5.4 用一次函数解决问题 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

5.4 用一次函数解决问题 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 前面我们会求一次函数的关系式，也会利用图象判断增减。本节把这些知识放回实际问题：先认清每个量，再把条件写成关系式，在允许的范围内作出判断，最后检查答案是否真的可用。 目录导航 知识详解 1 典例与变式 4 A 基础巩固 14 B 能力提升 16 C 拓展提升 18 D 综合应用 20 本节回顾 21 本学案中的商品价格、服务收费和生产数据均为学习需要作出的设定，不代表现行政策或实际报价。选择题均为单项选择；判断题须说明理由。 知识详解 一、先认清量，再找不变的变化率 水箱原有20升水，每分钟注入5升。开始后的3分钟内，箱内水量增加了多少升？箱内共有多少升？这两个答案为什么不同？ 新增水量为15升，箱内共有35升，相差的20升是原有水量。若开始时有升，每分钟注入升、取出升，经过分钟增加升、减少升。在两个速度不变、未溢出且未用尽的阶段，箱内水量为 。 这个式子来自“原有量＋增加量－减少量”，不是看到时间就套用一次函数。表示每分钟的净增加量；若它小于0，水量就在减少；若它等于0，水量不变，此时是常函数，不是一次函数。 建式前应统一单位。如果表格用秒、图象用分钟，必须先换算；否则同一个“2”可能表示2秒，也可能表示2分钟。变化率的单位是“纵轴量的单位/横轴量的单位”。例如水量每分钟减少3升，式中系数应是，不是；其单位为升/分钟。 要确定的量 应该问自己的问题 自变量 从哪个时刻开始计时？数量能取小数吗？ 因变量 是总量、剩余量、增加量，还是距某地的距离？ 初值 自变量为0时已经有多少？这个0是否在实际范围内？ 变化率 同一阶段内，每增加1单位自变量，因变量改变多少？ 由数据求变化率，要用“因变量的变化量÷自变量的变化量”。记录间隔不同，不能只比较两个相邻差。题设已经说明速度不变时，记录可用于确定并核对这个速度；不能把几个记录恰好成直线当成现实过程永远如此的保证。 二、把范围和关系式一起写 关系式说明怎样算，取值范围说明什么时候能这样算。设一批物资原有30千克，每天均匀用去2千克，则剩余量。从开始使用到刚好用完，。算出的不是“剩下负10千克”，而是提醒我们：20天已超出这个模型的范围。 一个进货数量算出来后，要逐条检查：总数够不够，两种数量是否都合要求，费用是否超预算，件数是不是整数。只满足预算，并不保证这个数量一定能选；这些条件要同时满足。 题目语言 数学限制 检查重点 不超过 等于也允许 超过 等于不允许 至少 下限能否取到 两种都买 两种数量均大于0 不能只检查设出的那一种 按整箱购买 每种箱数都是非负整数 还须满足总本数等条件 连续测量的质量、时间可取小数；人数、页数、整箱数通常须取整数。预算推出，最多只能取12，不能四舍五入。若另一种箱数为，仅让为整数还不够，还要使这个数也是合要求的整数。 三、分段收费要接上前面已付的费用 前10千克每千克4元，超出10千克的部分每千克3元。买12千克时，是12千克都按3元算，还是只有其中一部分按3元算？先把12千克分成两部分，再算费用。 前10千克花40元，另外2千克花6元，共46元。若买千克且，按3元收费的是千克，所以费用为，不能写成。设总费用为元： 当时，；当时，。 把代入两个式子都得40，说明这类按数量连续累计的收费在分界处接得上；这不是所有计费规则都有的性质，按“每开始一小时”计费就须另行处理。 逆求数量时，先用分界费用判断在哪一段，再解相应方程。例如费用55元大于40元，应用后段式，得。如果用前段求出，它不满足，这个答案必须舍去。 还要看每次、每天还是每月重新计费。两次购买量相加，不代表两次费用等于合并购买一次的费用。若分别结算，前段收费也会分别发生。 四、读行程图，先认参照点和阶段 时间—距离图上的一个点表示“某时刻距指定地点多远”。一段上升线可能表示远离该地，下降线可能表示靠近该地；下降并不表示人倒着走，也不表示已经走过的总路程减少。 若纵轴是距家距离，从0升到600米再降到0，往返路程是1200米，而最后距家是0。若图上有水平段，表示这段时间距家距离不变；结合“沿同一路线步行、途中停留”等条件，才能解释为停留。求某段运动速度，应选这段的两个端点，不能把停车时间混入运动时间。 两个人的图象要能直接比较位置，必须使用同一计时起点、同一地点作参照，并结合相同路线判断。两人都“离各自出发地600米”，不一定站在同一个地方。统一为“离A地的距离”后，在同一条A到B的路段上，距离相等才能表示处在同一位置。 求相遇或相距的时刻，先按停留、变速、到达等事件分段。每段算出的候选值必须落在这一段；恰在两段连接处的同一个时刻只计一次。 五、比较方案与求最优，先说清目标 比较两个方案，要比较同一个允许的数量。例如甲费用元，乙费用元，乙每件少3元，却多付固定费30元。数量少时省下的单件费用不足以抵消固定费；数量为10时恰好抵消；数量更多时乙才较省。这就是先找相等费用，再判断两侧的理由。 若收费规则中途改变，方案优劣可能改变不止一次。要先分收费段，在各段内比较，再把结论合起来，不能只找到一个相等值就结束。 购销问题中：利润＝销售收入－总成本。全部售完时，可以用“每件利润×件数”求利润；若有固定费用，还要减去固定费用。收入高不等于利润高，成本最低也不一定利润最高。 利润随甲种数量增加而增加，是否就能把甲种买得越多越好？还要看总数、预算和最低购买量允许买多少。