课我们学了什么？ 1. 重心：重力的等效作用点，匀质薄板重心在几何中心。 2. 简单图形：圆→圆心；方→对角线交点；三角→重心（中线交点）。 3. 组合图形：分割 + 面积加权公式确定重心坐标。 小结强调'数学方法确定重心'这一核心思想。 课后作业（研究报告） 1. 实验：用悬挂法实测一个不规则匀质卡片（如厦门地图轮廓）的重心； 2. 计算：把该卡片近似分割为长方形，用加权公式算重心并对比； 3. 拓展：查阅资料，写一份“重心在生活中的应用”小报告（3–5 条）； 4. 选做：用今天的方法分析“背越式跳高”的重心变化。 以分组研究报告形式提交，呼应课题学习的探究性要求。 $