18.5.2 列分式方程解决实际问题 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.5.2　列分式方程 解决实际问题 学科：数学（人教版·八年级上册） 第十八章　分式（第 10 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 开场：上节课学了怎么解分式方程。今天把它‘用’起来——列分式方程解决实际生活中的工程、行程、价格问题。核心是一套七步法：审、找、设、列、解、验、答。 学习目标 1. 会用七步法（审、找、设、列、解、验、答）列分式方程解决实际问题。 2. 掌握三类典型问题：工程问题、行程（提速）问题、价格（采购）问题。 3. 会找等量关系，并检验解的实际意义（不仅要代数检验，还要符合题意）。 4. 体会分式方程在现实中的广泛应用。 重点：找等量关系、规范列解验答。难点：把文字情境翻译成等量关系，以及检验实际意义。 复习引入：解分式方程靠什么？ 解分式方程：一去二解三检验（去分母→解整式方程→检验）。 新问题：实际问题中，方程从哪里来？——要自己列！ 本节课聚焦：如何把生活情境变成分式方程。 从‘解方程’过渡到‘列方程’，点明本节课重点是建模——找等量关系。 解决实际问题的七步法 审：审题，弄清已知与所求； 找：找出题中的等量关系（最关键的步）； 设：设未知数（直接设或间接设）； 列：依据等量关系列分式方程； 解：解分式方程（去分母）； 验：双重检验——代数检验（非增根）+ 实际意义检验； 答：写出完整答案。 板书七步法，强调‘找等量关系’是列方程的核心，‘验’要比纯解方程多一层实际意义检验。 一 情境引入 生活中的“分式”问题 · 工程：甲队每天完成 ，效率用分式表示； · 行程：时间 = 路程 ÷ 速度，速度是分式分母； · 价格：数量 = 总价 ÷ 单价，单价在分母。 这些情境里，等量关系常常让分母含未知数——正是分式方程的用武之地。 用三类生活情境说明分式方程的现实来源，激发兴趣。 二 例题示范 例1：工程问题（三队合做） 例1　修一段路，甲、乙、丙三队合做 1 个月可完成。已知甲、乙单独分别需 3、6 个月。求丙单独需几个月？ 解：设丙单独需 2x 个月。等量关系：效率和 总量 1。 　　列方程： 　　化简： → → 　　解得 ，故丙单独需 个月。 　　检验： 时分母非零且符合题意，答：丙单独需 2 个月。 例1用‘效率和=1’的等量关系。解出 x=1 后注意最终答案是丙单独 2x=2 个月，并检验实际意义。 例2：行程问题（列车提速） 例2　一列火车提速前速度为 ，提速 后速度为 。提速前走 s km 与提速后走 所用时间相等。求提速前速度 x。 解：等量关系——时间相等： 　　交叉相乘： 　　展开： → 　　解得 。答：提速前速度为 。 例2的等量关系是‘时间相等’。交叉相乘后得到整式方程，解出 x=sv/50（s、v 视为已知量）。检验 x>0 且使分母非零。 例3：价格问题（面粉采购） 例3　某种面粉，第一次按单价 1.5x 元 花 9600 元购买，第二次按单价 x 元 花 6000 元购买，第一次比第二次多买 0.4 kg。求原价 x。 解：等量关系——数量差 0.4 kg： 　　两边同乘 1.5x： 　　即 → 　　检验： 且分母非零，符合题意。答：原价为 1000 元。 例3等量关系是‘两次购买的数量差为 0.4 kg’。同乘 1.5x 去分母，解得 x=1000。强调‘数量=总价÷单价’建模。 探究：等量关系从哪里找？ · 工程问题：效率和 × 时间 （总量）；或 甲量 + 乙量 = 总量。 · 行程问题：时间相等、路程相等、速度关系等；。 · 价格问题：数量相等、数量差、总价关系；量 = 价/单价。 提示：把‘……比……多/少’‘……等于……’圈出来，就是等量关系。 总结三类问题的常用等量关系，给学生一个‘抓手’去列方程。 三 对应训练 对应训练：充电桩采购 训练　采购 A、B 两种充电桩。A 型单价 x 万元，B 型单价 万元。用 15 万元买 A 型的数量等于用 20 万元买 B 型的数量。求两种单价。 解：等量关系——数量相等： 　　交叉相乘： → 　　解得 ，则 B 型 万元。 　　检验： 且分母非零，答：A 型 0.9 万、B 型 1.2 万。 对应训练巩固‘数量相等’类问题：总价÷单价=数量。解出 x=0.9、B型1.2。可让学生板演。 四 巩固练习 巩固练习（一）：列方程并求解 1. 工程：甲独做 4 天、乙独做 6 天完成，合作 x 天完成。方程 天。 2. 行程：A、B 相距 d，甲速 u、乙速 v，相向而行相遇时间 t 满足 。 3. 价格：花 m 元按单价 p 买，按单价 买少 2 件。方程 。 第1题 ¼+⅙=1/x → 解得 x = 2.4 天。当堂练习列方程与解。 学以致用：厦门引水工程 厦门某引水工程，甲、乙两队合做 12 天可通水；若甲队效率是乙队的 2 倍，求乙队单独需几天？ 解：设乙效率 ，则甲效率 。方程 　　即 → 。答：乙队单独需 36 天。 用厦门引水工程情境，巩固工程问题建模：效率和×时间=1。甲效是乙效2倍，合做12天完工 → x=36。 易错辨析 错1：漏掉‘验’的实际意义——解出负数或零也直接作答。　正：检验是否符合题意。 错2：等量关系找错，如把‘多 0.4 kg’写成‘少 0.4 kg’。　正：逐字核对‘比……多/少’。 错3：设了 x 却答成 2x 或 而忘换算。　正：答要回到所设所求。 错1忽略实际意义检验；错2等量关系方向错；错3答非所问。先找错再纠正。 课堂检测 1. 工程：甲独做 5 天、乙独做 10 天完成，合作 x 天。方程 天。 2. 价格：花 800 元按单价 p 买 a 件，则 （答案）。 3. 行程：A、B 相距 240 km，甲速 60、乙速 40 相向而行，相遇时间 h（答案）。 当堂检测，覆盖三类问题的列式与解。第1题 ⅕+十分之一=1/x → 解得 x ≈ 3.33 天。 方法归纳 · 七步法：审、找、设、列、解、验、答（找等量关系是核心）。 · 三类题：工程（效率和=1）、行程（）、价格（量=总价/单价）。 · 双检验：代数检验非增根 + 实际意义检验（正数、符合情境）。 把列分式方程的建模方法总结为三句话。 五 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一招建模：用七步法把生活问题→分式方程。 三类情境：工程、行程、价格，各有常用等量关系。 两层检验：代数检验增根 + 实际意义检验。 回顾本章：从分式概念→运算→方程→应用，已形成完整链条。 课后作业 1. 基础题：教材习题 18.5 第 6、7 题——列分式方程应用； 2. 变式题：甲独做 8 天、乙独做 12 天，合作几天完成？列方程求解； 3. 应用题：厦门两厂生产同型号零件，A 厂每天比乙厂多产 10 个，A 厂产 300 个与 B 厂产 240 个用时相同。求两厂日产量； 4. 思考题：为什么分式方程应用题中‘检验实际意义’比纯解方程更重要？举例说明。 基础题面向全体；应用题用厦门两厂产量差/用时相等建模；思考题深化‘实际意义检验’的理解。 $