先找出能选的数量，再在其中利用增减性比较利润；不能实现的数量，即使代入式子利润很高，也不是可选方案。选定端点后还应检查能否取到，并写出完整方案。若目标量在所有可行方案中都相同，则最优方案不唯一。条件改变时还要分清：改变售价，通常改变利润式；改变预算，通常改变可行范围。 六、把表、图、式和答案互相核对 表格便于查数量和单位，图象便于看阶段与变化，关系式便于精确计算。三种表示应说的是同一件事。累计工作量图的斜率表示每分钟完成的工作量；总工作量仍在增加，不代表每台机器都在工作。一台暂停时，另一台仍可使图象上升，只是变化率减小。 分段求式时，后段要从已经达到的状态接着算。若第4分钟已完成240张，此后每分钟完成30张，则这一段为，不是。前式同时照顾“已经完成多少”和“本段又工作多久”。 算完不只验代数：数量是否非负、整数是否同时满足、时间是否在本段、端点是否遗漏、结论是否回答了原问题。最后写明两种商品各购多少、对应利润及单位，不能只写一个值。 典例与变式 例1 从注水记录建立模型 一个容量为100升的水箱原有一部分水，现以不变的速度注水，水满时立即停止。下表记录了从开始注水起的时间与箱内水量。 /分 0 2 6 10 /升 20 30 50 70 （1）先用“原有水量”和“注入水量”说清箱内水量怎样计算。表中0—2分钟、2—6分钟的水量增加不同，为什么仍能用同一个速度计算？求与的关系式，并用第10分钟的记录检查。 （2）水量达到90升需要多少分钟？ （3）写出从开始到刚好注满时的取值范围，并在网格中画出这一阶段的图象。能否用所得式子计算时的箱内水量？ 变式1 边注水边浇灌 一个容量60升的浇灌水箱原有12升水。一边以不变速度向箱内注水，一边以不变速度从箱内取水浇花，从开始到刚满的阶段内无溢出和其他损耗。注水记录如下，取水总量与时间的关系见图。 从开始起的时间/秒 120 300 累计注入量/升 16 40 （1）每分钟注入和取出多少升水？ （2）求箱内水量与的关系式，水量何时达到45升？ （3）从开始到水箱刚满，关系式的适用范围是什么？ 例2 分段累计收费 某用水收费规则按月结算，无其他费用。 当月用水的部分 单价/（元/立方米） 不超过12立方米的部分 3 超过12立方米的部分 5 设当月用水量为立方米，水费为元。 （1）用水15立方米时，有多少立方米按3元收费、多少按5元收费？据此分别写出两个范围内与的关系式，并画出图象。 （2）某月水费61元，这个月用了多少立方米水？ （3）小林把超过12立方米时的费用写成。指出错误，并用分界处的费用核验你的式子。 变式2 两个月要分别结算 仍按下表按月计费，无其他费用。 每月用水的部分 不超过12立方米的部分 超过12立方米的部分 每立方米水费/元 3 5 两个月共交水费72元。 （1）能否确定两个月的总用水量？请举出两种符合费用条件而总用量不同的情况，填入表中。 （2）如果再知道第一个月用了2立方米，现在能确定第二个月以及两个月的总用水量吗？求出结果，并说明为什么增加这条记录后能确定。 情况 第一个月用量/立方米 第二个月用量/立方米 总水费/元 总用量/立方米 一 二 例3 比较同一数量下的费用 打印同样的资料，纸张和质量相同，每批只能选一个方案。 方案 固定排版费/元 每页费用/元 甲 0 0.30 乙 12 0.20 设一批打印页，为正整数。 （1）写出甲、乙两方案的费用关系式。 （2）打印80页和200页时，各选哪种方案较省？ （3）对所有允许的页数，分别说明应选哪种方案；何时两种费用相同？说明分界产生的原因。 变式3 分界数不一定能取到 某游泳馆提供两种按月计算的付费方式，服务相同。 方式 月内固定费/元 每次另付/元 次票 0 5 会员 32 2 本月计划游泳8—15次，只比较本月费用，会员费不退。应怎样选择？是否存在费用恰好相同的次数？可用下表检查分界附近的选择。 游泳次数 次票总费用/元 会员总费用/元 10 11 例4 距家距离与走过路程 小明沿同一路线从家步行到图书馆，停留后原路回家。图中表示距家的距离，表示自出门起经过的时间，各相邻标记点间为直线。 （1）解释三个阶段，并分别写出与的关系式。 （2）出门20分钟时距家多远？此时累计走了多少米？ （3）按“总路程÷总时间”计算全程平均速度，它与小明步行时的速度相同吗？ 变式4 先统一距离的参照点 A、B两地在同一条直路上，相距1800米。甲、乙同时分别从A、B出发相向步行，两人速度均为60米/分。两份记录各自记“离自己出发点的距离”。 出发后时间/分 甲离A的距离/米 乙离B的距离/米 10 600 600 小华说：“表中两个600相等，所以两人第10分钟相遇。”判断并改正；求相遇时刻。若统一记录“离A的距离”，第10分钟两人的数据应分别是多少？ 例5 在可行方案中求最大利润 水果店计划购进甲、乙两种水果共40箱，整箱购入且全部售完，无其他费用。 种类 进价/（元/箱） 售价/（元/箱） 甲 30 38 乙 20 26 甲至少购12箱，进货费不超过1040元。 （1）设甲购箱，先表示乙的箱数，再写出总进货费和总利润。判断一个方案能否购买，要检查还是？比较哪个方案利润大，又要比较哪个量？结合全部条件求的范围。 （2）怎样进货利润最大？最大利润是多少？ （3）若乙每箱售价上调2元，其他条件不变且仍全部售完，利润最大的进货方案是否唯一？ 变式5 两种箱数都要是整数 学校购买整箱练习本，恰好共84本。两种包装都要买，不能拆箱。 包装 每箱本数 每箱售价/元 大箱 12 30 小箱 8 22 （1）列出全部购买方案。 （2）最少需要多少钱？说明为什么不能让大箱数在1—6中任取一个整数。 大箱数 小箱数 总本数 总费用/元 例6 由总印数判断工作效率 甲、乙两台印刷机工作时的速度各自保持不变，开始同时工作；甲一直工作，乙中途暂停一次后恢复工作。图中为两机累计总印数，为开始后的时间，各相邻标记点间为直线。 （1）图中哪一段只有甲机工作？你根据图象的什么变化及题中的哪句话判断？先求甲机速度，再求乙机速度和暂停时间。 （2）写出第7分钟至第10分钟总印数与的关系式。   （3）本批任务共750张，第10分钟以后两机保持共同工作，还需多少分钟完成？ 变式6 两份记录从什么时候开始计时 一批资料共1200张，两台印刷机从本批开始印刷起始终共同工作，每分钟共印60张，印完立即停止。已印好300张时，小林开始记录，此前已完成的300张也计入本批任务。小林把开始记录后的时间记为分；值班老师把从本批开始印刷起的时间记为分。 记录者 计时起点 此时已完成张数 值班老师 本批开始印刷 0 小林 已完成300张时 300 （1）小林开始记录时，本批已经印了多少分钟？小林开始记录后，同一时刻的与有什么关系？ （2）分别用和表示本批的剩余张数，并写出各自关系式的适用范围。 （3）小林写“第15分钟印完”，值班老师写“第20分钟印完”。两份记录矛盾吗？说明理由。 A 基础巩固 1．容器原有8升水，开始后以每分钟3升的速度注水。在这一注水过程中，水量为，其中的单位为分。下列说法正确的是（　）。 已知量 数值与单位 开始时水量 8升 每分钟注入量 3升/分 A. 3表示原有水量为3升。 B. 8表示已经注水8分钟。 C. 在该过程持续到第2分钟的条件下，此时水量为14升。 D. 仅凭这些条件，就能保证此式对任意正数都适用。 2．一批物资按不变速度使用，直至用完。下表中是开始使用后的天数，是剩余质量。 /天 0 2 5 /千克 45 39 30 每天使用____千克；与的关系式为____；剩余18千克是在开始使用后第____天。写出关系式的适用范围，并说明表中两次减少量不同为什么不矛盾。 3．网上购买同一种练习本，整单运费只付一次，至少买1本。 项目 金额 每本价格 4元 整单运费 6元 总预算 不超过55元 最多能买____本，买到最多本数后还剩____元。写出你取这个整数而不是相邻整数的理由。 4．小文沿一条直路步行到学校，再沿原路离开学校。图中是离学校的距离，是开始步行后的时间，纵坐标为0表示在学校，各相邻标记点间为直线。 第8分钟小文在____；前8分钟步行速度为____米/分；前12分钟累计走过____米。 B 能力提升 5．某水果按每次购买量分别结算，无其他费用，质量可取小数。 每次购买的部分 单价/（元/千克） 不超过3千克的部分 10 超过3千克的部分 8 （1）一次购买花了45.2元，买了多少千克？ （2）一次买5千克与分两次、每次买2.5千克，哪种便宜？便宜多少元？说明差异来自哪里。 6．公交车沿直路前进，中途停车，图中表示离起点的距离，表示出发后的时间，各相邻标记点间为直线。 小明说：“后一段行驶速度为千米/分。”判断他的说法，并求后一段实际行驶速度，结果用千米/时表示。说明他算出的究竟是什么。 7．学校义卖自制书签，前期布置费已经支付。制作的书签全部售出，无其他费用，最多制作50张。 项目 数值 每张材料费 2元 前期布置费 60元 每张售价 5元 设制作并售出张，总利润为元。 （1）写出收入、总成本和利润的关系式及的范围。 （2）至少售出多少张才有利润？售出50张时利润是多少？利润为负在这里有实际意义吗？ C 拓展提升 8．甲仓有60箱物资，乙仓有40箱，全部送给两所学校；学校一、学校二各需50箱。按整箱运输，每箱运费如下，无其他费用。允许某一条路线不运货。 每箱运费/元 学校一 学校二 仓库供货量/箱 甲仓 4 7 60 乙仓 5 3 40 学校需求量/箱 50 50 100 （1）设甲仓送往学校一箱，用表示另外三条路线的数量，填表。 （2）求的范围，写出总运费的关系式。 （3）增加1箱时，另外三条路线的箱数分别怎样改变？总运费怎样改变？据此确定最省的运输安排和最少费用。 数量/箱 学校一 学校二 甲仓 乙仓 9．打印同样的资料，纸张和质量相同，每批只能选一家，打印数量为1—240中的整数。甲按“固定服务费＋每页相同单价”收费，这一数量范围内标准不变，无其他费用；两张收据如下。乙没有固定费，按下表累计收费。 甲的收据 第一张 第二张 页数 50 150 总费用/元 44 84 乙的收费部分 前100页 超过100页的部分 每页费用/元 0.80 0.20 （1）设打印页，求甲的费用关系式，并写出乙的分段关系式。 （2）为什么要以100页为界分别比较？对全部允许页数，说明选哪家更省、何时同价。超过100页后，乙每新增一页的费用较低，这是否表示乙此时的总费用已经较低？用你的分界结果解释。 （3）要打印120页，预算75元，可以选哪家？ D 综合应用 10．A、B两地在同一直路上，相距2400米。甲从A出发，以80米/分走到B；乙同时从B出发向A，以120米/分走10分钟，停留5分钟，再按原速走到A。两人到达后均留在终点。从出发起计时，研究的过程。 （1）先列出需要分开的几个时刻，并说明乙到达A后为什么还要保留一段。在网格中画出两人离A的距离与时间的图象，写出各阶段的关系式。   （2）求两人相遇的时刻。 （3）求两人相距400米的所有时刻，并逐一核对所在阶段。 11．商店购入A、B两类笔记本共100本，全部售完，无其他费用。 类别 每本进价/元 每本售价/元 A 8 12 B 5 8 A至少购30本，进货预算不超过650元。 （1）共有多少种可行进货方案？ （2）分别求成本最低与利润最大的方案，并比较两种方案的成本和利润。 （3）若只把进货预算改为不超过635元，其他条件不变，最大利润及对应方案如何改变？说明变化的是利润关系式还是可行范围。 本节回顾 我用哪些条件确定变化率？这个答案违反任何数量、时段或整数条件吗？我选的方案满足的是什么目标？ 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 用一次函数解决问题 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师解析版 前面我们会求一次函数的关系式，也会利用图象判断增减。本节把这些知识放回实际问题：先认清每个量，再把条件写成关系式，在允许的范围内作出判断，最后检查答案是否真的可用。 目录导航 知识详解 1 典例与变式 4 A 基础巩固 16 B 能力提升 18 C 拓展提升 19 D 综合应用 22 本节回顾 24 本学案中的商品价格、服务收费和生产数据均为学习需要作出的设定，不代表现行政策或实际报价。选择题均为单项选择；判断题须说明理由。 知识详解 一、先认清量，再找不变的变化率 水箱原有20升水，每分钟注入5升。开始后的3分钟内，箱内水量增加了多少升？箱内共有多少升？这两个答案为什么不同？ 新增水量为15升，箱内共有35升，相差的20升是原有水量。若开始时有升，每分钟注入升、取出升，经过分钟增加升、减少升。在两个速度不变、未溢出且未用尽的阶段，箱内水量为 。 这个式子来自“原有量＋增加量－减少量”，不是看到时间就套用一次函数。表示每分钟的净增加量；若它小于0，水量就在减少；若它等于0，水量不变，此时是常函数，不是一次函数。 建式前应统一单位。如果表格用秒、图象用分钟，必须先换算；否则同一个“2”可能表示2秒，也可能表示2分钟。变化率的单位是“纵轴量的单位/横轴量的单位”。例如水量每分钟减少3升，式中系数应是，不是；其单位为升/分钟。 要确定的量 应该问自己的问题 自变量 从哪个时刻开始计时？数量能取小数吗？ 因变量 是总量、剩余量、增加量，还是距某地的距离？ 初值 自变量为0时已经有多少？这个0是否在实际范围内？ 变化率 同一阶段内，每增加1单位自变量，因变量改变多少？ 由数据求变化率，要用“因变量的变化量÷自变量的变化量”。记录间隔不同，不能只比较两个相邻差。题设已经说明速度不变时，记录可用于确定并核对这个速度；不能把几个记录恰好成直线当成现实过程永远如此的保证。 二、把范围和关系式一起写 关系式说明怎样算，取值范围说明什么时候能这样算。设一批物资原有30千克，每天均匀用去2千克，则剩余量。从开始使用到刚好用完，。算出的不是“剩下负10千克”，而是提醒我们：20天已超出这个模型的范围。 一个进货数量算出来后，要逐条检查：总数够不够，两种数量是否都合要求，费用是否超预算，件数是不是整数。只满足预算，并不保证这个数量一定能选；这些条件要同时满足。 题目语言 数学限制 检查重点 不超过 等于也允许 超过 等于不允许 至少 下限能否取到 两种都买 两种数量均大于0 不能只检查设出的那一种 按整箱购买 每种箱数都是非负整数 还须满足总本数等条件 连续测量的质量、时间可取小数；人数、页数、整箱数通常须取整数。预算推出，最多只能取12，不能四舍五入。若另一种箱数为，仅让为整数还不够，还要使这个数也是合要求的整数。 三、分段收费要接上前面已付的费用 前10千克每千克4元，超出10千克的部分每千克3元。买12千克时，是12千克都按3元算，还是只有其中一部分按3元算？先把12千克分成两部分，再算费用。 前10千克花40元，另外2千克花6元，共46元。若买千克且，按3元收费的是千克，所以费用为，不能写成。设总费用为元： 当时，；当时，。 把代入两个式子都得40，说明这类按数量连续累计的收费在分界处接得上；这不是所有计费规则都有的性质，按“每开始一小时”计费就须另行处理。 逆求数量时，先用分界费用判断在哪一段，再解相应方程。例如费用55元大于40元，应用后段式，得。如果用前段求出，它不满足，这个答案必须舍去。 还要看每次、每天还是每月重新计费。两次购买量相加，不代表两次费用等于合并购买一次的费用。若分别结算，前段收费也会分别发生。 四、读行程图，先认参照点和阶段 时间—距离图上的一个点表示“某时刻距指定地点多远”。一段上升线可能表示远离该地，下降线可能表示靠近该地；下降并不表示人倒着走，也不表示已经走过的总路程减少。 若纵轴是距家距离，从0升到600米再降到0，往返路程是1200米，而最后距家是0。若图上有水平段，表示这段时间距家距离不变；结合“沿同一路线步行、途中停留”等条件，才能解释为停留。求某段运动速度，应选这段的两个端点，不能把停车时间混入运动时间。 两个人的图象要能直接比较位置，必须使用同一计时起点、同一地点作参照，并结合相同路线判断。两人都“离各自出发地600米”，不一定站在同一个地方。统一为“离A地的距离”后，在同一条A到B的路段上，距离相等才能表示处在同一位置。 求相遇或相距的时刻，先按停留、变速、到达等事件分段。每段算出的候选值必须落在这一段；恰在两段连接处的同一个时刻只计一次。 五、比较方案与求最优，先说清目标 比较两个方案，要比较同一个允许的数量。例如甲费用元，乙费用元，乙每件少3元，却多付固定费30元。数量少时省下的单件费用不足以抵消固定费；数量为10时恰好抵消；数量更多时乙才较省。这就是先找相等费用，再判断两侧的理由。 若收费规则中途改变，方案优劣可能改变不止一次。要先分收费段，在各段内比较，再把结论合起来，不能只找到一个相等值就结束。 购销问题中：利润＝销售收入－总成本。全部售完时，可以用“每件利润×件数”求利润；若有固定费用，还要减去固定费用。收入高不等于利润高，成本最低也不一定利润最高。 利润随甲种数量增加而增加，是否就能把甲种买得越多越好？还要看总数、预算和最低购买量允许买多少。先找出能选的数量，再在其中利用增减性比较利润；不能实现的数量，即使代入式子利润很高，也不是可选方案。选定端点后还应检查能否取到，并写出完整方案。若目标量在所有可行方案中都相同，则最优方案不唯一。条件改变时还要分清：改变售价，通常改变利润式；改变预算，通常改变可行范围。 六、把表、图、式和答案互相核对 表格便于查数量和单位，图象便于看阶段与变化，关系式便于精确计算。三种表示应说的是同一件事。累计工作量图的斜率表示每分钟完成的工作量；总工作量仍在增加，不代表每台机器都在工作。一台暂停时，另一台仍可使图象上升，只是变化率减小。 分段求式时，后段要从已经达到的状态接着算。若第4分钟已完成240张，此后每分钟完成30张，则这一段为，不是。前式同时照顾“已经完成多少”和“本段又工作多久”。 算完不只验代数：数量是否非负、整数是否同时满足、时间是否在本段、端点是否遗漏、结论是否回答了原问题。最后写明两种商品各购多少、对应利润及单位，不能只写一个值。 典例与变式 例1 从注水记录建立模型 一个容量为100升的水箱原有一部分水，现以不变的速度注水，水满时立即停止。下表记录了从开始注水起的时间与箱内水量。 /分 0 2 6 10 /升 20 30 50 70 （1）先用“原有水量”和“注入水量”说清箱内水量怎样计算。表中0—2分钟、2—6分钟的水量增加不同，为什么仍能用同一个速度计算？求与的关系式，并用第10分钟的记录检查。 （2）水量达到90升需要多少分钟？ （3）写出从开始到刚好注满时的取值范围，并在网格中画出这一阶段的图象。能否用所得式子计算时的箱内水量？ 解析 （1）箱内水量＝原有水量＋注入水量。题设保证注水速度不变，所以注入水量＝速度×时间，可由此建立一次关系。0—2分钟增加10升、2—6分钟增加20升，但时长分别为2分钟、4分钟，速度均为5升/分，即。初始水量20升，故。用第10分钟核验：升，与记录一致。这里匀速的依据是题设，不是用几条记录保证以后永远匀速。 （2）由，得。需要14分钟。 （3）刚好注满时，得，故。图象是连接与的线段，两端实心。不能代入计算箱内水量：此时已停止注水，原式给出的120升超过容量；停止后箱内水量保持100升，而不是120升。 变式1 边注水边浇灌 一个容量60升的浇灌水箱原有12升水。一边以不变速度向箱内注水，一边以不变速度从箱内取水浇花，从开始到刚满的阶段内无溢出和其他损耗。注水记录如下，取水总量与时间的关系见图。 从开始起的时间/秒 120 300 累计注入量/升 16 40 （1）每分钟注入和取出多少升水？ （2）求箱内水量与的关系式，水量何时达到45升？ （3）从开始到水箱刚满，关系式的适用范围是什么？ 解析 （1）秒分，秒分。注水速度为升/分，也等于。由取水图上的和，取水速度为升/分。 （2）箱内水量不是累计注入量，而是。令，得，即开始后11分钟达到45升。 （3）令，得。水量一直增加，不会先抽空，所以范围是，包含刚满的时刻。16分钟时共注入128升、取出80升，，核验成立。满后是否停止或溢出未规定，不能继续延用此式。 例2 分段累计收费 某用水收费规则按月结算，无其他费用。 当月用水的部分 单价/（元/立方米） 不超过12立方米的部分 3 超过12立方米的部分 5 设当月用水量为立方米，水费为元。 （1）用水15立方米时，有多少立方米按3元收费、多少按5元收费？据此分别写出两个范围内与的关系式，并画出图象。 （2）某月水费61元，这个月用了多少立方米水？ （3）小林把超过12立方米时的费用写成。指出错误，并用分界处的费用核验你的式子。 解析 （1）15立方米中，前12立方米按3元收费，余下3立方米按5元收费，不是全部15立方米都按5元。推广到立方米：时，；时，前12立方米已付36元，只对超出量按5元计费，故。图象先连接和，再从按后段关系向右延伸；图窗内经过。 （2），应使用后段：，得。核验：，所以用了17立方米。 （3）把前12立方米也改按5元收费，多算了元。分界处，，，两式接得上。 变式2 两个月要分别结算 仍按下表按月计费，无其他费用。 每月用水的部分 不超过12立方米的部分 超过12立方米的部分 每立方米水费/元 3 5 两个月共交水费72元。 （1）能否确定两个月的总用水量？请举出两种符合费用条件而总用量不同的情况，填入表中。 （2）如果再知道第一个月用了2立方米，现在能确定第二个月以及两个月的总用水量吗？求出结果，并说明为什么增加这条记录后能确定。 情况 第一个月用量/立方米 第二个月用量/立方米 总水费/元 总用量/立方米 一 二 解析 （1）不能确定。第一种：两个月各用12立方米，费用元，总量24立方米。第二种：分别用2和18立方米，费用元，总量20立方米。两种情况都合法，总费用相同而总量不同，说明原条件不能唯一确定总用量。 （2）现在能确定。第一个月水费为元，第二个月水费为元。因为，第二个月超过12立方米。由得，两个月共立方米。增加首月用量后，两个月的费用可以分别确定，再按各月规则反求用量，不能把两个月合成一个月结算。 例3 比较同一数量下的费用 打印同样的资料，纸张和质量相同，每批只能选一个方案。 方案 固定排版费/元 每页费用/元 甲 0 0.30 乙 12 0.20 设一批打印页，为正整数。 （1）写出甲、乙两方案的费用关系式。 （2）打印80页和200页时，各选哪种方案较省？ （3）对所有允许的页数，分别说明应选哪种方案；何时两种费用相同？说明分界产生的原因。 解析 （1）甲费用；乙费用，均为正整数。 （2）80页：甲24元、乙28元，甲省4元。200页：甲60元、乙52元，乙省8元。 （3）费用相等时，得，费用均为36元。乙每页比甲便宜0.10元，但先多付12元；120页恰好抵消这12元。也可算：当时甲省；时任选；时乙省。图中的辅助线便于比较，但实际只取整页对应的点。 变式3 分界数不一定能取到 某游泳馆提供两种按月计算的付费方式，服务相同。 方式 月内固定费/元 每次另付/元 次票 0 5 会员 32 2 本月计划游泳8—15次，只比较本月费用，会员费不退。应怎样选择？是否存在费用恰好相同的次数？可用下表检查分界附近的选择。 游泳次数 次票总费用/元 会员总费用/元 10 11 解析 设游泳次，次票为元，会员为元，且为整数。 令，得，不是整数，故没有恰好同费的次数。 次票减会员费用为。8—10次时这个差为负，选次票；11—15次时差为正，选会员。检查：10次费用分别50、52元；11次分别55、54元。不能把四舍五入成11次，再说11次费用相等。 例4 距家距离与走过路程 小明沿同一路线从家步行到图书馆，停留后原路回家。图中表示距家的距离，表示自出门起经过的时间，各相邻标记点间为直线。 （1）解释三个阶段，并分别写出与的关系式。 （2）出门20分钟时距家多远？此时累计走了多少米？ （3）按“总路程÷总时间”计算全程平均速度，它与小明步行时的速度相同吗？ 解析 （1）0—10分钟走到图书馆，速度米/分，，。10—15分钟停留，，。15—25分钟原路回家，速度米/分，，。 （2）时，米。累计路程为去程600米加返程已走300米，共900米，而不是300米。 （3）全程路程1200米，总时间25分钟，平均速度为米/分，与步行时60米/分不同。停留的5分钟计入全程总时间；图象返程斜率为负，表示距家距离减少，步行速度仍是正数60米/分。 变式4 先统一距离的参照点 A、B两地在同一条直路上，相距1800米。甲、乙同时分别从A、B出发相向步行，两人速度均为60米/分。两份记录各自记“离自己出发点的距离”。 出发后时间/分 甲离A的距离/米 乙离B的距离/米 10 600 600 小华说：“表中两个600相等，所以两人第10分钟相遇。”判断并改正；求相遇时刻。若统一记录“离A的距离”，第10分钟两人的数据应分别是多少？ 解析 小华的判断错误，两个600用了不同参照点。第10分钟两人之间还相距米，未相遇。相遇时两人路程之和为1800米，故，得，即出发后15分钟相遇。 统一以A为参照，第10分钟甲离A为600米，乙离A为米。只有统一参照，才能在这条A到B的路段上用同一时刻的相同距离判断相遇。 例5 在可行方案中求最大利润 水果店计划购进甲、乙两种水果共40箱，整箱购入且全部售完，无其他费用。 种类 进价/（元/箱） 售价/（元/箱） 甲 30 38 乙 20 26 甲至少购12箱，进货费不超过1040元。 （1）设甲购箱，先表示乙的箱数，再写出总进货费和总利润。判断一个方案能否购买，要检查还是？比较哪个方案利润大，又要比较哪个量？结合全部条件求的范围。 （2）怎样进货利润最大？最大利润是多少？ （3）若乙每箱售价上调2元，其他条件不变且仍全部售完，利润最大的进货方案是否唯一？ 解析 （1）乙为箱。进货可行要检查成本是否超预算，并同时检查数量要求；比较利润大小才看。预算限制的是成本，不是利润上界。；。甲至少12箱给，预算给，即；箱数为整数，所以且为整数，共13种方案。这一范围也保证乙箱数非负。 （2）随增大而增大，最大可行，乙为16箱，元，且成本恰为1040元。 （3）乙售价变28元后，甲、乙每箱利润都为8元，故元。预算和进价未变，原来13种方案全部可行且利润相同，最优方案不唯一。这时利润是常量，不能仍说“甲越多利润越大”。 变式5 两种箱数都要是整数 学校购买整箱练习本，恰好共84本。两种包装都要买，不能拆箱。 包装 每箱本数 每箱售价/元 大箱 12 30 小箱 8 22 （1）列出全部购买方案。 （2）最少需要多少钱？说明为什么不能让大箱数在1—6中任取一个整数。 大箱数 小箱数 总本数 总费用/元 解析 （1）设大箱箱、小箱箱，则，即，。两种都买，都是正整数，故。要使是整数，须为偶数，所以只能为奇数1、3、5。 大箱数 小箱数 总本数 总费用/元 1 9 84 228 3 6 84 222 5 3 84 216 （2）最少216元，买大箱5箱、小箱3箱。也可由费用递减，选最大可行。虽为整数，却使不是整数；使，又违背“两种都买”。 例6 由总印数判断工作效率 甲、乙两台印刷机工作时的速度各自保持不变，开始同时工作；甲一直工作，乙中途暂停一次后恢复工作。图中为两机累计总印数，为开始后的时间，各相邻标记点间为直线。 （1）图中哪一段只有甲机工作？你根据图象的什么变化及题中的哪句话判断？先求甲机速度，再求乙机速度和暂停时间。 （2）写出第7分钟至第10分钟总印数与的关系式。 （3）本批任务共750张，第10分钟以后两机保持共同工作，还需多少分钟完成？ 解析 （1）先比较各段单位时间完成的张数：0—4分钟为张/分，4—7分钟为张/分，7—10分钟为张/分。中段的变化率较小，再结合“甲一直工作，乙暂停一次后恢复”，可知4—7分钟只有甲工作。因此甲为30张/分，乙为张/分，乙暂停分钟。中段总印数仍在增加，是甲继续工作的结果，不能据图象上升就说两机都在工作。 （2）第7分钟已完成330张，之后每分钟60张，故，。不能漏掉前面已完成的330张，也不能把本段时间写成。 （3）还剩张，还需分钟，即开始后第14分钟完成。核验：甲工作14分钟、乙工作11分钟，张。 变式6 两份记录从什么时候开始计时 一批资料共1200张，两台印刷机从本批开始印刷起始终共同工作，每分钟共印60张，印完立即停止。已印好300张时，小林开始记录，此前已完成的300张也计入本批任务。小林把开始记录后的时间记为分；值班老师把从本批开始印刷起的时间记为分。 记录者 计时起点 此时已完成张数 值班老师 本批开始印刷 0 小林 已完成300张时 300 （1）小林开始记录时，本批已经印了多少分钟？小林开始记录后，同一时刻的与有什么关系？ （2）分别用和表示本批的剩余张数，并写出各自关系式的适用范围。 （3）小林写“第15分钟印完”，值班老师写“第20分钟印完”。两份记录矛盾吗？说明理由。 解析 （1）从本批开始起始终每分钟共印60张，所以开始记录前已印分钟。小林记录的是此后经过的时间，同一时刻老师的计时总比小林多5分钟，故。这个对应关系用于两人共同记录的阶段：，对应； 不把小林尚未开始记录的时间写成负数。 （2）以小林的计时起点看，尚余张，故，。以老师的计时起点看，本批尚未印刷，故，。两个范围分别从各自开始计时算到本批印完；老师还记录了最初5分钟，小林没有记录这一段。 （3）不矛盾。小林的第15分钟对应老师的第分钟，是同一个完成时刻。判断时间是否相同，不能只比较数字，还要看计时起点。在共同记录阶段，把代入，也得到，两式表示的剩余量完全一致。 A 基础巩固 1．容器原有8升水，开始后以每分钟3升的速度注水。在这一注水过程中，水量为，其中的单位为分。下列说法正确的是（　）。 已知量 数值与单位 开始时水量 8升 每分钟注入量 3升/分 A. 3表示原有水量为3升。 B. 8表示已经注水8分钟。 C. 在该过程持续到第2分钟的条件下，此时水量为14升。 D. 仅凭这些条件，就能保证此式对任意正数都适用。 解析 选C。3是注水速度，单位升/分；8是初始水量，单位升。升，C的过程条件也明确。D未给容量、注水持续时间等限制，不能保证任意正时间均可代入；不能为了反驳D擅自给容器规定一个容量。 2．一批物资按不变速度使用，直至用完。下表中是开始使用后的天数，是剩余质量。 /天 0 2 5 /千克 45 39 30 每天使用____千克；与的关系式为____；剩余18千克是在开始使用后第____天。写出关系式的适用范围，并说明表中两次减少量不同为什么不矛盾。 解析 每天使用千克，也等于千克。；由，得。用完时，故。两次减少量分别6和9千克，对应时长分别2和3天，单位时间用量相同，并不矛盾。 3．网上购买同一种练习本，整单运费只付一次，至少买1本。 项目 金额 每本价格 4元 整单运费 6元 总预算 不超过55元 最多能买____本，买到最多本数后还剩____元。写出你取这个整数而不是相邻整数的理由。 解析 设买本，，得，且为正整数，故最多12本。花费元，余1元；13本需58元，超预算。这里取最大可行整数，不是四舍五入。 4．小文沿一条直路步行到学校，再沿原路离开学校。图中是离学校的距离，是开始步行后的时间，纵坐标为0表示在学校，各相邻标记点间为直线。 第8分钟小文在____；前8分钟步行速度为____米/分；前12分钟累计走过____米。 解析 第8分钟在学校；前8分钟从距校800米走到学校，速度米/分；后4分钟又走了400米，所以前12分钟累计路程米。第12分钟纵坐标400表示离学校400米，不表示总路程。 B 能力提升 5．某水果按每次购买量分别结算，无其他费用，质量可取小数。 每次购买的部分 单价/（元/千克） 不超过3千克的部分 10 超过3千克的部分 8 （1）一次购买花了45.2元，买了多少千克？ （2）一次买5千克与分两次、每次买2.5千克，哪种便宜？便宜多少元？说明差异来自哪里。 解析 （1）前3千克费用为30元。，超出部分按8元/千克计费。设购买千克，，得，满足，所以买了4.9千克。 （2）一次买5千克：元。分两次各2.5千克：每次元，共50元。一次买便宜4元。因为每次都重新计算前3千克，分买的两次都未达到优惠部分，而一次买有2千克享受每千克少2元的优惠。 6．公交车沿直路前进，中途停车，图中表示离起点的距离，表示出发后的时间，各相邻标记点间为直线。 小明说：“后一段行驶速度为千米/分。”判断他的说法，并求后一段实际行驶速度，结果用千米/时表示。说明他算出的究竟是什么。 解析 说法错误。车在第12—16分钟停车，后一段实际行驶从第16分钟开始，不能把4分钟停车时间算入这一段行驶时间。 后一段速度为千米/分，换算为千米/时。是第12—28分钟这16分钟内的平均速度，包含停车时间，不是后一段运动时的速度。 7．学校义卖自制书签，前期布置费已经支付。制作的书签全部售出，无其他费用，最多制作50张。 项目 数值 每张材料费 2元 前期布置费 60元 每张售价 5元 设制作并售出张，总利润为元。 （1）写出收入、总成本和利润的关系式及的范围。 （2）至少售出多少张才有利润？售出50张时利润是多少？利润为负在这里有实际意义吗？ 解析 （1）收入为元，总成本为元，，且为整数。即使，已经支付的60元仍是成本。 （2）有利润要求，即，得，所以至少21张。20张只是不盈不亏，不能算“有利润”。50张时元。负利润表示收入不足以抵偿成本，即亏损，具有实际意义；不能套用“实际问题的函数值都不能为负”。 C 拓展提升 8．甲仓有60箱物资，乙仓有40箱，全部送给两所学校；学校一、学校二各需50箱。按整箱运输，每箱运费如下，无其他费用。允许某一条路线不运货。 每箱运费/元 学校一 学校二 仓库供货量/箱 甲仓 4 7 60 乙仓 5 3 40 学校需求量/箱 50 50 100 （1）设甲仓送往学校一箱，用表示另外三条路线的数量，填表。 （2）求的范围，写出总运费的关系式。 （3）增加1箱时，另外三条路线的箱数分别怎样改变？总运费怎样改变？据此确定最省的运输安排和最少费用。 数量/箱 学校一 学校二 甲仓 乙仓 解析 （1）甲仓送学校二箱；学校一还需箱，由乙仓供给；乙仓送学校二箱。 （2）四个数量都须非负，得到、、、，合并为且为整数。总运费 。 （3）当甲仓送学校一多1箱，甲仓送学校二就要少1箱；学校一需求固定，乙仓送学校一须少1箱，乙仓送学校二相应多1箱。总运费改变元，即减少5元。因此在可行范围内增大更省，取最大可行。安排为甲仓到学校一50箱、到学校二10箱；乙仓到学校一0箱、到学校二40箱。最少运费元。行和为60、40，列和为50、50，均满足要求；0箱合法，因为题目允许不走某一路线。 9．打印同样的资料，纸张和质量相同，每批只能选一家，打印数量为1—240中的整数。甲按“固定服务费＋每页相同单价”收费，这一数量范围内标准不变，无其他费用；两张收据如下。乙没有固定费，按下表累计收费。 甲的收据 第一张 第二张 页数 50 150 总费用/元 44 84 乙的收费部分 前100页 超过100页的部分 每页费用/元 0.80 0.20 （1）设打印页，求甲的费用关系式，并写出乙的分段关系式。 （2）为什么要以100页为界分别比较？对全部允许页数，说明选哪家更省、何时同价。超过100页后，乙每新增一页的费用较低，这是否表示乙此时的总费用已经较低？用你的分界结果解释。 （3）要打印120页，预算75元，可以选哪家？ 解析 （1）甲每页费用为元，固定费元，所以。乙：时，；时，。各段均只取整数。 （2）乙超过100页后的新增单价改变了，因此必须以100页分段，不能用同一个乙费用式比较全程。前段由得，在本段内；甲减乙为，因此1—59页乙省，60页同为48元，61—100页甲省。后段由得，也在本段内；甲减乙为，所以101—179页甲省，180页同为96元，181—240页乙省。 合并：1—59页及181—240页选乙；61—179页选甲；60页、180页两家同价。新增一页便宜不等于当时总费用已经较低。100页时甲64元、乙80元，乙还贵16元；此后每多一页，乙比甲少收0.2元，要再增加页才抵消这16元，所以180页才追平。此前超过100页而不足180页时仍是甲省，此后乙才较省。 （3）120页甲元，乙元。预算75元，只能选甲，还剩3元。 D 综合应用 10．A、B两地在同一直路上，相距2400米。甲从A出发，以80米/分走到B；乙同时从B出发向A，以120米/分走10分钟，停留5分钟，再按原速走到A。两人到达后均留在终点。从出发起计时，研究的过程。 （1）先列出需要分开的几个时刻，并说明乙到达A后为什么还要保留一段。在网格中画出两人离A的距离与时间的图象，写出各阶段的关系式。 （2）求两人相遇的时刻。 （3）求两人相距400米的所有时刻，并逐一核对所在阶段。 解析 （1）分界来自事件：第10分钟乙开始停留，第15分钟乙恢复行走，第25分钟乙到A，第30分钟甲到B。乙到A后，甲还在走，所以25—30分钟仍须保留；乙的位置保持0，不能沿下降直线延伸到负数。甲到B需分钟，，。 乙前10分钟走1200米；停留后还需10分钟到A，于第25分钟到达。各段为：（）；（）；（）；（）。图见教师辅助图。 （2）0—10分钟若相遇，得，不在本段，舍去。10—15分钟，得，合法。15—25分钟用两式相等也会得，这是前段已计的边界时刻，不是第二次相遇。25—30分钟乙在A，甲离A至少2000米，不相遇。因此仅在第15分钟相遇，地点离A1200米。 （3）分阶段判断前后位置，可避免漏解。 0—10分钟，乙在甲前方（离A更远），间距从2400减到400，令其等于400得。 10—15分钟，间距从400减到0，等于400仍只在，是同一边界时刻，不重复记录。 15—25分钟，甲在乙前方，间距，令其等于400，得，在本段内。若把前后次序反着列，会算出，它不在此段，必须舍去。 25—30分钟，间距为，至少2000米，无解。 故所有时刻为出发后10分钟、17分钟。核验：两位置800和1200米；两位置1360和960米，均相差400米。 11．商店购入A、B两类笔记本共100本，全部售完，无其他费用。 类别 每本进价/元 每本售价/元 A 8 12 B 5 8 A至少购30本，进货预算不超过650元。 （1）共有多少种可行进货方案？ （2）分别求成本最低与利润最大的方案，并比较两种方案的成本和利润。 （3）若只把进货预算改为不超过635元，其他条件不变，最大利润及对应方案如何改变？说明变化的是利润关系式还是可行范围。 解析 （1）设A购本，则B为本。成本。由及，得，且为整数，共种方案。 （2）成本随增大而增大，故成本最低取，A30本、B70本，成本590元。利润，也随增大而增大，但求最大值要取，A50本、B50本，利润350元。 目标 A本数 B本数 成本/元 利润/元 成本最低 30 70 590 330 利润最大 50 50 650 350 成本最低不等于利润最大，目标不同，所选端点也不同。 （3）新预算给，所以且为整数。利润式仍为，取达到最大345元，方案为A45本、B55本。改变的是可行范围，不是每本利润或利润式。预算减少15元，使可购A的最大本数少5本，本题最大利润减少5元，不是减少15元。 本节回顾 我用哪些条件确定变化率？这个答案违反任何数量、时段或整数条件吗？我选的方案满足的是什么目标？ 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $